河南省中考数学一轮复习课时训练：第四章 第四节 相似三角形

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形4（附答案）1．若两个圆的周长比为3:7，则它们的面积比为（ ）A ．3:7B ． 3:7C ．9:49D ．7:32．△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC 和△A ′B ′C ′的对应边AB 和A ′B ′的比为( )A ．3∶1B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶273．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ）D ．（D ）4．如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知△ABC 为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A 为顶点且与△ABC 相似（包括全等但不与△ABC 重合）的格点三角形最多能作的个数为（ ）A ．18B ．23C ．25D ．285．如图，已知123////l l l ，4DE =，6DF =，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC ：EF=1：1B ．BC ：AB=1：2 C ．AD ：CF=2：3 D ．BE ：CF=2：36．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB=4FB ，则EG 与GC 的关系是（ ）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC7．两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小三角形的周长为27cm，那么较大三角形的周长为（）A．30cm B．36cm C．45cm D．54cm8．在比例尺为1：38 000的城市交通地图上，某条道路的长为5 cm，则它的实际长度为( )A．0.19 km B．1.9 km C．19 km D．190 km9．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为()A．30°B．80°C．70°D．60°10．如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当14FHHG时，DE的长为（）A．2 B．125C．185D．411．如图，G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，交AB、AC，分别于D、E 两点,若△ADE的面积为5，则四边形BDEC的面积为__________．12．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_____．13．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA ，则称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=_____．14．已知x ：y=1：2，则（x+y ）：y=_____．15．如图，已知ABC ACD V V ∽，且相似比是2，已知AB 8=，则AD =________．16．如图，已知△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OA OA =12，若点A （﹣1，0），点C （12，1），则A′C′=_____．17．如图中两三角形相似，则x =________．18．已知a ：2=b ：3=c ：4，则a b c c++=_____． 19．如图，在正方形ABCD 中，AB=6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF=2，若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为 ．20．若0234a b c ==≠，则a b c+＝_____． 21．已知：如图，在Rt ABC V 中，90C o ∠=，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，且35AD AE =，连接DE ．若3AC =，5AB =，猜想DE 与AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论．22．如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm ，AB=4cm ，求AD 的长.23．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ．点C 在OP 上，且BC=PC ．(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若OA=3，AB=2，求BP 的长．24．如图，已知AO 为Rt △ABC 的角平分线，∠ACB=90°，43AC BC =，以O 为圆心，OC 为半径的圆分别交AO ，BC 于点D ，E ，连接ED 并延长交AC 于点F ．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan CAO的值。

2024河南中考数学复习全等、相似三角形的性质与判定强化精练基础题1.(2023长春)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是()A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D.两点之间线段最短第1题图2.(2023凉山州)如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是()第2题图A.∠A＝∠DB.∠AFB＝∠DECC.AB＝DCD.AF＝DE3.已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是()第3题图A.76°B.60°C.54°D.50°4.(2023重庆B卷)如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5第4题图5.(2023河北)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝30°，AB＝A′B′＝6，AC＝A′C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝()A.30°B.n°C.n°或180°－n°D.30°或150°图①∠B＝∠E；∠C不等于图②6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为()第6题图A.24B.18C.12D.87.(2023陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M，若BC＝6，则线段cm的长为()A.132B.7 C.152D.8第7题图8.[新考法——条件开放性试题]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，添加一个条件使△AOB≌△COD，则这个条件可以是________．(写出一个即可)第8题图9.(2023成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为________．第9题图10.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交DE于点G.若∠D＝28°，∠E＝115°，∠DAC＝50°，则∠DGB的度数为________．第10题图11.(2023江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝________m.第11题图12.(2022江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．第12题图13.(2023山东)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED ＝∠C.(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．第13题图拔高题14.(2023武汉)如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相交于G ，H 两点．若DG ＝m ，EH ＝n ，用含m ，n 的式子表示GH 的长是________．第14题图15.(2023温州)如图，已知矩形ABCD ，点E 在CB 延长线上，点F 在BC 延长线上，过点F 作FH ⊥EF 交ED 的延长线于点H ，连接AF 交EH 于点G ，GE ＝GH .(1)求证：BE ＝CF ；(2)当AB FH ＝56，AD ＝4时，求EF 的长．第15题图参考答案与解析1.A 【解析】∵O 为AA ′，BB ′的中点，∴OA ＝OA ′，OB ＝OB ′，由对顶角相等得∠AOB ＝∠A ′OB ′，在△AOB 和△A ′OB ′＝OA ′AOB ＝∠A ′OB ′＝OB ′，∴△AOB ≌△A ′OB ′(SAS)，∴AB ＝A ′B ′，即只要量出A ′B ′的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．2.D 【解析】∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∴当∠A ＝∠D 时，利用AAS 可得△ABF ≌△DCE ，故A 不符合题意；当∠AFB ＝∠DEC 时，利用ASA 可得△ABF ≌△DCE ，故B 不符合题意；当AB ＝DC 时，利用SAS 可得△ABF ≌△DCE ，故C 不符合题意；当AF ＝DE 时，无法证明△ABF ≌△DCE ，故D 符合题意．3.D 【解析】第一个三角形中b ，c 之间的夹角为180°－76°－54°＝50°，∠1是b ，c 之间的夹角．∵两个三角形全等，∴∠1＝50°.4.B 【解析】∵△ABC ∽△EDC ，∴AB ED ＝AC EC ＝23，∴当AB ＝6时，DE ＝9.5.C 【解析】如解图，当点C 在C 1的位置时，∠B ′C 1A ′＝∠C ＝n °，当点C 在C ′的位置时，∵AC ＝AC ′，核心A ′C ′＝A ′C 1，∴∠C ′＝∠1，∵∠B ′C 1A ′＝n °，∴∠1＝180－n °，∴∠C ′＝180－n °.第5题解图6.C 【解析】∵△ADC ≌△BDF ，∴AD ＝BD ＝4，∵DC ＝2，∴BC ＝BD ＋DC ＝4＋2＝6，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×4＝12.7.C 【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝12×6＝3，∴△DEF ∽△BMF ，∴DE BM ＝DF BF ＝2BF BF ＝2，∴BM ＝32，∴CM ＝BC ＋BM ＝152.8.OB ＝OD (答案不唯一)【解析】∵OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD ，OB ＝OD ，∴△AOB ≌△COD (SAS).9.3【解析】∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF ＝8，∵EC ＝5，∴CF ＝EF －EC ＝8－5＝3.10.87°【解析】∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠D ＝28°，∠ACB ＝∠E ＝115°，∴∠ACG ＝65°，∵∠DAC ＝50°，∴∠GFD ＝∠AFC ＝65°，∴∠DGF ＝180°－∠D －∠DFG ＝87°.11.6【解析】由题意得△ABD ∽△AQP ，∴BD QP ＝AB AQ ，20cm ＝0.2m ，40cm ＝0.4m ，∴0.2QP ＝0.412，∴PQ ＝6m.12.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，AC 为对角线，∴∠ACD ＝∠ACB .∵∠ACD ＝∠ABE ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠BAC ＝∠EAB ，∴△ABC ∽△AEB ；(2)解：由(1)知△ABC ∽△AEB ，∴AB AE ＝AC AB，∵AB ＝6，AC ＝4，∴6AE ＝46，∴AE ＝9.13.(1)证明：∵∠B ＝∠AED ，∴∠BEA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠CED ，∴∠BAE ＝∠CED ，在△BAE 和△CED 中，B ＝∠CBAE ＝∠CED ＝CD，∴△BAE ≌△CED (AAS)，∴EA ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)解：如解图，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，由(1)知EA ＝ED ，∵∠AED ＝∠C ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠AEF ＝∠DEF ＝30°，AD ＝DE ＝4，∴EF ＝DE ·cos 30°＝23，∴S △AED ＝12AD ·EF ＝12×4×23＝43.第13题解图14.m 2＋n 2【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE ＝S △FDE ，∠F ＝∠B ＝60°＝∠A ＝∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 四边形ACED ＝S △BDE ＝S △FDE ，∴S △FHG ＝S △ADG ＋S △CHE ，∵∠AGD ＝∠FGH ，∠CHE ＝∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ，△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG ＝(DG GH )2＝m 2GH 2，S △CHE S △FHG＝(EH GH )2＝n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG ＋S △CHE S △FHG ＝m 2＋n 2GH 2＝S △ADG ＋S △CHE S △FHG＝1，∴GH 2＝m 2＋n 2，解得GH ＝m 2＋n 2或GH ＝－m 2＋n 2(不合题意舍去).15.(1)证明：∵FH ⊥EF ，∴∠HFE ＝90°，∵GE ＝GH ，∴FG ＝12EH ＝GE ＝GH ，∴∠E ＝∠GFE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∴△ABF ≌△DCE (AAS)，∴BF ＝CE ，∴BF －BC ＝CE －BC ，即BE ＝CF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ⊥BC ，即DC ⊥EF ，AB ＝CD ，BC ＝AD ＝4，∵FH ⊥EF ，∴CD ∥FH ，∴△ECD ∽△EFH ，∴EC EF ＝CD FH，∴EC EF ＝AB FH ＝56，设BE ＝CF ＝x ，∴EC ＝x ＋4，EF ＝2x ＋4，∴x ＋42x ＋4＝56，解得x ＝1，∴EF ＝6.。

