相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)

中考专题复习相似三角形课件浙教版一、教学内容本节课我们将学习浙教版初中数学九年级下册第十章“几何图形的相似”中的“相似三角形”。

具体内容包括：相似三角形的判定、性质、应用等方面。

本章共分为三节，我们将重点学习第一节“相似三角形的判定”与第二节“相似三角形的性质”。

二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的判定方法及其性质。

2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高几何解题能力。

3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队合作能力。

三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定与性质的理解和应用。

教学重点：掌握相似三角形的判定方法和性质，并能运用其解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的相似图形（如建筑物的立面图、家具设计图等），引出相似三角形的概念。

2. 知识讲解：（1）相似三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS。

（2）相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例、对应面积成比例。

3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，引导学生运用相似三角形的判定与性质解决问题。

4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 小组讨论：针对练习题中的难点，组织学生进行小组讨论，共同解决问题。

7. 课后作业布置：布置相关作业，要求学生在课后巩固所学知识。

六、板书设计1. 相似三角形的判定：（1）SSS：三组对应边成比例（2）SAS：两组对应边成比例且夹角相等（3）ASA：两组对应角相等且夹边成比例（4）AAS：两组对应角相等且一组对应边成比例2. 相似三角形的性质：（1）对应角相等（2）对应边成比例（3）对应面积成比例七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，求证：$\angleA=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。

热点07 相似三角形相似三角形在中考数学中的地址永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。

基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。

1.相似三角形的性质：分类记忆——边、角、线、面积＋周长；相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。

另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。

2.相似三角形的判定：重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。

3.相似三角形的应用：理解题意、提炼模型、注意特殊要求；相似三角形的应用多与实际生活结合，考察树或者楼的高度、物体的某些边的长度等。

此时通常需要自己提炼出应用的相似模型，并根据需要添加辅助线等，个别时候还会要求结果符合一定的要求，需要特点别注意。

当相似三角形与函数结合考察时，通常为压轴题，需要同时注意相似三角形与函数各自的性质的融合。

相似三角形的考察热点有：平行线分线段成比例的基本性质、相似三角形的性质、判定以及其综合应用。

近几年也常考察相似里的几何模型，如：手拉手模型、K型图模型、A字图与8字图模型、母子三角形模型等。

A卷（建议用时：60分钟）1．（2021•攀枝花·中考真题）若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．2．（2021•百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝．【分析】证AD＝CD＝BC，再证△BCD∽△BAC，得BC：AB＝BD：BC，则AD：AB＝BD：AD，得点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，求出AD＝AB＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．3．（2021•哈尔滨·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．4．（2021•上海·中考真题）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根据AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案为：．5．（2021•镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．6．（2021•湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．7．（2021•巴中·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．8．（2021•恩施州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC 和∠CBD的关系．【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．9．（2021•内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比例出关于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．10．（2021•兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．11．（2021•锦州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2B．4C．3D．4【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．【解答】解：方法一、连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，方法二、∵∠CDB＝∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2＝CE×CD，设DE＝x，则CE＝2x，∴（6）2＝2x×3x，∵x＞0，∴x＝2，∴CE＝4，故选：D．12．（2021•连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．13．（2021•济南·中考真题）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为．【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出OP＝，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到＝＝＝，进而得出BM＝，QB＝，利用AAS证明△QBM≌△MAN，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．【解答】解：如下图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，∴OP＝＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，∴△OEP∽△QBM，∴＝＝＝，∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，在△QBM和△MAN中，，∴△QBM≌△MAN（AAS），∴AM＝QB＝，∴AB＝BM+AM＝+＝．故答案为：．14．（2021•鄂州·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四边形的性质，求证BE∥DF，AD∥BC即可判断四边形BEDF 的形状；（2）设AG＝2a，通过已知条件即可推出的值，再通过求证△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的长．【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）设AG＝2a，∵，∴OG＝3a，AO＝5a，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，∴，∵AE＝4，∴BC＝16．15．（2021•聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC 于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．【分析】（1）由题意可证∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，由平行线的性质可证EF ⊥AE，可得结论；（2）在Rt△OHC中，利用勾股定理可求半径，可得AE的长，通过证明△AEF∽△AHG，可得，可求EF的长，通过证明△DCG∽△BAG，可得，可求CD的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AE是直径，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∴EF是⊙O的切线；（2）连接OC，设⊙O的半径为r，∵AE⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝1，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴＝，∴EF＝，∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴＝，∴CD＝．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•大庆·中考真题）已知＝＝，则＝．【分析】设＝＝＝k，分别求出x、y、z的值，代入所求式子化简即可．【解答】解：设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝＝，故答案为．2．（2021•德阳·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为﹣1，则该矩形的周长为．【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3﹣，求出矩形的周长即可；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为＝2，求出矩形的周长即可．【解答】解：分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为×（﹣1）＝3﹣，∴矩形的周长为：2（﹣1+3﹣）＝4；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（﹣1）÷＝2，∴矩形的周长为2（﹣1+2）＝2+2；综上所述，该矩形的周长为2+2或4．3．（2021•阿坝州·中考真题）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4B．6C．7D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故选：B．4．（2021•宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：5．（2021•盘锦·中考真题）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，设AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故选：A．6．（2021•临沂·中考真题）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．7．（2021•湘西州·中考真题）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC ＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故选：C．8．（2021•益阳·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于．【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝，∴△ACC′∽△ABB′，∴＝（）2，∵∠CAB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴＝（）2＝．故答案为：9：4．9．（2021•常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．10．（2021•绵阳·中考真题）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质得到＝，得到BD＝4（负值舍去），AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD 于H，根据等腰三角形的性质得到AH＝AD＝3，根据勾股定理得到BH＝＝＝，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△DAB∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：BD＝4（负值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（AB）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠P AQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴，∴＝，∴PQ＝，故选：A．11．（2021•温州·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN ＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE ＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C．12．（2021•山西·中考真题）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD 的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．13．（2021•鞍山·中考真题）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x 轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝．【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．∵AB∥x轴，∴△DBE∽△OCE，∴＝，∵＝＝，∴＝＝＝＝，设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，∴BD＝，∴AB＝AD+DB＝，∵S△ABC＝＝＝13，∴ab＝，∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝18，故答案为18．14．（2021•营口·中考真题）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE ＝AC即可求得AF．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．15．（2021•杭州·中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．16．（2021•罗湖区·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD＝BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD＝AB，得出四边形ABFD是菱形．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，又∵AB＝AD，∴＝；（2）设AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，由（1）得：AB2＝AE•AC，即AB2＝x•3x∴AB＝x，又∵BA⊥AC，∴BC＝2x，∴∠ACB＝30°，∵F是BC中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD，连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形ABFD是菱形．。

考点11 三角形与全等三角形【命题趋势】三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。

所以，在中考中，考察的几率也是比较大。

但是因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以不会再过多的单独考察，很多城市基本都是融合考察，不再单独出题。

【中考考查重点】一、三角形的三边关系二、三角形的内角和定理及其外角定理三、三角形中的重要线段四、全等三角形的性质与判定考向一：三角形的三边关系三角形三边关系的定理及其推论1．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，∴3＜1﹣a＜1﹣2a，∴a＜﹣2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜﹣2，故答案为﹣3＜a＜﹣2．考向二：三角形的内角和定理及其外角定理角的定义、性质及其他相关：三角形内角和定理三角形的内角和等于180°三角形外角的推论三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和【方法提炼】➢三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度【同步练习】1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．3．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∵∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故选：B．5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5C．∠A+∠B＝∠CD．一个外角等于和它相邻的一个内角【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝75°＜90°，∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；C．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；D．∵一个外角等于和它相邻的一个内角，∴该内角＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．故选：A．考向三：三角形中重要的线一．三角形的分类按角分类锐角三角形（三个内角都是锐角）直角三角形（有一个内角是直角）钝角三角形（有一个内角是钝角）按边分类非等边三角形（三边均不相等）等腰三角形普通等腰三角形（有两边长相等）等边三角形（三边长均相等）二．三角形中的重要线段∠CAD ∠BACEC=½BC∠AFC=90°½BC【方法提炼】三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：（一）.中线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；（二）高线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；（三）角平分线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；（四）中垂线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；辅助线类型：连接两点由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；【同步练习】1．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD＝S△ACD＝12，再求出S△EBD＝6，S△ECD＝6，然后利用F点为CE的中点得到S△BEF＝S△EBC．【解答】解：∵D点为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×24＝12，∵E点为AD的中点，∴S△EBD＝S△ABD＝6，S△ECD＝S△ACD＝6，∴S△EBC＝S△EBD+S△ECD＝6+6＝12，∵F点为CE的中点，∴S△BEF＝S△EBC＝×12＝6．故选：C．2．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【解答】解：三角形具有稳定性．故选：A．3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB 的长为．【分析】先根据D是BC的中点得出CD＝DB＝BC＝3，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD＝2CD＝6，进而求出AD+DB的长．【解答】解：∵D是BC的中点，BC＝6，∴CD＝DB＝BC＝3．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6，∴AD+DB＝6+3＝9．故答案为：9．5．如图，BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，BD交AE于F，若∠BAC＝44°，∠C＝80°，求∠BEF和∠AFD的度数．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝44°，∠C＝80°，∴∠ADB＝90°，∠BAE＝∠EAD＝22°，∴∠CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，∴∠BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，∠AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．考向四：全等三角形的性质和判定一．全等三角形的性质性质对应边相等，对应角相等推论全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对应角的角平分线相等所有三角形SSS 、SAS 、ASA 、AAS直角三角形HL【方法提炼】➢证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。

