第十二章 系统的状态变量分析法

则 R ( s) C( sI A )1 λ (0) [C( sI A )1B E ( s) D ]E ( s) l1 n1 nm m1 lm m1
零输入分量 零状态分量
转移（系统）函数矩阵
Hn×n(S)
§12.3
连续系统状态方程的求解
前式反变换得时域解:
λ n1 (t ) L-1 [(sI A ) 1 λ n1 (0)] L-1 [(sI A ) 1B nmE m1 ( s)]
输出~状态变量和输入的关系式/输出方程（标准形式）
矩阵形式
di (t ) f i [1 (t ), 2 (t ),...n (t ), e1 (t ), e2 (t ),...em (t ), t ](i 1,2,..., n) dt
ri (t ) gi [1 (t ), 2 (t ),...n (t ), e1 (t ), e2 (t ),...em (t ), t ](i 1,2,..., l)
§12.2
状态方程的建立
二． 离散系统 [方程的标准形式] 设，状态矢量 λ(n) [1 (n), 2 (n),...n (n)]T 输入矢量 e(n) [e1 (n), e2 (n),... em (n)]T T r ( n ) [ r ( n ), r ( n ),... r ( n )] 输出矢量 1 2 l 状态变量~ 输入关系式/状态方程（标准形式）
§12.1
引言
二． 状态的概念 某时刻动态系统的 系统输入 一组内部变量
充分地表征：该时刻系统的全部行为/状态


称之为：
记：
（n维）状态矢量/向量
1 () ( ) 2 [ () λ () 1 ... n ()
第十二章 系统的状态变量分析法
§12.1 引言
e1 (t ) en (t )
一． 系统的描述方法：即指系统的数学模型
e( t )
T
T
r (t )
r1 (t ) rm (t )
r () T [e()]
单输入单输出型
or (e At ) 1 e At
三． 状态变量研究法 1st.由 电路结构 建立状态变量方程组 or 单输入单输出方程/系统模拟框图 2nd.用 时域方法 求解一阶微分/差分方程组得状态矢量 or 变换域方法 3rd.在输出方程中由状态矢量解得输出矢量
§12.2
状态方程的建立
一． 连续系统 [方程的标准形式] T 设，状态矢量 λ(t ) [1 (t ), 2 (t ),...n (t )] T e ( t ) [ e ( t ), e ( t ),... e ( t )] 输入矢量 1 2 m T 输出矢量 r (t ) [r 1 (t ), r2 (t ),... rl (t )] 状态变量~输入关系式/状态方程（标准形式）
i (n 1) f i [1 (n), 2 (n),...n (n), e1(n), e2 (n),...em (n), n](i 1,2,...,n)
输出~状态变量和输入的关系式/输出方程（标准形式） ri (n) g i [1 (n), 2 (n),... n (n), e1 (n), e2 (n),... em (n), t ](i 1,2,..., l) 矩阵形式 λ
2 ()
...
n ()]T

t=0时： λ(0) [1 (0)
2 (0)
...
n (0)]T 即初始状态
§12.1

引言
二、状态的概念

对系统的充分了解，即 e() h() λ () r () 显然， 通过经由 λ () ，使系统的内部（关键部位）可观测、可控制。 随时间 λ(t / n) 在状态（信号）空间所经过的轨迹——状态轨迹。 无记忆系统只有孤立状态点，无连线，为零维系统。
sIΛ n1 ( s ) AΛ n1 ( s ) λ n1 (0) B nmE m1 ( s )
状态转移矩阵
( sI A )Λ n1 ( s ) λ n1 (0) B nmE m1 ( s )
1 1 Λ ( s ) ( s I A ) λ ( 0 ) ( s I A ) B nmE m1 ( s) 得 n1 n1 对输出方程做LT: R l1 ( s ) CΛ n1 ( s ) D lmE m1 ( s )
rl1 (t ) L- 1[C( sI A )1 λ n1 (0)]
L- 1 [C( sI A)1Bnm ] Dlm [ (t )I ] e m1(t )


e At
k!A t
k 0 At

1
k k
I At
1 2 2 1 33 1 A t A t ... A k t k ... 2! 3! k!
At At At （4） [e G(t )] (e ) G(t ) Ae G(t )
1 A k t k 1 Ae At ( k 1)! k 0