中考数学一轮复习基础训练（相似三角形）班级 姓名 学号 成绩一、选择题（每题4分，共28分）1.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A 1B 1C 1相似的是（ ）A ．BC ．D ．2.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上，DE △BC ，M 为BC 边上一点(不与点B 、C 重合)连接AM 交DE 于点N ，则 （ ） A .AE AN AN AD = B .CEMNMN BD = C .MC NE BM DN = D .BMNE MC DN =第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3.如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且△CAD =△B . 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A .2a B .2.5a C .3a D .3.5a4.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）A ．61B ．31C ．51D ．41 5.如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，点O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于 E ，则BE △EC =（ ）A . 1△2B . 1△3C . 1△4D . 2△36.如图， ABCD 中,点F 为BC 的中点,延长AD 至E ,使DE :AD =1:3,连接EF 交DC 于点G ,则S △DEG :S △CFG =（ ）A .2:3B .3:2C .9:4D .4:9第6题图 第7题图 第12题图 第13题图7.如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'=1,则A'D 等于（ ）A .2B .3C .4D .32 二、填空题（每空4分，共36分） N EAB C D M B A CD8.若23=+x y x ，则xy = ． 9.在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．10.在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （5，0），以点O 为位似中心，相似比为1:2，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为 .11.若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为 .12.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠ADE =∠ACB ，若AD =2，AB =6，AC =4，则AE 的长是 .13.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD =2，AB =3，DE =4，则BC 等于 .14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .第14题图 第15题图 第16题图15.如图，在一斜边长30cm 的直角三角形木板（即Rt △ACB ）中截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC =1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 .16.如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，AD △AB 且AD =AB =2，过点D 作DE △AD ，DE 交AC 于点E ．若DE =1，则△ABC 的面积为 .三、解答题（17至19题每题8分，20题12分，共36分）17.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O 、A 、B 、C 、D 在同一条直线上），测得AC =2m ，BD =2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．第17题图18.如图，△ABD =△BCD =90°，DB 平分△ADC ，过点B 作BM △CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：BD 2 =AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．第18题图19.如图，Rt△ABC 中，△ACB =90°，以AC 为直径的△O 交AB 于点D 过点D 作△O 的切线交BC 于点E ，连接OE .（1）求证：△DBE 是等腰三角形；（2）求证：△COE △△CA B.第19题图 20.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ABD ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF ．（1）如图1，若AD =BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ，求证：BD =2DO ．（2）已知点G 为AF 的中点．如图2，若AD =BD ，CE =2，求DG 的长．第20题图E B 图图2图1G F AB (E)CD E。

相似三角形(含位似)一、选择题1．(2019·青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2第1题图第2题图2．(2020·绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为（）A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm3．(2020·内江)如图，在△AB C中，D，E分别是AB和AC 的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20第3题图第4题图4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，DE∶AB＝2∶5，则DF∶BF等于（）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶25．(2020·遂宁)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF＝2FD ，则BE EG的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．23 D ．34第5题图 第6题图6．(2019·连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处7．(2020·重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF 的长度为（ ）A ． 5B ．2C ．4D ．2 58．(2020·牡丹江)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5第8题图第9题图9．(2020·潍坊)如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE AE ＝12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21 B．28 C．34 D．4210．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝1，CF＝3，则AB的长是（）A．6 B．72C．3 D．4第10题图第11题图11．(2020·福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1 B．12C．13D．1412．(2020·舟山)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标（）A．(－1，－1) B．(－43，－1)C．(－1，－43) D．(－2，－1)13．(北师九上P43T12改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为（）A．2 B．433 C．2 3 D．4 3 第13题图第14题图14．(北师九上P112T7改编)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE∶S△BDE＝1∶2，则S△ADE∶S△BEC＝（）A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．1∶915．(2019·绍兴)如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为（）A ．245B ．325C ．123417D ．203417二、填空题16．(2020·娄底)若b a ＝d c ＝12 (a≠c)，则b －d a －c＝ .17．(北师九上P108T4改编)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠CAB ＝∠CBD，若BC ＝3，则AC·CE ＝ ．18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为__ ．第18题图 第19题图19．(2020·盐城)如图，BC ∥DE ，且BC ＜DE ，AD ＝BC ＝4，AB ＋DE ＝10.则AE AC 的值为_ ．20．(2020·临沂)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△AOB 的位似△CDE，则位似中心的坐标为 .第21题图 第22题图22．(2019·青海)如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10 cm ，已知AC 与BC 之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm.23．(2020·乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F.则AF AC＝_ .三、解答题24．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度AB，但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同，小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB下的影长DF为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB下的影长EC为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高DM＝NE＝1.55米，网长MN＝61米，同时测得1步≈1米，求路灯的高度(结果保留一位小数).25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，3)，C(2，4).(1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在y轴的左侧画出△A2B2C2；(3)请直接写出∠ABC的正弦值．26．(2020·南京)如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，ADAB＝A′D′A′B′.(1)当CDC′D′＝ACA′C′＝ABA′B′时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．能力提升1．(2020·遵义)如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．182．(2020·无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB ＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积的最大值为_相似三角形(含位似)一、选择题1．(2019·青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为(B)A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2第1题图第2题图2．(2020·绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为(A)A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm3．(2020·内江)如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC 的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（ D ）A．30 B．25 C．22.5 D．20第3题图第4题图4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD ，且AE ，BD 交于点F ，DE ∶AB ＝2∶5，则DF ∶BF 等于(A)A ．2∶5B ．2∶3 C．3∶5 D．3∶25．(2020·遂宁)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF＝2FD ，则BE EG的值为(C) A ．12 B ．13 C ．23 D ．34第5题图 第6题图6．(2019·连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(B)A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处7．(2020·重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF 的长度为（ D ）A． 5 B．2 C．4 D．2 58．(2020·牡丹江)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为(B)A．2 B．3 C．4 D．5第8题图第9题图9．(2020·潍坊)如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE AE ＝12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为(C)A．21 B．28 C．34 D．4210．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝2，CF＝4，则AB的长是（ C ）A．6 B．72C．3 D．4第10题图第11题图11．(2020·福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（ D ）A．1 B．12C．13D．1412．(2020·舟山)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标(B)A．(－1，－1) B．(－43，－1)C．(－1，－43) D．(－2，－1)13．(北师九上P43T12改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为(B)A．2 B．433 C．2 3 D．4 3 第13题图第14题图14．(北师九上P112T7改编)如图，在△A BC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE∶S△BDE＝1∶2，则S△ADE∶S△BEC＝(B)A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．1∶915．(2019·绍兴)如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为(A)A ．245B ．325C ．123417D ．203417二、填空题16．(2020·娄底)若b a ＝d c ＝12 (a≠c)，则b －d a －c ＝__12__.17．