考点15 相似三角形的应用【命题趋势】相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。

出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。

【中考考查重点】一、相似三角形在实际生活中的应用二、位似图形三、相似三角形与函数综合考向一：相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在实际生活中的应用：（一）建模思想：建立相似三角形的模型（二）常见题目类型：1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度【同步练习】1．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）A．1米B．2米C．3米D．4米【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP＝8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE 长．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴＝，即＝，解得AP＝8，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴＝，即＝，解得ED＝2，故选：B．2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米B．3米C．米D．米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．【解答】解：设木竿PQ长为xm，依题意得＝，解得x＝1.6，答：木竿PQ长度为1.6m，故答案为：1.6m．4．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．（3）利用配方法求出最大值即可．【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DG＝（80﹣x）（m）；（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，∵﹣＜0，∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．考向二：位似图形位似图形满足的条件：①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）【同步练习】1．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．AE：AD是相似比B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．两个三角形是位似图形【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．【解答】解：A、当BC∥ED时，△AED∽△ACB，AE：AC是相似比，本选项说法不正确，符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、两个三角形是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；故选：A．2．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△ADE的周长比为2：1，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1【分析】利用位似的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△ADE，位似比等于相似比，∵△ABC和△ADE的周长比为2：1，∴△ABC和△ADE的相似比为2：1，∴△ABC和△ADE的位似比是2：1．故选：D．3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（）A．D点B．E点C．D点或G点D．D点或F点【分析】作射线AO，根据位似变换的概念判断即可．【解答】解：作射线AO，由图可知，点D和点G都在射线AO上，且＝，＝，则点A的对应点为D点或G点，故选：C．4．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．【分析】（1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题；（2）利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，构造相似比为的相似三角形，则点E即为所求；（2）如图，∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，∴△CDE即为所求．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B （1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．（1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；（2）分别写出点B1、C1的坐标．【分析】（1）（2）利用点A和点A1的坐标特征确定位似比为2，然后把点B、C的横纵坐标都乘以2得到点B1、C1的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；（2）点B1的坐标为（2，6），点C1的坐标为（8，2）．考向三：相似三角形与函数综合【方法提炼】【同步练习】1．（2021•无棣县二模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E 时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型，再利用函数的性质求解后续问题在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．2．（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P 为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）①根据函数的定义判断即可．②设BP＝xcm，CE＝ycm．利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出y的最大值即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP，EC．②设BP＝xcm，CE＝ycm．∵△ABP∽△PCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，∵﹣＜0，∴x＝m时，y有最大值，∵点E在线段CD上，CD＝2cm，∴≤2，∴m≤4，∴0＜m≤4．1．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．2．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．3．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．【解答】解：A、＝，B、＝，C、＝，D、＝，∵＝＝≠，∴B选项不符合标准，故选：B．4．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则△A′B′C′面积为（）A．B．6C．4D．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：根据题意知，△ABC∽△A′B′C′，∵，∴△ABC的面积：△A′B′C′面积＝9：4．又∵△ABC的面积为9，∴△A′B′C′面积为4．故选：C．5．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′＝2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．2：3B．4：3C．2：9D．4：9【分析】根据题意求出OA：OA′＝2：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝2：5，∴OA：OA′＝2：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝2：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为2：3，故选：A．6．小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为10m，则这棵树的高为m．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：设这棵树的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，则可列比例为：，解得：x＝8．故答案为：8．7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝4.5，答：实像CD的高度为4.5cm，故答案为：4.5．8．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可．【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴AG∥DH，∴△CDH∽△CAG，∴＝，即，∴AG＝14米，∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），∴旗杆AB的高度为17.5米．9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2，则这个矩形的长、宽各是多少？【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可．【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形，∴MN∥PQ，即PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC；（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∵PN：PQ＝1：2，∴PQ为长，PN为宽，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，∴＝，解得x＝，2x＝．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长mm，宽为mm．10．（2022•禅城区校级模拟）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，（1）图②中y与x的函数关系式为；（2）求证：△CDE∽△ADF；（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式．（2）利用两边成比例夹角相等证明△CDE∽△ADF即可．（3）分三种情况：①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，②若DE＝EG，如图①，作EH ∥CD，交AD于H，③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，分别列方程计算可得结论．【解答】（1）解：设y＝kx+b，由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4，代入得：，，∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．（2）证明：∵BE＝x，BC＝2∴CE＝2﹣x，∴＝＝，＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠DAF＝90°，∴△CDE∽△ADF，∴∠ADF＝∠CDE．（3）解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DGE＝∠GEB，∴∠DEG＝∠BEG，在△DEF和△BEF中，，∴△DEF≌△BEF（AAS），∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，x＝．②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，∵AD∥BC，EH∥CD，∴四边形CDHE是平行四边形，∴∠C＝90°，∴四边形CDHE是矩形，∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，∴HG＝DH＝2﹣x，∴AG＝2x﹣2，∵EH∥CD，DC∥AB，∴EH∥AF，∴△EHG∽△F AG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝（舍），经检验x＝是分式方程的解，∴x＝．③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DEC，∴∠GED＝∠DEC，∵∠C＝∠EDF＝90°，∴△CDE∽△DFE，∴＝，∵△CDE∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∴2﹣x＝，∴x＝．综上，x＝或或．1.（2021·浙江绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB＝2（m），故选：A．2.（2021·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．【解答】解：如图，点G（4，2）即为所求的位似中心．故答案是：（4，2）．3.（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．4.（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．5.（2021·浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．【分析】（1）①设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），得出AE＝OF，AE∥OF，由平行四边形的判定可得出结论；②过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，证明△AEO∽△BDO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P 的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，证明△AEO∽△GHP，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．1．（2021•温州模拟）如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（）A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m【分析】首先根据正六边形的面积可得正六边形的边长，进而可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：设正六边形的边长是xm，则x•x••6＝，解得x＝1.5，如图，依题意知DF＝FE＝0.5米，FG＝0.75米，CG＝0.75米，∵DE∥BC，∴△F AE∽△GAC，∴，即＝，解得：AF＝1.5，∴AG＝1.5+0.75＝2.25（m），答：吊灯距地面的高度为2.25m．故选：A．2．（2021•临海市一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC＝20m，MP＝2.5m，则楼高AB为（）A．15m B．16m C．18m D．20m【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵，即，∴楼高＝16米．故选：B．3．（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1B．点P2C．点P3D．点P4【分析】延长CA、DB交于点P 1，根据位似中心的概念得到答案．【解答】解：延长CA、DB交于点P1，则点P1为位似中心，故选：A．4．（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（）A．B．C．或D．或【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．【解答】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，而B的坐标为（﹣1，1），∴B'的坐标为（﹣，）或（，﹣）．故选：C．5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），∴OA＝1，OD＝3，即＝，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴＝＝，故选：B．6．（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝米．【分析】延长CG交FH于M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：如图，延长CG交FH于M，∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，∴△GFM∽△CDM，∴，设FM为a米，则a＝（a+2）×，解得：a＝，设BD＝x米，AB＝y米，同理可得，△CMD∽△AMB，∴，，可得，，整理得：，解得：，经检验是分式方程组的解，∴AB＝5米．故答案为：5．7．（2022•鹿城区校级一模）如图，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形，请分别在图1和图2中按要求作图．（1）在图1中以O为位似中心，作格点三角形△A1B1C1，使其与△ABC位似比为1：2．（2）在图2中作格点线段BM⊥AC．【分析】（1）连接OA，OB，OC，取OA，OB，OC的中点A1，B1，C1，连接A1B1，B1C1，C1A1即可；（2）利用数形结合的思想作出线段BM即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，线段BM即为所求．8．（2021•永嘉县校级模拟）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求；（1）等腰三角形ABC的面积S△ABC；（2）正方形DEFG的边长．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝BC＝30（cm），根据勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面积公式即可得到结论；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，根据三角形的面积公式得到BM＝48（cm），根据正方形的性质得到FG∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，∴BH＝BC＝30（cm），∴AH＝＝＝40（cm），∴S△ABC＝BC•AH＝60×40＝1200（cm2）；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，则S△ABC＝AC•BM＝1200，∵AC＝50cm，∴BM＝48（cm），∵四边形DEFG是正方形，∴FG∥DE，∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，∴＝，∴，∴FG＝，∴正方形DEFG的边长为．9．（2021•海曙区模拟）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：＝，解得：AC＝2（m），答：滑梯的高AC为2m；（2）∵tan∠ABC＝＝＝＜tan30°＝，∴∠ABC＜30°，∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．10．（2021•婺城区校级模拟）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D 不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ＝y，推出PC＝y，在Rt△PHB 中，BH＝x，PH＝x，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE与△BCP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠PCB＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCP＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．。

专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。

浙江省中考数学总复习第28讲相似三角形优质课件一、教学内容本讲主要依据浙江省中考数学总复习教材，针对第28讲“相似三角形”进行深入讲解。

具体内容包括教材第三章第五节“相似图形”，详细内容涉及相似三角形判定、性质及其应用。

还包括相似三角形实际应用问题，以便学生能将理论知识与实际情境相结合。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握相似三角形判定定理、性质及应用，能运用相似三角形解决问题。

2. 过程与方法：培养学生运用几何直观和逻辑推理分析问题、解决问题能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学兴趣，增强其探究精神，使其体会到数学在实际生活中应用。

三、教学难点与重点1. 教学难点：相似三角形判定与应用、性质理解及运用。

2. 教学重点：掌握相似三角形判定定理、性质，并能解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板、量角器。

2. 学具：直尺、圆规、三角板、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中相似三角形例子，如三角形太阳能电池板摆放，引导学生发现相似三角形应用。

2. 知识讲解：（1）相似三角形判定定理：通过讲解例题，引导学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS判定定理。

（2）相似三角形性质：通过例题讲解，让学生理解相似三角形对应角相等、对应边成比例等性质。

3. 随堂练习：布置一些相似三角形判定和性质应用题目，让学生当堂完成，并及时给予反馈。

4. 例题讲解：挑选具有代表性例题，详细讲解解题思路和步骤，引导学生运用所学知识解决问题。

六、板书设计1. 相似三角形判定定理：（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS2. 相似三角形性质：（1）对应角相等（2）对应边成比例3. 例题及解题步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF周长。

（2）在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上点，且BD=3cm，DE=4cm，EC=5cm，求证：三角形BDE与三角形CAB相似。

浙江省中考数学总复习第28讲相似三角形课件一、教学内容本讲主要依据浙江省中考数学总复习要求，围绕教材中相似三角形的内容进行深入讲解。

详细内容包括：相似三角形的判定（SAS、SSS、AA相似判定法）、相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例）、相似三角形的应用（主要包括解三角形、图形的放大与缩小等）。

涉及教材的第三章第三节“相似图形的判定与性质”及第四章第一节“相似三角形的应用”。

二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的判定方法及性质；2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如求三角形边长、角度等；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点重点：相似三角形的判定方法、性质及应用。

难点：相似三角形的实际应用问题，特别是综合应用相似与其他数学知识的题型。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板；2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示图片或实际物体，让学生观察并发现相似三角形在生活中的应用，如地图、建筑设计等。

2. 例题讲解：讲解教材中的典型例题，引导学生掌握相似三角形的判定与性质。

3. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 知识拓展：介绍相似三角形在其他领域的应用，如摄影、艺术等。

六、板书设计1. 相似三角形的判定：SAS、SSS、AA2. 相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例3. 相似三角形的应用：解三角形、图形的放大与缩小七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求三角形ABC的面积。

（2）已知三角形DEF中，∠D=60°，∠E=40°，DF=8cm，求DE和EF的长度。

2. 答案：（1）三角形ABC的面积为24cm²。

（2）DE=8√3 cm，EF=4√3 cm。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生在课堂中的表现，针对学生的疑问和困难，进行针对性的解答和辅导。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩比例的性质平行线分线段成比例成比例线段平行线分线段成比例定理相似三角形定义相似三角形的基本判定相似三角形判定相似三角形性质位似一、比例的性质1．a cad bc b d=⇔=，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理)； 3．a c a bb dcd =⇔=(或d c b a =)(更比定理)；4．a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理)； 5．ac a b cd b d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c d b d a b c d++=⇔=--(合分比定理)； 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、 黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，相似三角形知识精讲知识网络图0.382BC AB AB =≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．AAB C D E FFEDC B A A BE F F ECBA2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .参考答案1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DE B ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC.即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BO E ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ，所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠A DB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE.∴∠BEP ＝∠BFD.又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP BD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE.∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF.设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQQD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC DAF ＝∠G ，ADF ＝∠CDG ，＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，(第4题①)∴∠FCD ＝∠B.又∵∠D 为公共角，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD.∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠MCF.又∵∠AME ＝∠CM F ，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD，∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC.又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM.∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD ＝2.∴BC ＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD.∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD.由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M.∵CM ∥AB ，∴∠FCM ＝∠B ，∠FMC ＝∠FDB.∴△CMF ∽△BDF.∴BF CF ＝BD CM.又∵CM ∥AD ，∴∠A ＝∠ECM ，∠ADE ＝∠CME.∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD CM.∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC.即AE·CF ＝BF·EC.2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG.∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF.即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD.4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°.∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM.∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.即∠EAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA.∴AM MD ＝ME AM.即AM 2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM ，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴BP CN ＝BM CP.即BP·CP ＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠EDB ＝180°，∠ACB ＋∠FED ＝180°.∴∠FED ＝∠EDB.又∵∠EDF ＝∠DBE ，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EF DE.即DE 2＝DB·EF.又由△DEF ∽△BDE ，得∠GED ＝∠EFD.∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF.∴DG DE ＝DE DF.即DE 2＝DG·DF.∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠AB G ＝90°.∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴AE DE ＝PE BE.即AE·BE ＝PE·DE.又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC CEB.∴AE CE ＝CE BE.即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE.∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB ＝BF BE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA.∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC ＝BD AB.∴BF BE ＝AB BC.9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC.10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB ＝AE AD.即AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC.∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC .11．证明：连接PC ，如图所示．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线，∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA.即PA 2＝PB·PC.∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE //AB ，∴32CE CD AE BD ==∴CE CA 的值为35．故答案为A ．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即932AE =，∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选C ．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、若AB AC AD AE =，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项A 不符合题意；B 、若AB BC AD DE =，且∠DAE=∠BAC ，无法判定△ABC ∽△ADE ，故选项B 符合题意；C 、若∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项C 不符合题意；D 、若∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE=.∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴()906012045AB m ⨯==故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，//,//AB DE AC DF∴12OA OB OD OE ==12AC OA DF OD ∴==∴△ABC 与△DEF 的相似比为：1∶2∴△ABC 与△DEF 的面积比为：1∶4故选C ．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD =，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵∥DE BC ，∴ADE B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABC ADE ∽，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴13ADE ABC C C ∆∆=：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ，AEC △∽FEB ，AEC △∽FDC △，可求解．【详解】解：A A ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽ADB ，ACE ABD ∴∠=∠，又90AEC BEC ∠=∠=︒ ，AEC ∴ ∽FEB ，ACE ACE ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽FDC △，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE 为△ABC 的中位线，那么DE ∥BC ，DE ：BC =1：2．∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1：2，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC AD BC AB=，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BC BD AB=，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为：:8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴AEB ADC ∠=∠，ABE ACD ∠=∠，又∵A A ∠=∠，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BE CD，∵BE ＝1.5m ，AB ＝3m ，AC ＝10m ，∴3 1.510CD=，解得，5CD =，即建筑物CD 的高是5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】ADE B∠=∠【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B ∠=∠，A A∠=∠ ABC ADE∴ ～故答案为：ADE B ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即23 AD AEAB EC==，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD ∥BF ，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，∴DE DF AE BF =，△DEF ∽△DAB ，∴EF DF AB DB=，∵AB =AD =CD ，∴EF DF AD DB =，EF DF CD DB=，∴选项A 、B 、D 正确；选项C 错误；故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形，可得∠A =∠B =60°，△AFD ∽△BFG ，即可求出FG =7，而AD =10，DF =14，BF =8，可得AB =32=AC ，故CG =AC -AF -FG =9．【详解】解： 三角形ABC 是正三角形，60A B ∴∠=∠=︒，AFD BFG ∠=∠ ，AFD BFG ∴∆∆∽，∴DF AF FG BF =，即14168FG =，7FG ∴=，10AD = ，14DF =，8BF =，32AB ∴=，32AC ∴=，321679CG AC AF FG ∴=--=--=；故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明AFD BFG ∆∆∽，从而求出FG 的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，90AOB ∠=︒Q ，90AOC BOD ∴∠+∠=︒，B AOC ∴∠=∠，ACO ∴ ∽ODB △，AC CO OD DB∴=，又A 的坐标是()2,1-，点B 的横坐标是2，∴AC ＝1，CO ＝2，OD ＝2，122DB∴=，即4DB =，∴:B 的纵坐标是4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．4．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =【答案】D【分析】根据DF BE ∥，DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【详解】解：DF BE ∥，AD AF BD EF∴=，故A 选项比例式正确，不符合题意；DF BE ∥，ADF ABE ∴△∽△，DF AF EB AE∴=，故B 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，AD AE AB AC∴=，故C 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，DE AF BC FEAF AC =≠∴故D 选项比例式不正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m ，同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ，然后加上墙上的影长CD 即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为m x ，由题意得，140.5x =，解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ，∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∆∆∽和ADE FBE ∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：AD BC ，ADG FCG ∴∆∆∽，2AD AG CF GF∴==，∴ADG ∆与CFG ∆的面积之比4:1，AD BC ，ADE FBE ∴∆∆∽，25AD AE BF EF ∴==，令GF a =，则2AG a =，设,2AE x EG a x ==-，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==，:3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．【答案】(1)12(2)CH =【分析】（1）由正方形的性质得出AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，证出ADK FGK V :V ，得出比例式求出3342GK DG ==，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出AM =4，FM =2，∠AMF =90°，根据正方形性质求出∠ACF =90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF =，根据勾股定理求出AF ，即可得出结果．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK V :V ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan 32GK GFK FG ∠===；（2）解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，∴AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，如图所示：则AM =BC +CE =1+3=4，FM =EF-AB =3-1=2，∠AMF =90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD =∠GCF =45°，∴∠ACF =90°，∵H 为AF 的中点，∴12CH AF =，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：22224225AF AM FM =+=+=，∴152CH AF ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．【答案】(1)见解析937【分析】（1）由相似可得FAB BCE ∠∠=，再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ∠∠==︒，，从而可求得180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，则有FAD BAC ∠∠=，即可求得FAD ∠的度数；（2）结合（1）可求得73AE =，再由相似的性质求得33AF =tan FEA ∠的值．（1）ABF ∽CEB ，FAB BCE ∠∠∴=，四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC DAB ABC ∠=∠=︒∥，，DAC ACB ∴∠=∠，180BCE ACB ∠∠+=︒ ，180FAB DAC ∠∠∴+=︒，即180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，90180FAD DAC ∠∠∴+︒+=︒，90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒ ，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC中，tan 3BC BAC AB ∠== ，30BAC ∴∠=︒，30FAD ∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC ∠∠=︒=︒，，2212AC BC ∴==⨯=，17233AE AC CE ∴=+=+=，ABF ∽CEB ，AF AB BC CE∴=，即113AF =，∴=AF 由（1）得：90FAD DAC ∠∠+=︒，则90FAE ∠=︒，在Rt FAE中，tan 3AF FEA AE ∠==【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ∠∠=．。

