平面解析几何中的距离和、差的最值问题

几何求最大值的方法几何求最大值的方法是一个涵盖多个领域的复杂问题，涉及数学、物理、工程等多个学科。

在几何学中，求最大值的问题通常涉及到图形的性质、空间结构和优化理论。

下面将详细介绍一些常用的几何求最大值的方法，并阐述它们的原理和应用。

一、基础概念在几何学中，最大值问题通常涉及到距离、角度、面积、体积等几何量。

求这些量的最大值，需要理解几何对象的基本性质，如点、线、面、体之间的关系和性质。

二、基本方法解析几何法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用代数方法求解最大值。

例如，在平面几何中，可以通过求解二次函数的极值来找到某个图形的最大面积或最大距离。

几何不等式法：利用几何不等式来求解最大值。

例如，在三角形中，利用三角形的三边关系、角度关系等不等式，可以求解三角形的最大面积或最大周长。

几何变换法：通过平移、旋转、对称等几何变换，将问题转化为更简单的形式，从而求解最大值。

例如，在立体几何中，可以通过旋转体来求解某个几何体的最大体积。

三、实际应用几何求最大值的方法在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用几何求最大值的方法来优化建筑的空间布局，提高建筑的使用效率；在交通运输中，可以利用几何求最大值的方法来规划最优的运输路线，降低运输成本；在机器人路径规划中，也可以利用几何求最大值的方法来找到机器人的最优运动轨迹。

