实际问题与二次函数面积问题 ppt课件

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实际问题与二次函数(面积问题)

分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 (60 ml) ，场地的面积: S=l(30-l) 即(0S<=-ll<2+3300)l
2
要用总长为60米的铁栏杆，一面靠墙围成一个矩形的花圃，怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？
解：设AB为x米，BC为（60－2x）米，
22.3 实际问题与二次函数 (面积最大问题)
1. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 x=-4 ，顶点坐标是（-4，- .当x= -4 时，函数有最_大__ 值是 1 . 1）
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 x=2 ，顶点坐标是（2,1）.当x= 2时，函数有最__小_____ 值是 1 .
矩形面积为y米2，则
A
D
y x60 2x (0<X<30)
即y 2x2 60 x
B
C
2x 152 450
当x=15时，y有最大值=450
这时，AB=15米，BC=60-2x=30米
所以当围成的花圃与墙垂直的一边15米，与墙平行的
一边长30米时，花圃的面积最大，最大面积为450米2
新知2 利用二次函数求图形的最大面积问
第1题
A
D
B
C
第2题
达标检测反思目标
A A
25
用二次函数的知识解决图形面积等问题的一般步骤：
把实际问题转化为数学问题
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
3.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值？写出求二次函数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

使销售利润最大？
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围；例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2）有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数 PPT课件

x b 2a
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大）值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1）题目中有几种调整价格的方法? （2）当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3）最多能涨多少钱呢? （4）当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．

用二次函数解决实际问题优秀课件

种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个.现在请你帮帮他，
如何定价才使他的利润最大？
第二十一页，共二十二页。
【解析】设将这种书包的售价上涨x元，他的利润为y元，
y=(40+x)×(200-10x)-30×(200-10x)
=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250
即将这种书包的售价上涨5元时，他的利润最大.
【解析】设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
y=(50- x)(180+x)-20(50- )x
10
10
= 1 +x234x+8 000
10
b 2a
=170,即房价定为170元时，宾馆利润最大.
第二十页，共二十二页。
4. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包.起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个.后来，根据市场调查发现：这
最多光线问题
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半
xx
部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度
和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确 y
到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解析 : 1由4 y 7x x 15
得, y 15 7x x .
4
2 窗户面积S
x(元) 15
20
30
…
y(件) 25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数. （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
第十七页，共则

人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件

(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝－2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500

《实际问题与二次函数》课件面积问题

∴当矩形的一边长是15米时，它的面积最大。
牛刀小试
问题2：现要用60米长的篱笆围成一个矩形（一边靠墙且墙足够长）的养鸡场地。设矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案并求出最大面积。
解：由题意，得：即s与x之间的函数关系式为： s=－x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30 又由题意，得：解之，得： ∴当x=30时，s最大值=450 ∴当与墙平行的一边长为30米，另一边长为15米时，围成的矩形面积最大，最大值是450平方米。
们是学习数学的主人
生活是数学的源泉，我
22.3
实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积
课题
1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是是是
反思感悟
通过本节课的学习，我的收获是 ······ ？我的困惑是······？
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如
何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.
（3，5）
x=3 5
，顶点坐标，顶点坐标，顶点坐标
.当x= 3 时，y的最小值是
.
x=-4
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
（-4，-1） .当x= -4 时，函数有最___ 大
值，是 -1 .
x=2
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是是（2,1）

22.3.1二次函数与图形面积问题课件 2024-2025学年人教版数学九上

位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30

15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解

22.3实际问题与二次函数PPT课件

=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x)
怎样确定x 的取值范围
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是直线x=2 ，顶点坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最小值，是 1 。
题型1：最大高度问题
题型2：最大面积问题
解：设
场地的面积
l
答：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
题型4：二次函数建模问题解：y ax2
由抛物线经过点（2，-2），可得
y
探究3：
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
C
D
y 1 x2
x 当水面下降1m时，水2面的纵坐标为
A
(2,-2)
0
●B
l
y 3 当 y 3时，x 6
如图是抛物线形拱桥，当拱所以，水面下降1m，水面的宽
y1(x2)2 2
当水面下降1m2时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
拱顶离水面2m，水面宽度4m，
y 1
水面下降1m，水面宽度为多少？当 y 1 时， x 62
水面宽度增加多少？所以，水面下降1m，水面的

