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【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：8.6 立体几何中的向量方法(专题拔高配套PPT课件)

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最新-2018届高考数学一轮复习 87 立体几何中的向量方法课件 新人教A版 精品

最新-2018届高考数学一轮复习 87 立体几何中的向量方法课件 新人教A版 精品
PB 平面EFG, PB // 平面EFG.
题型二 利用向量求空间角
【例2】 （2008·海南理，18）如图所 示，已知点P在正方体ABCD—A′B′ C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小; (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小. 思维启迪 建立空间直角坐标系，利用空间向 量方法求解.
② 如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两 个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 cos θ= cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉 .
3.点面距的求法
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的
| AB n |
法向量,则B到平面α的距离d= | n | .
基础自测
A. 2a
B. 2 a C.a
2
D. 1 a
2
解析 由图易知A（a,0,0）,B（a,a,0）,
C（0，a，0），A′(a,0,a).
F (a, a ,0), E( a , a , a ).
2
222
| EF | (a a )2 ( a a )2 (0 a )2
2 22
2
a2 a2 2 a. 44 2
2
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明平面AMD⊥平面CDE; (3)求二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直
角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，
M (1 ,1, 1). 22
MB (1, 3,0),
8分
设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，
则CM n 3x

2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第八章

2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第八章
边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它 是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下 底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一 点，但是侧棱长不一定相等.
(2)由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于
圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不
正确. 答案 (1)A (2)B
知识梳理 1.简单多面体的结构特征 平行且相等 ，上、下底面是_____ 全等 且平行 (1)棱柱的侧棱都____________ 的多边形； 公共顶点 的三 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_________ 角形； 平行 于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面 (3)棱台可由_____ 是相似多边形.
2.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱
圆锥 圆台 球
矩形
直角三角形 直角梯形 半圆
任一边 所在的直线 _______
任一直角边 __________所在的直线 垂直于底边的腰 所在的直线 _______________ 直径 所在的直线 _____
3.三视图
(1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几 正上方观察几何体画出的轮廓线. 正前方、正左 何体的____ ____方、____ (2)三视图的画法 高平齐 ，宽相等. ①基本要求：长对正，_______ ②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱
柱.( )
(2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥.( )
(3) 用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平

2018届高考数学理北师大版一轮课件：8-7空间几何中的

2018届高考数学理北师大版一轮课件：8-7空间几何中的
|������������· ������|
-7知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
5.常用结论 (1)直线的方向向量的确定:若 l 是空间的一条直线,A,B 是 l 上任 意两点,则������������及与������������平行的非零向量均为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两个不共线向量,n ������· ������ = 0, 为平面 α 的一个法向量,则可用方程组 求出平面 α 的一个 ������· ������ = 0 法向量 n.
������������1 · ������������C. 4-1 1 √5 1 A. B. D. ∴ cos < ������������ , ������������ >= = = = >0. 1 5 31 5 5 |������������1 ||������������1 |
√5× √9 √5
(2)直线与平面的夹角:设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分 别为 m,n,则直线 l 与平面 α 的夹角 θ 满足 sin θ=|cos<m,n>|=|������|· . |������| (3)平面间的夹角:已知平面 π1 与 π2 的法向量分别为 n1,n2 .当 π 0≤<n1,n2>≤ 时,平面 π1 与 π2 的夹角等于 <n1,n2> ;当
-4知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
3.空间向量与空间角的关系 (1)直线间的夹角:设共面(或异面)直线l1,l2的方向向量分别为 m1,m2,
则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ=
|������1 · ������2 | |cos<m1,m2>|= . |������1 |· |������2 |

