数值分析18(数值微分)

数值分析与数值计算方法数值分析与数值计算方法是现代科学与工程领域中的重要学科，它涉及到利用计算机和数值方法解决数学问题的理论和技术。

本文将从数值分析的基本概念、应用领域以及常见的数值计算方法等方面进行探讨。

一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究数学算法与计算机实现相结合的学科，旨在通过数学模型的建立和数值计算方法的选择，对实际问题进行定量分析和计算。

它不仅包括了数值计算方法的研究，还包括了误差分析、计算复杂性和算法设计等内容。

数值分析的核心任务是将问题转化为数学模型和计算机可处理的形式，通过数值计算方法求解模型得到近似解。

数值分析的基本思想是通过将连续问题离散化，将其转化为离散的代数问题，然后利用数值计算方法进行求解。

二、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学和工程领域，例如物理学、化学、生物学、经济学、计算机科学等。

在实际的科学研究和工程应用中，常常需要对现象进行数值建模和计算求解，以获得更加准确的结果。

在物理学中，数值分析用于求解微分方程、积分方程等物理模型，并模拟和预测天体运动、流体流动等自然现象。

在化学和生物学中，数值分析被用于计算分子结构、化学反应动力学等问题。

在经济学中，数值分析可以用于建立经济模型、进行风险评估和决策分析。

三、常见的数值计算方法1. 插值和拟合方法：插值和拟合方法用于根据已知数据点的函数值，构造出一个逼近原函数的函数。

常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。

2. 数值积分方法：数值积分方法用于计算函数在一定区间上的定积分。

常见的数值积分方法有梯形规则、辛普森规则等。

3. 数值微分方法：数值微分方法用于在离散数据点上估计函数的导数。

常见的数值微分方法有中心差分法和向前差分法等。

4. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的数值解。

常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法等。

5. 线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法用于求解线性代数方程组的数值解。

数值分析第四章外推法计算数值微分MATLAB计算实验报告数值分析MATLAB计算实验报告姓名班级学号⼀、实验名称⽤MATLAB编程实现数值微分的外推法计算。

⼆、实验⽬的1．掌握数值微分和定义和外推法的计算过程；2．了解数值微分外推法的计算⽅法并且编写出与其算法对应的MATLAB程序代码；3．体会利⽤MATLAB软件进⾏数值计算。

三、实验内容⽤外推法计算f(x)=x2e?x在x=0.5的导数。

四、算法描述1.命名函数。

2.如果输⼊未知数少于四个，默认精度10^-33.描述T表矩阵坐标4.依次赋值计算 T表第⼀列5.根据数值微分计算公式求出T表矩阵的值6.若达到精度则运算结束，若未达到循环计算7.输出T表，得出的值就是导数值五、实验结果六、实验结果分析此实验通过MATLAB实现外推法数值微分计算，得到相应的数据，⽅便对数据进⾏分析。

从结果可以看出，当步长h=0.025时⽤中点微分公式只有3位有效数字，外推⼀次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字。

七、附录（程序）function g=waituifa(fname,x,h,e)if nargin<4,e=1e-3;end;i=1;j=1;G(1,1)=(feval(fname,x+h)-feval(fname,x-h))/(2*h);G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2)-feval(fname,x-h/2))/h;G(i+1,j+1)=(4^j*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);while abs(G(i+1,i+1)-G(i+1,i))>ei=i+1;G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2^i)-feval(fname,x-h/2^i))/(2*h/2^i); for j=1:iG(i+1,j+1)=((4^j)*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);endendGg=G(i+1,i+1);。

第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。

在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。

对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。

如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。

2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。

3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。

例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。

1。

1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。

我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。

这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。

数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。

它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。

1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。

在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。

一种常用的数值微分方法是有限差分法。

它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。

我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。

有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。

数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。

根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。

2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。

在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。

一种常见的数值积分方法是复合梯形法。

它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。

最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。

复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。

除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。

根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。

3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。

数值分析基础数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，它涉及到数学、计算机科学和工程学等多个领域。

数值分析基础是数值计算领域最基本的理论和方法，为实现高精度、高效率的数值计算提供了重要的基础。

一、数值分析的概念数值分析是通过数值方法解决数学问题的过程。

它的基本思想是将连续的数学问题转化为离散的数值问题，并利用计算机进行求解。

数值分析的应用范围非常广泛，包括线性代数方程组的求解、非线性方程求根、插值与逼近、数值微积分、常微分方程的初值问题和边值问题的数值解等。

二、数值计算的误差分析在数值分析中，误差分析是非常重要的一环。

数值计算过程中产生的误差可以分为截断误差和舍入误差。

截断误差是由于在离散化和近似计算中引入的近似误差，而舍入误差是由于计算机在表示实数时的有限精度引起的。

准确估计和控制误差是数值计算的核心问题之一。

三、常用的数值计算方法1. 插值与逼近方法：插值是在给定一组数据点的情况下，通过构造一个函数来近似这组数据点之间未知函数值的方法。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

