北师大版九年级上册第四章《相似三角形》复习 课堂练习

第3课时相似三角形的判定3知识点由三边成比例判定两三角形相似图4－4－231．教材习题4.7第2题变式题如图4－4－23，每个小正方形的边长均为1，则下列图形(每个小正方形的边长均为1)中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )图4－4－242．已知AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm时，△ABC∽△A1B1C1.3．已知△ABC的三边长分别为AB＝6 cm，BC＝7.5 cm，AC＝9 cm，△DEF的三边长分别为DE＝4 cm，EF＝5 cm，DF＝6 cm.求证：∠A＝∠D.4．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm图4－4－255．如图4－4－25，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，若以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)6．如图4－4－26，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，点B ，D ，E 在一条直线上．求证：△ABD ∽△ACE .图4－4－267．如图4－4－27，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似(要求：不写作法与证明)．图4－4－271．B [解析] 因为每个小正方形的边长均为1，所以已知的三角形的各边长分别为2，2，10，B 选项中的三角形三边长分别为1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似．2．203．证明：∵AB DE ＝64＝32，BC EF ＝7.55＝32，AC DF ＝96＝32，∴AB DE ＝BC EF ＝ACDF，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D .4．C [解析] 设△DEF 的另两边的长分别为x cm ，y cm ，若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为6 cm ，则46＝x 7.5＝y9，解得x ＝5，y ＝6；若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为7.5 cm ，则47.5＝x 6＝y9，解得x ＝3.2，y ＝4.8；若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为9 cm ，则49＝x 6＝y 7.5，解得x ＝83，y ＝103.故选C.5．B6．证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB AD ＝AC AE，∴AB AC ＝AD AE， ∴△ABD ∽△ACE .7．解：(1)证明：∵AB 2＝20，AC 2＝5，BC 2＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.(2)△ABC和△DEF相似．理由：由(1)中数据得AB＝2 5，AC＝5，BC＝5.由题意易知DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝210，∴ABDE＝ACDF＝BCEF＝104，∴△ABC∽△DEF.(3)如图，连接P2P5，P2P4，P4P5.∵P2P5＝10，P2P4＝2，P4P5＝2 2，AB＝2 5，AC＝5，BC＝5，∴P2P5BC＝P4P5AB＝P2P4AC＝105，∴△ABC∽△P4P5P2.。

5相似三角形判判断理的证明知识点 1证明相似三角形判判断理图 4－ 5－11．如图 4－ 5－ 1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝ 1，BD＝DE2，则的值为()BC1111C. 4D.9A.2B.32．如图 4－5－ 2，在 ?ABCD中，AC与BD订交于点O，E 为OD的中点，连接AE并延长交 DC于点 F，则 DF∶ FC＝()A．1∶4 B ． 1∶3 C ．2∶3 D ．1∶ 2图 4－5－ 2图 4－5－33．2017·恩施州如图4－5－ 3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则 DE的长为()A．6 B ．8 C ．10 D ．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其余两边订交，所构成的三角形与原三角形相似．知识点 2相似三角形判断的综合应用5．如图 4－ 5－4，为了丈量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得 CD＝30 m，在 DC 的延长线上找到一点A，测得 AC＝5 m，过点 A作 AB∥ DE交 EC的延长线于点B，测得 AB＝6 m，则池塘的宽DE为()A． 25 m B ． 30 m C ． 36 m D ．40 m图 4－5－4图 4－5－ 56．如图 4－ 5－ 5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚 1.6 m，梯上点 D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．7．如图 4－ 5－6 所示，已知AD⊥BD， AE⊥BE，求证： AD· BC＝ AC· BE.图 4－ 5－68．如图 4－5－ 7，在正方形ABCD中， M为 BC上一点， F 是 AM的中点， EF⊥AM，垂足为 F，交 AD的延长线于点 E，交 DC于点 N.(1)求证：△ ABM∽△ EFA；(2) 若AB＝ 12，BM＝ 5，求DE的长．图 4－ 5－79．如图 4－ 5－ 8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，假如D E∥ BC，EF∥CD，那么必定有()22A．DE＝AD·AE B ．AD＝AF·AB22C．AE＝AF·AD D ．AD＝AE·AC图 4－5－ 8图 4－ 5－910．