(北师九上P108T4改编)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠CAB ＝∠CBD，若BC ＝3，则AC·CE＝__9__．18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为__9∶16__．第18题图 第19题图19．(2020·盐城)如图，BC ∥DE ，且BC ＜DE ，AD ＝BC ＝4，AB ＋DE ＝10.则AE AC 的值为__2__．20．(2020·临沂)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝__1__．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△AOB 的位似△CDE，则位似中心的坐标为__(2，2)__.第21题图 第22题图22．(2019·青海)如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10 cm ，已知AC 与BC 之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压__50__cm.23．(2020·乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F.则AF AC＝__35 __. 三、解答题24．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度AB ，但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同，小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高DM ＝NE ＝1.55米，网长MN ＝61米，同时测得1步≈1米，求路灯的高度(结果保留一位小数).解：设AB ＝x 米，BD ＝y 米，∵AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，EN⊥BC，∴DM ∥AB ∥NE ，∴△FDM ∽△FBA ，△CEN ∽△CBA ，∴DM AB ＝DF BF ，CE BC ＝NE AB， ∴1.55x ＝22＋y ，561＋5＋y ＝1.55x， 解得：x≈33.1，∴路灯的高度约为33.1米．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，3)，C(2，4).(1)请作出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 扩大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴的左侧画出△A 2B 2C 2；(3)请直接写出∠ABC 的正弦值．解：(1)如解图所示，△A 1B 1C 1即为所求；(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求； (3)76565； [解法提示]过点C 作CH⊥AB，垂足为点H ，S △ABC ＝12AB·CH ＝3×3－12 ×1×2－12 ×1×3－12 ×2×3＝72，∵AB ＝13 ，∴CH ＝71313，∵BC ＝ 5 ，故∠ABC 的正弦值为：sin ∠ABC ＝CH BC ＝76565. 26．(2020·南京)如图，在△ABC 和△A′B′C′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，AD AB ＝A′D′A′B′.(1)当CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝AB A′B′时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝BC B′C′时，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．解：(1)CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝AD A′D′，∠A ＝∠A′. (2)如解图，过点D ，D ′分别作DE∥BC，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于点E ，D ′E ′交A′C′于点E′.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ，同理A′D′A′B′＝D′E′B′C′ ＝A′E′A′C′ .又AD AB ＝A′D′A′B′， ∴DE BC ＝D′E′B′C′ ∴DE D′E′ ＝BC B′C′ ，同理AE AC ＝A′E′A′C′ ， ∴AC －AE AC ＝A′C′－A′E′A′C′ ，即EC AC ＝E′C′A′C′ ，∴EC E′C′＝ACA′C′.又CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′，∴CDC′D′＝DE D′E′＝ECE′C′，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′，又ACA′C′＝CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.能力提升1．(2020·遵义)如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．182．(2020·无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB ＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积的最大值为__83__．．。

2020初中数学中考一轮复习能力达标训练：相似三角形4（附答案）1．将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列,点A ，A 1，A 2，A 3，……A 2019和点M ，M 1，M 2……，M 2018是正方形的顶点,连接A 1M ，A 2M 1，A 3M 2，……A 2018分别交正方形的边A 1M ，A 2M 1，A 3M 2，……A 2018M 2017于点N 1，N 2，N 3……N 2018,四边形M 1N 1A 1A 2的面积是1S ,四边形M 2N 2A 2A 3的面积是2S ,…,则2018S 为（ ）A ．20182019B ．20184037C ．20194038D ．403740382．如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB ＝2，以EB 为边在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点N 、K ：则下列结论：①△ANH ≌△GNF ；②∠AFN ＝∠HFG ；③FN ＝2NK ；④AFN S ∆：ADM S ∆＝1：4．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，已知AD 是△ABC 的中线，AE=EF=FC ，下面给出三个关系式：①AD=2AG ；②GE ：BE=1：3；③CDF BDG S 2S 3=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③4．在平面直角坐标系中，点A(-6，2)，B(-4，-4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是( )A ．(-3.1)B ．(-12，4)C ．(-12，4)或(12，-4)D ．(-3.1)或(3，-1)5．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（ ）A ．1：3B ．1：9C ．1D ．3：16．如图，点E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点，连接DE 交BC 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BF AB CF BE = B ．DE AE DF CD =C ．CD DA BE BF = D ．CF EF DF BF = 7．下列说法正确的是（ ）A ．边数相同的两个正多边形相似B ．边数相同且对应角相等的两个多边形相似C ．边数相同且对应边成比例的两个多边形相似D ．边数相同、周长相等且对应角相等的两个多边形相似8．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）．A ．2:1B ．4:1CD ．9．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，于点F ，连接DF ，给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．如图，AB 为O 的直径，BC CD 、是O 的切线，切点分别为点B D 、，点E 为线段OB 上的一个动点，连接,,OD CE DE ，已知AB =2BC =，当C E D E +的值最小时，则CE DE的值为（ ）A ．910B ．23CD 11．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，如果AE ＝4，△ADE 的面积为5，四边形BCED 的面积为15，那么AB 的长为_____.12．点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若5BP =，则AP =__．13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的点，EF ⊥BE ，交边CD 于点F ，联结CE 、BF ，如果tan ∠ABE ＝34，那么CE ：BF ＝_____．14．如图，已知小明、小颖之间的距离为3.6m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.6m ，已知小明、小颖的身高分别为1.8m ，1.6m ，则路灯的高为______m.15．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．16．若83x y =，则x y y-＝_____． 17．如图线段AB ＝20cm ，若点P 是AB 的黄金分割点（PA>PB)，则线段PA 的长为________cm.（结果保留根号）18．如果D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的延长线上的点，且DE BC ∥，30AE =，20EC =，16AB =，则AD =______．19．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结EC 、BD 交于点F ，若AE ：ED ＝5：4记△DFE 的面积为S 1，△BCF 的面积为S 2，△DCF 的面积为S 3，则DF ：BF ＝_____，S 1：S 2：S 3＝_____．20．如图，四边形PQMN 是△ABC 内接正方形，BC ＝20cm ，高AD ＝12cm ，则内接正方形边长QM 为__________.21．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，6AB =，8BC =，点D 为AC 边上的一个动点，点D 从点A 出发，沿边AC 向C 运动，当运动到点C 时停止，设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当2t =时，求CD 的长；（2）求当t 为何值时，线段BD 最短？22．在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形（附答案）1．△ABC∽△A1B1C1，且相似比为23，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为54，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．56B．65C．56或65D．8152．如图，l1∥l2∥l3，若32ABBC，DF=6，则DE等于（）A．3 B．3.2 C．3.6 D．43．小明的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为( )A．3.2米B．4.8米C．5.4米D．5.6米4．如图，在平行四边形ABCD中，E在DC边上，若DE：EC＝1：2，则△CEF与△ABF 的面积比为（）A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．1：95．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（）A ．45B ．35C ．56D ．677．如图，∠ABD ＝∠BCD ＝900，AD ＝10，BD ＝6。

如果两个三角形相似，则CD 的长为A 、3.6B 、4.8C 、4.8或3.6D 、无法确定8．若ABC V 的各边都分别扩大到原来的2倍，得到111A B C V ，下列结论正确的是（ ） A ．ABC V 与111A B C V 的对应角不相等B ．ABC V 与111A B C V 不一定相似 C ．ABC V 与111A B C V 的相似比为1:2D ．ABC V 与111A B C V 的相似比为2:19．如图，已知点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中，不能判断△ABP ∽△ACB 的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AB 2=AP•ACD ．=10．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．=D ．=11．如图，已知点 A 在反比例函数k y x(x ＜0) 上，作 Rt △ABC ，点 D 是斜边 AC的中点，连DB 并延长交y 轴于点E，若△BCE 的面积为12，则k 的值为_____.12．已知线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＜BC，那么BC＝_____．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点（异于两个端点），AB＝2BC＝2，若BP的垂直平分线EF经过该矩形的一个顶点，则BP的垂直平分线EF与对角线AC 的夹角（锐角）的正切值为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且∠ADC＋∠B＝90°，DC＝3，BD＝6，则cosB＝．15．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为10m，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为1'，且已知月、地两球之间的距离为380000km，根据学过的数学知识，）你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：tan0.5'0.000145416．如图，△ABC中，AB＝AC＝4cm，点D在BA的延长线上，AE平分∠DAC，按下列步骤作图．步骤1：分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF，交BC于点G；步骤2：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AG于点I；步骤3：连接BI并延长，交AE于点Q．若，则线段AQ的长为_____cm．17．如图，在直角坐标系中，A，B为定点，A（2，﹣3），B（4，﹣3），定直线l∥AB，P是l上一动点，l到AB的距离为6，M，N分别为P A，PB的中点下列说法中：①线段MN的长始终为1；②△P AB的周长固定不变；③△PMN的面积固定不变；④若存在点Q使得四边形APBQ是平行四边形，则Q到MN所在直线的距离必为9．