二次函数的应用_面积问题PPT课件

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二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt

要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由参数$a$、$b$和$c$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点的位置由参数$b$和$c$决定，而开口的大小和方向则由参数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域，许多现象具有周期性规律。通过将实际问题转化为二次函数模型，可以更好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计算图形的面积。通过将问题转化为求二次函数与坐标轴围成的面积，可以简化计算过程，提高解决问题的效率。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般形式： $y=ax^2+bx+c$，其中$a neq 0$。

新版北师大九年级下2.4二次函数的应用课件ppt

【解析】（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为
4.02m2.
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，
并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这
两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
【答案】 12.5 或 25
2
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其
4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若 y 12 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用 40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
解析：
由4 y 7 x x 15.

中考数学二次函数的应用复习之篱笆面积问题公开课精品PPT课件

二次函数的应用复习 ——篱笆面积问题
教材母题
王大爷准备围成一个周长为34米的饲养场地（AD一面靠墙，墙长为12米），围成的场地是如图所示的矩形ABCD，设AB= x 米，矩形ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式以及自变量的取值范围；
解：(1) S=x(34-2x)= -2x2+34x
王大爷用长度80米的篱笆围成一面靠墙（墙长18米）的长方形养殖场区域ABCD，他想饲养三种不同品种的幼崽，把饲养场地隔成面积相等的三个小长方形养殖区域。设 BC的长度为 x 米，饲养总面积为 y 平方米，
(1)求y与x之间的函数关系式以及自变量的取值范围；
解：(1)设AE= a 米
0＜x≤18
34-2x
∴11≤x＜17
(2)面积有没有最大值？若有请求出，若没有请说明理由 ∵11≤x＜17
变式一
王大爷准备围成一个周长为34米的饲养场地（AD一面靠墙，墙足够长），围成的场地如图所示的矩形ABCD，若此饲养场地中间用1道篱笆把它隔成两部分，设BC= x 米，矩形面积为 S 平方米问：要使面积最大，饲养场的一边BC的长为多少米？
∴0＜x≤18
(2)为了物尽其用,该养殖户应该取x为多少米时,总面积y 有最间的关系
2、用二次函数表示出它们之间的关系以及自变量的取值范围
3、求最值，若顶点不在范围内注意最值的求取
谢谢大家
变式二
王大爷准备利用一面墙AD（墙的长度为20米），用34 米长的篱笆围成两个饲养场，中间用一道篱笆隔开，每个饲养场均留一道1米宽的门，设AB的长为x米．
(1)若两个饲养场总面积为96平方米，求x；
x
x
36-3x
(2)若两个饲养场场的面积和为S,求S关于x的关系式及自变量取值；

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

使销售利润最大？
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围；例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2）有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

用二次函数解决实际问题优秀课件

种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个.现在请你帮帮他，
如何定价才使他的利润最大？
第二十一页，共二十二页。
【解析】设将这种书包的售价上涨x元，他的利润为y元，
y=(40+x)×(200-10x)-30×(200-10x)
=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250
即将这种书包的售价上涨5元时，他的利润最大.
【解析】设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
y=(50- x)(180+x)-20(50- )x
10
10
= 1 +x234x+8 000
10
b 2a
=170,即房价定为170元时，宾馆利润最大.
第二十页，共二十二页。
4. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包.起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个.后来，根据市场调查发现：这
最多光线问题
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半
xx
部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度
和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确 y
到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解析 : 1由4 y 7x x 15
得, y 15 7x x .
4
2 窗户面积S
x(元) 15
20
30
…
y(件) 25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数. （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
第十七页，共则

二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件

根据几何图形的特性，选择合适的二次函数模型来表示面积。
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量，利用二次函数的性质求圆的最大面积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现在二次函数最值处，可以通过求导数或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所

二次函数的应用《图形面积的最大值》

h= 30t - 5t 2
20
O 1 2 34 5 6
t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？
设垂直于墙的边长为x m，
60-2x
问题3 面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值最？值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
典例精析
例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)
当 x b 时，
2a
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）
值
y
4ac b2 ．
4a
讲授新课
求二次函数的最大(或最小)值
典例精析例1 写出下列抛物线的最值. （1）y=x2-4x-5;

二次函数的应用ppt课件

②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2；（3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案．题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和；（2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系；注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽度 AB 为（） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m

2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积

+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？（随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40

二次函数应用-几何图形的最大面积问题精品PPT课件

∵a＜0， ∴抛物线开口向下 C
Q1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是C，AD⊥BC， BC=160cm ,AD=120cm,
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
最值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
自学教材20页 “动脑筋”
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，
最大值是多少？
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
（四）课堂小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数的自变量的取值范围。
2. 用函数知识求解实际问题，需要把实际问题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要符合实际题意，要注意数与形结合。
1.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是( ) A.y=(60+2x)(40+2x)
（一）思前想后
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。（2）求函数y＝x2+2x－3 （0≤x ≤ 3）

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2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的
透光面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4 （2）y=1-2x-x2
（3）y=7x2-2
3
7x+ 2
（4）y=100-5x2
（5）y=-6x2+12x （6）y=- 3 x2-4x+1 2
2.有一根长为40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框。当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？
3.已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2 配方，得:
y=- 3 (x-1)2+ 3
∴抛物线的顶点坐标是（5，50） ∵抛物线的开口方向向下 ∴当x=5，y最大值=50
答：与墙垂直的一边长为5m时，花圃的面积最大，最大面积为50m2。
探究问题2
2.某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
综合运用
如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为
6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐
标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长
度，建立平面直角坐标系，
y
求（1）以这一部分抛物线为图
O
象的函数解析式，并写出x的取
x
值范围；
（2）有一辆宽2.8米，高3米的
农用货车（货物最高处与地面AB
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x= - b
2a
y最小值=
4ac-b2 4a
x= ห้องสมุดไป่ตู้ b
2a
y最大值=
4ac-b2 4a
探究问题1
要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？
次函数的图象和性质(
二次函数的应用
回顾：二次函数y=ax2+bx+c的性质
y=ax2 +bx+c(a≠0)
a>0
a<0
开口方向顶点坐标
对称轴增减性
极值
向上
向下
(- b , 4ac-b2 )
2a 4a
x= - b
2a
(- b , 4ac-b2 )
2a 4a
x= - b
2a
在对称轴的左侧，
在对称轴的左侧,
看课本的第2页
你会解吗？
1.要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？
解：设矩形的靠墙的一边AB的长为x米，矩形的面积为y米。由题意得：
y=x(20-2x) (0<x<10)
即：y=-2x2+20x
将这个函数关系式配方，得： y=-2(x-5)2+50
的距离）能否通过此隧道？
A CB
应用2
第22页第3题
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