2018年高三数学(理)一轮复习课件 立体几何中的向量方法

2018年高三数学(理)一轮复习课件 立体几何中的向量方法

第八章
知识梳理 双基自测
8.7
立体几何中的向量方法
知识梳理 核心考点
-3-
1
2
3
4
5
2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为 e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为 n2=(x2,y2,z2). (1)如果l1∥l2,那么e1∥e2⇔ e2=λe1 ⇔ a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1 . e2=0 (2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2⇔ e1· ⇔ a1a2+b1b2+c1c2=0 . (3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1· n1=0⇔ a1x1+b1y1+c1z1=0 . (4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=μn1⇔ a1=μx1,b1=μy1,c1=μz1 . (5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔ x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2 . (6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1· n2=0⇔ x1x2+y1y2+z1z2=0 .
8.7
立体几何中的向量方法
பைடு நூலகம்
第八章
知识梳理 双基自测
8.7
立体几何中的向量方法
知识梳理 核心考点
-2-
1
2
3
4
5
1.直线的方向向量与平面的法向量 e共线 (1)直线l上的非零向量e以及与 的非零向量叫做直 线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 垂直于 平面α, 那么称向量n垂直于平面α,记作 n⊥α .此时把 向量n 叫 做平面α的法向量.
第八章
知识梳理 双基自测
8.7

2018年人教版高三数学一轮复习课件--立体几何PPT课件

2018年人教版高三数学一轮复习课件--立体几何PPT课件

设矛盾．
[答案] D
解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体
的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可
利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三 棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．
1．(2013· 天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称
它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命 题中，假命题是 A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或 ( )
目 录
立体几何
第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
第二节 空间几何体的表面积和体积
第三节 空间点、直线、平面间的位置关系 第四节 直线、平面平行的判定及性质 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
第七节 空间向量与空间角
立体几何
[知识能否忆起] 一、多面体的结构特征 多面体 结构特征 有两个面 互相平行 ，其余各面都是四边形，并 棱柱 平行且相等 且每相邻两个面的交线都 ___________ 有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个 公共 顶点 棱锥 ____ 的三角形 底面 截面 底面 棱锥被平行于 的平面所截， 和 棱台 之间的部分
标轴 平行于y轴的线段长度在直观图中
． 不变
变为原来的一半
五、三视图 几何体的三视图包括 正视图 、 侧视图 、俯视图 ，
分别是从几何体的 正前方 、正左方 、 正上方 观察几何
体画出的轮廓线．
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正
确的是
A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

2018高考一轮数学(课件)第7章 第7节 立体几何中的向量方法

2018高考一轮数学(课件)第7章 第7节 立体几何中的向量方法

图 7-7-4 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 【导学号：51062248】
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
[解] (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.5 分 (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM ＝AA1＝8， 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10. 以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系 D-xyz，则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，F→E＝(10,0,0)，H→E＝(0， －6，8).9 分
0＜〈a，b〉＜π
关系
|a·b| cos θ＝|cos〈a，b〉|＝_|_a_||b_|__
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|
4．求直线与平面所成的角
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角 |a·n|
为 θ，则 sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__| ＝__|a_|_|n_|_.
1
2
A.10
B.5
30 C. 10
2 D. 2
C [建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，设 BC＝2，则 B(0,2,0)，A(2,0,0)，
M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以B→M＝(1，－1,2)，A→N＝(－1,0,2)，故 BM
→→
与
AN
所成角
θ
的余弦值

高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第8讲 立体几何中的向量方法(二) 理(2021年最新整理)

高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第8讲 立体几何中的向量方法(二) 理(2021年最新整理)

2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第8讲立体几何中的向量方法（二）理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第8讲立体几何中的向量方法（二）理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第8讲立体几何中的向量方法（二）理的全部内容。

第8讲立体几何中的向量方法（二）一、选择题1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1)，则两平面间的距离是（)A。

32B.错误!C.错误! D．3错误!解析两平面的一个单位法向量n0＝错误!，故两平面间的距离d＝|错误!·n0｜＝错误!。

答案B2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos<m，n〉＝－12,则l与α所成的角为（)．A．30° B．60° C．120° D．150°解析设l与α所成的角为θ,则sin θ＝|cos<m，n〉|＝错误!，∴θ＝30°。

答案A3．长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝AA1＝2，AD＝1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ( )．A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析建立坐标系如图,则A（1，0，0），E（0，2,1），B(1，2,0），C1(0，2,2）．错误!＝（－1，0，2），错误!＝(－1,2，1)，cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!。