其中正确的说法是_____．18．若7x=3y，则xy=_____．19．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD＝3S△ABD，则AB：AC 等于_____．20．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．21．如图，在ABCV中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且12DCB EBC A ∠=∠=∠． ()1求证：BOD V ∽BAE V ；()2求证：BD CE =；()3若M 、N 分别是BE 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？22．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD =∠C ，AB =6，AC =9．（1）试说明：△ABD ∽△ACB ；（2）求线段CD 的长．23．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PA 、PB 、AB 、OP ，已知PB 是⊙O 的切线．(1)求证：∠PBA=∠C ；(2)若OP ∥BC ，且OP=9，⊙O 的半径为32，求BC 的长．24．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ．(1)如图①，求点E 的坐标(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B ，BE′.①设AA′＝m ，其中0<m<2，试用含m 的式子表示A′B 2＋BE′2，并求出使A′B 2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B ＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).25．如图，已知AC ，EC 分别为正方形ABCD 和正方形EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，连接BF ，∠CAE+∠CBE=90°．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE=1，AE=2，求CE 的长．26．如图,AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高.（1）尺规作图:作∠C 的平分线,交AB 于点E,交AD 于点F （不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母）;（2）在（1）的条件下,过F 画BC 的平行线交AC 于点H,线段FH 与线段CH 的数量关系如何?请予以证明;（3）在（2）的条件下,连结DE ､DH.求证:ED ⊥HD ．27．如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．过点O 作OE BC ⊥于点E ，连接DE 交OC 于点F ，过点F 作FG BC ⊥于点G ，则ABC V 与FGC V 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．28．如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE的值；（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，DEBE的值为．（直接填答案）参考答案1．A【解析】∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为210=315， △A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2 ，相似比为515=412 ， ∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为105=126， 故选A ．2．C【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得： 3,2AB DE BC EF == 设3,2,DE x EF x ==5 6.DF x ∴==解得： 1.2.x =3 3.6.DE x ∴==故选C.3．C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，设这棵树的高度为xm ， 则可列比例为：1.826x =， 解得，x=5.4．故选C ．【点睛】本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 4．C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD ＝AB ，∴△DFE ∽△BF A ．∵DE ：EC ＝1：2，∴EC ：DC ＝CE ：AB ＝2：3，∴△CEF 与△ABF 的面积比49=． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．5．D【解析】【分析】由已知条件求出△DEF 的面积，根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可得到答案．【详解】∵E 是边AD 的中点，∴DE 12=AD 12=BC ，∴12EF CF =，∴△DEF 的面积13=S △DEC ＝3。

第四章 三角形第四节 相似三角形考点巩固练习1. 已知b a ＝23，则a a ＋b的值为 ( ) A. 23 B. 25 C. 35D. 1 考点二 2. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为 ( )A. 1∶2B. 2∶1C. 1∶4D. 4∶1 考点四3. 如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 考点四4. 下列各组图形中，一定相似的是 ( )A. 两个矩形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个平行四边形 考点五5. (人教九下P 31习题第1题改编)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF考点三6. 如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为________. 考点四7. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一根旗杆的影长为25 m ，那么这根旗杆的高度为________m. 考点四8. (人教九下P 36习题第2题改编)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D .(1)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明；(2)如果AC ＝6，BC ＝8，求AD 的长. 考点四【答案】1. C 【解析】由b a ＝23，根据比例性质得b ＋a a ＝2＋33＝53，∴a b ＋a ＝35. 2. C 【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为1∶4.故选C.3. B 【解析】因为相似三角形的相似比就是相似三角形对应边的比，BC 的对应边为EF ，两个三角形的相似比为1∶2，所以BC ∶EF ＝1∶2，又因为BC ＝1，所以EF ＝2.4. C 【解析】A.两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；B.两个菱形，各角不一定对应相等，故本选项错误；C.两个正方形，各角对应相等，对应边成比例，符合相似多边形的定义，故本选项正确；D.两个平行四边形各角不一定对应相等，故本选项错误．5. A 【解析】如解图，已知AB ∥CD ∥EF ，则AD DF ＝BC CE ，A 选项正确，B 选项错误，CD EF=＝OD OF.∴C 、D 选项错误，故选A.6. 2 【解析】在△BCD 和△ACB 中，∵∠C ＝∠C (公共角)，∠DBC ＝∠A (已知),∴△BCD ∽△ACB ，∴BC CD ＝AC BC，∵BC ＝6，AC ＝3，∴CD ＝2. 7. 15 【解析】本题考查相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长成正比例计算即可得解．设旗杆高度为x m ，由题意得，1.83＝x 25，解得x ＝15.8. 解：(1)三对相似的三角形是：△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.证明：∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD,又∵∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△ABC.(2)∵在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，又∵由(1)证得△ACD∽△ABC，∴ADAC＝ACAB，即AD＝AC2AB＝6210＝3.6。

专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .参考答案1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DE B ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC.即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BO E ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ，所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠A DB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE.∴∠BEP ＝∠BFD.又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP BD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE.∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF.设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQQD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC DAF ＝∠G ，ADF ＝∠CDG ，＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，(第4题①)∴∠FCD ＝∠B.又∵∠D 为公共角，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD.∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠MCF.又∵∠AME ＝∠CM F ，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD，∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC.又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM.∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD ＝2.∴BC ＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD.∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD.由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M.∵CM ∥AB ，∴∠FCM ＝∠B ，∠FMC ＝∠FDB.∴△CMF ∽△BDF.∴BF CF ＝BD CM.又∵CM ∥AD ，∴∠A ＝∠ECM ，∠ADE ＝∠CME.∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD CM.∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC.即AE·CF ＝BF·EC.2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG.∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF.即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD.4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°.∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM.∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.即∠EAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA.∴AM MD ＝ME AM.即AM 2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM ，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴BP CN ＝BM CP.即BP·CP ＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠EDB ＝180°，∠ACB ＋∠FED ＝180°.∴∠FED ＝∠EDB.又∵∠EDF ＝∠DBE ，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EF DE.即DE 2＝DB·EF.又由△DEF ∽△BDE ，得∠GED ＝∠EFD.∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF.∴DG DE ＝DE DF.即DE 2＝DG·DF.∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠AB G ＝90°.∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴AE DE ＝PE BE.即AE·BE ＝PE·DE.又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC CEB.∴AE CE ＝CE BE.即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE.∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB ＝BF BE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA.∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC ＝BD AB.∴BF BE ＝AB BC.9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC.10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB ＝AE AD.即AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC.∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC .11．证明：连接PC ，如图所示．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线，∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA.即PA 2＝PB·PC.∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE //AB ，∴32CE CD AE BD ==∴CE CA 的值为35．故答案为A ．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即932AE =，∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选C ．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、若AB AC AD AE =，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项A 不符合题意；B 、若AB BC AD DE =，且∠DAE=∠BAC ，无法判定△ABC ∽△ADE ，故选项B 符合题意；C 、若∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项C 不符合题意；D 、若∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE=.∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴()906012045AB m ⨯==故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，//,//AB DE AC DF∴12OA OB OD OE ==12AC OA DF OD ∴==∴△ABC 与△DEF 的相似比为：1∶2∴△ABC 与△DEF 的面积比为：1∶4故选C ．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD =，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵∥DE BC ，∴ADE B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABC ADE ∽，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴13ADE ABC C C ∆∆=：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ，AEC △∽FEB ，AEC △∽FDC △，可求解．【详解】解：A A ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽ADB ，ACE ABD ∴∠=∠，又90AEC BEC ∠=∠=︒ ，AEC ∴ ∽FEB ，ACE ACE ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽FDC △，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE 为△ABC 的中位线，那么DE ∥BC ，DE ：BC =1：2．∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1：2，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC AD BC AB=，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BC BD AB=，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为：:8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴AEB ADC ∠=∠，ABE ACD ∠=∠，又∵A A ∠=∠，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BE CD，∵BE ＝1.5m ，AB ＝3m ，AC ＝10m ，∴3 1.510CD=，解得，5CD =，即建筑物CD 的高是5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】ADE B∠=∠【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B ∠=∠，A A∠=∠ ABC ADE∴ ～故答案为：ADE B ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即23 AD AEAB EC==，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD ∥BF ，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，∴DE DF AE BF =，△DEF ∽△DAB ，∴EF DF AB DB=，∵AB =AD =CD ，∴EF DF AD DB =，EF DF CD DB=，∴选项A 、B 、D 正确；选项C 错误；故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形，可得∠A =∠B =60°，△AFD ∽△BFG ，即可求出FG =7，而AD =10，DF =14，BF =8，可得AB =32=AC ，故CG =AC -AF -FG =9．【详解】解： 三角形ABC 是正三角形，60A B ∴∠=∠=︒，AFD BFG ∠=∠ ，AFD BFG ∴∆∆∽，∴DF AF FG BF =，即14168FG =，7FG ∴=，10AD = ，14DF =，8BF =，32AB ∴=，32AC ∴=，321679CG AC AF FG ∴=--=--=；故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明AFD BFG ∆∆∽，从而求出FG 的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，90AOB ∠=︒Q ，90AOC BOD ∴∠+∠=︒，B AOC ∴∠=∠，ACO ∴ ∽ODB △，AC CO OD DB∴=，又A 的坐标是()2,1-，点B 的横坐标是2，∴AC ＝1，CO ＝2，OD ＝2，122DB∴=，即4DB =，∴:B 的纵坐标是4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．4．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =【答案】D【分析】根据DF BE ∥，DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【详解】解：DF BE ∥，AD AF BD EF∴=，故A 选项比例式正确，不符合题意；DF BE ∥，ADF ABE ∴△∽△，DF AF EB AE∴=，故B 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，AD AE AB AC∴=，故C 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，DE AF BC FEAF AC =≠∴故D 选项比例式不正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m ，同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ，然后加上墙上的影长CD 即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为m x ，由题意得，140.5x =，解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ，∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∆∆∽和ADE FBE ∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：AD BC ，ADG FCG ∴∆∆∽，2AD AG CF GF∴==，∴ADG ∆与CFG ∆的面积之比4:1，AD BC ，ADE FBE ∴∆∆∽，25AD AE BF EF ∴==，令GF a =，则2AG a =，设,2AE x EG a x ==-，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==，:3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．【答案】(1)12(2)CH =【分析】（1）由正方形的性质得出AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，证出ADK FGK V :V ，得出比例式求出3342GK DG ==，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出AM =4，FM =2，∠AMF =90°，根据正方形性质求出∠ACF =90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF =，根据勾股定理求出AF ，即可得出结果．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK V :V ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan 32GK GFK FG ∠===；（2）解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，∴AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，如图所示：则AM =BC +CE =1+3=4，FM =EF-AB =3-1=2，∠AMF =90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD =∠GCF =45°，∴∠ACF =90°，∵H 为AF 的中点，∴12CH AF =，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：22224225AF AM FM =+=+=，∴152CH AF ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．【答案】(1)见解析937【分析】（1）由相似可得FAB BCE ∠∠=，再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ∠∠==︒，，从而可求得180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，则有FAD BAC ∠∠=，即可求得FAD ∠的度数；（2）结合（1）可求得73AE =，再由相似的性质求得33AF =tan FEA ∠的值．（1）ABF ∽CEB ，FAB BCE ∠∠∴=，四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC DAB ABC ∠=∠=︒∥，，DAC ACB ∴∠=∠，180BCE ACB ∠∠+=︒ ，180FAB DAC ∠∠∴+=︒，即180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，90180FAD DAC ∠∠∴+︒+=︒，90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒ ，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC中，tan 3BC BAC AB ∠== ，30BAC ∴∠=︒，30FAD ∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC ∠∠=︒=︒，，2212AC BC ∴==⨯=，17233AE AC CE ∴=+=+=，ABF ∽CEB ，AF AB BC CE∴=，即113AF =，∴=AF 由（1）得：90FAD DAC ∠∠+=︒，则90FAE ∠=︒，在Rt FAE中，tan 3AF FEA AE ∠==【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ∠∠=．。

第四节　相似三角形(含相似多边形)A 组　基础题组一、选择题1.(2017重庆A 卷)若△ABC ∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( ) A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶92.(2018河南许昌一模)如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在BA 的延长线上,点F 在BC 的延长线上,连接EF,分别交AD,CD 于点G,H,则下列结论错误的是( )A.=B.=EA BE EG EFEG GH AG GD C.= D.=AB AE BC CF FH EH CF AD 3.(2018浙江杭州)如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,DE ∥BC,与边AC 交于点E,连接BE.记△ADE,△BCE 的面积分别为S 1,S 2( )A.若2AD>AB,则3S 1>2S 2B.若2AD>AB,则3S 1<2S 2C.若2AD<AB,则3S 1>2S 2D.若2AD<AB,则3S 1<2S 24.(2018河南周口一模)如图,△ABC 中,AD 是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC 的长为( )A.4B.42C.6D.435.(2017河南郑州一模)如图,点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上,射线CF 交DA 的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF 相似的三角形有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.(2017山东东营)如图,把△ABC 沿BC 方向平移到△DEF 的位置,它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半,若BC=,则△ABC 移动的距离是( )3A. B.3233C. D.-623627.(2016四川达州)如图,在△ABC 中,BF 平分∠ABC,AF ⊥BF 于点F,D 为AB 的中点,连接DF 并延长交AC 于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF 的长为( )A.2B.3C.4D.58.(2016四川南充)如图,正五边形的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M,N.给出下列结论:①∠AME=108°;②AN 2=AM·AD;③MN=3-;④S △EBC =2-1.其中正确结论的个55数是( )A.1B.2C.3D.49.(2018重庆B 卷)制作一块3 m×2 m 长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )A.360元B.720元C.1 080元D.2 160元二、填空题10.(2017河南开封一模)如图,在△ABC 中,=,DE ∥AC,则DE ∶AC= . BC EC 8311.