四、案例分析以一个具体的案例为例，假设我们有一个固定的圆形区域，需要在其中放置尽可能多的相同大小的圆形物体。

这个问题可以转化为求解圆形区域内能够容纳的最大圆形物体数量。

通过解析几何法和几何不等式法，我们可以找到最优的排列方式，使得圆形区域内能够容纳的圆形物体数量达到最大。

五、结论与展望几何求最大值的方法是一个复杂而重要的领域，具有广泛的应用前景。

随着数学、物理、工程等学科的不断发展，几何求最大值的方法也将不断更新和完善。

未来，我们可以期待更多创新的方法和理论的出现，为实际问题的解决提供更多有效的工具和手段。

解析几何中的最小（最大）距离问题作者：韩庆东来源：《新校园·学习版》2008年第06期在解析几何中，有一种有关距离的最小（或最大）的问题.有些同学遇到此类问题，常常不知道从何下手.实际上这类问题的规律是比较明显的.1.圆锥曲线上的点到某直线上的点的最小（最大）距离问题〖例题1〗设P是抛物线y=x2上的点，若P点到直线2x-y-4=0的距离最小，求P点的坐标.解法一:设P点坐标为(x0,x02),由点到直线的距离公式得P点到直线2x-y-4=0的距离是:d= = = .可见:当x0=1时,d取最小值.此时P点坐标为(1,1).解法二:如图,平移2x-y-4=0这条直线到与抛物线相切,则切点为抛物线上到直线距离最小的点P.设平移后的切线方程为:2x-y+D=0.由方程组:y=2x+Dy=x2得:x2-2x-D=0判别式,所以D=-1.所以x=1，所以P点坐标为(1,1).解法三:设P(x0,y0),因为y′=2x,所以过P点的切线斜率k=2x0=2,所以x0=1,y0=x02=0,故P点坐标为(1,1).点评:解法一从点到直线的距离公式出发，利用曲线方程是y=x2，设曲线上的点坐标为(x0,x02)，达到用一个字母设出点的两个坐标的目的，将距离转化为点的横坐标的一元函数，利用函数最值的知识将问题解决.也非常明显地体现了解析几何的特点——用代数的方法解决几何问题.解法二则将问题转化为交点个数的问题，将一个比较生疏的问题转化为一个常见问题来解决.解法三在解法二的基础上引用了导数知识，非常轻易的解决了问题，体现了综合运用知识的目的.2.圆锥曲线上的点到某定点的最小（最大）距离问题〖例题２〗设Ｐ是抛物线y=x2上的点，若P点到点Ｑ（0，2）的距离最小，求P点的坐标.解法一：设P点坐标为(x0,x02),由两点间的距离公式得P点到点Ｑ的距离的平方是：d2=x02+(x02-2)2=x04-3x02+4=(x02- )2+ ，可见当x02= ，x0=±时，d取最小值.此时P点坐标为( ， )或(- ， ).解法二：如图：设以点Ｑ为圆心的圆与抛物线相切，则切点就是所求的Ｐ点.设圆的半径为r，圆的方程为x2+(y-2)2=r2，由方程组：y=x2x2+(y-2)2=r2得y+(y-2)2=r2，即y2-3y+4-r2=0，由判别式Δ=9-4(4-r2)=4r2-7=0得r2= ，此时，y2-3y+ =0，y= ，x=±，所以Ｐ点坐标为或( ， )或(- ， ).由于抛物线方程的特殊性，当一点在抛物线上时，设点是比较容易的，但如果已知的点在椭圆或双曲线上时，设点时需要技巧．〖例题３〗设Ｐ是椭圆 +y2=1上的点，若P点到点Ｑ（0，2）的距离最大，求P点的坐标.分析：如果设Ｐ点的横坐标为x0，则其纵坐标这y0= ±，下一步的计算会困难很大，此时，可利用三角公式sin2θ+cos2θ=1，令=cos2θ，y2=sin2θ得到椭圆的参数方程：x=2cosθ，y=sinθ.解法一：设Ｐ点的坐标为（2cosθ，sinθ），则Ｐ点到Ｑ点的距离的平方为d2=4cos2θ+(sinθ-2)2=4cos2θ+sin2θ-4sinθ+4=5+3cos2θ-4sinθ=5+3(1-sin2θ)-4sinθ=8-(3sin2+4sinθ)，可见当sinθ=- 时，d取最大值.此时cosθ=± ，Ｐ点坐标为( ，- )或(- ，- ).解法二：如图，当以Ｑ点为圆心的圆与椭圆外相切时，切点应是所求的Ｐ点，设圆的半径为r，圆的方程为x2+(y-2)2=r2，由方程组：x2+4y2=4x2+(y-2)2=r2得4y2-(y-2)2=4-r2，即3y2+4y-8+r2=0，由判别式Δ=16-12(-8+r2)=-3r2+28=0得r2= ，此时，3y2+4y+ =0，y=- ，x=±，所以Ｐ点坐标为( , - )或(- ,- ).3.圆上的点到某定直线或定点的最小（最大）距离问题〖例题４〗设点Ｐ是圆(x-1)2+(y-2)2=1上的点，若点Ｐ到直线2x-y-4=0的距离最小，求P 点的坐标.分析：如图，由于圆的特点，此类问题都转化为圆心到定直线或定点的最小（最大）距离问题，所求的点Ｐ就是过圆心与已知直线垂直的直线与圆的一个交点，该交点位于圆心和垂足之间．解：圆心为（1，2）点，过Ｐ点垂直于直线2x-y-4=0的直线方程是x+2y-5=0.由方程组x+2y-5=0(x-1)2+(y-2)2=1得x=1+ ，y=2- ，所以Ｐ点从标为(1+ ，2- )．注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数y =分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y 的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x 处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：y =，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），(51)N -，，(0)P x ，．则y =M P P N MN =+≥5==，即y ≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴min 5y =．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2求函数()f x y ，最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2， ()f x y ，表示在平面直角坐标系中的动点()P x y ，到定点(00)A ，，(10)B ，，(01)C ，，(11)D ，的距离之和．而APD △中，PA PD AD +≥，当且仅当点P 在线段AD 上时等号成立；CPB △中，PC PB BC +≥，当且仅当点P 在线段BC 上时等号成立，所以PA PD PC PB AD BC ++++=≥Ｐ为AD 与BC 的交点时， f （x ，y ）取得最小值P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭．二、求距离的平方和的最值例3 已知点(21)A ，，(22)B ，，点00()P x y ，满足y =2x ，求22PA PB +取得最小值时点P 的坐标．分析：利用两点间距离公式将22PA PB +表示为()f x y ，的形式，再消元得一个关于x （或y ）的二次函数，最后求值．解：由已知点00()P x y ，满足002y x =，结合两点间的距离公式，得 2222220000(2)(1)(2)(2)PA PB x y x y +=-+-+-+-220000288265x x y y =-++-+2200002888625x x x x =-++-⨯+200102013x x =-+2010(1)3x =-+，当01x =时，22PA PB +取得最小值3，此时点P 的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数()f x y ，，然后通过消元转化为关于x （或y ）的函数f （x ）（或f （y ）），再求解．一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现．。

