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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
而如果改用区间中点2a b c +=的“高度”()f c 近似地取代平均高度()f ξ，则可导出所谓中矩形公式（简称矩形公式）()2a b R b a f +⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1.2)更一般地，我们可以在区间[,]a b 上适当选取某些节点k x ，然后用()k f x 加权平均得到平均高度()f ξ的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：y图4-1 图4-2()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰(1.3)式中k x 称为求积节点；k A 成为求积系数，亦称伴随节点k x 的权。
权k A 仅仅与节点k x 的选取有关，而不依赖于被积函数()f x 的具体形式。
这类由积分区间上的某些点上处的函数值的．．．．线性组合．．．．作为定积分的近似值的求积公式通常称为机械求积公式，它避免了Newton-Leibnitz 公式寻求原函数的困难。
对于求积公式(1.3)，关键在于确定节点{}k x 和相应的系数{}k A 。
1.2 代数精度的概念由Weierstrass 定理可知，对闭区间上任意的连续函数，都可用多项式一致逼近。
一般说来，多项式的次数越高，逼近程度越好。
这样，如果求积公式对m 阶多项式精确成立，那么求积公式的误差仅来源于m 阶多项式对连续函数的逼近误差。
因此自然有如下的定义定义1 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
例1 判断求积公式111()[58(0)5(9f x dx f f f -≈++⎰的代数精度。
解 记11()()1()[58(0)5(9I f fx dxI f f f f -==++⎰因为11111221213313331(1)2(1)(585)29()1()[5805(09()12()(50.68050.6)93()1()[505(]09I dx I I x xdx I x I x x dx I x I x x dx I x ----===++===⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯===⨯++⨯=⎰⎰⎰⎰，=02=3=01441415515551661633()12()(50.36050.36)95()1()[505(]09()12()[5(0.6)05(0.6)]0.2497I x x dx I x I x x dx I x I x x dx I x ---==⨯++⨯===⨯++⨯===⨯++⨯=≠⎰⎰⎰2=5=02=7 所以求积公式具有5次代数精度。
例2给定形如10100()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f '≈++⎰的求积公式，试确定系数010,,A A B ，使公式具有尽可能高的代数精度。
解 求积公式中有三个参数，因此至少对()f x = 21,,x x 应精确成立，即 当()1f x =时，得101011A A dx +==⎰ 当()f x x =时，得110012A B xdx +==⎰当2()f x x =时，得121013A x dx ==⎰ 解得010211,,336A A B ===，于是有10211()(0)(1)(0)336f x dx f f f '≈++⎰当3()f x x =时，13014x dx =⎰，而上式右端为13，故公式对3()f x x =不精确成立，其代数精度为2。
1.3插值型的求积公式最直接自然的一种想法是用()f x 在[,]a b 上的插值多项式()n x ϕ代替()f x 。
由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们以()n x ϕ在[,]a b 上的积分值作为所求积分()I f 的近似值，即()()bn a I f x dx ϕ≈⎰这样得到的求积分公式称为插值型求积公式。
通常采用Lagrange 插值。
设[,]a b 上有1n +个互异节点01,,,n x x x ，()f x 的n 次Lagrange 插值多项式为()()()nn k k k L x l x f x ==∑其中0()n ik j k ij kx x l x x x =≠-=-∏，插值型求积公式为()()()nbn k k ak I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (1.4)其中(), 0,1,,bk k a A l x dx k n ==⎰。
可看出，{}k A 仅由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定，与被积函数()f x 的形式无关。
求积公式(1.4)的截断误差为(1)1[]()()()()(1)!bbn aan bn aR f f x dx L x dxf x dxn ξω++=-=+⎰⎰⎰(1.5)定义2 求积公式()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰如其系数()bk k a A l x dx =⎰，则称此求积公式为插值型求积公式。
定理1 形如(1.3)的求积公式至少有n 次代数精度的充分必要条件是插值型的。
证明 如果求积公式(1.3)是插值型的，由公式(1.5)可知，对于次数不超过n 的多项式()f x ，其余项[]R f 等于零，因而这时求积公式至少具有n 次代数精度。
反之，如果求积公式(1.3)至少具有n 次代数精度，那么对于插值基函数()k l x 应准确成立，并注意到()k j jk l x δ=，即有()()nbk j k j k aj l x dx A l x A ===∑⎰所以求积公式(1.3)是插值型的。
1.4 广义皮亚诺定理及求积公式的余项余项公式(1.5)在实际应用中很不方便。
为了推导出统一的只包含函数导数的余项公式，需要引进皮亚诺定理。
先引进线性泛函的概念。
给定一个函数集合（函数空间），如果对于这个集合中的任何一个函数，都有一个确定的实数与之对应，则说给定了这个函数集合上的一个泛函。
设()R f 是定义在线性空间上的泛函，对函数集合中的函数12,f f ，如果对于任何常数,αβ有1212()()()R f f R f R f αβαβ+=+则称此泛函是线性泛函。
函数()f x 的函数值、积分值、导数值都是线性泛函。
广义皮亚诺（Peano ）定理：设求积公式(1.5)的余项[]R f 是空间1[,]m C a b +上的线性泛函，且[]0R f =的代数精度为m ，那么对任意1()[,]m f x C a b +∈，有[()][()]R f x R e x = (1.6)其中01ˆˆ()[,,,]()m m e x f x x x x ω+= (1.7) 这里101ˆˆˆ()()()()m m x x xx x x x ω+=---，其中01ˆˆ,,x x ˆ,m x是区间[,]a b 上的任意点。
证明 设()P x 是()f x 以01ˆˆˆ,,,m xx x 为节点的插值多项式，则()()()f x P x e x =+故[()][()()][()]R f x R P x e x R e x =+=将皮亚诺定理应用于求积余项公式(1.5)，取01ˆˆˆ,,,m xx x 使01ˆˆˆ()()()m x x x x x x ---在[,]a b 上不变号，应用中值定理，可得(1)01ˆˆ[][,,,]()()bm m m a R f f xx x dx Kf ηωη++==⎰ (1.8) 其中K 为不依赖于()f x 的待定参数，(,)a b η∈。
这个结果表明当()f x 是次数小于等于m 的多项式时，由于(1)()0m fx +=，故此时[]0R f =，即求积公式(1.3)精确成立。
而当1()m f x x +=时，(1)()(1)!m f x m +=+，由(1.8)式求得11011101(1)!11()(1)!2nb m m k k a k n m m m k k k K x dx A x m b a A x m m ++=+++=⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦∑⎰∑ (1.9)代人余项公式(1.8)式中，可以得到更细致的余项表达式。
例如梯形公式(1.1)的代数精度为1，它的余项公式为[](),(,)R f Kf a b ηη''=∈其中33223111()()()23212b a K b a a b b a -⎡⎤=--+=--⎢⎥⎣⎦于是梯形公式(1.1)的余项为3()[](),(,)12b a R f f a b ηη-''=-∈ (1.10)对矩形公式(1.2)，其代数精度为1，余项为[](),(,)R f Kf a b ηη''=∈其中2333111()()()23224a b K b a b a b a ⎡⎤+⎛⎫=---=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 其余项为3()[](),(,)24b a R f f a b ηη-''=∈ (1.11)1.5求积公式的收敛性与稳定性 定义3 在求积公式(1.3)中，若00lim ()()nbk k an k h A f x f x dx →∞=→=∑⎰其中11max()i i i nh x x -≤≤=-，则称求积公式(1.3)是收敛的。