(2017山东潍坊)如图,在△ABC 中,AB≠AC,D 、E 分别为边AB 、AC 上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F 为BC 边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)12.(2017广东深圳)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt △MPN 中,∠MPN=90°,点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F,当PE=2PF 时,AP= .三、解答题13.(2017浙江杭州)如图,在锐角三角形ABC 中,点D,E 分别在边AC,AB上,AG ⊥BC 于点G,AF ⊥DE 于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE ∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.AF AGB组　提升题组解答题1.(2016湖北武汉)在△ABC中,P为边AB上一点.(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;(2)若M为CP的中点,AC=2.①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.图1图2图32.(2016浙江宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;2(3)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.3.(2017湖南岳阳)问题背景:已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上(不与A,B重合),DE交AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N,记△ADM的面积为S1,△BND的面积为S2.(1)初步尝试:如图1,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2时,则S1S2= ;(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置,求S1S2的值;(3)延伸拓展:当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.(i)如图3,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1S2的表达式(结果用a,b和α的三角函数表示);(ii)如图4,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1S2的表达式,不必写出解答过程.答案精解精析A 组　基础题组一、选择题1.A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.2.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BF,BE ∥DC,AD=BC,∴=,=,==,EA BE EG EF EG GH AG GD HF EH FC BC CF AD 故选C.3.D 由平行线分线段成比例知=,AE EC AD DB 当AD=BD 时,AE=EC,则DE 为△ABC 的中位线,此时=,即3S 1=S 四边形BDEC ,S △ADE S 四边形BDEC 13∵DE 为△ABC 的中位线,∴E 为AC 的中点,易得S △BEC =S △BAE ,∴2S 2=S △ABC ,∴2S 2>3S 1.∴当2AD<AB 时,AE<CE,S 1变小,S 2变大,一定有2S 2>3S 1;当2AD>AB 时,AE>CE,S 1变大,S 2变小,不能确定2S 2<3S 1,故选D.4.B ∵AD 是中线,BC=8,∴CD=BC=4.12在△CBA 和△CAD 中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA ∽△CAD,∴=,AC BC CD AC 即=,AC 84AC ∴AC 2=4×8=32,∴AC=4.故选B.25.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,AB ∥DC,∴△AEF ∽△BCF,△AEF ∽△DEC,∴与△AEF 相似的三角形有2个,故选C.6.D ∵△ABC 沿BC 方向平移到△DEF 的位置,∴AB ∥DE,∴△ABC ∽△HEC.∴==.S △HEC S △ABC (EC BC)212∴EC ∶BC=1∶,2∵BC=,∴EC=,362∴BE=BC-EC=-.故选D.367.B ∵AF ⊥BF,∴∠AFB=90°,∵AB=10,D 为AB 的中点,∴DF=AB=AD=BD=5.12∴∠ABF=∠BFD.又∵BF 平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∴∠CBF=∠DFB,∴DE ∥BC,∴△ADE ∽△ABC,∴=,即=,DE BC AD AB DE 16510解得DE=8.∴EF=DE-DF=3,故选B.8.C 如图,∵五边形ABCDE 是正五边形,∴AB=EA=DE,∠EAB=∠DEA=108°,∴△EAB ≌△DEA,∴∠2=∠5,∵∠AME=∠MED+∠5,∴∠AME=∠MED+∠2=∠DEA=108°,故①正确;易得∠1=∠2=∠4=∠5=36°,∴∠3=36°,∴∠6=∠AEN=72°,∴AE=AN,∵∠1=∠1,∠AME=∠AED=108°,∴△AEM ∽△ADE,∴=,∴AE 2=AM·AD,AE AD AM AE ∴AN 2=AM·AD,故②正确;设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由②得22=x(x+2),解得x 1=-1,x 2=--1(不符合题意,舍去),∴AD=-1+2=+1,5555∴MN=AN-AM=3-,故③正确;5作EH ⊥BC 于点H,则BH=BC=1,EB=AD=+1,125∴EH==,BE 2-B H 25+25∴S △EBC =BC·EH=×2×=,故④错误.故选C.12125+255+259.C ∵3 m×2 m=6 m 2,∴长方形广告牌的成本单价是120÷6=20元/m 2.又由题意可知扩大后的长方形广告牌与原广告牌是相似图形且四边都扩大为原来的3倍,∴扩大后长方形广告牌的成本是6×32×20=1 080元.故选C.二、填空题10.答案　5∶8解析　在△ABC 中,DE ∥AC,∴△BDE ∽△BAC,∴=.BE BC DEAC ∵=,∴=,∴=.BC EC 83BE BC 58DE AC 5811.答案　∠A=∠BDF ∠A=∠BFD 或∠ADE=∠BFD 或∠ADE=∠BDF 或DF ∥AC 或=或=BD AE BF ED BD DE BF AE解析　∵AC=3AD,AB=3AE,∴==,又AD AC AE AB 13∵∠A=∠A,∴△ADE ∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB 与△ADE 相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可.12.答案　3解析　如图,作PQ ⊥AB 于Q,PR ⊥BC 于R.∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°,∴四边形PQBR 是矩形,∴∠QPR=90°=∠MPN.∴∠QPE=∠RPF.∴△QPE ∽△RPF.∴==2.∴PQ=2PR=2BQ.PQ PR PE PF ∵PQ ∥BC,∴AQ ∶QP ∶AP=AB ∶BC ∶AC=3∶4∶5.设PQ=4x(x>0),则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,∴2x+3x=3,∴x=,∴AP=5x=3.故答案为353.三、解答题13.解析　(1)证明:因为AF ⊥DE,AG ⊥BC,所以∠AFE=90°,∠AGC=90°,所以∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC,又因为∠EAF=∠GAC,所以∠AEF=∠C,又因为∠DAE=∠BAC,所以△ADE ∽△ABC.(2)因为△ADE ∽△ABC,所以∠ADE=∠B,又因为∠AFD=∠AGB=90°,所以△AFD ∽△AGB,所以=,AF AG AD AB 又因为AD=3,AB=5,所以=.AF AG 35B 组　提升题组解答题1.解析　(1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP ∽△ABC.∴=,∴AC 2=AP·AB.AC AP AB AC (2)①延长PB 至点D,使BD=PB,连接CD.∵M 为CP 中点,∴CD ∥MB.∴∠D=∠PBM,∵∠PBM=∠ACP,∴∠D=∠PBM=∠ACP.∴△ACP ∽△ADC,∴AC 2=AP·AD.设BP=x,则22=(3-x)(3+x).解得x=(舍去负根),即BP=.552.解析　(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC 不是等腰三角形,∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°.12∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD 为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD ∽△BAC.∴CD 是△ABC 的完美分割线.(2)当AD=CD 时(如图1),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC 时(如图2),∠ACD=∠ADC==66°.180°-48°2∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD 时(如图3),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ADC=∠BCD,其与∠ADC>∠BCD 矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由题意知AC=AD=2,∵△BCD ∽△BAC,∴=,BC BA BD BC 设BD=x,∴()2=x·(x+2),2解得x=-1±,3∵x>0,∴x=-1.3∵△BCD ∽△BAC,∴==,CD AC BD BC 3-12∴CD=×2=×(-1)=-.3-1223623.解析　(1)12.∵△ABC 是等边三角形,∴AB=CB=AC=6,∠A=∠B=60°.∵DE ∥BC,∠EDF=∠A=60°,∴∠BND=∠EDF=60°.∴∠BDN=∠ADM=60°.∴△ADM,△BDN 都是等边三角形,∴S 1=×22=,S 2=×42=4.3333∴S 1S 2=12.(2)设AM=x,BN=y.∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD,∠MDN=∠A,∴∠AMD=∠NDB.∵∠A=∠B,∴△AMD ∽△BDN.∴=.AM BD AD BN ∴=.∴xy=8.x 24y ∵S 1=AD·AMsin 60°=x,S 2=DB·BNsin 60°=y,∴S 1S 2=x·y=xy=12.1231233332(3)(i)设AM=x,BN=y.易证△AMD ∽△BDN,可得xy=ab.∵S 1=AD·AMsin α=axsin α,1212S 2=DB·BNsin α=bysin α,1212∴S 1S 2=(ab)2sin 2α.14(ii)S 1S 2=(ab)2sin 2α.14。

相似三角形基础练1. 如果两个相似三角形对应边的比为4∶5, 那么它们对应中线的比是( )A. 1∶5B. 2∶5C. 4∶5D. 16∶252. (2020铜仁)已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )A. 3B. 2C. 4D. 53. (2020天水)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是( )A. 17.5 mB. 17 mC. 16.5 mD. 18 m4. (2020成都)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 10 35. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，若AD＝1，BD＝AC＝3，则CE的长是( )A. 1B. 32C.53D. 26. 如图，在▱ABCD中，F为BC中点，延长AD至点E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF 交DC于点G.则S△DEG∶S△CFG等于( )A. 4∶9B. 2∶3C. 9∶4D. 3∶2第6题图7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有( )第7题图A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对8. 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似( )A. 2 cm，3 cmB. 4 cm，5 cmC. 5 cm，6 cmD. 6 cm，7 cm9. 已知x2＝y3＝z4，则x＋zy＝________．10. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．11. (2020盐城)如图，BC∥DE，且BC<DE. AD＝BC＝4，AB＋DE＝10，则AEAC的值为________．第11题图12. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为1 cm和2 cm，如果它们的面积之和是50 cm2，则较大的五边形的面积是________cm2.13. (2020商丘模拟)如图，EF∥BC，若AE∶EB＝2∶1，EM＝1，MF＝2，则BN∶NC＝________．第13题图14. 如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________米.第14题图15. (2020苏州)如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F. (1)求证：△ABE ∽△DFA ；(2)若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长.第15题图提升练16. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是边BC 上一点，BE ＝52，∠AED＝∠B ，则CE 的长为( )A. 152B. 223C. 365D. 649第16题图17. (2020遂宁)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为( )A. 12B. 13C. 23D. 3418. 在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．19. 如图，在等边△ABC 的 AC ，BC 边上各取一点 P ，Q ，使AP ＝CQ ，AQ ，BP 相交于点 O ．若 BO ＝6，PO ＝2.(1)∠BOQ ＝__________； (2)AO 的长为________．20. 如图①、图②，已知在△ABC 和△CDE 中，AC ＝6，CD ＝9，固定△CDE ，将△ABC 绕点C 旋转的过程中发现：(1)如图①，若△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CE ＝CD ，线段AD 与BE 之间的数量关系是______________，其中线段BE 的最大值为________；(2)如图②，若△ABC 和△CDE 是直角三角形，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠CDE ＝∠CAB ＝30°，判断线段AD 与BE 之间的数量关系，说明理由，并求出线段BE 的最大值；(3)如图③，已知在Rt △DBC 中， ∠DBC ＝90°，CD ＝9，以BC 为直角边向外作等腰Rt △ABC ，连接AD ，请直接写出线段AD 的最大值．