2019备战中考数学基础必练（浙教版）-相似三角形（含解析）一、单选题1.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm2.若△ABC∽△A΄B΄C΄，∠A=40°，∠B=110°，则∠C΄=（）.A. 40°B. 110°C. 70°D. 30°3.下列各组图形必相似的是（）A. 任意两个等腰三角形B. 有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形C. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形4.若3y﹣6x=0，则x：y等于（）A. ﹣2：1B. 2：1C. ﹣1：2D. 1：25.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A. B. 2 C. D.6.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③AC＝10( )米；④BC＝10(3− )米或10(−1)米．A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ④7.如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A. 1.5米B. 2.3米C. 3.2米D. 7.8米8.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A. B. C.D.9.如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题10.一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为________米．11.若，则________．12.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________．13.如图，锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D．请写出图中的一对相似三角形，如________．14.若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是________．15.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD不BC相交不点E,则的值等于________.16.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ 与△ABC相似，那么AP的长等于________17.已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是________厘米．18.已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为________19.如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD 的长是________ ．三、解答题20.已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．21.如图，DE∥BC，EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，求DB的长．22.已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a，b，c的值．四、综合题23.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．24.（1）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．⑴当AD=3时，=________；⑵设AD=m，请你用含字母m的代数式表示．________（2）问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD= BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示.________ 25.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm.（1）求线段d的长．（2）已知线段a、b、c ，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c 的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得5：2.5=9：x，解得：x=4.5，故答案为：C.【分析】要制作两个形状相同的三角形框架，其实质就是做两个相似的三角形框架，设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求解即可得出答案。

考点19 相似三角形基本模型相似三角形在初中数学中因为不同类型的规律比较明显，所以被总结了很多的模型，比如：A 字图、8字图、母子三角形、一线三等角、手拉手相似等。