如图 4－5－ 9，在边长为 9 的等边三角形ABC中，BD＝ 3，∠ADE＝ 60°，则AE的长为 ________．11．如图 4－ 5－ 10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明原由．图 4－5－1012．教材习题 4.9 第 3 题变式题如图4－ 5－ 11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ ECF＝∠ A.2(1) 如图 4－ 5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC＝ AF· BE；(2) 如图 4－ 5－11②，点E，F 在 AB及其延长线上，∠A＝60°， AB＝4， BE＝3，求 BF 的长．图 4－5－1113．如图 4－ 5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在 DB上能否存在点P，使得△ PCD与△ PAB相似？假如存在，央求出PD的长；假如不存在，请说明原由．图 4－5－12414．如图 4－ 5－ 13，已知直线l 的函数表达式为y＝－3x＋8，且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，动点 Q从点 B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A 挪动，同时动点 P 从点 A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O挪动，设点 Q，P挪动的时间为 t 秒．(1)求点 A， B 的坐标；(2)当 t 为什么值时，以 A，P， Q为极点的三角形与△ AOB相似？(3)求出 (2) 中当以A，P，Q为极点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．图 4－5－13详解1． B3． C [ 解析 ]由DE∥BC可得出∠ ADE＝∠ B，联合∠ ADE＝∠ EFC可得出∠ B＝∠ EFC，从而可得出BD∥ EF，联合 DE∥ BC可证出四边形BDEF为平行四边形，依据平行四边形的性8质可得出 DE＝ BF，由 DE∥BC可得出△ ADE∽△ ABC，依据相似三角形的性质可得出BC＝5DE，3再依据 CF＝ BC－ BF＝5DE＝6，因此 DE＝10.4．解：已知：如图，在△ABC中， DE∥ BC，并分别交AB， AC于点 D， E.求证：△ ADE与△ ABC相似．证明：∵ DE∥ BC，∴∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C.过点 D作 DF∥ AC交 BC于点 F，又∵ DE∥ BC，∴四边形 DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，FC DE AD∴＝＝，BC BC ABAD AE DE∴＝＝.AB AC BC而∠ A＝∠ A，∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C，∴△ ADE∽△ ABC.5． C.7．证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，∴∠ ADC＝90°，∠ BEC＝90°.在△ ACD和△ BCE中，∵∠ ACD＝∠ BCE，∠ ADC＝∠ BEC，AD AC∴△ ACD∽△ BCE，∴＝，BE BC∴AD·BC＝ AC·BE.8．解： (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ B＝90°， AD∥ BC，∴∠ AMB＝∠ EAF.又∵ EF⊥ AM，∴∠ AFE＝90°，∴∠ B＝∠ AFE，∴△ ABM∽△ EFA.(2)∵∠ B＝90°， AB＝12， BM＝5，∴ AM＝122＋52＝13， AD＝ AB＝12.1∵ F 是 AM的中点，∴ AF＝2AM＝6.5.∵△ ABM∽△ EFA，∴BM AM＝，FA EA513即＝，∴ EA＝，6.5 EA∴DE＝EA－ AD＝4.9.9． B10． 7.11．解：∠ABD＝∠ACE.原由以下：∵ AB∶AD＝ BC∶DE＝ AC∶AE，∴△ ABC∽△ ADE，∴∠ BAC＝∠ DAE，∴∠ BAD＝∠ CAE.又∵ AB∶ AD＝ AC∶ AE，即 AB∶ AC＝ AD∶ AE，∴△ BAD∽△ CAE，∴∠ ABD＝∠ ACE.12．解： (1) 证明：∵AC＝BC，∴∠ A＝∠ B.∵∠ BEC＝∠ ACE＋∠ A，∠ ACF＝∠ ACE＋∠ ECF，∠ ECF＝∠ A，∴∠ ACF＝∠ BEC，AC AF∴△ ACF∽△ BEC，∴＝，BE BC2∴ AC＝ AF· BE.(2)∵∠ A＝60°， AC＝ BC，∴△ ABC是等边三角形，∴∠ A＝∠ ABC＝∠ ACB＝60°＝∠ ECF，∴∠ ACE＝∠ FCB.又∵∠ ECB＝∠ ACB－∠ ACE，∠ F＝∠ ABC－∠ FCB，∴∠ ECB＝∠ F.又∵∠ ABC＝∠ A，∴△ ACF∽△ BEC，AC AF16，∴ ＝，∴ AF＝3BE BC∴ ＝－4＝ .BF AF AB 3 13．解：存在．①若△ PCD∽△ APB，则CD PD4PD＝，即＝，解得 PD＝2或 PD＝12；PB AB14－PD6②若△ PCD∽△ PAB，则CD PD4PD，解得 PD＝5.6.＝，即＝AB PB614－PD414．解： (1) 在y＝－x＋8中，当 x＝0时， y＝8；当 y＝0时， x＝6.故点 A的坐标为(6，0)，点 B 的坐标为(0，8)．(2) 在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝ 6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.由题意易知BQ＝2t ， AQ＝10－2t ，AP＝ t .在△ AOB和△ AQP中，∠ BAO＝∠ PAQ，第一种状况：AQ AP当＝时，△ APQ∽△ AOB，AB AO10－ 2t t30即＝，解得 t ＝；10611第二种状况：AQ AP当＝时，△ AQP∽△ AOB，AO AB10－ 2t50即6＝10，解得 t ＝13.30 50故当 t 为11或13时，以 A，P， Q为极点的三角形与△AOB相似．(3)∵以 A， P，Q为极点的三角形与△ AOB相似，3030PQ 1140∴当 t ＝11时，8＝6，解得 PQ＝11；50当t ＝50PQ1340时，＝，解得＝ .13810PQ 134040故当以 A， P， Q为极点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是11或13.9。

