第五章 第一课时

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如：k＝2，则角 3 是第一 象限角或第二象限角或第四象 限角．如右图中标有号码2的 α 区域就是 3 终边所在位置． (2)确定角所在的象限是确 定函数值符号的关键，故必须 掌握已知角α的范围，求与α有 运算关系的角的范围．
α
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变式探究
α 2.若α是第三象限角，则 是第__________象限角． 4
180° ≈65°19′， π
它的面积为：S＝ r2θ＝ (π－2)r2.
点评：熟练掌握弧度制下的弧长公式，扇形公式是解答 此类问题的关键．
1 2 1 2
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变式探究 5．若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹 扇形的面积为( C )
1 A. sin 2 1 C. 2 sin 1 1 B. 2 sin 2
3π ，它是第一象限角； 7 7π ，它是第三象限角； 6
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α3＝9＝(9－2π)＋2π，它是第二象限角；
α4＝－855°＝－3×360°＋225°，它是第三象限角． 所以是第三象限角的是α2和α4. (2)α1＝－ π＝－ ×180°≈－282.86°； 7 7 α2＝ 6 π＝ ×180°＝15330°； 6 180° α3＝9＝9× ≈515.66° ； π π α4＝－855°＝－855°× 180 ＝－ 19 π. 4
1 2 1 2
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答案：1.半径长 1弧度 弧度制 7 5 5 2 3 2. 6 6 4 4 3 11 7
4
6
4 3
5 3
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基础自测 1．－1124°角所在象限是( A．第一象限 C．第三象限
) B．第二象限 D．第四象限
2所在的象
2．(2010年烟台模拟)已知α为第四象限角，则 限是 ( ) A．第一或第二象限 C．第一或第三象限
π 3 2π 3
16
)
D．3π＋
4π 3 7π 3
(1)若角α是第二象限角，则：① ②2α是哪个象限角？
α 是哪个象限角？ 2
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α (2)已知α是第三象限角，则 是第几象限角？ 3
思路分析：对于(1)，由角α是第二象限角，可得到角α的 范围，即k×360°＋90°<α<k×360°＋180°(k∈Z)，进而可 α 得到 ，2α的取值范围，再根据范围确定其象限即可；对于 2 (2)，同理由α是第三象限角，可得到角α的范围，进而可得到 α 的取值范围，再根据范围确定其所在象限．此外本题也可用 3 α α 几何法来确定 ， 所在的象限． 2
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二、弧度制 1．1弧度角的定义：我们把长度等于________的弧所对的 圆心角叫________角.1弧度记作：1rad. 用弧度作为度量角的制度，叫________． (1度的角：把周角360等份，则其中1份所对的圆心角叫做 1度的角．用度作为度量角的制度，叫角度制．) π 2．角度制与弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ 180 rad;
1弧度＝ 180°≈57.3°.
π
特殊角的互化：
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度 弧 度 度 弧 度
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
6
210°
4
225°
3
240°
2
270°
__
__
__
300°
315°
330°
__
__
__
3 2
__
__
__
3.弧长公式：l＝|α|r(α是圆心角的弧度数)． 4．扇形面积公式：S＝ lr＝ |α|r2.
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3．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原 点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的________在 第几象限，就说这个角是第几象限的角．
4．轴线角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的 始边与x轴正半轴重合，若角的终边落在________时，这个 角就叫轴线角．
5．区间角：区间角是介于两个角之间的所有角，如 α∈
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答案：1.角 正角 负角 零角 始边 终边 顶点 2. 正角、负角、零角 3.终边 4.坐标轴上 6.{β|β＝k· 360° ＋α， k∈Z} 7.
，k∈Z} {α|α＝k×360° ＋90° ，k∈Z} {α|α＝k×360° ＋180° ，k∈Z} {α|α＝k×360° ＋270° ，k∈Z} {α|α＝k×360° ，k∈Z} {α|α＝k×180° ＋90° ，k∈Z} {α|α＝k×180° ，k∈Z} {α|α＝k×90°
当k是奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，
α 则n×360°＋225°< <n×360°＋270° (n∈Z)， 2 α 可知 在第三象限． 综上所述，角α是第二象限角， 2 α 则 是第一象限角或第三象限角． 2
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②因为2k×360°＋180°<2α<2k×360°＋360°，(k∈Z)
表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N＝ {x|x＝k＋1×45° ，k∈Z} 表示终边落在坐标轴或四个 象限的平分线上的角的集合，从而：M N. 点评：与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β ＝k· 360°＋α，k∈Z.
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变式探究
1．将角 3 π化为α＋2kπ(k∈Z,0＜α＜2π)的形式是( BA．5π＋ B．4π＋ C．6π－
D．tan 1
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6．已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角θ为何值时， 扇形的面积S最大，并求出S的最大值．
解析：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，周长为c，
∵c＝l＋2r＝20， ∴S＝ lr＝ l· 2r≤
2＝ 2＝25，
1l＋2r 120 1 1 4 2 2 2 4 2 当且仅当l＝2r，即l＝10，r＝5时，上式中的等号成立，
511 511
11 11
点评：熟练掌握角度制与弧度制的互化公式：
180°＝π rad,1°＝ 180 rad; 180° 1弧度＝ π ≈57.3°是正确换算的关键．
π
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变式探究 3．(1)
109π 37π 555 ＝________°；(2)218°＝________rad. 90 12
可知角2α是第三象限角或第四象限角或y轴的负半轴上． (2)解法一：因为α是第三象限角， 所以2kπ＋π<α<2kπ＋ π， ∴ π＋ < < π＋ .
3 2 ∴当k＝3m(m∈Z)时， 为第一象限角； π π α 2k 2k 2 3 3 3 3 当k＝ 3m＋1(m∈Z)时， 为第三象限角； α 3 当k＝ 3m＋2(m∈Z)时，α 为第四象限角． 3 故 为第一、三、四象限角． α 3 α 3
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解法二：把各象限均分3等份， 再从x轴的正向的上方起．依次 将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ， 并依次循环一周，则α原来是第 Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 α 的终边所在的区域． 3 α 由图可知， 是第一、三、 3 四象限角．
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点评：(1)已知角α的范围或所在的象限，求所在的象 限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何 法具体操作如下： 若α是第k(k取1、2、3、4之一)象限的角，利用单位圆 α 判断 ，(n∈N*)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象 n 限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在 每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有 α 标号k的区域就是角 ，(n∈N*)终边所在的范围． n
3
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解析：(1)①因为角α是第二象限角，
所以k×360°＋90°<α<k×360°＋180° (k∈Z)， 则k×180°＋45°<
α <k×180°＋90° (k∈Z)． 2
当k是偶数时，设k＝2n(n∈Z)，
α 则n×360°＋45°< <n×360°＋90° (n∈Z)， 2 α 可知 在第一象限； 2
π 5π π 5π α| ≤α≤ ＝ ， 6 6 6 6
6．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合(连同角α在 内)，可以记为________________. 7．几种终边在特殊位置时对应角的集合
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角的终边所在位置 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴
4．角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集 合为( B )
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一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆 的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是 多少？ 解析：设扇形的圆心角是θ rad，因为扇形的弧长rθ， 所以扇形的周长是2r＋rθ. 依题意知： 2r＋rθ＝πr ，解得θ＝(π－2) rad， 转化为角度制为 θ＝(π－2) rad＝(π－2)×
角的集合 ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________
2
2 k , k z

4．2 cm2