而掌握了这类模型的套路后，可以更快的应对相似三角形类的应用。

所以考生需要对该考点完全掌握。

一、A 字图及其变型二、8字图及其变型三、一般母子型四、一线三等角五、手拉手模型考向一、A 字图及其变型“斜A 型”型在圆中的应用：如图可得：△PAB ∽△PCD1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB＝（ ）A．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：21【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：2：5，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，然后设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是3a，21a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB＝1：2：5，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是4a，25a，则S四边形DFGE＝S△AFG﹣S△ADE＝3a，S四边形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝21a，∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：3：21．故选：D．3．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是　54或　平方厘米．【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出AD长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题．【解答】解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），∵∠C＝∠DAB＝90°，∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，∴22+92＝72+AD2，∴AD＝6（cm），∴△ADB的面积＝AD•AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝DC•BC＝×2×9＝9（cm2），∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，∴△MDA∽△MBC，∴＝＝＝，∴＝，∴S＝54（cm2）．（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，∴＝＝＝，∴＝，∴S′＝（cm2），∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2．故答案为：54或．4．如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC＝6cm，DE ＝3cm，EF＝2cm，那么△ABC的面积是　12　cm2．【分析】过点A作AN⊥BC，先利用相似三角形的判定说明△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的性质求出△ABC的高，最后利用三角形的面积得结论．【解答】解：过点A作AN⊥BC，垂足为N，交GF于点M．∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥DE，GF＝DE＝3cm，EF＝MN＝2cm．设AM＝acm，则AN＝（a+2）cm．∵GF∥DE，∴△AGF∽△ABC．∴＝．∴＝．∴a＝2．∴AN＝4cm．S△ABC＝BC•AN＝6×4＝12（cm）2．故答案为：12．5．如图▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接EC、BD交于点G，EC交AD于F，已知EA：AB＝1：2．（1）求EF：EC；（2）求FG：GC．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解即可；（2）利用相似三角形的判定，先说明△EAF∽△CDF，再利用相似三角形的性质和比例的性质求出BC：FD，最后通过说明△FDG∽△CBG，利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC．（1）∵EA：AB＝1：2，∴＝．∵AD∥BC，∴＝＝．（2）∵AB ∥CD ，∴△EAF ∽△CDF ．∴＝＝＝．∴＝＝．∵AD ∥BC ，∴△FDG ∽△CBG ．∴＝＝．考向二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型1．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由AD ，BE 是△ABC 的中线，得到DE 是△ABC 的中位线，推出△DEG ∽△ABG ，△CDE ∽△CBA ，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD ，BE 是△ABC 的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，∴S△AGB：S△AEB＝2：3，∵AE＝EC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB＝S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴S△CDE＝S△ABC，∴＝，结论成立的是＝，故选：C．2．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC 于点G，则S△CFG：S△DEG等于（ ）A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2【分析】利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，，再根据线段中点的定义可得CF＝BC＝AD，然后证明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BC，∴CF＝AD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠GCF，∠EDG＝∠C，∴△EDG∽△FCG，∵DE：AD＝1：3，∴DE＝AD，∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，故选：A．3．如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为　6　．【分析】根据题中作图判断EP是∠DEC的角平分线，利用线段比和勾股定理求出EC，再利用角平分线的性质和平行线的性质得到CG，利用相似三角形的判定和性质求出DH，最后利用勾股定理得结论．【解答】解：∵以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP，∴EP是∠DEC的角平分线，∴∠DEG＝∠CEG．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝16，∠D＝90°，AD∥BC．∵AE：AD＝1：4，AE+ED＝16，∴AE＝4，ED＝12．在Rt△EDC中，EC＝＝＝20．∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEG＝∠CEG．∴EC＝CG＝20．∵AD∥BC，∴△EDH∽△GCH．∴＝＝＝．∵DH+HC＝CD＝16，∴DH＝6．在Rt△EDH中，EH＝＝＝＝6．故答案为：6．4．如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到∠ABE＝∠CGE，再利用对顶角相等，可得△ABE∽△CGE；（2）利用平行四边形对边平行，证明△AEF∽△CEB，得到，再由（1）得，，从而求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠CGE，又∵∠AEB＝∠CGE，∴△ABE∽△CGE．（2）解：设FD＝m，则AF＝2m，∴AD＝3m，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3m，∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝∠CBE，∴△AEF∽△CEB∴＝＝，又∵△ABE∽△CGE，∴＝＝．即的值为．5．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．（1）在图①中，的值为　1：3　；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可．（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD，∴△PCD∽△PBA．∴＝＝，故答案为：1：3；（2）①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．由勾股定理知：AB＝＝5．∵AP＝3，∴BP＝2．∵BE∥FA，∴△EPB∽△FPA．∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；②如图③所示，作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB ∥CD ，∴△APB ∽△CPD ．考向三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：1．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，有下列条件：①∠A ＝∠BCD ；②∠A +∠BCD ＝∠ADC ；③；④BC 2＝BD •BA ．其中能判断△ABC 是直角三角形的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据题目中①②③④给出的条件分别判定△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 即可求得∠ACB ＝90°，计算能求证△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 的个数即可解题．【解答】解：①∵∠A ＝∠BCD ，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，故本命题成立；②条件不足，无法求证∠ACB ＝90°，故本命题错误；③∵BD ：CD ＝BC ：AC ，∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴Rt △ADC ∽Rt △CDB ，（因为都有一个直角，斜边直角边成比例）∴∠ACD ＝∠B ；∵∠B +∠BCD ＝90°，其中：∠A 是公共角AB 是公共边BD 与BC 是对应边∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°；故本命题正确；④∵BC2＝BD×BA，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝90°，故本命题成立，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）A．B．C．D．【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝22.5°．∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，∴AE＝CE＝BE＝AB．∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，∵CD⊥AB，∴CD＝DE．设CD＝DE＝x，则CE＝，∴AE＝x，∴AD＝AE+DE＝（+1）x，∴＝+1．故选：B．3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为　8　．【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，则BF＝CF，△DEF ∽△BED∽△BDF，得出＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，得出BC＝8x，DE＝x，得出CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，证明△CDF∽△CBA，得出＝，代入计算即可得出结果．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠DBC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．考向四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型1．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．点C为BD上一点，连接AC、CE．当BC＝（ ）时，可使AC⊥CE．A．3B．2或4C．D．2或3【分析】根据垂直定义可得∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ACB＝90°，再利用平角定义可得∠ACB+∠ECD＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ECD＝∠A，从而证明△ABC∽△CDE，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠ECD＝∠A，∴△ABC∽△CDE，∴＝，∴＝，解得：BC＝2或BC＝4，∴当BC＝2或4时，可使AC⊥CE，故选：B．2．如图，点A，B，C在同一直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，则下列结论：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正确的结论有（ ）个．A．0B．1C．2D．3【分析】根据三角形内角和和平角的定义可得①正确，进行可得△ABD∽△CEB，得出②正确；由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应线段成比例，得出结论．【解答】解：由图可知，∠A+∠D+∠ABD＝180°，∠ABD+∠DBE+∠CBE＝180°，∵∠A＝∠DBE，∴∠D＝∠CBE，故①正确；∵∠A＝∠C，∴△ABD∽△CEB，故②正确；∴＝，故③正确；故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC 于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（ ）A．B．C．D．【分析】过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，∠DAB ＝∠ABC＝90°，从而可得四边形AMNB是矩形，进而可得∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN ∥AB，然后设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，再证明A字模型相似三角形△DME∽△DAB，并利用相似三角形的性质求出DM，从而求出AM，GN的长，最后证明一线三等角模型相似三角形△AME∽△ENG，利用相似三角形的性质列出关于x的方程，进行计算即可求出ME，AM的长，从而在Rt△AME 中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，∴∠ENB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，∠DEM＝∠DBA，∴△DME∽△DAB，∴＝，设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，∴＝，∴DM＝x，∴BN＝AM＝AD﹣DM＝6﹣x，∵BG＝2，∴GN＝BN﹣BG＝4﹣x，∵EG⊥AE，∴∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠GEN＝90°，∵∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠GEN，∵∠AME＝∠ENG＝90°，∴△AME∽△ENG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝8，经检验：x1＝，x2＝8都是原方程的根，x2＝8（舍去），∴ME＝，AM＝6﹣x＝，∴AE＝＝＝，故选：B．4．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝34，cos∠ABC＝，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF＝EC，交BC的延长线于点F，设BD＝x．（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；（2）若CE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD＝∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．【分析】（1）可推出△ABD是等腰三角形，从而求得BD；（2）作AK⊥BC于K，EH⊥CF于H，可证得△AKD∽△DHE，可求得AK＝8，DK＝x﹣6，EH＝y，DH＝34﹣x+y，进一步求得结果；（3）推出可以是△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，可推出△GDE≌△CDE及△ABD≌△AGD，进而求得此时BD的值；当△GDE∽△CED时，推出四边形ADFED是平行四边形，再根据△AKD∽△DTE，进而求得此时BD．【解答】解：（1）如图1，作AK⊥BC于K，∴BK＝AB•cos∠ABC＝10×＝6，∴AK＝＝＝8，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠F，∵CM∥AB，AD∥EF，∴∠B＝∠ECF，∠ADB＝∠F，∴∠B＝∠ADB，∴AB＝AD，∴BD＝2BK＝12；（2）如图2，作AK⊥BC于K，EH⊥CF于H，∴∠ADK＝∠CHE＝90°，∴∠ADK+∠DAK＝90°，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∴∠ADK+∠EDH＝90°，∴∠DAK＝∠EDH，∴△AKD∽△DHE，∴＝，∵BD＝x，BK＝6，BC＝34，∴DK＝x﹣6，DC＝34﹣x，∵∠ECF＝∠ABD，∴CH＝CE•cos∠ECF＝y•cos∠ABD＝，∴EH＝y，∴DH＝DC+CH＝34﹣x+，∴＝，化简，得，y＝，当∠HDE＝∠ECF时，DE∥CE，∴∠DAK＝∠ECH＝∠ABD，∴DK＝AK•tan∠DAK＝8•tan∠ABK＝8×＝，此时，BD＝BK+DK＝6+＝，∴6＜x＜；（3）如图3，∵∠AGD＝∠F，∠AGD+∠DGE＝180°，∴∠DGE+∠F＝180°，∵∠ECF+∠DCE＝180°，∠F＝∠ECF，∴∠DGE＝∠DCE，∴△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，∠GDE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△CDE≌△GDE（AAS），∴DG＝DC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝∠ADG+∠GDE＝90°，∴∠ADB＝∠ADG，∵∠ABD＝∠ECF＝∠F，∴∠ABD＝∠AGD，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AGD（AAS），\∴DB＝DG，∴BD＝CD＝BC＝17，∵6＜BD＜，∴BD＝17不符合题意，舍去；当△GDE∽△CED时，如图4，∠GDE＝∠DEC，∠GED＝∠CDE，∴DG∥CE，CD∥GE，∴四边形CDGE是平行四边形，由（1）（2）知，AK＝8，DK＝x﹣6，CD＝34﹣x，△AKD∽△DTE，∴ET＝AK＝8，CT＝BK＝6，DT＝40﹣x，∴＝，∴＝，∴x＝8，综上所述：BD＝8．考向五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC ∽△ADEA 、D 、E 逆时针A 、B 、C 逆时针连结BD 、CE ①△ABD ∽△ACE ②△AOB ∽△HOC③旋转角相等④A 、B 、C 、H 四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC ∽△ADE A 、D 、E 顺时针A 、B 、C 逆时针A 、D 、E`逆时针作△ADE 关于AD 对称的△ADE`性质同上①②③1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，且△ABC ∽△AB 'C '，连接CC '，将CC ′沿C ′B ′方向平移至EB '，连接BE ，若CC '＝，则BE 的长为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【分析】连接BB′，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得＝，再利用相似三角形的性质可得＝，∠ACB ＝∠AC ′B′＝90°，∠BAC ＝∠B ′AC ′＝30°，从而利用等式的性质可得∠BAB ′＝∠CAC ′，进而可证△BAB ′∽△CAC ′，然后利用相似三角形的性质可得∠BB ′A ＝∠CC ′A ，＝＝，再利用平移的性质可得CC ′∥B ′E ，＝＝，从而利用平行线的性质可得∠BB ′E ＝30°，最后证明△BCA ∽△BEB ′，从而可得∠BEB ′＝90°，进而在Rt △BEB ′中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：连接BB ′，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴cos30°＝＝，∵△ABC∽△AB'C'，∴＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△BAB′∽△CAC′，∴∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，由平移得：CC′＝B′E＝，CC′∥B′E，∴＝＝，∵CC′∥B′E，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，∴∠BB′E＝30°，∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，∴△BCA∽△BEB′，∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，∴BE＝B′E•tan30°＝×＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP 绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK＝，∵AB＝AC＝3，KC＝3，∴AK＝＝6，∴AQ＝AK﹣QK＝5，∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴，∴，∴QP'＝，∴CD＝P′＝．