一、利用圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。

研究圆锥曲线的最值，利用圆锥曲线的定义，可使问题简化。

例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。

解析：如图所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。

令，即。

此问题转化为折线AMP的最短问题。

显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。

二、利用几何图形的对称性对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题。

例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C 点，使△ABC的周长最小。

分析：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。

解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=周长。

故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。

三、利用参数的几何意义利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题。

例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，通过椭圆定义转化后，利用几何性质可解决问题。

解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是，最小值是。

四、利用代数性质将问题里某些变化的几何量（长度、点的坐标、斜率、公比）设为自变量，并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式，然后利用代数性质（如配方法、不等式法、判别式法等）进行解决，可使问题简单化。

例4、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值。

同侧异侧互化巧解距离和差最值问题2019-07-23在解析⼏何中，经常遇到⼀个动点到两个定点的距离之和与差的最值问题，此类问题的条件是动点在某条定曲线上，定点往往有分布在曲线同侧或者异侧，曲线有封闭型或者⾮封闭型，距离⼜有和或差，最值也有最⼤或最⼩，所以看似解法各异，解法灵活，实则是同类问题，这类问题的根本解决之道是同侧化异侧，异侧化同侧，再应⽤三⾓形的基本性质“两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边”加以解决，通⽤模式为：设A，B为两定点，P为评注例l涉及直线上⼀动点与两定点距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常分为两步：（1）求其中⼀定点关于定直线的对称点；（2）再求这个对称点与另⼀定点的距离即为所求最值；如果涉及求最值时动点位置，则联⽴对称点与另⼀定点所在直线⽅程和题中所给定直线求交点即为所求，变式l看似涉及到两个根式函数和的最值问题，如果通过函数去求解，那会利⽤到导数，⽽且计算量较⼤；⽽通过转化为⼀动点到两定点的距离和的最值问题，再利⽤对称求解即可，变式2看似是两个定圆上的动点与⼀个动点距离差的最⼤值问题，通过将与圆上的动点问题转化为与圆⼼的距离加减半径，可以将问题转化成⼀定直线上的动点与两个定点（即圆⼼）距离之差的最⼤值问题，再利⽤例l的⽅法求解即可得到所求最⼤值，这类问题的通性通法是：利⽤对称将直线上的⼀动点与分布在其同侧（或异侧）距离最值问题转化为直线的⼀动点与分布在其异侧（或同侧）距离最值问题，在利⽤三⾓形的基本性质及通⽤模式求解最值，评注例2涉及椭圆上⼀动点与两定点（其中⼀个为焦点）距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利⽤定义，将动点到⼀个焦点的距离与其到另⼀个焦点的距离进⾏转化，然后利⽤⼏何最值法最终解决（如例2（1）中差的最⼩值和例2（2）中和的最⼤值和最⼩值）；（2）在求和的最⼩值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使⽤⼏何最值法（如例2（1）中差的最⼤值），具体属于哪⼀类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况⽽定，这类问题的通性通法是：利⽤定义将距离和（差）最值问题转化为距离差（和）间题，在利⽤三⾓形的基本性质及通⽤模式求解最值，3.曲线为双曲线抛物线时，通过定义进⾏同侧异侧互化评注例3涉及双曲线右⽀上⼀动点与两定点（其中⼀个为焦点）距离之和（差）的最值问题。

辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。

两点到一直线距离之和最小问题
摘要：
一、问题背景
二、问题描述
三、数学模型
四、求解方法
五、结论与应用
正文：
两点到一直线距离之和最小问题是一个在几何学中非常经典的问题，它的背景是在平面直角坐标系中，给定两个点以及一条直线，求这两个点到这条直线的距离之和的最小值。

这个问题可以用于求解最小覆盖圆、最小生成树等问题的最优解。

问题描述：假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2)，一条直线L 的方程为ax + by + c = 0，求点A 和点B 到直线L 的距离之和的最小值。

数学模型：为了求解这个问题，我们可以将其转化为一个最优化问题。

令距离之和为f(A, B)，则f(A, B) = √((x1 - x) + (y1 - y)) + √((x2 - x) + (y2 - y))，其中(x, y) 为直线L 上任意一点。