逼近是通过在给定函数空间中寻找一个尽可能接近原函数的近似函数的方法，常见的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。

2. 数值积分方法：数值积分是计算定积分的近似值的方法。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复合求积法。

3. 数值微分方法：数值微分是通过差商逼近导数的计算方法。

常见的数值微分方法有中心差商、前向差商和后向差商。

4. 数值求解线性方程组的方法：线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。

常用的求解方法有直接法和迭代法。

5. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法是通过数值方法求解微分方程的方法。

常用的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和变步长方法等。

四、数值计算的应用领域数值分析在各个学科领域都有广泛的应用。

在物理学中，数值分析被用于求解天体运动、弹道问题等。

在工程学中，数值分析被用于优化设计、结构力学分析等。

数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学第一章测试1.在数值计算中因四舍五入产生的误差称为（）A:观测误差 B:方法误差 C:舍入误差 D:模型误差答案:舍入误差2.当今科学活动的三大方法为（）。

A:科学计算 B:实验C:数学建模 D:理论答案:科学计算;实验;理论3.计算过程中如果不注意误差分析，可能引起计算严重失真。

A:错 B:对答案:对4.算法设计时应注意算法的稳定性分析。

A:对 B:错答案:对5.在进行数值计算时，每一步计算所产生的误差都是可以准确追踪的。

A:错 B:对答案:错第二章测试1.A: B: C: D:答案:2.某函数过(0,1)，(1,2)两点，则其关于这两点的一阶差商为A:3 B:0 C:2 D:1 答案:13.A: B: C: D:答案:4.下列说法不正确的是A:高次多项式插值不具有病态性质 B:分段线性插值逼近效果依赖于小区间的长度 C:分段线性插值的导数一般不连续D:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来答案:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来5.下列关于分段线性插值函数的说法，正确的是A:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值 B:对于光滑性较好的函数优先用分段线性插值 C:一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身 D:二次函数的分段线性插值函数是该二次函数本身答案:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值;一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身6.A: B: C:D:答案:;;7.同一个函数基于同一组插值节点的牛顿插值函数和拉格朗日插值函数等价。

A:错 B:对答案:对第三章测试1.A: B:C:D:答案:2.以下哪项是最佳平方逼近函数的平方误差A: B: C:D:答案:3.当区间为[-1,1],Legendre多项式族带权 ( ) 正交。

A: B: C: D:答案: 4.n次Chebyshev多项式在 (-1,1) 内互异实根的个数为A:n+1 B:n-1 C:nD:n+2 答案:n5.用正交函数族做最小二乘法有什么优点A:每当逼近次数增加1时，系数需要重新计算 B:得到的法方程非病态C:不用解线性方程组，系数可简单算出 D:每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算答案:得到的法方程非病态;不用解线性方程组，系数可简单算出;每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算6.用正交多项式作基求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵高度病态，舍入误差很大。

数值分析解决实际问题数值分析是一种利用数值计算方法解决实际问题的数学分支。

它通过数值计算和近似方法，对实际问题进行数值求解和模拟，从而得到问题的近似解或数值解。

数值分析在科学研究、工程设计、经济决策等领域都有广泛的应用。

本文将介绍数值分析的基本原理和常用方法，并通过实例说明数值分析如何解决实际问题。

一、数值分析的基本原理数值分析的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后利用数值计算方法对模型进行求解。

数值计算方法是一种近似计算的方法，通过将问题离散化，将连续的问题转化为离散的问题，然后利用数值计算方法对离散问题进行求解，从而得到连续问题的近似解。

二、数值分析的常用方法1. 插值法插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。

常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

插值法在实际问题中常用于数据的拟合和曲线的绘制。

2. 数值积分法数值积分法是一种通过数值计算来求解定积分的方法。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。

数值积分法在实际问题中常用于求解曲线下面积、计算物体的质量和求解概率密度函数等。

3. 数值微分法数值微分法是一种通过数值计算来求解导数的方法。

常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。

数值微分法在实际问题中常用于求解速度、加速度和力等。

4. 数值方程求解法数值方程求解法是一种通过数值计算来求解方程的根的方法。

常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和割线法。

数值方程求解法在实际问题中常用于求解非线性方程和求解方程组等。

5. 数值优化法数值优化法是一种通过数值计算来求解最优化问题的方法。

常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。

数值优化法在实际问题中常用于求解最小化问题和最大化问题等。

三、数值分析解决实际问题的实例1. 求解微分方程假设有一个弹簧振子的运动方程为m*d^2x/dt^2+kx=0，其中m为质量，k为弹簧常数，x为位移。

我们可以将该微分方程转化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，从而得到弹簧振子的位移随时间的变化。

数值分析应用例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题，包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的求解、非线性方程的求解、插值与拟合等。