3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．【分析】（1）利用两个角相等可得△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①利用两边成比例且夹角相等证明△DBC∽△DC'A，得，∠DC'A＝∠DBC，可得结论；②分点C'在线段AB或AB的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理列方程可得答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①，AC'⊥BC，理由如下：由（1）知，在图1中，△ABC∽△CBD∽△ACD，∴，如图2，∵∠BDC'＝∠CDA＝90°，∴∠BDC＝∠C'DA，∴△DBC∽△DC'A，∴，∠DC'A＝∠DBC，∵∠DEB＝∠CEC'，∴∠C'FE＝∠BDC'＝90°，∴AC'⊥BC，∴，AC'⊥BC；②如图，当点A、B、C'在同一直线上时，由①知，，AC'⊥BC，设BC＝x，AC'＝2x，在Rt△ACB中，由勾股定理得，x2+（2x﹣）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），如图，当A、C'、B在同一直线上时，同理可得，x2+（2x+）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），综上：BC＝或．1．（2022秋•泗阳县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC ＝6m．则建筑物CD的高是（ ）A．4m B．9m C．8m D．6m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴＝，∴＝，∴CD＝6（m），故选：D．2．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积，最后利用面积的和差关系得结论．【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB．∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CBA．∵，∴＝．∴＝．∴＝（）2＝，＝（）2＝．∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF＝S△ABC，∴S平行四边形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．故选：B．3．（2022秋•海淀区校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD ＝∠B，则CD＝ ．【分析】根据已知易得BC＝6，从而可得CP＝4，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而利用三角形内角和定理可得∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，然后利用平角定义可得∠APB+∠DPC＝180°﹣∠B，从而可得∠DPC＝∠BAP，进而可得△ABP∽△PCD，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BP＝BC＝2，∴BC＝3BP＝6，∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，∵∠APD＝∠B，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴＝，∴CD＝，故答案为：．4．（2022秋•万州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF＜FC，且AF⊥FE．对角线AC与EF交于点G，则GC的长为 ．【分析】根据矩形的性质可得∠B＝∠FCE＝90°，由∠AFB+∠EFC＝∠AFB+∠BAF可得∠EFC＝∠BAF，以此证明△ABF∽△FCE，根据相似三角形的性质得，设BF＝x，则CF＝9﹣x，以此列出方程解得BF＝3，CF＝6，过点G作GH⊥BC于点H，再证明△CHG∽△CBA，△FHG∽△FCE，得到，，联立两式子，算出CH、GH，最后根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠FCE＝90°，∵AF⊥FE，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠EFC＝∠BAF，∴△ABF∽△FCE，∴，设BF＝x，则CF＝9﹣x，∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，E为CD的中点，∴CE＝3，∴，整理得：x2﹣9x+18＝0，解得：x1＝3，x2＝6，∵BF＜FC，∴BF＝3，CF＝6，过点G作GH⊥BC于点H，如图，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴GH∥AB，GH∥CD，∴△CHG∽△CBA，△FHG∽△FCE，∴，，∴①，②，联立①②得：，解得：，在Rt△CHG中，由勾股定理得GC＝．故答案为：．5．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC 和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N 两点．请完成下列探究：（1）若AC＝2，则AN•BM的值为　4　；（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为 ．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，可得∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，即可证明△ACN∽△BMC，可得＝，即可求解；（2）过点C作CG⊥AB于点G，可得∠CGN＝∠CFM＝90°，由等腰直角三角形的性质可得∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，从而可得∠NCG＝∠MCF，可证得△GCN∽△FCM，可得＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，即可求解＝．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，BC＝AC＝2，∵∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，∴∠ACN＝∠BMC，∴△ACN∽△BMC，∴＝，∵BC＝AC＝2，∴AN•BM＝AC•BC＝4，故答案为：4；（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵MF⊥AC，∴∠CGN＝∠CFM＝90°，∵∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，∴∠NCG＝∠MCF，∴△GCN∽△FCM，∵＝，∴＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，∴＝，故答案为：．6．（2022秋•驻马店期末）如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．【分析】根据射影定理列出算式，代入数据计算即可．【解答】解：由射影定理得，AB2＝BD•BC，则BD＝＝1.6．7．（2022秋•开化县期中）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长．【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，可得出∠BCA＝∠ECD，结合∠A＝∠D，可证出△ABC∽△DEC；（2）由△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性质可得出AC：DC＝BC：CE，结合已知条件，可求出EC 的长．【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ACE，即∠BCA＝∠ECD．又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．（2）解：∵△ABC∽△DEC，AC：DC＝2：3，∴AC：DC＝BC：CE＝2：3，而BC＝6，∴EC＝9，∴EC的长为9．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由AE2＝AG•AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB∥CD；（2）∵AE2＝AG•AC，∴＝，∵∠EAG＝∠CAE，∴△AEG∽△ACE，∴∠AEG＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAG，∴∠DAG＝∠AEG，∵∠ADG＝∠EDA，∴△ADG∽△EDA，∴，即＝．9．（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的长；（2）若CD＝6，求AB的长；（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．【分析】（1）根据AB∥EF得到△CEF∽△CAB，接着利用相似三角形的性质得到EF：AB＝2：3＝CE：CA，由此求出CA＝6即可求解；（2）根据AB∥EF∥CD，得到△ABE∽△CDE，接着得到AB：CD＝AE：CE，利用比例的性质最后得到EFAE：CE＝AB：CD＝1：2即可求出AB＝3；（3）由于△CEF∽△CAB得到S△CEF：S△CAB＝＝＝，由此即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，∴EF：AB＝2：3＝CE：CA，∵CE＝4，∴2：3＝4：CA，∴CA＝6，∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2；（2）∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：CD＝AE：CE，∵EF：AB＝2：3＝CE：CA，∴CE：EA＝2：1，∴AE：CE＝AB：CD＝1：2，而CD＝6，∴AB＝3；（3）∵△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB＝＝＝，∴＝，∴＝，∴S△CEF＝．10．（2022•文山州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作⨀O，交CD延长线于点F，AC＝3，BC＝5，AD＝1．（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）当⨀O与CD相切于点D时，求⨀O的半径；（3）若S△CDE＝3S△BDF，求DF的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BED+∠BFD＝180°，再根据同角的补角相等可得∠CED ＝∠BFD，然后根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可解答；（2）连接OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，可得DM＝BM＝DB，∠OMD＝90°，从而可得∠ODM+∠MOD＝90°，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，从而求出BD，DM的长，然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理求出CD的长，再利用切线的性质可得∠ODC＝90°，最后利用一线三等角相似模型证明△DMO∽△CAD，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答；（3）过点D作DH⊥BC，垂足为H，过点B作BG⊥CF，垂足为G，根据△BDC的面积＝BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，可求出DH＝，BG＝，再根据已知S△CDE＝3S△BDF，可得＝，然后设DF＝x，则CE＝15x，从而利用（1）的结论，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形BEDF是⊙O的内接四边形，∴∠BED+∠BFD＝180°，∵∠BED+∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BFD，∵∠DCE＝∠BCF，∴△CDE∽△CBF；（2）连接OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，∴DM＝BM＝DB，∠OMD＝90°，∴∠ODM+∠MOD＝90°，∵∠A＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝4，∵AD＝1，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，∴DM＝BD＝，在Rt△ADC中，CD＝＝＝，∵⨀O与CD相切于点D，∴∠ODC＝90°，∴∠ODM+∠ADC＝180°﹣∠ODC＝90°，∴∠MOD＝∠ADC，∵∠OMD＝∠A＝90°，∴△DMO∽△CAD，∴＝，∴＝，∴DO＝，∴⨀O的半径为；（3）过点D作DH⊥BC，垂足为H，过点B作BG⊥CF，垂足为G，∵△BDC的面积＝BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，∴BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，∴5DH＝3×3＝BG，∴DH＝，BG＝，∵S△CDE＝3S△BDF，∴CE•DH＝3×DF•BG，∴CE•DH＝3DF•BG，∴CE＝3DF•，∴＝＝，∴设DF＝x，则CE＝15x，由（1）得：△CDE∽△CBF，∴＝，∴＝，解得：x＝，经检验：x＝是原方程的根，∴DF＝x＝，∴DF的长为．1．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B点的纵坐标为6，故选：C．2．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．3．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（ ）A．B．4C．D．6【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，∴BE＝1.5，∴BD＝BE+DE＝4.5．故选：C．4．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝．故选：D．5．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC 边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②符合题意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①符合题意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的性质得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③符合题意；即可得出答案．【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合题意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合题意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合题意；故选：D．6．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F 处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（ ）A．9B．12C．15D．18【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故选：C．7．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE ＝AC ，∴△BED ∽△BAC ，∵＝，∴＝，即＝，故选：B ．8．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若AB ＝6，则△AEF 的面积为 3　．【分析】由正方形的性质可知AE ＝3，AD //BC ，则可判断△AEF ∽△CBF ，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到S △AEF ＝S △ABE ．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝AB ＝6，AD ∥BC ，∵E 为AD 的中点，∴AE ＝AB ＝3，∵AE ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴＝＝，∴S △AEF ：S △ABF ＝1：2，∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．故答案为：3．9．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D 在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是　②③　．【分析】①根据等腰直角三角形可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，则∠ADC＝∠CAD＝67.5°，这个根据已知得不出来，所以①错误；②证明△AEF∽△ABD，列比例式可作判断；④证明△ADH∽△BAH，列比例式可作判断；③先计算AH的长，由④中得到的比列式计算可作判断．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．10．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH 的值即可．【解答】解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．11．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．【分析】（1）根据题意可得BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，然后在Rt△AEC 中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答；（2）根据题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，然后证明A字模型相似三角形△ABH∽△GCH，从而可得＝，再证明A字模型相似三角形△ABF∽△EDF，从而可得＝，进而可得＝，最后求出BC的长，从而求出AB的长．【解答】解：（1）如图：由题意得：BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，在Rt△AEC中，AE＝CE•tanα＝a tanα（米），∴AB＝AE+BE＝（b+a tanα）米，∴灯杆AB的高度为（a tanα+b）米；（2）由题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，∵∠AHB＝∠GHC，∴△ABH∽△GCH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△EDF，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝0.9米，∴＝，∴AB＝3.8米，∴灯杆AB的高度为3.8米．1．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．2．（2022•南岗区三模）如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（ ）A．B．C．D．。

2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》易错题精选注意事项∶1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2. 所有答案都必须写到答题卷上。