相似三角形周长和面积的性质——典型题专项训练知识点 1 有关周长的计算1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2图4－7－102．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶53．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )A．9 B．18 C．27 D．814．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．图4－7－11知识点 2 有关面积的计算5．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1图4－7－126．如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A．1 B．2 C．3 D．47．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的14，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．图4－7－13图4－7－148．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比；(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.图4－7－1510．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1611．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )△CEFA．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54－7－164－7－1712．(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( ) A．面积为8 cm2的卡纸B．面积为16 cm2的卡纸C．面积为32 cm2的卡纸D．面积为64 cm2的卡纸13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图4－7－1814．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．图4－7－1915．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．图4－7－2016．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．图4－7－211．C 2.A3．A [解析] ∵△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，∴△ABC的周长△DEF的周长＝31，∴△DEF的周长＝13×27＝9.故选A.4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAE＝∠F，∠EAD＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝3.∵∠AEB＝∠FEC，∠BAE＝∠F，∴△ABE∽△FCE，∴△ABE的周长△FCE的周长＝BECE＝2.∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝2 AB2－BG2＝4，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝16，∴△FCE的周长＝12×△ABE的周长＝8.5．A6．C [解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴S△ACDS△ABC＝(ADAC)2＝14.∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.7．1 [解析] 如图，∵把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，∴AC∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BD.∵S△ABC∶S△A′BD＝4，∴AB∶A′B＝2.∵AB＝2，∴A′B＝1，∴AA′＝2－1＝1.8．3 [解析] ∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴S△ADES△ACB＝(AEAB)2.∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9.∵AE＝2，∴49＝(2AB)2，解得AB＝3.9．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AEF＝∠CDF，∠FAE＝∠FCD，∴△AEF∽△CDF.∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，∴△AEF与△CDF的周长的比为1∶3.(2)由(1)知，△AEF∽△CDF，相似比为1∶3，∴它们的面积比为1∶9.∵S△AEF＝6 cm2，∴S△CDF＝54 cm2.10．A 11.A12．B [解析] ∵每个“E”形图近似于正方形，∴P2D2∥P1D1，∴∠PP2D2＝∠PP1D1，∠P2D2P＝∠P1D1P，∴△PP2D2∽△PP1D1.∵l1＝14 cm，l2＝7 cm，∴P2D2∶P1D1＝1∶2.∵第②个小“E”形图是面积为4 cm2的正方形卡纸，∴第①个大“E”形图的面积＝4×4＝16(cm2)．故选B.13．解：(1)证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴CF是△ACD的中线，∴F是AD的中点．