要求f(A, B) 的最小值，即求函数
f(x, y) = √((x1 - x) + (y1 - y)) + √((x2 - x) + (y2 - y)) 的最小值。

求解方法：对于这个问题，我们可以使用数学中的解析几何方法来求解。

首先，我们需要求出直线L 的解析式，然后将其代入到距离公式中，最后求解
距离之和的最小值。

结论与应用：两点到一直线距离之和最小问题在计算机图形学、运筹学等领域有着广泛的应用。

通过求解这个问题，我们可以得到最小覆盖圆的半径、最小生成树的最小边长等。

高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法最值问题是数学高考的热点，也是解析几何综合问题的重要内容之一。

圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，它融解析几何、函数、不等式等知识为一体，是综合试题考查的核心，对解题者有着相当高的能力要求，但其解法仍然有章可循，有法可依。

解析几何求最值常见类型之一是直接根据题意，利用几何关系或代数特征的几何意义求最值。

另一种类型是先根据条件列出所求目标的函数关系式，转化为前一类型或根据函数关系式的特征选用函数法、不等式法等求出它的最值。

本文从几个例子介绍解析几何最值问题的几种常见类型和方法。

一、结合“几何意义”求最值（一）两线段距离的最值问题这是圆锥曲线最值问题的基本方法，根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等问题来解。

例如：已知点F1，F2是双曲线的左右焦点，点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则│PF1│+│PA│的最小值是多少。

解析：根据双曲线的定义，建立点A，P与两焦点之间的关系，发现两点之间线段最短。

即│PF1│+│PA│=│PF1│-│PF2│+│PA│+│PF2│=2a+│PA│+│PF2│≥4+│AF2│=9。

（二）特定代数式的最值问题因为一些数学概念如斜率、截距、两点距离等有特别的代数结构特征，可以根据这些表达式特征把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、直线的截距或直线的斜率等问题来解。

例如：已知实数x，y满足方程x2-6x+y2+6=0。

求①的最大值；②y-x最小值；③x2+（y+2）2的最小值。

解析：①因为的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点（x，y）与定点（-1，0）连线的斜率，由数形结合算得最大值为。

②令y-x=b的几何意义是与圆x2-6x+y2+6=0有交点的平行直线系y=x+b在y轴上的截距，数形结合算得最小值为-3-。

③x2+（y+2）2的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点到定点（0，-2）的距离，数形结合算得最小值是-。