所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为错误!。

高考数学一轮复习 立体几何中的向量方法(理)课件

高考数学一轮复习 立体几何中的向量方法(理)课件
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.
1．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，
则下列结论正确的是
()
A．a∥c，b⊥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，∴a∥c. 又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
•
(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量， 则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 二面角的平面 角的大小 (如图②③)．
提示：（1）设出平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的 坐标a=(a1,b1,c1), b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组
1．设直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向 向量为u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1) ＝k(a2，b2，c2)(k∈R)； l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
2．设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； l⊥α⇔u∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
【注意】 利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判 断二面角是锐角还是钝角．
(2009·全国卷Ⅰ改编)如图，四棱锥S－ABCD中， 底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝ DC＝SD＝2， 点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角S－AM－B的余弦值．

2018届高三数学第一轮复习立体几何中的向量方法专题

2018届高三数学第一轮复习立体几何中的向量方法专题
（1)证明：PE⊥FG； (2）求二面角 PADC 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值．
第 8 页 共 27 页
2018 届高三数学第一轮复习立体几何中的向量方法专题(word 版可编辑修改)
立体几何中的高考热点题型
1．立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个 选择题或填空题．小题主要考查学生的空间观念，空间想象能力及简单计 算能力．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定 义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间 向量进行空间角的计算．重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力．热点 题型主要有平面图形的翻折、探索性的存在问题等;2.思想方法：（1)转 化与化归（空间问题转化为平面问题）;（2)数形结合(根据空间位置关系 利用向量转化为代数运算）．
2018 届高三数学第一轮复习立体几何中的向量方法专题(word 版可编辑修改)
2018 届高三数学第一轮复习立体几何中的向量方法专题(word 版可编辑修改)
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1．（1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题， 再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．

2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(一) 理

2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(一) 理

第7讲 立体几何中的向量方法（一）一、选择题1．直线l 1，l 2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )A ．s 1＝(1,1,2)，s 2＝(2，－1,0)B ．s 1＝(0,1，－1)，s 2＝(2,0,0)C ．s 1＝(1,1,1)，s 2＝(2,2，－2)D ．s 1＝(1，－1,1)，s 2＝(－2,2，－2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B 中的两个向量垂直．答案 B2．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，λ，－152满足a∥b ，则λ等于( )． A.23 B.92 C ．－92 D ．－23解析 由1－3＝－32λ＝52－152，可知λ＝92. 答案 B3．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1B ．(6，－2，－2)C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4)解析 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D.答案 D4．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )． A ．2 B. 3C. 2 D ．1 解析 连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，因为AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin 45°＝1.答案 D5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5， λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )． A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由题意得c ＝t a ＋μb＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝337μ＝177λ＝657. 答案 D 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )． A.216a B.66a C.156a D.153a 解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 A二、填空题7．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9，。

2018高考数学(理)一轮复习课件 第七章 立体几何 第6讲 课件

2018高考数学(理)一轮复习课件 第七章 立体几何 第6讲 课件
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一 → → ∠AOB 点 O，作OA＝a，OB＝b，则____________ 叫做向量 a 与 b 〈a，b〉 0 ≤ π ． 的夹角， 记作____________ ． 通常规定____ 〈a， b〉 ≤____ 若 π 〈a，b〉＝______ ，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b. 2
C
) B．a∥b，a⊥c D．以上都不对
[解析] 因为 c＝(－4，－6，2)＝2a，所以 a∥c.又 a· b＝0，故 a⊥b.
2．在空间直角坐标系中，已知 A(1，－2，1)，B(2，2，2)， 点 P 在 z 轴上，且满足|PA|＝|PB|，则 P 点坐标为( A．(3，0，0) C．(0，0，3)
[解析] 设 P(0，0，z)，则有 （1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z）2 ＝ （2－0）2＋（2－0）2＋（2－z）2，解得 z＝3.
C
)
B．(0，3，0) D．(0，0，－3)
3. 教材习题改编
在 平 行 六 面 体
ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 → → → 的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则 → 下列向量中与BM相等的向量是( 1 1 A．－ a＋ b＋c 2 2 1 1 C．－ a－ b＋c 2 2
3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共 线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模 来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求 异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意 两种角的范围不同，最后应进行转化．
1．已知 a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6， 2)，则下列结论正确的是( A．a∥c，b∥c C．a∥c，a⊥b