选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。

3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。

考试时间共90分钟。

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．(本题3分)（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）下列各组线段中，成比例的是（）A．1，2，2，4 B．1，2，3，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3【答案】A【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、1×4=2×2，故选项符合题意；B、1×4≠2×3，故选项不符合题意；C、3×13≠5×9，故选项不符合题意；D、1×3≠2×2，故选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．2．(本题3分)（2022·浙江宁波·九年级期末）下列与相似有关的命题中，正确的是（）①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似．A．①②③B．①C．②D．③【答案】D【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①所有的等腰三角形都不一定相似，故原说法错误，不符合题意；②所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误，不符合题意；③所有的正六边形都相似，正确，符合题意，故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义．3．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为试卷第2页，共23页位似中心，位似比为2:3．若4AB =，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2：3， ∴AB ：DE ＝2：3． ∵AB ＝4， ∴DE ＝6． 故选：A ．【点睛】本题主要考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．4．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期中）如图，在ABC ∆中，点,,D E F 分别是边,,AB AC BC 上的点，,DE BC EF AB ∥∥，且:3:5AD DB =，则:BF CF 等于（ ）A ．5:8 B．3:8C ．3:5D ．2:55．(本题3分)（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm ，则它的长为（ ）cm A．7 B ．21-C ．7 D ．21【详解】解:一本书的宽与长之比为黄金比，6．(本题3分)（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校九年级期末）如图，点P 在ABC 的边AC 上，要判断ABP ACB ∽△△，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．ABP C ∠=∠B ．APB ABC ∠=∠C ．AP ABAB AC= D ．AB ACAP CB=【详解】解：在ABP 和△C 时，满足两组角对应相等，可判断ABC 时，满足两组角对应相等，可判断时，满足两边对应成比例且夹角相等，时，其夹角不相等，则不能判断【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．7．(本题3分)（2021·信达外国语学校九年级期中）如图，在ABC∆中，D为边BC上一点，已知53BDDC=，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则AFAC=（）A．35B．58C．313D．513EDG试卷第4页，共23页【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的性质定理，熟练掌握这些判定与性质是解答此题的关键．8．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，点C 为线段AB 的中点，在AC 上取点D ，分别以AD ，CD ，BC ，BD 为边向上作正方形ADGH ，CDKL ，BCIJ ，DBEF ，将其面积依次记为1234,,,S S S S ，在《几何原本》有这样一个结论；()14232S S S S +=+．当AB ＝2时，若A ，K ，J 共线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．109B ．1110C D试卷第6页，共23页9．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，在△ABC 中，CH ⊥AB ，CH＝5，AB ＝10，若内接矩形DEFG 邻边DG ：GF ＝1：2，则△GFC 与四边形边形ABFG 的面积比为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．2可推出CGF CAB ，即得出的值，最后根据三角形面积公式求出ABCS ，作比即可．【详解】解：设GD x =，则四边形DEFG 为ABC 的内接矩形，x =，5x -． //GF AB ，∴CGF CAB ，CI GF CH AB=，即525x x-=，解得52x =． 5252GF =⨯=，CICGFS =ABCS =CGF ABCS S=故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定和性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．10．(本题3分)（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD BC ∥，以AB 为直径的⊙O 刚好与CD 相切，连结OC 、BD 交于点F ，若8AB =，则已知下列条件中的一个即可求BF 的长的有（ ） ①BD ；②CD ；③OFCF ；④BF DF．A ．①、②、③、④B ．①、②、③C ．①、②、④D ．①、③、④试卷第8页，共23页二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）11．(本题3分)（2022·浙江嘉兴·九年级期末）如图，矩形ABCD ∽矩形BCEF ，若AB =8，BC =6，则CE 的值为______．12．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在ABC 中，//DE BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ．若12BD AD =，则ADE 与ABC 的周长之比为______．∴ADE 与ABC 的周长之比为故答案为：23．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，判定与性质．13．(本题3分)（2022·浙江·瑞安市集云实验学校九年级期中）在半径为5的圆内放置正方形ABCD ，E 为AB 的中点，EF AB ⊥交圆于点F ，直线DC 分别交圆于点G ，H ，如图所示．若4,AB EF DG CH ===，则GH 的长为 _____．根据正方形的性质推出FEB BCH ∽，根据相似三角形的性质得出是正方形， 9090︒=︒， ∴FEB BCH ∽， EF BEBC CH=， 4AB =，E 为AB 的中点，试卷第10页，共23页14．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期中）如图，DA AC ⊥，BC AC ⊥，AB 与CD相交于点E ，过点E 作EF AC ⊥交AC 于F ．且2BC =，3AD =，则EF 的长为________．,,AEF ABC CEF CDA ∽∽再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：∵DA AC ⊥，BC ⊥∴,EF BC AD ∥∥∴,,AEF ABC CEF CDA ∽∽ ∴,,EF AF EF CFBC AC AD AC== 1,EF EF AF CF ACBC AD AC AC AC+=+== 2BC =，3AD =， 1,EF EF+= 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明,AEF ABC CEF CDA ∽∽是解本题的关键．15．(本题3分)（2022·浙江·桐乡市高桥镇高桥初级中学九年级期中）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设DEk=．CE（1）若点F与点C重合，则k=__________．（2）若点F是边BC的中点，则k=__________．∽，即可得出答案．菱形的性质证明ADE HCE）当点F与点C重合时，，与BC的延长线交于点试卷第12页，共23页∴ADE HCE ∽， 2DE ADCE HC==， 故答案为：2．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的图形的性质以及掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．16．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，已知∠A =90°，AB =6，BC =10，D 是线段BC 上的一点，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交AC 边于点E ，交BC 的延长线于点F ，射线BE 交EF 于点G ，则BE •EG 的最大值为 _____．17．(本题3分)（2022·浙江舟山·九年级期末）如图，在直角ABC中，90C∠=︒，8AC=，6BC=，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN BM⊥交边AB于点N．若2CM=，那么线段AN=______；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为______．【答案】30134517##11217AHN ACB ∴∽∴AN AH NH AB AC BC==∴BCM HMN∽BC CMMH NH=643855xx y y=--整理得：25(440)x y+-1317三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）18．(本题6分)（2021·浙江·新昌县七星中学九年级期中）已知32ab=，求下列算式的值．试卷第14页，共23页(1)a bb-．(2)22a ba b-+．19．(本题6分)（2021·浙江绍兴·九年级期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺：②保留作图痕迹．(1)在图1中请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．(2)在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得∠PBA＝22.5°．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取格点E、F、J、K、G，连接EF、JK、NG交MN于点P、Q，即可得出答案；（2）连接OT，交O于一点P，连接PB，即可得出答案．（1）解：取格点E、F、J、K、G，连接EF、JK、NG交MN于点P、Q，如图所示：，交O于一点20．(本题6分)（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，(1)求证：△ABC∽△DCA．试卷第16页，共23页(2)若BC=1，AC=2，求AD的长．21．(本题7分)（2021·浙江·金华市南苑中学九年级期中）正方形ABCD边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．(1)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；(2)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．试卷第18页，共23页22．(本题8分)（2020·浙江·义乌市宾王中学九年级期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中BO ＝60米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米；乙组测得图中，CD ＝1.5米，同一时刻影长FD ＝0.9米，EB ＝18米；丙组测得图中，EF AB ∥、FH BD ∥，BD ＝90米，EF ＝0.2米，人的臂长（FH ）为0.6米，请你任选一种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明ABO CDO ∽，根据相似三角，然后求出该校旗杆的高度即可． 在ABO 和CDO 中，90ABO CDO ∠=∠=∴ABO CDO ∽， AB OB CD OD =，即1.7AB =试卷第20页，共23页解得30AB =米，即该校旗杆的高度为30米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解．23．(本题8分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD=．(1)求证：ABC AED ∽△△．(2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数．在ABC 和△AB ACAE AD BAC DAE ==∠ABC ∽△△）ABC ∽△△∴AFD BFC ∽△△，∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．(本题8分)（2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中）如图，抛物线L ：()()142y x t x t =---+（常数0t >）与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP x ⊥轴，交双曲线k y x =（0k >，0x >）于点P ，且12OA MP ⨯=．(1)求k 的值． (2)当t=1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 的对称轴之间的距离．(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像（含与直线MP 的交点）记为G ，用t 表示图像G 最高点的坐标．(4)设L 与y 轴的交点为N ，当2t =时，在x 轴上是否存在一点Q ，使ONQ △与PMQ 相似，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，请说明理由．试卷第22页，共23页。