解析几何最值问题求解的基本思路探究李莉莉(四川师范大学附属中学㊀６１００００)摘㊀要:高中阶段的解析几何问题一般是以综合题的类型出现ꎬ考查学生的几何知识ꎬ以及观形㊁设参㊁转化㊁替换等数学思想的能力.解析几何的最值问题的求解方法与代数㊁圆锥曲线㊁目标函数中的最值问题有一定的区别ꎬ同时又存在着某种联系.本文主要通过对一些相关例题的介绍ꎬ帮助同学们总结出一些比较典型的解题方法ꎬ希望同学们能在学习的过程中快速总结解题技巧ꎬ提高个人的解决问题的能力以及数学的应用意识.关键词:高中数学ꎻ课堂教学ꎻ最值问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１０－００１６－０２收稿日期:２０２１－０１－０５作者简介:李莉莉(１９７９.１２－)ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁联系平面几何知识求解解析几何的最值问题㊀㊀有一类解析几何问题会与平面几何的知识建立密切的联系ꎬ同学们需要借助题目中的已知条件建立坐标系ꎬ并寻找目标函数ꎬ然后将平面图形的解析式与解析几何的解析式放在坐标系中ꎬ寻找两个图象之间的关系ꎬ再利用求解函数最值问题的方式寻找问题的答案.例１㊀假设Ｐ点是直线ｌ:ｘ－ｙ＋９＝０上的一点ꎬ过点Ｐ做出与椭圆Ｃ:ｘ２１２＋ｙ２３＝１存在共同焦点的椭圆Ｄꎬ如果其长轴最短ꎬ试着求出椭圆Ｄ的方程.分析㊀题目中给出了椭圆曲线的方程ꎬ同学们需要先找到椭圆的焦点ꎬ然后判断椭圆与直线方程的位置关系ꎬ之后可将问题进行转化ꎬ可将题目中的 椭圆Ｄ的长轴最短 这个已知条件通过分析转化为求解在直线ｌ上求点Ｐ并使得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜最小ꎬ从而求解题目要求.解㊀由题目已知条件可知椭圆Ｄ的焦点为Ｆ１(－３ꎬ０)㊁Ｆ２(３ꎬ０).设存在点Ｆ１(ｘꎬｙ)是点Ｆ１(－３ꎬ０)关于直线ｌ的对称点ꎬ可以解得Ｆ１坐标为(－９ꎬ６).在坐标系上连接Ｆ１Ｆ２ꎬ则直线Ｆ１Ｆ２与直线ｌ的交点为Ｐꎬ如图所示.Ｆ１Ｆ２的方程求得ｙ＝－１２ｘ＋３２ꎬ将该方程与直线ｌ联立可求得Ｐ点坐标为Ｐ(－５ꎬ４).设椭圆Ｄ的方程为:ｘ２１２＋λ＋ｙ２３＋λ＝１又因为点Ｐ在椭圆Ｄ上ꎬ将Ｐ点坐标带入可得λ＝３３因此椭圆Ｄ的方程为ｘ４５＋ｙ２３６＝１㊀㊀二㊁结合圆锥曲线定义及相关性质求解解析几何的最值问题㊀㊀在高中数学中常见的解析几何问题有椭圆㊁双曲线㊁抛物线等等ꎬ相关的性质㊁定义在课堂上都有帮助同学们进行总结ꎬ在日常练习的时候需要同学们准确地把握相关的知识ꎬ灵活的运用解决解析几何的最值问题.而在运用定义和性质解决相关圆锥曲线问题时ꎬ可能会在图线中出现三角形ꎬ同学们要切记可以使用三角形的相关性质解答ꎬ该性质为: 三角形的两边之和大于第三边ꎬ三角形的两边之差小于第三边. 例如下面这道题.例２㊀假设线段ＡＢ的长固定不变为３ꎬ假设线段ＡＢ的两端都在抛物线ｙ２＝ｘ上移动ꎬ如果线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ试着求解点Ｍ到ｙ轴的最短距离ꎬ并且求出此时点Ｍ的坐标具体为多少.分析:题目中给出的抛物线方程式的图象为开口向右的在第一象限和第四象限的图象ꎬ而且题目中的已知条件可得ＡＢ在抛物线上移动但ＡＢ连接的线段的长是固定不变的.同学们首先需要求出抛物线的焦点Ｆꎬ然后将图象上的Ａ㊁Ｂ㊁Ｆ三点连接成一个三角形ꎬ试着将问题进行转化ꎬ从而确定线段ＡＢ的位置.