2018届高考数学一轮复习立体几何中的向量方法课件人教A版

2018届高考数学一轮复习立体几何中的向量方法课件人教A版
5 ,1,2), 2 2
5 5 PM =(0,2,-4), PN =( ,1,-2), AN =( ,1,2).
2
2 y 4 z 0, n PM 0, 设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则 即 5 x y 2 z 0. n PN 0, 2
第3讲 立体几何中的向量方法Fra bibliotek高考导航
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演真题·明备考
1.(2017· 全国Ⅰ卷,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
坐标系 F-xyz. 由(1)及已知可得 A( B(
2 2 ,0,0),P(0,0, ), 2 2
2 2 ,1,0),C(,1,0). 2 2
2 2 2 2 所以 PC =(,1,), CB =( 2 ,0,0), PA =( ,0,), AB =(0,1,0). 2 2 2 2
且 OM⊄平面 BCF,所以 OM∥平面 BCF.
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
证明:(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).
1 因为 DF =(1,-1,1), DM =( ,-1,0), DC =(1,0,0),由 n1· DF =n1· DM =0, 2
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算课件理

2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算课件理
∴|A→C1|＝ 6，即 AC1 的长为 6.
(2)求B→D1与A→C夹角的余弦值. 解答
--B-D-→1 ＝b＋c－a，A→C＝a＋b， ∴|--B-D-→1 |＝ 2，|A→C|＝ 3，
--B-D-→1 ·A→C＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈B→D1，A→C〉＝
表示 0
a＝b a的相反向量为－a
a∥b
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋y，b 其中x，y∈R，a，b为不共线 向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得p＝ xa＋yb＋z，c {a，b，c}叫做空间的一个基底.
±
(－531，2－4，5)＝± (－31，02－4,5).
4.如图，在四面体 O－ABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则O→E＝__12_a_＋__14_b_＋__14_c_.(用
a，b，c 表示) 答案 解析
O→E＝12O→A＋12O→D＝12O→A＋14O→B＋14O→C ＝12a＋14b＋14c.
3.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是
_3_1_02_，__2_5__2_，__－__2_2_和___－__31_0_2_，__－__2_5_2_，___2_2_ __. 答案
解析
因为与向量a共线的单位向量是±|aa| ，又因为向量(－3，－4,5)的模
为 －32＋－42＋52＝，5所以2 与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是