第四章三角形4.5相似三角形（含位似）一、课标解读1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

2.通过具体实例认识图形的相似。

了解相似多边形和相似比。

3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

4.了解相似三角形的判定定理及其证明。

5.了解相似三角形的性质定理。

6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。

7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。

二、知识点回顾知识点1. 比例线段1．定义：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a b＝cd(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．2．基本性质：性质1：若ab＝cd，则ad＝bc (b≠0，d≠0)．性质2：若ab＝cd，则a±bb＝c±dd(b≠0，d≠0)．性质3：若ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，则a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab．3．比例中项：如果ab＝bc，即b2＝ac，就把b叫做a，c的比例中项．知识点2. 平行线分线段成比例1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．如图1，若l1∥l2∥l3，则ABBC＝DEEF或ABAC＝DEDF．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，3，若DE∥BC，则ADDB＝AEEC，ADAB＝AEAC等．知识点3 相似三角形的性质及判定1.定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.知识点4 相似三角形的判定方法1.（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）三边对应成比例的两个三角形相似.（3）两边对应成比例且对应边的夹角相等的两个三角形相似.（4）两角分别相等的两个三角形相似.（5）斜边和一直角边对应成比例.2. 常见的相似三角形模型（1）A字型及其变形已知BC∥DE　已知∠1＝∠B　已知∠1＝∠B（2）X字型及其变形已知AB∥DE 已知∠A＝∠D（3）旋转型（4）垂直型双垂直型 三垂直型一线三等角型知识点5 相似多边形1.概念:两个边数相等的多边形，如果它们的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比.2.性质: (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例;(2)相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.知识点5 位似1.位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似，它们的相似比又称为位似比.2.位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.位似变换的坐标:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即若原图形的某一点坐标为(x，y),则其位似图形对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).三、热点训练热点1：相似图形的概念和性质一练基础1．（2022·福建三明·一模）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则A BB C的值为（）A．710B．107C．717D．1017【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可．解：∵DE =7，EF =10，a ∥b ∥c ，∴710AB DE BC EF ==，故选A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．（2021·广东·二模）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．以B 为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB 、BC 于点F 、G ，以D 为圆心，以相同的半径画弧，交AD 于点M ，以M 为圆心，以FG 的长度为半径画弧，交 MN于点N ，连接DN 并延长交AC 于点E ．则下列式子中错误的是（ ）A ．AD AEBD EC=B ．AB ACBD EC=C ．AD DEBD BC=D ．AD AEAB AC=【答案】C 【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得=AD AE BD EC ，=AD AEAB AC ，=AB AC BD EC由相似三角形的性质可得=AD DE AB BC ，即可求解．【详解】解：由题意可得：∠ABC ＝∠ADE ，∴DE ∥BC ，∴=AD AE BD EC ，=AD AEAB AC ，=AB AC BD EC，故选项A ，B ，D 不合题意，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴=AD DEAB BC，故选项C 符合题意，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．（2022·上海虹口·九年级期末）已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________．【答案】)1cm【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝1，1．【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．4．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．【答案】25-2##-2+25【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，AB＝4，则AP AB×4＝2．故答案为2．【点睛】．5．（2018·安徽相山·中考模拟）若23a c eb d f===，则2323a c eb d f-+-+＝______．【答案】2 3【解析】【分析】根据23a c eb d f===可得222,,333a b c d e f===，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．【详解】∵23a c eb d f===∴222,,333 a b c d e f ===∴2222323223233323233233b d fa c eb d fb d f b d f b d f-´+´-+-+==´= -+-+-+故答案为：2 3【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，根据比例的性质变形是关键．6．（2021·四川德阳·的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB1，则该矩形的周长为__________________．【答案】2或4【解析】【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为2=，求出矩形的周长即可．【详解】解：分两种情况：①边AB1)3=，\矩形的周长为：134-+=；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：1)2=，\矩形的周长为12)2+=+；综上所述，该矩形的周长为2或4，故答案为：2或4．【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．二练巩固7．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．PBAP=B．PBAB=C．APAB=D．APPB=【答案】C【解析】【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，∵线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，∴x2+x－1=0，解得：1x2x=，∴PB=1∴PBAP=，APAB=APPB故选：C．【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．8．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BP APAP AB=，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对【答案】A【解析】【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则BP APAP AB=，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴BP AP AP AB=，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）如果四条线段a、b、c、d构成a cb d=，0m>，则下列式子中，成立的是（）A．b ca d=B．a c mb d m+=+C．a b d cb d--=D．a c cb d d+=+【答案】D【解析】【分析】根据比例的性质变形，再进行判断．【详解】解：A、∵a cb d=，0m>，∴b da c=；故本选项错误；B 、∵a cb d =，0m >，∴ac m bd m +¹+；故本选项错误；C 、∵a cb d =，0m >，∴a b dc bd --=-；故本选项错误；D 、∵a cb d =，0m >，∴ac c bd d+=+；故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．10．（2011·上海·中考模拟）若线段c 是线段a ，b 的比例中项，且4a =，9b =，则c =_____________．【答案】6【解析】【分析】根据比例中项的定义可得c 2=ab ，从而易求c ．【详解】解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a =4，b =9，∴c 2=36，∴c =6（负数舍去），故答案是：6．【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．11．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c---==，设23S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则nm的值为 __．【答案】1116+##0.6875【解析】【分析】设123234a b c k ---===，则21a k =+，32b k =+，34c k =-，可得414S k =-+；利用a ，b ，c 为非负实数可得k 的取值范围，从而求得m ，n 的值，结论可求．【详解】解：设123234a b ck---===，则21a k=+，32b k=+，34c k=-，23212(32)3(34)414S a b c k k k k\=++=++++-=-+．aQ，b，c为非负实数，\210 320 340kkk+ìï+íï-î………，解得：13 24k -……．\当12k=-时，S取最大值，当34k=时，S取最小值．1414162mæö\=-´-+=ç÷èø，3414114n=-´+=．\1116nm=．故答案为：11 16【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设123234a b ck---===是解题的关键．12．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）AD为面积为30 的锐角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，线段AB上的点E将AB分成两条线段的比为3∶2，过点E作BC的平行线交AC于点F，若AD＝6，则CF ＝_______．【答案】4或6【解析】【分析】根据三角形面积公式求得BC＝10，根据角的和差倍数可得∠B＝∠BAC，继而由等角对等边的性质可得BC ＝AC＝10，根据线段比例即可求解．【详解】∵S△ABC＝12AD BC×＝30，AD＝6，∴BC＝10，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°﹣∠B ，∠B ＝90°﹣∠BAD ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝90°﹣∠ACB ，∵∠ACB ＝2∠BAD ，∴∠CAD ＝90°﹣2∠BAD ，∴∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°﹣∠BAD ，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ＝10，∵点E 将AB 分成两条线段的比为3∶2，EF ∥BC ，∴2210455CF AC ==´=,或3310655CF AC ==´=，故答案为：4或6．【点睛】本题考查角的和差倍数关系，等角对等边的性质，线段的比例，解题的关键是求得BC ＝AC ＝10．三练拔高13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD ，交BC 于点F ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD =B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD +=D ．1PE PF AB CD+=【答案】A【解析】【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD =，BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD ，可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD=，可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB ，∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA ，∴△EPD ∽△ABD ，∴ EP DP AB DB=，∵//PF CD ，∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C ，∴△BFP ∽△BCD ，∴PF BP CD DB =，∵DP BP DB DB ¹，∴PE PF AB CD¹，故选项A 不正确；B ．∵//PE AB ，//PF CD ，∴AE BP ED PD =，BF BP FC PD =，∴AE BF DE CF=，故选项B 正确；C ．∵//PE AB ，//PF CD ，∴AE BP AD BD =，FC PD BC BD =，∴1AE FC BP PD AD BC BD BD+=+=，故选项C 正确，1CF AE BC AD+= ，D ．∵//PE AB ，∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA ，∴△EPD ∽△ABD ，∴ EP DP AB DB=，∵//PF CD ，∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C ，∴△BFP ∽△BCD ，∴PF BP CD DB =，∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD++=+==，故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．14．（2021·全国·0.618)»的矩形称为黄金矩形，这被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD 是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD 嵌入黄金矩形ABCD 中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC ．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若AB a =，则图中弧HF 的长为（ ）A B ．2pC ．22a p·D ．32a p·【答案】C 【解析】【分析】根据黄金矩形的定义，求出BE 长，再用弧长公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD 是黄金矩形，AB a =，∴BC AB =，BC =，∵矩形BEFC 是黄金矩形，∴BE CB =2BE GH a ==，弧HF 的长为2901802a GH p p ·=×，故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割和弧计算，解题关键是利用黄金分割求出半径，再熟练运用弧长公式进行计算．15．（2022·福建福州·一模）如图，在四边形ABCD 中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O 为AB 中点，过点O 作OM ⊥CD 于点M ．E 是AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，DE ，若∠CED = 90°且CE DE = 43．现给出以下结论：（1）△ADE 与△BEC 一定相似；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，则⊙O 与CD 可能相离；（3）OM 的最大值是52；（4）当OM 最大时，CD =12524．其中正确的是 _________ ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】利用“一线三垂直”可以判定△ADE 与△BEC 相似；再利用四边形ADMO 与四边形MOBC 相似，可知225OM AE AE =-+，即可得出OM 最大值为52，即可判定（2）、（3）、（4）．【详解】解：∵∠A = ∠B = 90°，∠CED = 90°，∴∠AED = ∠BCE ，∴V ADE ∼V BEC ．故（1）正确；∵∠OMC = 90°,∴∠ADM +∠AOM =180°，∠ADM +∠MCB =180°，∴∠AOM =∠MCB ，∴四边形ADMO 与四边形MOBC 相似，∴AD OM OM BC=，∴2OM AD BC=g ∵△ADE ∼△BEC ∴34AD AE DE BE BC CE ===，∴AD BC AE BE =g g ，∴2OM AE BE =g ，即()25-OM AE AE =g ，∴225OM AE AE=-+∴当AE =BE =52时，OM 值最大，最大值为52．∴以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，则⊙O 与CD 不可能相离，故（2）错误，（3）正确，∵当OM 最大时，点O 与点E 重合（如图所示），AE =BE =OM =52，∴AED MED @V V ，BCE MCE @V V ，∴AD =MD ，BC =MC ，∴CD =AD +BC ，∵34AD DE BE CE ==，34AE DE BC CE ==，解得：158AD =，103BC =，∴CD =AD +BC =12524．故答案为：（1）（3）（4）【点睛】本题主要考查的是四边形中相似的应用，熟练的进行边的比值的转化时本题的解题关键．16．（2021·湖南湘潭·中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．如图①，点C 把线段AB 分成两部分，如果0.618CB AC =»，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．（1）特例感知：在图①中，若100AB =，求AC 的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O 的内接正五边形：①作两条相互垂直的直径MN 、A I ；②作ON 的中点P ，以P 为圆心，PA 为半径画弧交OM 于点Q ；③以点A 为圆心，AQ 为半径，在⊙O 上连续截取等弧，使弦AB BC CD DE AQ ====，连接AE ；则五边形ABCDE 为正五边形．在该正五边形作法中，点Q 是否为线段OM 的黄金分割点？请说明理由．（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE 的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E 是线段PD 的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．【答案】（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3【解析】【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可；（2）设⊙O 的半径为a ，则OA =ON =OM =a ，利用勾股定理求出PA ，继而求出OQ ，MQ ，即可作出判断；（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA =∠PAE =18010872°-°=°，根据已知条件可知cos 72°=12AE PE，再根据点E 是线段PD 的黄金分割点，即可求解．【详解】0.618»，，即0.618100AC AC -=»，解得：AC ≈61.8；（2）Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为a ，则OA =ON =OM =a ，∴OP ∴PA PQ =，∴OQ ∴MQ MQ OQ =∴Q 是线段OM 的黄金分割点；（3）正五边形的每个内角为：()521801085-´°=°，∴∠PEA =∠PAE =18010872°-°=°，∴cos 72°=12AE PE，∵点E 是线段PD 的黄金分割点，∴DE PE =，又∵AE =ED ，∴AE PE =，∴cos72°=12AEPE=【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是读懂题意正确解题．热点2：相似三角形的性质与判定一练基础1．（2022·福建三明·一模）下列各组图形中，不一定相似的是（）A．任意两个等腰直角三角形B．任意两个等边三角形C．任意两个矩形D．任意两个正方形【答案】C【解析】【分析】根据相似图形的判定定理，对选项进行一一分析，找出符合题意的答案．【详解】解：A、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，三边分别相等，两个三角形三边对应成比例，根据三角形相似的判定定理可得任意两个等边三角形相似，故不符合题意；C、任意两个矩形，虽然对应角都等于90°相等，但对应边不一定成比例，任意两个矩形，不一定相似，故符合题意；D、任意两个正方形，四边各自相等，可得它们对应边成比例，对应角都是90°相等，根据多边形相似的判定定理可得任意两个正方形相似，故不符合题意．故选C．【点睛】本题考查相似图形的识别，掌握图形相似的定义即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形与判定定理是解题关键．2．（2021·贵州毕节·九年级阶段练习）在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（）A．只有（1）中的与△ABC相似B．只有（2）中的与△ABC相似C．都与△ABC相似D．都与△ABC不相似【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形判定定理，两边对应成比例夹角相等，两个三角形相似，先求出两个三角形中夹角相等的两边的比值，看是否相等可判断A不正确，B正确，进而可判断C与D即可．【详解】解：图形（1）中标字母如图，∵BE=2，BA=4，23BEBA=，BF=3，BC不定，3BF BEBC BC BA=¹，∴（1）中的△BEF不与△ABC相似，故选项A不正确；图2中标字母如图，∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6．∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2，∴2142AGAB==，3162AHAC==，∴AG AH AB AC=，∵∠HAG=∠CAB，∴△AHG ∽△ACB ，故选项B 正确，，故选项C 不正确，选项D 不正确．故选择B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键．3．（2022·江苏兴化·九年级期末）如图，如果BAD CAE Ð=Ð，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC ADE V :V 的是（ ）A ．B DÐ=ÐB ．AB DE AD BC =C ．C AED Ð=ÐD ．AB AC AD AE=【答案】B【解析】【分析】根据题意可得EAD CAB Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵BAD CAE Ð=Ð，∴EAD CAB Ð=Ð，A 、若添加B D Ð=Ð，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE V :V ，故本选项不符合题意；B 、若添加AB DE AD BC=，不能证明ABC ADE V :V ，故本选项符合题意；C 、若添加C AED Ð=Ð，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE V :V ，故本选项不符合题意；D 、若添加AB AC AD AE=，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明ABC ADE V :V ，故本选项不符合题意；【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2021·湖北当阳·一模）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和10cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【详解】解：设另一个三角形的最长边长为x cm ，根据题意，得：2.5510x =，解得：5x =，即另一个三角形的最长边长为5cm ，故选D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质.5．（2021·河南伊川·九年级期中）如图，在ABC V 中，6,4AC AB ==，点D 与点A 在直线BC 的同侧，且ACD ABC Ð=Ð，2CD =，点E 是线段BC 延长线上的动点，当DCE V 和ABC V 相似时线段CE 的长为（ ）A ．3B ．43C ．3或43D ．4或34【答案】C 【解析】根据ACD ABC Ð=Ð，可得A DCE Ð=Ð ，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵ACD ABC Ð=Ð，ACD DCE A ABC Ð+Ð=Ð+Ð ，∴A DCE Ð=Ð ，当 B CDE A C V :V 时，∴CD CE AB AC= ，∵6,4AC AB ==，2CD =，∴246CE = ，解得：3CE = ；当B CED A C V :V 时，∴CE CD AB AC= ，∵6,4AC AB ==，2CD =，∴246CE = ，解得：43CE =∴线段CE 的长为3或43．故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．6．（2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若△ABC 的面积为4，则四边形BCED 的面积为___．【答案】3【解析】【分析】由题意知DE 是ABC V 的中位线，有12DE BC DE BC =∥，，从而得ADE ABC △△∽，有212ADE ABC S S æö=ç÷èøV V ，求出ADE S V 的值，对ABC ADE BCED S S S =-V V 四边形计算求解即可．【详解】解：由题意知DE 是ABC V 的中位线∴12DE BC DE BC =∥，∴ADE ABC△△∽∴212ADE ABC S S æö=ç÷èøV V ∵=4ABC S △∴=1ADE S V ∴=3ABC ADE BCED S S S =-V V 四边形故答案为：3．【点睛】本题考查了中位线，相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．（2021·广东惠阳·二模）如图，AB ，CD 相交于O 点，△AOC ∽△BOD ，OC ：CD ＝1：3，AC ＝2，则BD 的长为 __．【答案】4【解析】【分析】根据OC ：CD ＝1：3，求得OC ：OD ＝1：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．【详解】∵OC ：CD ＝1：3，∴OC ：OD ＝1：2，∵△AOC ∽△BOD，∴AC OC BD OD=，即212 BD=，解得：BD＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．8．（2022·江苏溧阳·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是_________．【答案】1:16【解析】【分析】根据相似三角形的相似比等于周长比，可得两个相似三角形的相似比是1︰4，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1︰4，∴两个相似三角形的相似比是1︰4，∴它们的面积比是1:16．故答案为：1:16【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．二练巩固9．（2022·福建福州·一模）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且AD = 1，BD = 5，AE = 2，∠AED = ∠B，则AC的长是（）A．2.4B．2.5C．3D．4.5【答案】C【解析】【分析】由AED B Ð=Ð，DAE CAB Ð=Ð可证DAE CAB ∽△△，有DA AE CA AB =，计算求解即可．【详解】解：∵AED B Ð=Ð，DAE CAB Ð=Ð，∴DAE CAB ∽△△，∴DA AE CA AB =，∴1251AC =+，解得3AC =，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明三角形相似．10．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模）如图，在菱形ABCD 中，点F 在线段CD 上，连接EF ，且∠CBE +∠EFC ＝180°，DF ＝2，FC ＝3．则DB ＝（ ）A ．6B ．C ．5D ．【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质可得BD =2DE ，BC =CD =5，从而得到∠CBE =∠CDB ，再由∠CBE +∠EFC ＝180°，可得∠CBE =∠CDB =∠DFE ，从而得到△DEF ∽△DCB ，可得到2DE DF BC DE=，解得DE ，即可求解．【详解】解：在菱形ABCD 中，BD =2DE ，BC =CD =DF +FC =2+3=5，∴∠CBE =∠CDB ，∵∠CBE +∠EFC ＝180°，∠DFE +∠EFC ＝180°，∴∠CBE =∠DFE ，∴∠CBE =∠CDB =∠DFE ，∵∠CDB =∠EDF ，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE DF DC BD = ，∴2DE DF BC DE =，∴252DE DE= ，解得：DE ，∴2DB DE =．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键．11．（2021·广东花都·三模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若AE ：AB ＝1：3，则S △AEF ：S △ADC ＝（ ）A ．1：12B ．1：9C ．1：6D ．1：3【答案】A【解析】【分析】先判断出△AEF 与△DCF 是相似，利用性质可求面积比，再由△AEF 与△ADF 是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S △ADC =S △CDF +S △ADF 计算比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AE ：AB ＝1：3，∴AE ：CD ＝1：3，∵AE ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ，∴21(9AEF CDF S AE S CD ==V V ，13EF AE DF CD ==，∴S △CDF =9S △AEF ，S △ADF =3S △AEF ，∵S △ADC =S △CDF +S △ADF ，∴19312AEF AEF ADC AEF AEF S S S S S ==+V V V V V ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．12．（2021·山东济南·中考真题）如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，30C Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．BE DE=B ．DE 垂直平分线段AC C．EDC ABC S S △△D ．2BD BC BE=×【答案】C【解析】【分析】由题中作图方法易证AP 为线段BD 的垂直平分线，点E 在AP 上，所以BE=DE ，再根据，90ABC Ð=°，30C Ð=°得到ABD D 是等边三角形，由“三线合一”得AP 平分BAC Ð，则30PAC C Ð=Ð=°，AE CE =,且30°角所对的直角边等于斜边的一半，故12AB AD AC ==，所以DE 垂直平分线段AC ，证明~EDC ABC D D 可得ED CD AB BC =即可得到结论．【详解】由题意可得：AD AB =，点P 在线段BD 的垂直平分线上AD AB =Q ，\点A 在线段BD 的垂直平分线上\AP 为线段BD 的垂直平分线Q 点E 在AP 上，\BE=DE ，故A 正确；Q 90ABC Ð=°，30C Ð=°，60BAC \Ð=°且12AB AD AC ==ABD \D 为等边三角形且AD CD=AB AD BD \==，AP \平分BAC Ð1302EAC BAC \Ð=Ð=°，AE EC \=，ED \垂直平分AC ，故B 正确；30ECD ACB Ð=Ð=°Q ，90EDC ABC Ð=Ð=°，EDC ABC \D D ∽，ED CD AB AB BC BC \===，213EDC ABC s s D D \==，故C 错误；ED BE =Q ，AB CD BD==BE BD BD BC\=，2BD BC BE \=×，故D 正确故选C ．【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．13．（2021·山西·太原五中九年级阶段练习）如图，D 、E 分别是ABC V 的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，若:1:3BDE CDE S S =V V ，则DOE AOC S S V V :的值（ ）A ．13B ．14C ．19D ．116【答案】D【解析】【分析】证明:1:3=BE EC ，得出:1:4BE BC =；证明BDE BAC D D ∽，DOE AOC D D ∽，得到14DE BE AC BC ==，由相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：:1:3BDE CDE S S D D =Q ，:1:3BE EC \=；:1:4BE BC \=；//DE AC Q ，BDE BAC \D D ∽，DOE AOC D D ∽，\14DE BE AC BC ==，21:()16DOE AOC DE S S AC D D \==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．14．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在ACD △中，6AD =，5BC =，()2AC AB AB BC =+，且DAB DCA V :V ，若3AD AP =，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A B C D ．85【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到A D C DB D A D =，得到4BD =，4AB BD ==，过B 作BH AD ^于H ，根据等腰三角形的性质得到132AH AD ==，根据勾股定理得到BH ==，当PQ AB ^时，PQ 的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：DAB DCA D D Q :，AD CD BD AD\=，656BD BD +\=，解得：4BD =（负值舍去），DAB DCA D D Q :，9362AC CD AB AD \===，32AC AB \=，()2AC AB AB BC =+Q ，()232AB AB AB BC æö\=+ç÷èø，4AB \=，4AB BD \==，过B 作BH AD ^于H ，132AH AD \==，BH \=，3,6AD AP AD ==Q ，2AP \=，当PQ AB ^时，PQ 的值最小，90,AQP AHB PAQ BAHÐ=Ð=°Ð=ÐQ APQ ABH \D D :，AP PQ AB BH\=，24\PQ \故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．15．（2021·福建·莆田八中九年级阶段练习）如图，点D 在等边三角形ABC 的边BC 上，连接AD ，线段AD 的垂直平分线EF 分别交边AB 、AC 于点E 、F ．当CD ＝2BD 时，AE AF 的值为___．【答案】45##0.8【解析】。