(1) k k k A t k! k 0

（ 5） t 0 （6） e At e At I

t
[e At G(t )] d e At G(t ) e At0 G(t0 )
r () T [e()]
多输入多输出型（较多地注意系统内部）
不同类型的数学模型，揭示不同的系统特性，解法亦不同。 r (t / n) e(t / n) h(t / n) r (t / n) e(t / n) h(t / n) R ( s / z ) E( s / z )H( s / z ) R( s / z ) E ( s / z ) H ( s / z ) （解：一元高阶微分方程） （ 解：多元一阶微分方程组）
k!
k 0
2!
3!
k!
e At 的运算规则：（与复指数函数 e at ( a 复数 ) 类似） （1）Ae At e At A （2） e At e A( t )
1 k k （3）(e At ) A t k 0 k!



e at ( a 复数 ) Ae e A 1 k k (e At ) A t k 0 k!
At

(k 1)!A t
k 0

1
k k 1
Ae At
§12.3
连续系统状态方程的求解
二． 时域解法： [矩阵指数函数] 1 k k 1 2 2 1 33 1 k k At 定义： e A t I At A t A t ... A t ...
L
Rs
C1
C2
RL
§12.2
状态方程的建立
由

电路结构 or连续系统
[方程的标准形式]
[列方程]
1. 直接列写法/由电路结构
2.
间接列写法 即由单输入单输出方程（即微分方程or系统模拟框图or系统函数）
选择状态变量：选 i 为系统模拟框图中积分器的输出 则该积分器的输入即 i 其中，i=方程的阶数 注意到：系统模拟框图可有不同形式（直接型 并联型 级联型） 则状态变量的选择不同（个数一定） 将对应不同的状态方程 例：（经常地，对单入单出系统，由直接型列写，有一定规律可循）
§12.2
状态方程的建立
由

电路结构 or 单输入单输出方程/系统模拟框图
例：已知系统的系统函数为 H ( s)
4s 10 s 3 8s 2 19s 2
列写系统的状态（变量任选）方程。 显然为三阶系统，应有三个独立的状态变量 由对应的差分方程：r (t ) 8r (t ) 19r (t ) r (t ) 4e(t ) 10e(t ) 可得直接型模拟框图 由 H ( s ) 1 1 2 可得并联型模拟框图 s 1 s 3 s 4
§12.3
2nd.用
连续系统状态方程的求解
时域方法 (t ) Aλ (t ) B e (t ) 得λ (t ) 解λ n1 n1 n1 nm m1 or 变换域方法 3rd.解 rl 1 (t ) C λn1 (t ) D l m e m1 (t ) 得 rl 1 (t ) 一． S域解法： 对状态方程做LT sΛ n1 ( s ) λ n1 (0) AΛ n1 ( s ) B nmE m1 ( s )
n1 ( n )
A λn1 ( n) B nm e m1 ( n)
rl 1 ( n) C λn1 ( n) D l m e m1 ( n)
§12.2
状态方程的建立
二． 离散系统 [方程的标准形式] [列方程]间接列写法 即由单输入单输出方程（即差分方程or系统模拟框图or系统函数） 选择状态变量：选 i 为系统模拟框图中延时器的输出 (n 1) 则该延时器的输入即 i i 其中，i=方程的阶数 注意到：系统模拟框图可有不同形式（直接型 并联型 级联型） 则状态变量的选择不同（个数一定） 将对应不同的状态方程 例：（经常地，对单入单出系统，由直接型列写，有一定规律可循）
λ n1 (t ) A λn1 (t ) B n m e m1 (t ) rl 1 (t ) C λn1 (t ) D l m e m1 (t )
§12.2
状态方程的建立
由

电路结构 or 单输入单输出方程/系统模拟框图
一． 连续系统 一般： [方程的标准形式] [列方程] 独立状态变量个数=储能元件个数 1. 直接列写法/由电路结构 选择状态变量为：独立的电容电压、电感电流 列写方程：选择专用树（使电容为树支，电感为连支） 单树支割集方程（即 u C (t ) 所在节点的电流方程，可出现 duC (t ) dt ） 单连支回路方程（即 i (t ) 所在回路的电压方程，可出现 d i (t ) dt ） L L 消去非状态变量，可得标准形式的状态方程 例：p.287