又∵E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEFS△ABD＝\a\vs4\al\co1(\f(AEAB))2.又∵AE＝12AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴S△ABD－6S△ABD＝\a\vs4\al\co1(\f(12))2，∴S△ABD＝8.14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC.因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC的面积是144.15．解：不够用．理由如下：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMDS△CMB＝(ADBC)2.∵AD＝10 m，BC＝20 m，∴S△AMDS△CMB＝(1020)2＝14.∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)．∴S△CMB＝50×4＝200(m2)．还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元，∴资金不够用．16．解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2，∴CPCA＝12)＝2)2，∴CP＝2)2·CA＝2 2.(2)∵△PQC∽△ABC，∴CPCA＝CQCB＝PQAB，即CP4＝CQ3，∴CQ＝34CP.同理：PQ＝54CP，∴C△PQC＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋54CP＋34CP＝3CP，C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝4－CP＋AB＋3－CQ＋PQ＝4－CP＋5＋3－34CP＋54CP＝12－12CP.由C△PQC＝C四边形PABQ，得3CP＝12－12CP，∴72CP＝12，∴CP＝247.(3)存在．∵CA＝4，AB＝5，BC＝3，∴△ABC中AB边上的高为125.①如图(a)所示，当∠MPQ＝90°且PM＝PQ时，∵△CPQ∽△CAB，∴PQAB＝△CPQ中PQ上的高△CAB中AB上的高，∴PQ5＝125125，∴PQ＝6037；②当∠PQM＝90°时与①相同；③如图(b)所示，当∠PMQ＝90°且PM＝MQ时，过点M作ME⊥PQ，则ME＝12PQ，∴△CPQ中PQ上的高为125－ME＝125－12PQ.∵PQAB＝△CPQ中PQ上的高△CAB中AB上的高，∴PQ5＝1212125，∴PQ＝12049.综上可知，存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，此时PQ的长为6037或12049.相似三角形中特殊线段的性质——典型题专项训练知识点对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为( )A.34B.43C.916D.1692．如图4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )图4－7－1A.32B.52C.72D.923．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知ACA′C′＝32，B′D′＝4，则BD的长是________．5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2 m外景物的宽CD.图4－7－26．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，则△ABC与△A″B″C″的相似比为( )A.14B.94C.49D.94或497．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m处种了一排树，每隔2 m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m．(不计宣传栏的厚度)4－7－3 4－7－48．如图4－7－4，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD ＝2，EF＝23EH，则EH的长为________．9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求矩形EFGH的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m的A处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 是△ABC的完美分割线；(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图4－7－9详解1．A2．D [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴ADA′D′＝BEB′E′.∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴43＝6B′E′，解得B′E′＝92.3.834.65．解：由题意，可知△ABE∽△DCE，∴0.04CD＝0.062，解得CD＝43.答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为43 m.6．C [解析] 设△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一组对应边的长分别为x，y，z.∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，∴xy＝13，yz＝43，即x＝y3，z＝3y4，∴xz＝49，即△ABC与△A″B″C″的相似比为49.故选C.7．68．329．解：如图，过点C作CM∥BA，分别交EF，AD于点N，M，过点C作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm，∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240，解得NF＝24(cm)．∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC. ∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG，∴AMAD＝HGBC；(证法二)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD，∴HGBC＝AHAB，AMAD＝AHAB，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x cm，则HG＝2x cm，∵AD⊥BC，∴DM＝HE，∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.故矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，并延长交DE于点F.∵BC∥DE，∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AFAG，∴DE＝AF·BCAG＝200×0.080.4＝40(m)．答：敌方建筑物DE的高度为40 m.12．解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m.∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽Rt△CBA，∴CDCB＝DEBA，即2－x2＝x1.5，解得x＝67；如图，在题图②中，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P. AC＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.5(m)，BH＝AB·BCAC＝1.5×22.5＝1.2(m)．设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC＝BPBH，即y2.5＝1.2－y1.2，解得y＝3037.∵67＝3035>3037，即x>y，∴x2>y2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形．∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)由题意得△BCD∽△BAC，∴BCBA＝BDBC.∵AC＝AD＝2，BC＝2，设BD＝x，则AB＝x＋2，∴2)x＋2＝x\r(2)，解得x＝－1±3，∵x＞0，∴BD＝x＝3－1.∵△BCD∽△BAC，∴CDAC＝BDBC.∵AC＝2，BC＝2，BD＝3－1，∴CD＝BD·ACBC＝3)－1\r(2)×2＝6－2.。

相似三角形的判定重难点易错点解析题一：题面：如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）．A．4对 B．5对 C．6对 D．7对金题精讲题一：题面：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．题二：题面：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，连AC、BD相交于F，连EF．（1）求证：AB2=4AD•BC；（2）求证：EF∥BC．满分冲刺题一： 题面：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E ， 12DC CF ．求AE 的长．题二：题面：如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．求证：DF •FC =BG •EC ．题三：题面：如图，已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，P 为BC 上的一点，问题：添加一个条件，使得△ABP 与以E 、C 、P 为顶点的三角形相似，共有几种添加方法？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B．详解：根据平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE∽△ABC，△BGE∽△BAF，△AEF∽△CEB，△ACB∽△CAD，△AGE∽△CDA，5对．故选B．金题精讲题一：答案：3.2．详解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．∴AD AC AC AB=．又∵AB=5，AC=4，∴445AD=，解得AD=3.2．题二：答案：AB2=4AD•BC；EF∥BC．详解：证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，∵梯形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB，AD=BH，∴CH=CB AD，∵以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，∴DA、CB都是⊙O的切线，∴DE=DA，CE=CB，∴DC=DA+CB，在Rt△DHC中，DH2=DC2CH2，∴AB2=(AD+BC)2(BC AD)2，∴AB2=4AD•BC；（2）∵AD∥BC，∴△FDA∽△FBC，∴AD DF BC FB=，而DE=AD，EC=BC，∴DE DF EC FB=，∴EF∥BC．满分冲刺题一：答案：5232-．详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，∵CF⊥EF，∴∠EFC=90°．∴∠AFE+∠DFC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC．∴AE AF DF DC=，∵12DCCF=，DC=4，∴∠DFC=30°，∴443tan30tan30DCFD===︒︒，∴1043AF=-，∴5232AF FDAECD-==．题二：答案：DF•FC=BG•EC．详解：∵∠EAB+∠BAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴tan∠BAE=tan∠DAF，∵AB=AD，∴DF=BE，又∵AB∥CD，∴BE BG EC FC=，∴BE•FC=BG•EC，∴DF•FC=BG•EC．题三：答案：只有一种方法在BC上的一点使得BP=43．详解：如图设BP=x，若△ABP∽△ECP，得AB EC BP CP=，即212x x=-，解得x=43．若△PBA∽△ECP，得BP ECBA CP=，即122xx=-，化简得x22x+2=0，此方程无解，故不存在综上，只有一种方法在BC上的一点使得BP=43．（或延长AB至M，使BM=BA，连接EM，交BC与点P，则P就是符合条件的点）。