2018版高考一轮总复习数学理科课件：第七章 立体几何 第七节 立体几何中的向量方法(一)证明平行与

2018版高考一轮总复习数学理科课件：第七章 立体几何 第七节 立体几何中的向量方法(一)证明平行与
由题意知 A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0)． 设点 C 的坐标为(x0，y0，0)，由A→Q＝3Q→C， 所以可求点 Q(34x0， 42＋43y0，12)， 又 M 为 AD 的中点，则 M(0， 2，1)．
由 P 为 BM 的中点，得 P(0，0，12)， 所以P→Q＝(34x0， 42＋34y0，0) 又平面 BCD→Q＝0， 由于 PQ⊄平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD.
证明：∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且 ABCD 为正方形， ∴AB，AP，AD 两两垂直． 以 A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系 A xyz， 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
又 OG⊂平面 EFCB， 所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 O xyz，则 E(a，0，0)，A(0，0， 3 a)，B(2， 3(2－a)，0)， E→A＝(－a，0， 3a)，B→E＝(a－2， 3(a－2)，0)． 设平面 AEB 的一个法向量 n＝(x，y，z)．
则nn··EB→ →AE＝＝00..即－ （aax－＋2）3xa＋z＝03（a－2）y＝0
(2)由(1)知|AP|＝5， 又|AM|＝3，且点 M 在线段 AP 上， ∴A→M＝53A→P＝0，95，152， 又B→A＝(－4，－5，0)， ∴B→M＝B→A＋A→M＝－4，－156，152， ∴A→P·B→M＝(0，3，4)·－4，－156，152＝0，
∴A→P⊥B→M，即 AP⊥BM. 又根据(1)的结论知 AP⊥BC， ∴AP⊥平面 BMC，于是 AM⊥平面 BMC. 又 AM⊂平面 AMC， 故平面 AMC⊥平面 BMC.
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C
解析 答案
第八章
知识梳理 双击自测
8.6 立体几何中的向量方法
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2.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(
)
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不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 A(2,0,0),B12 (0,2,1), 5 O(0,0,0),B(0,0,1),C 1(0,2,0), 5 5 A. B. 3 C. 5 ∴ ������������ 5 1 =(0,2,-1), ������������1 =(-2,2,1),
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1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的向量e以及与e共线 的向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于 平面α,那 么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α .此时把向量n 叫做平面α的 法向量.
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立体几何中的向量方法
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2015 2014 2013 年份 2017 2016 立体 17(2),8 分 17(2),8 分 20(2),8 分 20(2),9 分 几何 (理) (理) (理) (理) 中的 向量 方法 1.了解直线的方向向量与平面的法向量. 考查 2.了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量 要求 方法. 利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角是前几年高 考向 考的热点题型,主要为解答题,难度属于中等偏上.主要考查 分析 向量的坐标运算,以及向量平行与垂直的充要条件,如何用 向量求空间角等.目前新高考下这部分考查要求有所降低.
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3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 π 0 , ①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是 2 . ②向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos θ=|cos φ| . (2)直线与平面所成的角 π 0 , ①范围:直线和平面所成的角θ的取值范围是 . 2 ②向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平 面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sin θ=|cos φ| 或cos θ=sin φ.
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当 a=(1,1,2)时 ,a= n,则 l⊥α; 当 a=(-1,-1,1)时 ,a· n=(-1,-1,1)· (2,2,4)=0, 则 l∥α 或 l⊂α. l⊥α l∥α 或 l⊂α
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2
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1
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(3)二面角 ①二面角的取值范围是[0,π] . ②二面角的向量求法: 若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则 二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①).
设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则图②中向量n1 与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向 量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
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1.(教材改编)设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β, 则t=( ) A.3 B.4 C.5 D.6
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∵α⊥β,则u· v=-2×6+2×(-4)+4t=0,∴t=5.
1 ∴cos< ������������1 , ������������1 >=|������������ 1 = || ������ ������ | 1 1
D.5
3
������������ · ������������
4 -1
5× 9
=
1
5
=
5
5
5
>0.
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∴ BC1 与 AB1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角 ,
∴ A 直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 5 .
解析
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3.(2017浙江杭州调研)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为 n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面α的位置关系为 ;若 a=(-1,-1,1),则直线lHale Waihona Puke 平面α的位置关系为 .第八章
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2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为 e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为 n2=(x2,y2,z2). (1)如果l1∥l2,那么e1∥e2⇔e2=λe1 ⇔a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1 . (2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2⇔e1· e2=0 ⇔a1a2+b1b2+c1c2=0 . (3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1· n1=0⇔a1x1+b1y1+c1z1=0 . (4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=kn1⇔a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1 . (5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2 . (6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1· n2=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 .
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4.正三棱锥的三个侧面两两垂直,则它的侧面与底面所成的二面角 的余弦值为 .
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设正三棱锥 A-BCD(如图所示), 以������������ , ������������ , ������������ 为基底 , 设 |������������ |=|������������ |=|������������ |=m, 取 CD 的中点为 E,则三棱锥侧面与底面所成角 θ=<������������, ������������ >. 1 1 而������������=- ( ������������ + ������������ ),������������ = ������������ − (������������ + ������������ ).