模块四 三角形 第四讲 相似三角形知识梳理 夯实基础知识点1：比例线段及比例性质1. 比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段a ，b 的比与另两条线段c ，d 的比相等，即::a b c d =，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

2. 比例性质①比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=；②反比定理：a c b db d ac =⇔=；③更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；④合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； ⑤分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； ⑥合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； ⑦等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．3. 比例中项 若a bb c=或a:b=b:c ，b 叫作a ，c 的比例中项.4. 黄金分割把一条线段（AB ）分割成两条线段，使其中较长线段（AC ）是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即BC AB AC ⋅=2，AB AB AC 618.0215≈-=；一条线段的黄金分割点有两个。

23l l ，且BC =时，有EF =。

23l l 时，有DE EF=，知识点3：相似三角形的性质1.相似三角形对应角，对应边。

2.相似三角形对应线段（边，高，中线，角平分线）的比等于。

3.相似三角形周长比等于4.相似三角形面积比等于知识点4：相似三角形的判定图示当DE∥BC时, △ADE∽△ABC.2.判定三角形相似的思路1.常见的相似模型（1）平行线型（2）斜交型（3）一线三等角型知识点5：相似多边形1.定义两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.直击中考胜券在握1．（2021·福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，,,D E F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF的面积是（）A．1B．12C．13D．14【答案】D 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】∵,,D E F分别是AB，BC，CA的中点,且∵ABC是等边三角形,∵∵ADF∵∵DBE∵∵FEC∵∵DFE,∵∵DEF的面积是14．故选D．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意得：AB ==AC 2BC =、A1，与∵ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；B1，∵对应边成比例，符合题意；C，3∵ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；D2，与∵ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意； 故选B ． 【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 3．（2020·贵州省铜仁中考）已知△FHB△△EAD ，它们的周长分别为30和15，且FH ＝6，则EA 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5【答案】A 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 【详解】解：∵∵FHB 和∵EAD 的周长分别为30和15， ∵∵FHB 和∵EAD 的周长比为2：1， ∵∵FHB∵∵EAD ， ∵2FHEA =， 即6EA＝2， 解得，EA ＝3， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题． 4．（2021·四川省遂宁中考）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B 【分析】由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∵BC ，可证∵ADE ∵∵ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∵DE =12BC ，DE ∵BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ， ∵21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∵S ∵ADE =3， ∵S ∵ABC =12，∵四边形BDEC 的面积=12-3=9(cm 2)， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，已知直线a △b △c ，若AB ＝9，BC ＝6，DF ＝10，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到DE ABDF AC=，然后根据比例的性质可计算出DE 的长． 【详解】 解：////a b c ，∴DE AB DF AC=，即96109DE，6DE ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟悉相关性质是解题的关键．6．（2021·绍兴中考）如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 3【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽， ∵AB ACOP CP =, ∵353 4.5AB =+， ∵()2AB m =， 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．7．（2021·巴中中考）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且12AD AEDB EC，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．ADE与ABC的面积比为1：3C．ADE与ABC的周长比为1：2D．DE//BC【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵12 AD AEDB EC，∵AD：AB=AE：AC=1：3，∵∵A=∵A，∵∵ADE∵∵ABC，∵DE：BC=1：3，故A错误；∵∵ADE∵∵ABC，∵∵ADE与∵ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵∵ADE∵∵ABC，∵∵ADE=∵B，∵DE∵BC．故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．8．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么ADAB等于（ ）A ．0.618BCD ．2【答案】C 【分析】根据矩形ABCD 的面积是矩形ABFE 面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出ADAB的值． 【详解】解：∵矩形ABCD 的面积是矩形ABFE 面积的2倍，各种开本的矩形都相似， ∵（AD AB）2=2，∵ADAB故选：C ． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．9．（2020·牡丹江市中考）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，10BC =，点E 在BC 边上，DF AE ⊥，垂足为F ．若6DF =，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】证明∵AFD∵∵EBA ，得到AF AD DFBE AE AB==，求出AF ，即可求出AE ，从而可得EF. 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∵AB=CD=3，BC=AD=10，AD∵BC ， ∵∵AEB=∵DAF ， ∵∵AFD∵∵EBA ， ∵AF AD DFBE AE AB==， ∵DF=6，8=， ∵81063BE AE ==， ∵AE=5， ∵EF=AF -AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.10．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①12DE BC =；②12DOE COB S S ∆∆=；③AD OE AB OB =；④13ODE ADCS S ∆∆=，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BE 、CD 是∵ABC 的中线， 可得1,2DE BC =即12DE BC =，从而可判断①；由DE 是∵ABC 的中位线，可得∵DOE ∵∵COB ，从而可判断②；由∵ADE ∵∵ABC 与∵DOE ∵∵COB ，利用相似三角形的性质可判断③；由∵ABC 的中线BE 与CD 交于点O ．可得点O 是∵ABC 的重心，根据重心性质，BO ＝2OE ，∵ABC 中BC 上的高＝∵BOC 中BC 上的高的3倍，且∵ABC 与∵BOC 同底（BC ），可得3ABCBOCSS=，由②和③知，13,44ODECOBADEBOCSS SS ==，从而可判断④．【详解】解：①∵BE 、CD 是∵ABC 的中线，即D 、E 是AB 和AC 的中点，∵DE 是∵ABC 的中位线， ∵1,2DE BC = 即12DE BC =， 故①正确；②∵DE 是∵ABC 的中位线，∵DE∥BC ，∵∵DOE ∵∵COB ， ∵221124DOE COB S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， 故②错误；③∵DE∥BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ， ∵AD DE AB BC=， ∵∵DOE ∵∵COB ，OE DE OB BC ∴=， ∵AD OE AB OB=， 故③正确；④∵∵ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∵点O 是∵ABC 的重心，根据重心性质，BO ＝2OE ，∵ABC 中BC 上的高＝3∵BOC 中BC 上的高，且∵ABC 与∵BOC 同底（BC ），∵3ABC BOC S S =，由②和③知，14ODE COB S S =，1=2AD DE AB BC =， ∵221124DAE BAC S AD SAB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵34ADE BOC SS =， ∵13ODEADE SS =． 故④正确．综上，①③④正确．故选C．【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．11．（2021·湖南省湘潭市中考）如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：_____，使得ADE与ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【答案】AD AE AB AC=【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．【详解】解：根据题意，添加条件AD AE AB AC=，=A A∠∠∴ADE~ABC故答案为：AD AE AB AC=．【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·云南中考）如图，在ABC中，点D，E分别是,BC AC的中点，AD与BE相交于点F，若6BF=，则BE的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE =12AB ，DE ∵AB ，从而证明∵DEF ∵∵ABF ，得到12DE EF AB BF ==，求出EF ，可得BE ．【详解】解：∵点D ，E 分别为BC 和AC 中点，∵DE =12AB ，DE ∵AB ，∵∵DEF ∵∵ABF ， ∵12DE EF AB BF ==， ∵BF =6，∵EF =3，∵BE =6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明∵DEF ∵∵ABF ．13．（2021·山东烟台中考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ，视线BD 与井口的直径AC 交于点E ，如果测得1AB =米， 1.6AC =米，0.4AE =米，那么CD 为____________米．【答案】3由已知可知CD 与AB 平行，所以可利用DEC BEA △△解决．【详解】解： 1.60.4 1.2CE AC AE =-=-=（米），AB AC DC AC ∵⊥，⊥，∵AB ∵DC ．DEC BEA ∴△△． DC EC BA EA=∴． 1 1.230.4BA EC DC EA ⨯===∴（米）． 故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．14．（2021·广西百色中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，△B ＝72°，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，则点D 是线段AB 的黄金分割点．若AC ＝2，则BD ＝______．【答案】3【分析】先根据AB =AC ，∵B =72°求出∵A 的度数，再根据CD 是∵CAB 的角平分线得到∵A =∵ACD ，即AD =CD ，再根据大角对大边得到AD >BD ，最后利用黄金分割公式计算求解即可.【详解】解：∵AB =AC ，∵B =72°∵∵ACB =∵B =72°∵∵A =180°-∵B -∵ACB =36°∵CD 是∵CAB 的角平分线∵∵ACD =∵BCD =1362ACB =∠ ∵∵A =∵ACD在∵ABC 与∵CBD 中∵A =∵BCD =36°，∵B =∵B∵∵ABC ∵∵CBD ∵AB BC BC BD= 在三角形CDB 中，∵B =72°，∵BCD =36°∵∵CDB =72°∵∵CDB =∵B =72°∵AD =CD =BC ∵AB AD AD BD= 即2·AD BD AB =∵D 点为AB 的黄金分割点在三角形CDB 中，∵B =72°，∵BCD =36°∵CD >BD （大角对大边）∵AD >BD∵D 是AB 的黄金分割点，AD >BD∵1AD ==∵3BD AB AD =-=故答案为：3【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．如图所示，在平行四边形ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使:1:3DE AD =，连结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△等于_________．【答案】4：9【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．【详解】解：∵DE :AD =1:3，设DE =x ，AD =3x ，在∵ABCD 中，∵AD =BC =3x ，∵点F 为BC 的中点，∵CF =32x ， ∵DE ∵BC ，∵∵DEG ∵∵CFG ， ∵2224()()39DEG CFG S DF S CF ∆∆===， 故答案为：4：9．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．16．如图，有－块形状为Rt ABC 的斜板余料．已知90A ∠=︒，6AB cm =，8AC cm =，要把它加工成一个形状为DEFG 的工件，使GF 在BC 上，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，且5DE cm =，则DEFG 的面积为______2cm ．【答案】212cm【分析】作AH BC ⊥交BC 于H 点，交DE 于I 点，根据90,6,8A AB cm AC cm 可得BC 10cm =，根据5DE cm =可知DE 是ABC 中线，得12AI IH AH ，利用三角形面积1122ABC S AC AB BC AH ，可得245AH =，11225IH AH ，则根据DEFG S DE IH ，计算可得结果．【详解】如图示，作AH BC ⊥交BC 于H 点，交DE 于I 点，∵90,6,8A AB cm AC cm∵BC 10cm =∵5DE cm =，//DE BC ，∵DE 是ABC 中线，∵12AIIH AH ， 又∵1122ABC S AC AB BC AH ，即有6810AH ， ∵245AH =， ∵1124122255IHAH ， ∵2125125DEFG S DE IH cm ，故答案为：12【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．17．如图，在ABC ∆中，120BC =，高60AD =，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为___．【答案】20．【分析】设正方形EFGH 的边长EF EH x ==，易证四边形EHDN 是矩形，则DN x =，根据正方形的性质得出//EF BC ，推出AEF ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．【详解】解：设正方形EFGH 的边长EF EH x ==，四边形EFGH 是正方形，90HEF EHG ∴∠=∠=︒，//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， AD 是ABC ∆的高，90HDN ∴∠=︒，∴四边形EHDN 是矩形，DN EH x ∴==，AEF ABC ∆∆∽， ∴AN EF AD BC=（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， 120BC =，60AD =，60AN x ∴=-， ∴6060120x x -=， 解得：40x =，60604020AN x ∴=-=-=．故答案为20．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．18．（2021·湖北随州中考）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，OD 平分AOC ∠交AC 于点G ，OD OA =，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD ，CD ，则OG BC 的值为______；若CE CF =，则CF OF的值为______．【答案】12【分析】（1）根据条件，证明AOD COD ≅△△，从而推断90OGA ∠=，进一步通过角度等量，证明AOG ABC △△，代入推断即可.（2）通过OA OD OC OB ===，可知,,,A B C D 四点共圆，通过角度转化，证明ODF CBF △△，代入推断即可.【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点∵OA OC =又∵OD 平分AOC ∠∵AOD COD ∠=∠又∵OD OD =∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵OD AC ⊥∵90OGA ∠=在AOG 与ABC 中GAO BAC ∠=∠,90OGA BCA ∠=∠=∵AOG ABC △△12OG AO BC AB == （2∵OA OD OC OB ===∵,,,A B C D 四点共圆，如下图：∵CE CF =∵CEF CFE ∠=∠又∵CFE BFO ∠=∠∵CEF BFO ∠=∠∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵AD CD =∵OBF CBE ∠=∠∵90BFO OBF CEF CBE ∠+∠=∠+∠=即90BOC ∠=∵OB OC =∵BC ===∵90OGA BCA ∠=∠=∵ODB FBC ∠=∠∵OFD CFB ∠=∠∵ODF CBF △△∵CF BC OF OD==故答案为：12【点睛】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键．19．（2021·玉林中考）如图，在ABC 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △△AED ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值． 【答案】（1）见详解；（2）14DFC AED S S = 【分析】（1）由题意易得,DFC ABC AED ABC ∽∽，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得23AD AC =，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得14,99DFC ABC AED ABC S S S S ==，然后问题可求解．【详解】（1）证明：∵//DE BC ，//DF AB ，∵,DFC ABC AED ABC ∽∽，∵DFC AED ∽；（2）解：由（1）可知,DFC ABC AED ABC ∽∽，∵13CD AC =， ∵23AD AC =， ∵2214,99DFC AED ABC ABC S S CD AD SCA S AC ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵14,99DFC ABC AED ABC SS S S ==， ∵14DFCAED S S =． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20．如图，在△ADC 中，点B是边DC 上的一点，△DAB=△C ，23AD DC =．若△ADC 的面积为18cm ，求△ABC 的面积．【答案】10【解析】试题分析：根据相似三角形的判定定理得到∵ADC∵∵BAD ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到结论．试题解析：∵∵DAB=∵C ，∵D=∵D ， ∵∵ADC∵∵BAD ， ∵ 2224()()39BDA ADC S AD S DC ∆∆===， ∵∵ADC 的面积为18cm 2 ，∵∵BDA 的面积为8cm 2 ，∵∵ABC 的面积=∵ADC 的面积﹣∵BDA 的面积=10cm 221．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，△AED=△B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF△△ACG ；（2）若12AD AC =，求AF FG的值． 【答案】（1）见解析 （2）11.【解析】（1）欲证明∵ADF∵∵ACG ，由可知，只要证明∵ADF=∵C 即可． （2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∵AED=∵B ，∵DAE=∵DAE ，∵∵ADF=∵C ，∵，∵∵ADF∵∵ACG ．（2）解：∵∵ADF∵∵ACG ，∵， 又∵，∵，∵1．22．如图，在ABC 与DEC 中，已知△ACB =△DCE =90°，AC =6，BC =3，CD =5，CE =2.5，连接AD ，BE ．（1）求证：ACD △BCE ；（2）若△BCE =45°，求ACD 的面积．【答案】（1）见解析；（2 【分析】 （1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；（2）过点D 作DG AC ⊥交于点G ，由45ACD BCE ∠=∠=︒得，CGD △是等腰直角三角形，即可求出DG ，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，6AC =，3BC =，5CD =， 2.5CE =，21AC CD BC CE ∴==， ACD BCE ；（2）如图，过点D 作DG AC ⊥交于点G ，ACD BCE ，45ACD BCE ∴∠=∠=︒， CGD 是等腰直角三角形，CG DG ∴=，在Rt CGD 中，2225CG DG +=，解得：DG =11622ACD S AC DG ∴=⨯⨯=⨯= 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质与三角形的面积，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．23．（2021·湖北省黄冈中考）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】（1）先根据角的和差可得ACB DCE ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得．【详解】证明：（1）BCE ACD ∠=∠，BCE ACE ACD ACE ∴∠+∠=∠+∠，即ACB DCE ∠=∠，在ABC 和DEC 中，ACB DCE A D∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABC DEC ~∴；（2）由（1）已证：ABC DEC △△，2ABC DEC C C S SB E ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， :4:9ABC DEC S S=，6BC =， 2649EC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 解得9EC =或9EC =-（不符题意，舍去），则EC 的长为9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24．（2020·浙江省杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE△AC，EF△AB．（1）求证：△BDE△△EFC．（2）设12 AFFC=，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45【分析】（1）由平行线的性质得出∵DEB＝∵FCE，∵DBE＝∵FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出BEEC＝AFFC＝12，即可得出结果；②先求出FCAC＝23，易证∵EFC∵∵BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【详解】（1）证明：∵DE∵AC，∵∵DEB＝∵FCE，∵EF∵AB，∵∵DBE＝∵FEC，∵∵BDE∵∵EFC；（2）解：①∵EF∵AB，∵BEEC＝AFFC＝12，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∵12BEBE-＝12，解得：BE＝4；②∵AF FC ＝12， ∵FC AC ＝23， ∵EF ∵AB ，∵∵EFC ∵∵BAC ， ∵EFC ABC S S ＝（FC AC）2＝（23）2＝49， ∵S ∵ABC ＝94S ∵EFC ＝94×20＝45． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．25．（2021·上海中考）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时， ①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求AD BC的值； （2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．【答案】（1）①见解析；②23；（2）13【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，DAC DCA OBC OCB ∠=∠=∠=∠，由此可得DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒，作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．根据30所对直角边是斜边的一半可知CH m =，由此可得AD BC的值． （2）①当点E 在AD 上时，可得四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，在Rt ACE 和Rt DCE 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-求解即可．②当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m =；由EOC ECB ∽得EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+，解出x 的值即可．【详解】（1）①由AD CD =，得12∠=∠．由//AD BC ，得13∠=∠．因为BO 是Rt ABC △斜边上的中线，所以OB OC =．所以34∠=∠．所以1234∠=∠=∠=∠．所以DAC OBC ∽．②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒． 作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．在Rt DCH △中，60,2DCH DC m ∠=︒=，所以CH m =．所以3BC BH CH m =+=． 所以2233AD m BC m ==． （2）①如图5，当点E 在AD 上时，由//,AD BC O 是AC 的中点，可得OB OE =， 所以四边形ABCE 是平行四边形．又因为90ABC ∠=︒，所以四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2AE x ． 已知3OE =，所以6AC =．在Rt ACE 和Rt DCE 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-．解得1x =1x = 舍去负值）．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2CE x =-． 设OB OC m ==，已知3OE =，那么3EB m =+．一方面，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m=，另一方面，由24BEC ∠=∠∠，是公共角，得EOC ECB ∽． 所以EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+． 等量代换，得32232x x x m m -==-+．由322x x m =-，得226x x m -=． 将226x x m -=代入3223x x m -=-+，整理，得26100x x --=．解得3x =，或3x =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．26．（2021·安徽中考）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF//AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证ABE AEB ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，即可得AB AE =，DE DC =；再证四边形AFCD 是平行四边形即可得AF CD =，所以AF DE =，根据SAS 即可证得ABF EAD △≌△；（2）证明EBF EAB ∽△△，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM 、ED 交于点G ．易证ABE DCE ∽，可得AB AE BE DC DE CE==；设1CE =，BE x =，DC DE a ==，由此可得AB AE ax ==，AF CD a ==；再证明MAB MDG △≌△，根据全等三角形的性质可得DG AB ax ==．证明FAB FEG △∽△，根据相似三角形的性质可得FA AB FE EG =，即(1)(1)a ax a x a x =-+，解方程求得x 的值，继而求得BE EC的值． 【详解】（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD ∴=AF DE ∴=在ABF 与EAD 中．12AB EA AF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△， BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =， BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠， 又2FCB ∠=∠，21∠=∠， 1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中． 1EBF BEF AEB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， EBF EAB ∴△∽△； EB EF EA EB∴=； 9AB =，9AE ∴=；5CD =，5AF ∴=；4EF ∴=，49EB EB∴=， 6BE ∴=或6-（舍）；（3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠， ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==， 设1CE =，BE x =，DC DE a ==，则AB AE ax ==，AF CD a ==，(1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG ∴=， (1)(1)a ax a x a x ∴=-+， (1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=11x ∴=，21x =，1BE EC∴= 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．。

初三数学相似三角形知识精讲 某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1 相似三角形应用举例（一） 相似三角形应用举例（二） 3. 相似三角形复习二. 本周教学目标：1. 掌握相似三角形性质进行线段、面积的计算、证明。

2. 掌握方程与相似三角形、函数与相似三角形的综合题解法。

3. 复习相似三角形单元测试三. 重点与难点： 1. 重点：应用性质的线段的长度计算，几何证明。

2. 难点：[例1] 如图（1BC 上，AH ⊥BC 形DEFG 的周长。

解：因为:DE 因为DG 所以183x =所以DE=6，EF=9，所以矩形DEFG 的周长为30cm 。

解析：本题的解答利用了相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，从而充分利用已知线段BC ，AH 的长，得到所需的方程。

[例2] 如图（2），在ABC ∆中，AC AB >，边AB 上取一点D ，边AC 上取一点E ，使AD=AE 。

直线DE 和BC 的延长线交于点P 。

求证：CEBDCP BP =。

因为在PBC ∆和PDA ∆中，P P ∠=∠，︒=∠=∠=∠90PBC ABC D ，所以PBC ∆∽PDA ∆，所以PD PBAD BC PA PC ==。

所以xx x x 213322+=+，所以2233242x x x x +=+ 整理得0)322(2=-+x x ，0=x 或232-=x 。

因为BC 0≠，所以BC=232-，AD=34-解析：四边形中的问题，如果不能直接用四边形的性质来解决，一般转化为几个三角形之间的关系，并利用三角形的性质来解决。

常用的转化方法是添对角线，由于本题中的A ∠，B ∠，D ∠都是特殊角，添对角线将破坏︒90和︒60角的完整性，不便于利用三角形的性质，本解法所添的辅助线使四边形转化为含︒30角的直角三角形，问题得以顺利解决。

[例4] 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD <，且AD=5，AB=DC=2。

初三数学相似三角形的判定知识精讲 某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似三角形的判定二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。

三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。

（二）判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

③有两个角对应相等的两个三角形相似。

④三条边对应成比例的两个三角形相似。

⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

【典型例题】例1. 如图，△ABC 中，∠A=︒60，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC 。

证明：∵Rt △ABD 和Rt △ACE 中，∠A=︒60，∴∠ABD=∠ACE=︒30∴21AC AE AB AD ==，又∠A 为公共角 ∴△ADE ∽△ABC例2. 如图，过△ABC 的顶点B 和C ，分别作AB 、AC 的垂线BD 、CD ，使交于点D ，过C 作CE ⊥AD 交AB 于E ，交AD 于F求证：△ACE ∽△ABC证明：∵∠ACD=∠ABD=︒90，∴∠ADC=∠ABC又∠ACE 与∠DCF ，∠CDA 与∠DCF 互余，∴∠ACE=∠CDA∴∠ACE=∠ABC ，又∠CAE=∠BAC ，∴△ACE ∽△ABC例3. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：△AEF ∽△ACB证明：∵∠AED=∠AFD ，∴A 、E 、D 、F 共圆∴∠AFE=∠ADE又AD ⊥BC ，∴∠ADE=∠B ，∴∠AEF=∠B同理，∠AEF=∠C∴△AEF ∽△ACB 。

例4. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE ：AB=1：4，F 为边AD 上一点，问：当F 在AD 上的什么位置时，△AEF ∽△CDF 。