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实际问题与二次函数面积问题
11
四、反馈提升
1. 某小区要用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为17米。围成的花坛是如图所示的直角△ABC，其中∠ACB＝90°，设AC边的长为x米，直角△ABC的面积为S平方米。 (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
15
作业：
搜集并整理近几年中考试题中与二次函数面积有关的题。
实际问题与二次函数面积问题
16
实际问题与二次函数面积问题
3
求函数最值的方法：
１.利用顶点坐标公式；２.配方后利用二次函数的顶点式３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
实际问题与二次函数面积问题
4
三、合作交流
（本题5分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
(1) 求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
(2) 当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
实际问题与二次函数面积问题
9
中考参考答案及评分标准
解：（1）S= （2）∵S= ∴S有最大值
1 - x2
30x………………
2分
2
- 1 x2 30x 2
，a=
-
1 2 ＜0,
实际问题与二次函数面积问题
6
变式训练：（本题6分）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的
游戏场地，围成的场地是如图所示的矩ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S （单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜ AD，请求出此时AB的长。
∵AB＜AD ,∴AB=5
……………… 1分
答：当矩形的面积为50平方米且AB＜AD时，AB的长为5米。
实际问题与二次函数面积问题
8
2. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：cm 2）随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化。
实际问题与二次函数
------面积问题
实际问题与二次函数面积问题
1
一、学习目标
1. 能够分析和解决实际问题中面积与边长之间的二次函数关系；
2. 会运用二次函数的知识求出实际问题的解，培养建模思想；
3.了解中考这种类型题的解题步骤和评分标准。
二、自我展示
1.菱形的面积公式是_底_乘_高__或_对_角_线__乘_积_的_一__半_. 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜ 0）中，当x=_ _2ab_时，函数y有最__大__值，是_4a_c4_a b_2. 3.二次函数y=a(x-－h) 2+k（a＜0）中，当 x=__h_时，函数y有最_大__值，是__k___. 4.若抛物线y＝x 2-8x＋15的值是3，那么x 满足的条件是___x=_2_或_x_=_6 ______.
(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛面积是30平方米，问直角三角形的两条直角边的长各为多少米？
A
B
2m
C
实际问题与二次函数面积问题
12
2、如图，要建立一个形状是直角梯形的存料场，其中有两边是夹角为150度的两面墙，另外两边是总长为30m的篱笆，篱笆两边各是多少米时，存料场的面积最大？最大面积是多少？
∴x=
b 2a
=
-
30 2 (
1)
30……………… 2分
2
S的最大值为
4acb2 302 450 4a 4(1)
………… 2分
∴当x为30cm时，菱形风筝面2 积最大，最大面积是450 cm. 2
实际问题与二次函数面积问题
10
实际问题
抽象转化
运用数学问题
问题的解决
二次函数知识
解题步骤： 1、分析题意，建立函数关系式； 2、选方法，求解； 3 、写出结论。
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
实际问题与二次函数面积问题
5
中考参考答案及评分标准
解：由题意得S=AB·BC=x(32-2x),
∴S=-2x2+32x
……………… 2分
∵a=-2＜0 , ∴S有最大值
……………… 1分
∴x= =
b 2a
- 32 8 2(2)
……………… 1分
答S：最x大 =值 84时a4，c abS2有最4 大3(值2 2 2)，1最2大8值是…12…8…. ……… 1分
实际问题与二次函数面积问题
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3. 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框ACDF，其中BE,GH均是铝合金制成的格条，且BE∥AF，GH⊥CD，EF＝0.5米，设AF的长为 x（单位：米），AC的长为y（单位：米）
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（2）若这个矩形窗框ACDF的面积等于10平方米，且AF＜AC，求出此时AF的长。
实际问题与二次函数面积问题
7
中考参考答案及评分标准
解：（1）根据题意AD=
302x 15x 2
………… 1分
S =x(15-x)= -x2+15x
…………2分
（2）当S=50时，-x2+15x=50，整理得 x2-15x+50=0，
解得， x1 5,x2 10
…………… 2分
当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5；
A
F
B
G
E
C
D
实际问题与H二次函数面积问题
14
实际问题抽象数学问题运用
问题的１.利用顶点坐标公式；２.配方后利用二次函数的顶点式３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
解题步骤： 1、分析题意，建立函数关系式； 2、选方法，求解； 3 、写出结论。
实际问题与二次函数面积问题

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