以下将通过一些具体的例题来展示数值分析的应用，并对相关知识点进行总结。

一、数值逼近数值逼近是用简单的函数（如多项式、分段多项式等）来近似地表示复杂的函数。

例题：给定函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄，在区间＄0, ＼pi$ 上，用一次多项式（直线）来逼近它。

解：设逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ ax ＋ b$。

在区间两端点，即＄x ＝ 0$ 时，＄p(0) ＝ b$，且＄f(0) ＝ 0$；＄x ＝＼pi$ 时，＄p(＼pi) ＝ a\pi ＋ b$，＄f(＼pi) ＝ 0$。

由此可得到方程组：＼＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼a\pi ＋ b ＝ 0＼end{cases}＼解得＄a ＝ 0$，＄b ＝ 0$，所以逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ 0$，显然这个结果不太理想。

知识点总结：1、数值逼近的方法有很多，如泰勒展开、拉格朗日插值、牛顿插值等。

2、误差是衡量逼近效果的重要指标，包括截断误差和舍入误差。

二、数值微分数值微分是通过已知的函数值来近似计算函数的导数。

例题：已知函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 附近的三个点＄x_0 ＝09$，＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 11$ 处的函数值分别为＄081$，＄1$，＄121$，用中心差分公式求＄f'（1)＄的近似值。

解：中心差分公式为＄f'（x) ＼approx ＼frac{f(x ＋ h) f(x h)｝｛2h}＄，取＄h ＝ 01$，则：＼f'（1) ＼approx ＼frac{f(11) f(09)｝｛02} ＝＼frac{121 081}｛02}＝ 2＼而＄f'（x) ＝ 2x$，＄f'（1) ＝ 2$，可见近似效果较好。

数值微分公式数值微分公式是数值分析的一个重要分支，用于近似计算函数的导数和高阶导数。

数值微分法是许多科学和工程问题中的基本问题，解决这些问题需要计算导数。

但是，实际上，很少有函数的导数可以直接计算。

因此，必须使用数值微分公式。

本文将介绍数值微分公式的原理、分类和具体的计算方法。

一、数值微分公式的原理数值微分公式是由函数在某点附近的微分法则推导出来的近似式。

在微积分中，导数的定义是函数f在点x处的极限，即： $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$在实际应用中，相对于h的微小量可以忽略不计。

因此，可以将$h$写成$x$的一个小量$\Delta x$，即：$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$数值微分公式的目的是近似原函数在给定点处的导数。

根据微积分的定义，可以得出导函数在给定点处的某个近似值。

换句话说，通过在某个小范围内对函数进行采样，可以得到导数的近似值。

二、数值微分公式的分类根据计算导数的方法的复杂性和准确性，可以将数值微分公式分为三类：前向差分、后向差分和中心差分。

1. 前向差分前向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的一种方式。

前向差分的定义式为：$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$h>0$是一个小的参数，表示采样区间的长度。

这个公式可以被解释为在$x$处的切线的斜率，它利用了函数在$x$处的切线来逼近导数的值。

显然，$h$越小，这个近似值会更精确。

但与此同时，数值误差也会增加，因为数值计算的精度在计算越小的$h$时会下降。

2. 后向差分后向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的另一种方式。

后向差分的计算公式为：$f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$与前向差分的计算公式相比，后向差分的参数$h$的符号相反。

数值分析公式大全1.插值公式：
-拉格朗日插值公式
-牛顿插值公式
-分段线性插值公式
-分段多项式插值公式
- Hermite插值公式
2.数值积分公式：
-矩形法
-梯形法
-辛普森法则
-龙贝格公式
-复合梯形公式
-复合辛普森公式
3.数值微分公式：
-前向差分
-后向差分
-中心差分
-五点差分公式
4.数值方程求根公式：
-二分法
-割线法
-牛顿迭代法
-雅可比迭代法
-弦截法
- Muller法
5.线性方程组求解公式：
- 直接法（LU分解，Cholesky分解）
- 迭代法（雅可比迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法）-共轭梯度法
-GMRES法
6.常微分方程数值解法：
- Forward Euler法
- Backward Euler法
- 改进的Euler法
-龙格-库塔法
-预测校正法
7.偏微分方程数值解法：
-有限差分法
-有限元法
-谱方法
-边界元法
8.近似计算公式：
- Taylor级数展开
-泰勒展开的截断误差估计
- 常用数学公式（例如：sin x的级数展开）
9.最优化问题求解公式：
-单变量最优化问题求解公式
-多变量最优化问题求解公式
-线性规划求解公式
-非线性规划求解公式。

常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。

它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。

以下是常用的数值分析方法的介绍。

1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。

其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。

插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。

2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。

这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。

3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。

常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。

4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。

这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。

5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。

常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。

差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。

6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。

7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。

常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。

这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。

8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。

常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。