4.7相似三角形的性质—2023-2024学年北师大版数学九年级上册堂堂练1.两个三角形相似比是，其中小三角形的周长为9，则另一个大三角形的周长是( )A.12B.16C.27D.362.如图，中，AD是中线，，，则线段AC的长为( )A.4B.C.6D.3.如图，，AD，BC相交于点E，与的周长之比是.若，，则BC的长为( )A.5B.6C.7D.84.如图，点D、E分别为的边AB、AC上的中点，则的面积与四边形BCED的面积的比为( )A.1：2B.1：3C.1：4D.1：15.如图，在中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设的面积为，的面积为.则( )A. B. C. D.6.两个相似三角形对应中线的比为2:3,周长的和是20,则这两个三角形的周长分别为_______.7.若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应角平分线之比为______________.8.如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，，垂足为F，，，求AE，DF的长.答案以及解析1.答案：A解析：解：两个三角形相似比是，两个三角形的周长之比是，其中小三角形的周长为9，另一个大三角形的周长是，故选A.2.答案：B解析：，AD是中线，，在和中，，，，，，；故选B.3.答案：B解析：，与的周长之比是，，，，，，故选B.4.答案：B解析：D、E分别为的边AB、AC上的中点，DE是的中位线，，，，的面积：的面积，的面积：四边形BCED的面积；故选B.5.答案：B解析：在中，D、E分别为线段BC、BA的中点，DE为的中位线，，，，，，即，故选：B.6.答案：8和12解析：这两个相似三角形对应中线的比为2:3,∴这两个相似三角形的周长比为2:3.设这两个三角形的周长分别为,则,解得.,即这两个三角形的周长分别为8和12.7.答案：解析：两个相似三角形的面积比为，它们的对应角平分线之比为. 8.答案：，解析：四边形ABCD是矩形，，，，又，，，E是BC的中点，，，，，解得：.。

第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件第1课时 相似三角形的定义及其判定定理1 同步练习一、选择题1. 下列说法中正确的是( )A. 两个三角形不全等，那么它们也不相似B. 两个三角形不相似，那么它们也不全等C. 两个相似三角形一定不全等D. 两个全等三角形一定不相似2. 如图，在△ABC 与△ADE 相似，∠ADE ＝∠B ，则下列比例式正确的是( ) A.AE BE ＝AD DC B. AE AB ＝AD AC C. AD AC ＝DE EC D. DE BC ＝AD AB第2题 第3题3. 如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对4. 如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 52第4题 第5题5. 如图所示，△AOB 和△COD 相似，∠A ＝∠C ，下列各式正确的是( ) A.AB BO ＝CD CO B. AB AO ＝CD OD C. OB CO ＝AO OD D. AO CO ＝BODO6. 如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A ，D 分别在PQ ，PR 上，则P A ∶AQ 的值是( )A. 1∶2B. 1∶2C. 1∶3D. 2∶3第6题 第7题7. 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ，则CD 的长是( )A.409 B. 509 C. 154 D. 2548. 如图，在△ABC 中，各边互不相等，点P 是AC 的中点，过点P 作一条直线，使截得的三角形与原三角形相似.这样的直线至多可作( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条第8题 第9题9. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，则△ABC ∽ . 10. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为 .11. 如图，已知▱ABCD 中，E 为AD 延长线上的一点，AD ＝23AE ，BE 交DC 于F ，指出图中各对相似三角形及其相似比.12. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点.EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .13. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且∠APB ＝∠APC ＝135°. (1)求证：△CP A ∽△APB ； (2)求PCPB的值.14. 在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，H 为BE 上的一点，EHBH＝3，连接CH 并延长交AB 于点G ，连接GE 并延长交AD 的延长线于点F .(1)求证：EC BG ＝EHBH ；(2)若∠CGF ＝90°时，求ABBC的值.15. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A (0，6)，点B (8，0)，AB ＝10.动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒.(1)求直线AB 的函数表达式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并求出此时点P 与点Q 的坐标.1. B2. D3. D4. C5. D6. B7. A8. D9. △BCD 10. 711. 解：△DEF ∽△CBF ，其相似比为21；△DEF ∽△AEB ，其相似比为31；△CBF ∽△AEB ，其相似比为32. 12. (1)证明：∵E 为AB 中点，∴EB ＝21AB ，∵CD ＝21AB ，∴EB ＝CD.又AB ∥CD ，∴四边形EBCD 为平行四边形，∴FB ∥DE .∴△EDM ∽△FBM .(2)解：由(1)知MD MB ＝DE FB ，由题意知，CB FB ＝DE FB ＝21，DB ＝9，故DM MB ＝21，MB ＋DM ＝9，得BM ＝3.13. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°.又∵∠APB ＝∠APC ＝135°，∴∠CAP ＋∠ACP＝45°，∴∠ACP ＝∠BAP ，∴△CP A ∽△APB .(2)解：由△CP A ∽△APB ，得PA PC ＝PB PA ＝AB AC .∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AB ＝AC ，∴PA PC ＝PB PA ＝21，∴PC ＝22P A ，PB ＝P A ，∴PB PC ＝PA PA ＝21.14. (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠HBG ＝∠HEC ，∠HGB ＝∠HCE ，∴△BHG ∽EHC ，∴BG EC ＝BH EH ＝3.(2)解：∵∠A ＝∠CBG ＝90°，又∵∠CGF ＝90°，∴∠AGF ＋∠BGC ＝90°.又∵∠AGF ＋∠AFG ＝90°，∴∠BGC ＝∠AFG ，∴△AFG ∽△BGC ，∴BG AF ＝BC AG .由(1)知，BG EC ＝BH EH ＝3，∴BG ＝31EC ＝61CD ＝61AB ，∴AG ＝65AB .又∵△FDE ∽△F AG ，∴FA FD ＝AG DE ＝53，∴F A ＝25AD ＝25BC ，由BG AF ＝BC AG 得，AB 1＝BC AB ，∴BC2AB2＝18，∴BC AB＝3. 15. 解：(1)直线AB 的函数表达式为y ＝－43x ＋6.(2)由题意，知AP ＝t ，AQ ＝10－2t .可分两种情况讨论：①当∠APQ ＝∠AOB 时，有△APQ ∽△AOB ，此时t ＝1130，P (0，)，Q (，).②当∠AQP ＝∠AOB 时，有△APQ ∽△ABO ，此时t ＝1350，P (0，)，Q (，).。

第7节相似三角形的性质一、选择题1、如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5,那么它们对应中线的比是( )A. 2∶5B. 2∶5C. 4∶5D. 16∶252、若两个相似三角形对应中线的比为 3∶4,则它们对应角平分线的比是()A. 1∶16B. 16∶9C. 4∶3D. 3∶43、如图,在一斜边长为 30 cm 的直角三角形木板(即 Rt △ACB)中截取一个正方形 CDEF,点 D 在边 BC 上,点 E 在斜边 AB 上,点 F 在边 AC 上,若 AF ∶AC=1∶3,则这块木板截取正方形 CDEF 后,剩余部分的面积为( )A. 200 cm 2B. 170 cm 2C. 150 cm 2D. 100 cm 24、若两个相似三角形的面积之比为 4∶9,则它们对应角平分线之比为( ) A. 32 B. 23 C. 36 D. 26 5、如图,已知 D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,DE ∥BC,且 S △ADE ∶S 四边形DBCE =1∶8,那么AE ∶AC 等于( )A. 1∶9B. 1∶3C. 1∶8D. 1∶26、如图,在△ABC 中,AC=2,BC=4,D 为 BC 边上一点,且∠CAD=∠B.若△ADC 的面积为 a,则△ABD 的面积为( )A. 2aB. 25aC. 3aD. 27a 7、顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是 .8、已知△ABC ∽△DEF,BG 、EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm,则 EH= cm.9、若两个相似三角形对应中线的比是 2∶3,它们的周长之和为 15,则较小的三角形的周长为 .10、如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成的两部分面积相等,则ABAD = .11、如图,灯泡在圆桌的正上方,当距桌面 2 m 时,圆桌的影子的直径为 2.8 m,在仅仅改变圆桌的高度,其他条件不变的情况下,圆桌的桌面升高多少米,其影子的直径变为 3.2 m?12、如图,△ABC ∽△A'B'C',AD 、A'D'分别是这两个三角形的高,EF 、E'F'分别是这两个三角形的中位线, ''D A AD 与''F E EF 相等吗?为什么?13、如图,在△ABC 与△A'B'C'中,∠ABC=∠A'B'C',∠C=∠C',BG 和 B'G'分别是这两个三角形的角平分线,AM,A'M'分别是 BC,B'C'边上的中线,AN,A'N'分别是BC,B'C'边上的高,若AN ∶A'N'=5∶3,AM=10,B'G'=5,求 A'M',BG 的长.14、如图,已知△ABC ∽△ADE,AE=50,EC=30,问△ABC 与△ADE 的周长之比是多少?15、已知△ABC ∽△DEF, AB DE =32,△ABC 的周长是 12 cm,面积是 30 cm 2.求: (1)△DEF 的周长; (2)△DEF 的面积.16、在比例尺为 1∶10000 的地图上,有甲、乙两个相似的三角形区域,其周长分别为 10 cm 和15 cm.(1)求它们的面积比;(2)若在地图上量得甲三角形区域的面积为16 cm2,那么乙三角形区域的实际面积是多少?17、如图所示,中,点P 在BC 上,且BP∶PC=1∶3,连接AP,BD,交于点Q,S△BPQ=2 cm2.求:(1)△BPQ 与△DAQ 的周长比;(2)S△DAQ.答案2 1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.C 7. 1∶2 8. 3.2 9. 6 10.2 11. 依题意,易证△ABC∽△ADE.12. 解析13. 解析14.解析∵AE=50,EC=30,∴AC=AE+EC=80.∵△ABC ∽△ADE,即△ABC 与△ADE 的周长之比是 8∶5.15.解析(1)∵△ABC 的周长是 12 cm,∴△DEF 的周长为 12×32=8(cm). (2)16.解析(1) ∵甲三角形区域的周长∶乙三角形区域的周长=10∶15=2∶3,（2）17.解析(1)因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AD∥BC,AD=BC,所以∠QBP=∠QDA,∠QPB=∠QAD,所以△BPQ∽△DAQ.因为BP∶PC=1∶3,所以BP∶BC=1∶4,所以BP∶AD=1∶4,所以△BPQ 与△DAQ 的周长比为1∶4.(2)因为△BPQ∽△DAQ,。