解㊀根据题目条件可设抛物线的焦点为Ｆꎬ准线为ｌꎬ６１分别作ＡＣ㊁ＢＤ㊁ＭＫ垂直于准线交准线ｌ在点Ｃ㊁Ｄ㊁Ｋ上ꎬ如图所示:则根据题目条件可知｜ＭＫ｜＝１２(｜ＡＣ｜＋｜ＢＤ｜)＝１２(｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜)ȡ１２｜ＡＢ｜＝３２即当线段ＡＢ是过Ｆ点的弦时ꎬ｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝｜ＡＢ｜此时可求得｜ＭＫ｜可以取最小值３２ꎬ则此时点Ｍ到ｙ轴的距离最短.又因为抛物线焦点坐标为Ｆ(１４ꎬ０)ꎬ准线方程为ｘ＝－１４ꎬ因此点Ｍ到ｙ轴的最短距离为３２－１４＝５４ꎬ即ｘＭ＝５４.㊀因此ｘＡ＋ｘＢ＝２ｘＭ＝５２ꎬ即ｙ２Ａ＋ｙ２Ｂ＝５２ꎬ而ｙ２Ｍ＝(ｙＡ＋ｙＢ２)２＝１４(ｙ２Ａ＋ｙ２Ｂ＋２ｙＡｙＢ)又因为ＡＢ过点Ｆꎬ因此ｙＡｙＢ＝－１４ꎬ故ｙ２Ｍ＝１４ (５２－１２)＝１２ꎬ即ｙＭ＝ʃ２２.当Ｍ到ｙ轴的距离最短时ꎬ点Ｍ的坐标为(５４ꎬ２２)ꎬ(５４ꎬ－２２)㊀㊀三㊁建立目标函数求解函数的最值求解圆锥曲线的最值问题可以将题目转化为求解函数的最值问题ꎬ因为圆锥曲线方程本质上来讲也是一种函数的存在形式ꎬ所以同学们可以建立相关的目标函数ꎬ根据题目的要求对题目问题进行转化ꎬ从而简化解题的过程ꎬ提高解题的准确性.例３㊀已知抛物线Ｃ的焦点为坐标原点Ｏꎬ抛物线Ｃ的顶点在ｘ轴的负半轴上ꎬ若存在直线ｌ:ｘ＋ｙ＋ｍ＝０(ｍ>０)与抛物线Ｃ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ试求当әＡＯＢ面积最大取值为２６时直线ｌ的方程.分析㊀这道题目中ꎬ同学们首先应该根据题目中给出的相关条件设出题目中方程的形式ꎬ分别将抛物线的方程和顶点用未知数的方式设出来ꎬ然后根据相关的点求解点到直线的距离ꎬ将问题转化为函数的最值问题ꎬ从而得出抛物线的方程和直线方程.解㊀根据题目可知抛物线Ｃ的顶点坐标为(ａꎬ０)ꎬ且ａ<０ꎬ因此抛物线的方程为ｙ２＝２(－２ａ)(ｘ－ａ)ꎬ即ｙ２＝－４ａ(ｘ－ａ).将直线ｌ与抛物线Ｃ的方程联立可得ｘ＋ｙ＋ｍ＝０ｙ２＝－４ａ(ｘ－ａ){消去ｙ可得:ｘ２＋(２ｍ＋４ａ)ｘ＋ｍ２－４ａ２＝０该方程判别式Δ＝(２ｍ＋４ａ)２－４(ｍ２－４ａ２)>０ꎬ解得:㊀ｍ<－２ａꎬ从而ｘ１＋ｘ２＝－２ｍ－４ａｘ１ｘ２＝ｍ２－４ａ２{由弦长公式可得｜ＡＢ｜＝２ (ｘ１＋ｘ２)２－４ｘ１ｘ２＝２３２ａ２＋１６ｍａＯ到ＡＢ的距离为ｄ＝ｍ２故әＡＯＢ的面积为ＳәＡＯＢ＝１２ ２ ３２ａ２＋１６ｍａ ｍ２＝８ａ２＋４ｍａ ｍ＝２ (－ａ)(－４ａ－２ｍ) ｍ ｍɤ２ (－ａ) (－４ａ３)３＝２６故ａ＝－３２当且仅当－４ａ－２ｍ＝ｍꎬ即ｍ＝２时(适合ｍ<－２ａ的要求)ＳәＡＯＢ的面积最大.因此抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝６(ｘ＋３２)ꎬ直线ｌ的方程为ｘ＋ｙ＋２＝０.解析几何中的最值问题的常用方法还有很多ꎬ希望各位同学能在遇到相关题目时注意总结ꎬ注意建立目标函数ꎬ准确地把握解析几何的相关定义和性质ꎬ从而利用函数的相关知识求解最值ꎬ提高学生的解题能力ꎬ让同学们学过的知识都能达到融会贯通的程度.㊀㊀参考文献:[１]姜坤崇.解析几何最值问题的解法[Ｊ].中学生数学(高中版)ꎬ２０１５(６):２５－２６.[２]蔡玉书.解析几何中的最值问题[Ｊ].中等数学ꎬ２０１５(０２):１７－２２.[责任编辑:李㊀璟]７１。

