浙教版初中数学专题一数与式第三课时(因式分解)

浙教版初中数学专题一数与式第三课时（因式分解）一、单选题1.下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A. x2+5x-1=x（x+5）-1B. x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3xC. x2-9=（x+3）（x-3）D. （x+2）（x-2）=x2-42.（2017•常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A. a（m+n）=am+anB. a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x3.多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（）A. 2xyB. 24x2y3C. ﹣2xD. 以上都不对4.多项式2x2+6x3中各项的公因式是（）A. x2B. 2xC. 2x3D. 2x25.把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3）则a，b的值分别是（）A. a=2，b=3B. a=-2，b=-3C. a=-2，b=3D. a=2，b=-36.将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A. x2﹣1B. x2+2x+1C. x2﹣2x+1D. x（x﹣2）﹣（x﹣2）7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A. x2+y2B. x2-y2C. –x2-y2D. x-y28.分解因式x2﹣4x﹣5的结果应是（）A. （x﹣1）（x+5）B. （x+1）（x﹣5）C. （x+1）（x+5）D. （x﹣1）（x﹣5）9.若m＞-1，则多项式m3-m2-m+1的值为（）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数10.下列分解因式正确的是（）A. B.C. D.二、填空题1.分解因式：________.2.分解因式=________，=________．3.在实数范围内分解因式：3x2﹣6y2=________．4.（2015•绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y=________ .5.因式分解：x3-5x2+4x=________．6.分解因式：a2b（x﹣y）3﹣ab2（y﹣x）2=________ ．7.已知a2+ab=5，ab+b2=﹣2，a+b=7，那么a﹣b=________ ．三、计算题1.因式分解：（1）x2﹣xy﹣12y2；（2）a2﹣6a+9﹣b22.已知：|x+y+1|+|xy﹣3|=0，求代数式xy3+x3y的值．3.已知4.解方程：x2﹣3x+2=0．四、综合题（共4题；共38分）1.先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．2.阅读下列多项式因式分解的过程：x2﹣2x﹣8=x2﹣2•x•1+12﹣12﹣8=（x﹣1）2﹣9=（x﹣1）2﹣32=（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）=（x+2）（x﹣4）这种把多项式分解因式的方法叫做“配方法”，请你根据上面的材料解答下列问题：（1）利用完全平方公式填空：x2+8x+（________）2=（x+________）2；（2）用“配方法”把多项式x2﹣6x﹣16分解因式；（3）如果关于x的二次三项式x2+10x+m在实数范围内不能因式分解，求实数m的取值范围．3.现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：________；（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是________，并请你在图3位置画出拼成的长方形________；（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．4.（2017•湘潭）由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+________）（x+________）；（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】因式分解的意义【解析】【解答】A.右边不是积的形式，故A错误；B.右边不是积的形式，故B错误；C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正确．D.是整式的乘法，不是因式分解选C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解2.【答案】C【考点】因式分解的意义【解析】【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；故选（C）【分析】根据因式分解的意义即可判断．3.【答案】C【考点】公因式【解析】【解答】解：多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3各项的公因式是：﹣2x．故选：C．【分析】根据公因式的定义，找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数，直接找出每一项中公共部分即可．4.【答案】D【考点】公因式【解析】【解答】解：2x2+6x3=2x2（1+3x），故选：D．【分析】根据因式分解，可得公因式．5.【答案】B【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=-2，b=-3，故选B．6.【答案】B【考点】因式分解-提公因式法，因式分解-运用公式法【解析】【解答】解：A. x2﹣1=（x+1）（x-1）；B. x2+2x+1=（x+1）2;C. x2﹣2x+1 =（x-1）2;D. x（x﹣2）﹣（x﹣2）=（x-2）（x-1）；结果中不含因式x-1的是B；故选B.7.【答案】B【考点】因式分解-运用公式法【解析】【解答】解：∵平方差公式的两个项都是平方项，且符号相反，∴x2-y2能用平方差公式分解因式.故选B.8.【答案】B【考点】十字相乘法因式分解【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣5=（x+1）（x﹣5）．故选B【分析】原式利用十字相乘法分解即可得到结果．9.【答案】C【考点】多项式，因式分解的应用，因式分解-分组分解法【解析】【解答】多项式m3-m2-m+1=（m3-m2）-（m-1），=m2（m-1）-（m-1），=（m-1）（m2-1）=（m-1）2（m+1），∵m＞-1，∴（m-1）2≥0，m+1＞0，∴m3-m2-m+1=（m-1）2（m+1）≥0．选：C．【分析】解此题时可把多项式m3-m2-m+1分解因式，根据分解的结果即可判断10.【答案】C【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】A. ，故A不符合题意；B. ，故B不符合题意；C. ，故C符合题意；D. =（x-2）2，故D不符合题意，故答案为：C.【分析】根据提公因式法的技巧，可对A、B、C作出判断；根据平方差公式和完全平方公式的特点，可对D作出判断；从而可得出答案。