4.5 相似三角形 同步练习课内练习理解相似三角形的意义，会找相似三角形的对应边及对应角；能进行简单的有关相似三角形对应边及对应角的计算. 一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )A.55°B.100°C.25°D.30°2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD== B.BC DEAC AE AB AD == C.BC DE AB AC AEAD == D.BCDEEC AE AB AD ==图1 图23.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶54.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )A.1.5B.3C.2D.15.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( ) A.22B.2C.2D.22二、填空题6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD=________=________.图38. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________. 9. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，A ′B ′=8 cm ，AC =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________，A ′C ′=________，BC =________.10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________. 三、解答题11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明ECADEF AE吗？图4参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC 7.AC AE BCDE8.全等 9.586.4 cm 3.75 cm 10.45 三、11.(1)相似 (2)相似12.A ′B ′=20 cm ，B ′C ′=2632cm 13.30 cm 14.略课外练习一、请你填一填（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.（3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________.（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.二、认真选一选（1）下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等1C.△ABC与△A′B′C′的相似比为41D.△ABC与△A′B′C′的相似比为3三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.四、好好想一想如图4—5—1：分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a .（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？图4—5—1参考答案 一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm 2 二、（1）B （2）D （3）C （4）C 三、解法1：设△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为x ，根据题意得：BCC B AC C A AB B A ''=''='' =x 将AB =12，BC =18，AC =24代入上式可得： A ′B ′=12x ,B ′C ′=18x ,A ′C ′=24x ∵△A ′B ′C ′的周长为81 cm ∴12x +18x +24x =81,解得：x =23∴A ′B ′=12x =18（cm ）,B ′C ′=18x =27（cm ） A ′C ′=24x =36（cm ）解法2：由已知得△ABC 的周长为12+18+24=54（cm ） 所以△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比等于81∶54即3∶2 则23=''=''=''AC C A BC C B AB B A ， ∴23241812=''=''=''C A C B B A ∴A ′B ′=18（cm ）,B ′C ′=27（cm ）,A ′C ′=36（cm ） 四、（1）根据三角形中位线定理得DE =21a ,EF =DF =21a 所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为21（2）△ABC 的面积为21AB ·A E =21a ·22243)21(a a a =- △DEF 的面积为21·21a ·163)41()21(22=-a a a 2 （3）S △DEF ∶S △ABC =163a 2∶43a 2=41∶1=1∶4 这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.。