第20题图参考答案1. C2. A 【解析】根据相似三角形的性质可得，FH ∶EA ＝30∶15.又∵FH ＝6，∴EA ＝3. 3. A 【解析】由题意易得BE ∥CD ，∴BECD ＝ABAC ，即1.5CD ＝ 1.21.2＋12.8，解得CD ＝17.5 m.4. D 【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，又∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，∴56＝DE4，解得DE＝ 103.5. C 【解析】∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC ，∴AEAB ＝ADAC ，∵AD ＝1，BD ＝AC ＝3，∴AB ＝1＋3＝4，∴AE 4＝13，∴AE ＝43，∴CE ＝3－43＝53. 6. A 【解析】设DE ＝x ，则AD ＝3x ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ＝3x ，∵点F 为BC 的中点，∴CF ＝3x 2，∵DE ∥BC ，∴△DEG ∽△CFG ，∴S △DEG S △CFG ＝(DE CF )2＝(x 3x 2)2＝49.7. C 【解析】∵∠B ＝∠ACD ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠DCB ，∵∠B ＝∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD.∴图中相似三角形共有4对．8. C 【解析】设△DEF 的另两边为x cm ，y cm ，若△DEF 中为4 cm 边长的对应边为6 cm ，则46＝x 7.5＝y 9，解得x ＝5，y ＝6；若△DEF 中为4 cm 边长的对应边为7.5 cm ，则47.5＝x 6＝y9，解得x ＝3.2，y ＝4.8；若△DEF 中为4 cm 边长的对应边为9 cm ，则49＝x 6＝y7.5，解得x ＝83，y ＝103.9. 2 【解析】设x 2＝y 3＝z4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴x ＋z y ＝2k ＋4k3k ＝2.10. 5－1 【解析】∵C 为线段AB 上的黄金分割点，AC ＞BC ，∴AC ＝5－12AB ＝5－1.11. 2 【解析】∵BC ∥DE ，∴∠EDB ＝∠CBA ，DEA ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝ADAB ＝AEAC . ∵AB ＋DE ＝10，∴AB ＝10－DE ，∵AD ＝BC ＝4，∴DE 4＝410－DE ，解得DE ＝2或DE ＝8，∵BC ＜DE ，∴DE ＝8，∴AEAC ＝DE BC ＝84＝2.12. 40 【解析】设较大五边形与较小五边形的面积分别是m ，n ，则nm ＝(12)2＝14，∴n＝14m ，根据面积之和是50 cm 2，得m ＋14m ＝50，解得m ＝40 cm 2.13. 1∶2 【解析】∵AE ∶EB ＝2∶1，∴AE ∶AB ＝2∶3，∵EF ∥BC ，∴AEAB ＝EMBN ＝AMAN ＝MFNC ，即23＝1BN ＝2NC，∴BN ＝1.5，NC ＝3，∴BN ∶NC ＝1∶2. 14. 6 【解析】如解图，由题意得DF ＝3，EF ＝12，DC ⊥CE ，CF ⊥DE ，∴∠DFC ＝∠CFE ＝90°，∠D ＋∠DCF ＝90°，∠DCF ＋∠FCE ＝90°，∴∠D ＝∠FCE. 又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴CF EF ＝DF CF ，∴CF 12＝3CF ，∴CF ＝6(舍去负值).第14题解图15. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°， ∴∠DAF ＝∠AEB ， ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°， ∴△ABE ∽△DFA ；(2)解：∵E 是BC 的中点，BC ＝4， ∴BE ＝2， 在Rt △ABE 中， ∵AB ＝6， ∴AE ＝AB 2＋BE 2＝62＋22＝210，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝4. ∵△ABE ∽△DFA ，∴AB DF ＝AE DA ，即6DF ＝2104，∴DF ＝6105. 16. C 【解析】∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED ＋∠DEC ＝∠B ＋∠BAE ，∠AED ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴BA CE ＝BE CD ，∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE ＝52，∴6CE ＝523，∴CE ＝365. 17. C 【解析】∵AF ＝2DF ，∴设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ，∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ，∴CD ＝AB ＝AF ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD ＋DG ＝3k ，∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ，∴BEEG ＝ABCG ＝2k 3k ＝23.18. 53或125 【解析】如解图①，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AB ＝AE AC 时，△ADE ∽△ABC ，∴26＝AE5，解得AE ＝53；如解图②，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AC ＝AE AB 时，△ADE ∽△ACB ，∴25＝AE 6，解得AE ＝125.综上所述，当AE 为53或125时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．图①图②第18题解图19. (1)60°；(2)1＋13 【解析】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAP ＝∠ACQ ＝∠ABQ ，AB ＝AC ＝BC.在△ABP 和△CAQ 中，AB ＝CA ，∠BAP ＝∠ACQ ，AP ＝CQ ，∴△ABP ≌△CAQ (SAS)，∴∠ABP ＝∠CAQ ，∵∠BAC ＝∠BAQ ＋∠CAQ ＝60°，∴∠BAQ ＋∠ABP ＝∠BOQ ＝60°；(2)如解图，过点B 作BE ⊥OQ 于点E ，∴∠OBE ＝30°，∵OB ＝6，∴OE ＝3，BE ＝33，设OA ＝x ，∵∠APO ＝∠BPA ，∴△APO ∽△BPA ，∴OP AP＝AP BP＝AO BA，∴AP 2＝OP ·BP ，∵BO ＝6，PO ＝2，∴AP 2＝2×(6＋2)＝16，∴AP ＝4(负值已舍)．∵AO BA ＝OP AP ＝24，∴AB ＝2x ，在Rt △ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2，∴(x ＋3)2＋(33)2＝(2x)2，解得x ＝1±13(负值舍去)，∴AO ＝1＋13.第19题解图20. 解：(1)AD ＝BE ，15；【解法提示】∵∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴AD ＝BE ；∵将△ABC 绕点C 旋转的过程中，BE ≤BC ＋CE ，且BC ＝AC ＝6，CE ＝CD ＝9，∴BE ≤6＋9＝15，即当点B 、C 、E 共线时，BE 的值最大，最大值为15. (2)AD ＝3BE ，BE 的最大值为53. 理由：∵△ABC 和△CDE 都是直角三角形，∠CDE ＝∠CAB ＝30°， ∴tan ∠ABC ＝tan ∠DEC ＝tan60°＝ 3.∴AC ∶CB ＝3，CD ∶CE ＝3，∴AC ∶CB ＝CD ∶CE. ∵∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠BCE ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴AD ∶BE ＝ AC ∶BC ＝3，∴AD ＝3BE.∵AC ＝6，CD ＝9，∴当点A 在DC 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为AC ＋CD ＝6＋9＝15， ∴当点B 在EC 的延长线上时，线段BE 的最大值为53；(3)线段AD 的最大值为92＋952.【解法提示】如解图，以CD为边在CD下方作CE⊥CD，且CD＝CE，连接ED，BE，∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴AC＝CB，CD＝CE, ∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD＝BE，设点F是CD的中点，连接BF，EF，∵在△BFE中，BF＋FE≥BE，∴当点B、F、E共线时BE最大，BE的最大值为BF＋FE，由题意可知BF是Rt△DBC斜边CD上的中线，∴BF＝92，∵EF是等腰Rt△DEC中DC边上的中线，∴EF＝（92）2＋92＝952，∴线段AD的最大值为92＋952.第20题解图。

第四节相似三角形(含相似多边形)A组基础题组一、选择题1.(2019山东枣庄)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'=1,则A'D等于()A.2B.3C.4D.2.(2019四川乐山)如图,在边长为的菱形ABCD中,∠B=30°,过点A作AE⊥BC 于点E,现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G.则CG 等于()A.-1B.1C.D.3.(2019四川凉山州)如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD 的中点,连接AO并延长交BC于点E,则BE∶EC=()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶34.(2019重庆B卷)下列命题是真命题的是()A.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为2∶3B.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9C.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为2∶3D.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为4∶95.(2019四川南充)已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则=()A.2B.C.3D.6.(2019甘肃武威)如图,将图形用放大镜放大,应该属于()A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换7.(2019眉山)如图,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则点C的坐标是()A. B. C.(0,1) D.(0,2)8.(2019广东广州)如图,在▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是()A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍9.(2019贵州黔东南州)如图,在一斜边长30 cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF∶AC=1∶3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为()A.200 cm2B.170 cm2C.150 cm2D.100 cm2二、填空题10.(2019四川凉山州)在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,与AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF=.三、解答题11.(2018江西)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.12.(2019台州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP=FD.(1)求的值;(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM=EB,连接MF,求证:MF=PF;(3)如图2,过点E作EN⊥CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ,BN.将△AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上,并说明理由.13.(2019衢州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连接BM 并延长分别交DE,AC于点F,G.(1)求CD的长;(2)若点M是线段AD的中点,求的值;(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?B组提升题组1.(2019眉山)如图,在菱形ABCD中,已知AB=4, ABC=60°,∠EAF=60°,点E在CB 的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF; ∠EAB=∠CEF; △ABE∽△EFC;④若∠BAE=15°,则点F到BC的距离为2-2.则其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.42.(2019广东)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至点E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于点M,连接AM,AF,点H为AD的中点,连接FH分别与AB,AM交于点N,K,则下列结论:①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S△AFN∶S△ADM=1∶4.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案精解精析A组基础题组一、选择题1.B如图,由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为k, ∵S△ABC=16,S△A'MN=9,∴k2=16∶9,∴k=4∶3.∵AD和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD∶A'D=k=4∶3.∵AD=AA'+A'D,∴AA'∶A'D=1∶3.∵AA'=1,∴A'D=3,故选B.2.A∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.