状态变量法

间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
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连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
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由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
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由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M

duC 3 dt duC 4 dt di L5 dt 1 C R 3 2 1 C R 4 2 1 L5 1 C 3 R2 1 C 4 R2 0 C3 0 R1 L5 1 0 uC 3 u 0 C4 iL 5 1 L5 uS
表示成矩阵形式
d iL dt duC dt
0 1 C
L 1 RC 1
0 iL 1 uC C
i S
是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。 初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成 i L ( 0 ) I 0 u C ( 0 ) U 0
C3 duC 3 dt iL 5 iR 2
2 割集1
对电容C4确定的基本割集2列写KCL方程
C4 duC 4 dt iR 2
5
回路
4
割集2
3
对电感L5确定的基本回路列写KVL方程
L5 d iL 5 dt u C 3 R1i R 1 u s
1
2 割 集1
(3) 用uC3、uC4、iL5和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到
5.2 状态方程及其列写
5.2.1状态方程和输出方程
一、状态方程—一阶微分方程组 其一般形式为
x i f i ( x1 , x 2 , , x n , w 1 , w 2 , , w m , t ) i 1, 2, , n
矩阵形式为
x f ( x, w ,t)
线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组 其形式为

∴ dv c ( t ) 1 1 1 = iL (t ) − vc (t ) + x 2 (t ) dt C R2 C R2C
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0

x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1

xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2

x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0

x2

0
.. ...... e(t)
1

xn1
b1

1
C R
B
0 1 L
L
若令
•
x1
•
x1
•
x2
T
,
x
x1
x2 T , v uS
则有
•
x
Ax Bv
状态向量
输入向量
状态方程的标准形式
结论：
（1）列包含 duc 项的方程，必须对只接有一个电容 dt
的结点列KCL方程。
（2）列包含 diL 项的方程，必须对只包含一个电感 dt
的回路列KVL方程。
例
R1 iL1
uS
I
L1 ① L2 iL2 ②
C
iS
uc
II
R2
③
试列出该电路的状态方程。
解 对结点①列KCL方程
C duc dt
iL1 iL2
对回路I和回路II列KVL方程
L1 L2
diL1
dt diL 2
dt
uc R1iL1 uS uc R2 (iL2 iS )
duc
un1 un2
1 0
0 R2
uc iL 2
0 0
0 uS
R2
iS
y Cx Dv 输出方程的一般形式
11.1 引 言
在第五章中谈到了利用微分方程求解动态电路的响 应，在本章中，要研究分析动态电路的另一种方法——状 态变量分析法。与第五章相比，状态变量分析法仍属于时 域分析法，运用的数学工具仍然是微分方程，但状态变量 分析法在方程变量的选择和方程的形式上有更严格的要求。
1.状态变量分析法
对电路建立状态方程后进而对电路进行分析的方法。
dt diL1
dt
diL2

duC 1 dt RC di 1 L dt L
1 uC 0 C i 1 uS ( t ) 0 L L
若uL,ic,uR,iR作为输出
uL iC u R iR 1 1/ R 1 1/ R 0 1 1 uC 0 0 i L 0 uS ( t ) 0 0
L + uS(t) + uL iL + uC iC iL R C R 2 + uR
选uC , iL 为状态变量
列微分方程
duC uC iC C iL dt R
di L uL L uS ( t ) uC dt
duC 1 dt RC di 1 L dt L
输出方程
x1 x 2 y b0 ,b1 ,...., bm ,0,..., 0 x 3 ... xn
bm s m bm 1s m 1 b1s b0 x(t ) A x(t ) B e(t ) H (s) n n 1 s an 1s a1s a0
输出方程：
x1 y 10 4 0 x 2 x3
r(t)=10x1+4x2
y(t ) C x(t ) D e(t )
状态方程： x(t ) A x(t ) B e(t ) 输出方程：
y(t ) C x(t ) D e(t )
取相变量为状态变量
状态方程
1 0 x1 ' 0 x ' 0 1 2 0 x 3 ' 0 0 0 .. ... .. x n a 0 a1 a 2 0

8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。

b11 b 21 bn1
b12 b22 bn 2
b1m b2 m bnm
y1 (k ) y2 ( k ) yr ( k )
x(k 1) Ax(k ) Bf (k )
14
A ：系统矩阵 C ：输出矩阵
9
•
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(2) 连续系统的输出方程是状态变量的代数方程 组
P322：式6 1 8 y1 (t ) w1 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) y2 (t ) w2 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) yr (t ) wr x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t )
通信与信息基础教学部

x Ax Bf b1m y Cx Df b2 m bnm A ：系统矩阵 d1m B ：控制矩阵 d2m C ：输出矩阵 D ：系数矩阵 d rm
信号与系统 (Signals & systems)
第6章
第6章 状态变量分析法 输入—输出描述法（端口分析法/外部法）
强调用系统的输入、输出变量之间的关系来 描述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后， 就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时 间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分 析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为 简单系统的分析是适合的。其相应的数学模型是 n 阶微分或差分方程。

iL (t )
iL max
t 1
0
t 0
t
1
vc (t )
0
图8-5
0
1
R 10 时状态矢量 的轨迹图
8-2 连续时间系统状态方程的建立
8-2-1 连续时间系统状态方程的普遍形式
状 x1 (t ) g1 ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t )) 态 x2 (t ) g 2 ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t )) 方 程 xn (t ) g n ( x1 (t ), x2 (t ), xn (t ), f1 (t ), f 2 (t ), f m (t ))
些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。
(2) 这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于 描述多输入-多输出系统。 (3) 由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差 分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。
【例题8-2】如果在例题8-1中，取 L 2mH， 80pF ， C
vs (t ) (t ) 。并且 vc (0 ) 0 ，L (0 ) 0 。分析在 R 0 i
状态空间： 状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变
量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就
是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称 为状态轨迹。
8-1-3 状态变量分析法的优点
用状态变量分析系统的优点在于： (1) 便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这
y (t ) C x (t ) D f (t )

iL L + uL -
R1 + uS -
iC1
+uC1 -
R2
iS
iC2
+ uL R1
iC1 + uC1R2
设uC1、 uC2 、iL为状态变量
解
（1） uC1 单独作用： iL=0，iS=0， uS=0 , uC2=0。 求：iC1 ， iC2 , uL 。
iC 1
=
−
uC 1 R1 + R2
iC 2
[it]= -[Ql] [il] 用连支电流表示树支电流；
（5） 对基本回路列写KVL方程
[ul ]= -[Bt ][ut] 用树支电压表示连支电压；
（6） 消去非状态量；
（7） 整理，得到状态方程。
例
+ uC -R1
（1） 选 uC ， iL 为 状态变量。
+ uS
-
C3
iL L4 R5
iS
（2） 以1，2，3为 树支的常态树。
uL=e(t)-uC(t) iC(t)= iL(t)- uC(t)/R uR(t)= uC(t)
iR(t)= uC(t)/R
L iL
+ + uL - iC
e(t)
C
-
iR + uC R
-
+ uR -
uL − 1
iC
=
−
1
/
R
uR iR
1 1/ R
0
1
1 0
uC iL
+
0 0
e(t
)
0
0
一般形式 [Y(t)] = [C ][X(t)] +[D][v(t)]