解析几何最值问题的解法上海市松江一中 陆珲解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。

由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：1、化为二次函数，求二次函数的最值；2、化为一元二次方程，利用△；3、利用不等式；4、利用函数的单调性和有界性；5、利用几何法。

在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。

同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。

例题1：如图已知P 点在圆22(4)1x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动，求||PQ 的最大值。

[分析：如图先让Q 点在椭圆上固定，显然PQ 通过圆心1O 时||PQ 最大，因此要||PQ 的最大值，只要求1||OQ 的最大值。

]解：设Q 点坐标(,)x y ，则2221||(4)OQ x y =+- ①，因Q 点在椭圆上，故2219x y += ②把②代入①得222211||9(1)(4)8()272O Q y y y =-+-=-++Q 点在椭圆上移动，11y ∴-≤≤ 12y ∴=-时，1min ||OQ =min ||1PQ ∴=说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。

但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。

例题2：如图，定长为3的线段AB 的两端在抛物线2y x =上移动，且线段中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

[分析：点M 到y 轴的最短距离，即求点M 横坐标的最小值。

] 解法一：化为一元二次方程，利用△设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y 则121221122222121222()()9x x x y y y y x y x x x y y ⎧+=⎪+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪-+-=⎩ ③④代入⑤，整理得221212()()19y y y y ⎡⎤-++=⎣⎦，即222121212(2)()19y y y y y y ⎡⎤+-++=⎣⎦ ⑥由①③④得2212122y y x x x +=+= ⑦21212()22y y y y x +-=②代入上式得212242y y y x =- ⑧②⑦⑧代入⑥并整理得4216(416)940y x y x +-+-= ⑨y R ∈ ，∴△2(416)64(94)0x x =---≥，即(45)(47)0x x -+≥① ② ③ ④ ⑤5470,4x x +>∴≥ ，将54x =代入⑨得2y =±所以AB 中点M 到y 轴的最短距离是54，相应的点M 的坐标为5(,42或5(,)42- 说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△计算。

解析几何中的距离和差的最值问题
徐满红
【期刊名称】《数理天地（高中版）》
【年(卷),期】2024()7
【摘要】解析几何中距离和差的最值问题是用几何的方法研究代数,数与形的有效结合,蕴含着丰富的数学思想方法.
【总页数】3页(P20-22)
【作者】徐满红
【作者单位】安徽省蚌埠市蚌埠第二中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.解析几何中求距离最值问题的方法与策略
2.同侧异侧互化巧解距离和差最值问题
3.异侧和最小同侧差最大——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察
4.解析几何中一类有关距离的最值问题
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关于最值——常见解析几何中的一些最值问题摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。

关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量引言：中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。

学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。

下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论：一、利用二次函数的知识求最值关于二次函数： y=ax 2+bx+c （a≠0），x ∈R当x=-ab 2时，y=a b ac 442-为最值。

当a>0时，有y min当a<0时，有y max但通常二次函数有相应的定义域，自变量x 的具体取值X 围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。

主要有两种情况：1、x ∈R ，当a>0，则有y min =ab ac 442- 当a<0，则有y max =ab ac 442- 2、当x 定义在闭区间，即x ∈[a ，b]（a,b 为常数），则应当看对称轴x=-ab 2 是否在此区间，如果x 在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x 不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。

当x 定义在一个含参数的闭区间即∈x [t, t+a]（t 为参数，a 为常数）时，需要对参数进行讨论。

例1.1 已知二次函数y=x 2-x 2sec α+αα2cos 22sin 2+（α为参数，cos α≠0） ①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。

②求抛物线y=x 2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。

分析：由于该二次函数y 的定义域为R ，所以这道题应归结于上述类别1。

解析几何中求距离最值问题的方法与策略作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2013年第10期关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题1. 同侧求差取最大，直接连接找交点.例1. 设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y 的值.分析：由题意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值 .又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值为|AB|= ，此时直线AB的方程为y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.2. 异侧求差取最大，找出对称直接连.例2. 在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析：由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值为|AB′|= ，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.3. 异侧求和取最小，直接连接找交点.例3. 求函数f（x）= + 的最小值.分析： f（x）= += + 表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=- x+ ，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.4. 同侧求和取最小，找出对称直接连.例4. 在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时|PM|+|PN|取得最小值？解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使|PM|+|PN|取得最小值.设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P. 又直线M′N的方程为y=- x+ ，即x+2y-3=0.由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.二、利用数形结合求距离的最值问题例5. 设m≥1，求坐标平面上两点A（m+ ，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦. 如果从轨迹图形入手，最简捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+ ，y=m- 可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，|AB|的最小值为1 .三、将两个动点转化为只有一个动点例6. 如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求|PQ|的最小值.分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难. 这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理. P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解析：设Q（y2，y），则|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等号当且仅当y=± .故|PQ|的最小值为 -1.四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题例7. 已知椭圆 + =1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右准线作垂线，垂足为N，则 = = .即|MN|=2|MF|.故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.显然当M，P，N共线时，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=±，因为x>0，所以M（，-1）.（作者单位：贵州省龙里中学）责任编校徐国坚。