∵菱形ABCD的边长为,∠B=30°,∴AE=AB=,BE=EF=-=1.5,BF=3,CF=BF-BC=3-,∵AD∥CF,∴△AGD∽△FGC,,∴=,∴-=-解得CG=-1,故选A.3.B如图,过点D作DF∥AE,则==1,==,∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2,∴BE∶EC=1∶3.故选B.4.B如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比,面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9;面积比是相似比的平方,即16∶81.故选B.5.B∵△ABC∽△A'B'C',∴===.故选B.6.B由相似图形的定义,得用放大镜将图形放大,图形的形状相同,大小不相同,所以属于相似变换,故选B.7.B如图,延长AC交x轴于点D.设C(0,c),由反射定律可知,∠1=∠OCB,∴∠OCB=∠OCD.∵CO⊥DB于点O,∴∠COD=∠BOC,∴在△COD和△COB中,∴△COD≌△COB(ASA),∴OD=OB=1,∴D(-1,0).设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0),则将点A(4,4),点D(-1,0)代入得解得∴直线AD的解析式为y=x+,∴点C坐标为.故选B.8.B∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,在▱ABCD中,AB=2,AD=4, ∴EH=AD=2,HG=CD=AB=1,∴EH≠HG,故选项A错误;∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,∴EH=AD=BC=FG,EF=AB=CD=GH,∴四边形EFGH是平行四边形,故选项B正确;由题目中的条件,无法判断AC和BD是否垂直,故选项C错误;∵点E,F分别为OA和OB的中点,∴EF=AB,EF∥AB,∴△OEF∽△OAB,==,∴△△即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,故选项D错误.故选B.9.D设AF=x cm,则AC=3x cm,∵四边形CDEF为正方形,∴EF=CF=2x cm,EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴==,∴BC=6x cm.在Rt△ABC中,AB==3x (cm),∴3x=30,解得x=2,∴AC=6cm,BC=12cm,∴剩余部分的面积为×6×12-(4)2=100(cm2).故选D.二、填空题10.答案4∶25或9∶25解析分AE∶ED=2∶3或AE∶ED=3∶2两种情况,如图所示.①当AE∶ED=2∶3时,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AE∶BC=2∶5,∴△AEF∽△CBF,∴S△AEF∶S△CBF==4∶25;②当AE∶ED=3∶2时,同理可得,S△AEF∶S△CBF==9∶25.三、解答题11.解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE. ∴∠CBD=∠D,∴BC=CD.∵=,AB=8,CA=6,CD=BC=4,,∴AE=4.∴=-12.解析(1)设AP=FD=a,∴AF=2-a.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴△AFP∽△DFC,∴=,即=-,∴a=-1,经检验,a=-1是原分式方程的解,∴AP=FD=-1,∴AF=AD-DF=3-,∴=-.(2)证明:如图,在CD上截取DH=AF,连接FH,∵AF=DH,∠PAF=∠D=90°,AP=FD,∴△PAF≌△FDH(SAS),∴PF=FH.∵AD=CD,AF=DH,∴FD=CH=AP=-1.∵点E是AB的中点,∴BE=AE=1=EM,∴PE=PA+AE=.∵EC2=BE2+BC2=1+4=5,∴EC=,∴EC=PE,CM=-1.∴∠P=∠ECP.∵AP∥CD,∴∠P=∠PCD,∴∠ECP=∠PCD,且CM=CH=-1,CF=CF,∴△FCM≌△FCH(SAS),∴FM=FH,∴FM=PF.(3)点B'不落在线段BN上.理由如下:若点B'在BN上,如图,以A为原点,AP所在直线为y轴,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系.∵EN⊥AB,AE=BE,∴AQ=BQ=AP=-1.由旋转的性质可得AQ=AQ'=-1,AB=AB'=2,Q'B'=QB=-1,∵点B(0,-2),点N(2,-1),∴直线BN的解析式为y=x-2,设点B'-,∴AB'=-=2,∴x=,∴点B'-.∵点Q'(-1,0),∴B'Q'=--≠-1,∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上.13.解析(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°,在Rt△ADC中,DC=AC·tan 30°=6×=2.(2)由题意易知BC=6,BD=4,∵DE∥AC,∴∠FDM=∠GAM.∵AM=DM,∠DMF=∠AMG,∴△DFM≌△AGM(ASA),∴DF=AG.∵DE∥AC,∴====.(3)∵∠CPG=60°,过点C,P,G作外接圆,圆心为点Q,∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形.①当☉Q与DE相切时,如图1,作QH⊥AC于点H,交DE于点P.连接QC,QG,PC,PG. 设☉Q的半径为r,则QH=r,又r+r=2,∴r=,∴CG=××2=4,AG=2,由△DFM∽△AGM,可得==,∴DM=AD=;图1②当☉Q经过点E时,如图2中,延长CQ交AB于点K,连接QG,QE,设CQ=r.图2∵QC=QG,∠CQG=120°,∴∠KCA=30°.∵∠CAB=60°,∴∠AKC=90°,在Rt△EQK中,QK=3-r,EQ=r,EK=1,∴12+(3-r)2=r2,解得r=,∴CG=×=,由△DFM∽△AGM,可得DM=;③当☉Q经过点D时,如图3中,此时点M,点G与点A重合,连接CQ,可得DM=AD=4.图3观察图象可知,当DM=或<DM≤4时,满足条件的点P只有一个.B组提升题组1.B∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠ACB=∠ACD.∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∠ADC=60°,∴△ACD是等边三角形,∵∠BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,∵∠ABC=∠ACB=60°,∠ACD=∠ACB=60°,∴∠ABE=∠ACF,在△BAE和△CAF中,∠∠∠∠∴△BAE≌△CAF(ASA),∴AE=AF,BE=CF.故①正确;∵∠EAF=60°,且AE=AF,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°.∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠EAB=60°,∴∠EAB=∠CEF,故②正确;∵∠ACD=∠ACB=60°,∴∠ECF=60°.∵∠AEB<60°,∴△ABE和△EFC不会相似,故③不正确;如图,过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,∴∠AEB=45°,在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,∴BG=2,AG=2,在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,∴AG=GE=2,∴EB=EG-BG=2-2.∵△AEB≌△AFC,∴∠ABE=∠ACF=120°,EB=CF=2-2,∴∠FCE=60°,在Rt△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2-2,∴CH=-1,∴FH=×(-1)=3-.∴点F到BC的距离为3-,故④不正确. 综上,正确结论的个数是2,故选B.2.C∵四边形EFGB是正方形,EB=2,∴FG=BE=2,∠FGB=90°.∵四边形ABCD是正方形,H为AD的中点, ∴AD=4,AH=2,∠BAD=90°,∴∠HAN=∠FGN,AH=FG.∵∠ANH=∠GNF,∴△ANH≌△GNF(AAS),∴∠AHN=∠HFG.故①正确; ∵AG=FG=2=AH,∴AF=FG=AH,∴∠AFH≠∠AHF,∴∠AFN≠∠HFG,故②错误; ∵△ANH≌△GNF,∴AN=AG=1.∵GM=BC=4,∴==2,∵∠HAN=∠AGM=90°,∴△AHN∽△GMA,∴∠AHN=∠AMG.∵AD∥GM,∴∠HAK=∠AMG,∴∠AHK=∠HAK,∴AK=HK.∴AK=HK=NK,∵FN=HN,∴FN=2NK,故③正确;由题意可知,四边形ADMG是矩形,∴DM=AG=2.∵S△AFN=AN·FG=×2×1=1,S△ADM=AD·DM=×4×2=4, ∴S△AFN∶S△ADM=1∶4,故④正确,故选C.。

河南中考数学相似三角形专项测试试卷姓名____________ 时间: 60分钟 满分:100分 总分____________一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图,在△ABC 中,21,//=DB AD BC DE ,则下列结论中正确的是 【 】（A ）21=AC AE （B ）21=BC DE（C ）31=∆∆的周长的周长ABC ADE （D ）31=∆∆的面积的面积ABC ADE 第 1 题图EDBCA第 2 题图FECABD2. 如图,在□ABCD 中,点E 在AD 边上,AD AE 32=,连结BE ,交AC 于点F ,若AC =12,则AF 的长为 【 】 （A ）4 （B ）4. 8 （C ）5. 2 （D ）63. 如图,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 上的点,BC DE //,点F 为BC 边上一点,连结AF 交DE 于点G ,则下列结论一定正确的是 【 】（A ）EC AE AB AD = （B ）BD AEGF AG=（C ）AE CE AD BD = （D ）ECACAFAG =第 3 题图GEABCD F 第 4题图FEDABC4. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,若点E 是边CD 的中点,连结AE ,过点B 作AE BF ⊥交AE 于点F ,则BF 的长为 【 】 （A ）2103 （B ）5103 （C ）510 （D ）5535. 如图所示,BD 是矩形ABCD 的一条对角线,点E 、F 分别是BD 、DC 的中点.若6,8==BC AB ,则EF AE +的值为 【 】 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第 5 题图EF CD AB第 6 题图FEBCA6. 如图,在△ABC 中,8,21,//==BC FE S EB AE BC EF 四边形,则=∆ABC S 【 】（A ）9 （B ）10 （C ）12 （D ）137. 已知△ABC ∽△DEF ,相似比为2,若△ABC 的面积为16,则△DEF 的面积为 【 】 （A ）8 （B ）4或64 （C ）4 （D ）648. 如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 为BC 的中点,MN =1,线段MN 的两端点在CD 、AD 上滑动,若△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似,则DM 的长为 【 】（A ）55 （B ）552 （C ）55或552 （D ）552或553第 8 题图ME BCAD N第 9 题图9. 如图,线段AB 两个端点的坐标分别为())2,8(6,6B A 、,以原点O 为位似中心,在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21,得到线段CD ,则端点C 的坐标为 【 】 （A ）（3 , 3） （B ）（4 , 3） （C ）（3 , 1） （D ）（4 , 1） 10. 如图所示,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交 于点O ,ACB ∠的平分线交AB 、BD 于M 、N 两点,若N第 10 题图OABDCl第 15 题图2=AM ,则线段ON 的长为 【 】（A ）22 （B ）23（C ）1 （D ）26二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,D 是AC 上一点,AB DE ⊥于点E ,若3,6,8===DE BC AC ,则AD 的长为_________.第 11 题图第 12 题图MF BCAE12. 如图所示,BC EF //,若,2,1==MF EM 则=NC BN :_________.13. 如图所示,△ABC 中有一正方形DEFG ,其顶点D 在AC 上,点E 、F 在AB 上,直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点.若1,3,4,90===︒=∠EF BC AB B ,则BN 的长度为_________.第 13 题图第 16题图EODBCA14. 如图所示,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 是AB 的中点,︒=∠70ADC ,则=∠AEO _________.15. 如图（5）所示,点A 、B 为定点,定直线AB l //,P 是l 上一动点,点M 、N 分别是P A 、PB 的中点,对于下列各值: ①线段MN 的长; ②△P AB 的周长; ③△PMN 的面积;④直线MN 、AB 之间的距离;⑤APB ∠的大小;其中会随点P 的移动而变化的是__________.（填序号）三、解答题（共55分）16.（8分）如图,在△ABC 中,AC AB =,点F 在BC 边上,AC EF AB DF ⊥⊥,. 求证:△BDF ∽△CEF .E D BCA17.（8分）如图,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为（0 , 4）,直线343-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,点M 是直线AB 上的一个动点,求PM 长的最小值.18.（8分）已知,如图,在△ABC 中,4,2==BC AB ,D 为BC 边上一点,1=BD . （1）求证:△ABD ∽△CBA ;（2）作AB DE //交AC 于点E ,请再写出另一个与△ABD 相似的三角形,并直接写出DE 的长.EDBCA19.（10分）如图,在梯形ABCD 中,︒=∠=∠90,//D C BC AD ,AD =2,BC =3, CD =7,点E 是CD 边上的一个动点,当DE 的长为何值时,△EAD 与△EBC 相似?BADC20.（10分）如图,已知矩形ABCD 的一条边AD =8,将矩形ABCD 折叠,使得顶点B 落在CD 边上的P 点处,折痕与边BC 交于点O ,连结AP 、OP 、OA .若△OCP 与△PDA 的面积之比为1 : 4,求边CD 的长.21.（11分）已知,如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC 是直角三角形,︒=∠90ACB ,点A 、C 的之比分别为A （3-, 0）、C （1 , 0）,43tan =∠BAC . （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式;（2）在x 轴上找一点D ,连结DB ,使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等）,并求出点D 的坐标;（3）在（2）的条件下,若P 、Q 分别是AB 、AD 上的动点,连结PQ,设m DQ AP ==,问是否存在这样的m 使得△APQ 与△ADB 相似?若存在,请求出m 的值;若不存在,请说明理由.。