二、计算题11.【答案】解：（1）x2﹣xy﹣12y2，=（x+3y）（x﹣4y）；（2）a2﹣6a+9﹣b2，=（a﹣3）2﹣b2，=（a﹣3+b）（a﹣3﹣b）．【考点】因式分解-运用公式法，因式分解-十字相乘法，因式分解-分组分解法【解析】【解答】（1）根据十字相乘法分解因式即可．（2）前三项是完全平方形式，与﹣b2组成平方差形式，根据公式法分解因式即可．【分析】十字相乘法能把某些二次三项式分解因式．这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，就可以写出结果ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．同时考查了公式法分解因式．完全平方公式：x2±2xy+y2=（x±y）2．平方差公式：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）．12.【答案】解：∵|x+y+1|+|xy﹣3|=0，∴x+y=﹣1，xy=3,∴x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x2+y2+2xy）﹣2xy]=xy[（x+y）2﹣2xy]=3×（1﹣6）=﹣15．【考点】代数式求值，因式分解的应用，绝对值的非负性【解析】【解答】先提取公因式xy，再利用完全平方公式整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式整理成已知条件的形式是求解本题的关键，整体思想的运用使运算更加简便．13.【答案】解：∵x2-2x-3=（x-3）（x+1），将x= +1代入上式得：（+1-3）（+1+1），=（-2）（+2），=（）2-22，=3-4，=-1.【考点】十字相乘法因式分解，完全平方式【解析】【分析】先将原代数式利用十字相乘法因式分解，再将x值代入因式分解之后的式子得到一个平方数公式，计算即可得出答案.14.【答案】解：∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=1，x2=2【考点】十字相乘法因式分解【解析】【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．三、填空题15.【答案】a（a+1）（a-1）【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）.【分析】观察此多项式的特点，有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。

16.【答案】；【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】答案：，【分析】（1）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止；（2）先利用提公因式法分解，再利用完全平方公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。

17.【答案】3（x+ y）（x﹣y）【考点】实数范围内分解因式【解析】【解答】解：原式=3（x2﹣2y2）=3（x+ y）（x﹣y），故答案为3（x+ y）（x﹣y）．【分析】先提公因式3，再利用平方差公式因式分解即可．18.【答案】【考点】实数范围内分解因式【解析】【解答】解：原式=y（x2﹣3）=y（x﹣）（x+），故答案为：y（x﹣）（x+）．【分析】原式提取y，再利用平方差公式分解即可．19.【答案】x（x-1）（x-4）【考点】因式分解-提公因式法，因式分解-十字相乘法【解析】【解答】x3-5x2+4x=x（x2-5x+4）=x（x-1）（x-4）答案为：x（x-1）（x-4）【分析】直接提取公因式x ，进而利用十字相乘法分解因式20.【答案】1【考点】代数式求值，公因式，提公因式法因式分解【解析】【解答】解：∵a2+ab=5，ab+b2=﹣2，a+b=7，∴a2+ab﹣（ab+b2）=（a+b）（a﹣b）=7，则a﹣b=1．故答案为：1．【分析】利用已知将两式a2+ab与ab+b2相减，进而利用平方差公式分解因式求出答案．21.【答案】ab（x﹣y）2（ax﹣ay﹣b）【考点】公因式，提公因式法因式分解【解析】【解答】解：a2b（x﹣y）3﹣ab2（y﹣x）2=ab（x﹣y）2（ax﹣ay﹣b）．故答案为：ab（x﹣y）2（ax﹣ay﹣b）．【分析】直接找出公因式，进而提取公因式得出即可．四、综合题22.【答案】（1）（x﹣y+1）2（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1.=（n2+3n）（n2+3n+2）+1.=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1.=（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方.【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用，定义新运算【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.23.【答案】（1）4；4（2）解：x2﹣6x﹣16=x2﹣2•3•x+32﹣32﹣16=（x﹣3）2﹣25=（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）=（x+2）（x﹣8）；（3）解：x2+10x+m=（x+5）2﹣25+m=（x+5）2+（m﹣25），当m﹣25＞0，即m＞25时，多项式x2+10x+m=（x+5）2+（m﹣25）在实数范围内不能因式分解，则实数m的取值范围是m＞25．【考点】实数范围内分解因式【解析】【解答】解：（1）x2+8x+42=（x+4）2；故答案为：4；4；【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出结果；（2）多项式配方后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；（3）多项式配方后，利用完全平方公式化简，根据题意确定出m的范围即可．24.【答案】（1）a2+2ab+b2=（a+b）2（2）2；（3）a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b）．【考点】完全平方公式的几何背景，因式分解的应用【解析】【解答】解：（1）利用面积相等得a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）由于有a2+3ab，则a2+3ab+nb2分解为（a+b）（a+2b），因此得到n=2，如图：【分析】（1）利用面积相等易得a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）由于有a2+3ab，则a2+3ab+nb2分解为（a+b）（a+2b），因此得到n=2，再画图；（3）利用面积可分解因式．25.【答案】（1）2；4（2）解：∵x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，则x+1=0或x﹣4=0，解得：x=﹣1或x=4【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x=2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．。