2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：(二) Word版含解析

2.1.1　椭圆及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若动点M 到两个定点F 1,F 2的距离之和为定值m ,则点M 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能|MF 1|+|MF 2|=m ,∴当m>|F 1F 2|时,点M 的轨迹为椭圆;当m=|F 1F 2|时,点M 的轨迹是线段F 1F 2;当m<|F 1F 2|时,点M 的轨迹不存在.2.椭圆x 216+y 225=1的焦点坐标是( )A.(±4,0)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(0,±3)3.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.8D .324.若方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( )A.-9<m<25B.8<m<2525 D.m>8,8<m<25.得{m +9>0,25-m >0,m +9>25-m ,解得5.已知椭圆的两个焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项.该椭圆的方程是( )A .x 212+y 264=1B.x 216+y 212=1C .x 24+y 216=1D.x 24+y 212=16.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线|PF 1|+|PO|P 的=12|MF 1|+12|MF 2|=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >|F 1O |,所以点轨迹是椭圆.7.已知椭∠圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|=____________,= .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=‒12.故∠F 1PF 2=120°.　120°8.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⊥PF 2.△PF 1F 2的面积为9,则b= .若,有{|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故有b=3.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程;(2)椭圆的焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),点P (3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则由题意,a=3,c=2,得b 2=5.故椭圆方程为x 29+y 25=1.(2)因为焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),所以可设椭圆方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).2a =32+(4+5)2+32+(4-5)2=410,所以a=210,c =5,b 2=40‒25=15,故椭圆方程为y 240+x 215=1.10.已知点A (0,3)和圆O 1:x 2+(y +3)2=16,点M 在圆O 1上运动,点P 在半径O1M 上,且|=|PA |,求动点P 的轨迹方程.|PM|=|PA|,|PM|+|PO 1|=4,所以|PO 1|+|PA|=4,又因为|O 1A|=23<4,所以点P 的轨迹是以A ,O 1为焦点的椭圆,所以c =3,a =2,b =1.所以动点P 的轨迹方程为x 2+y 24=1.二、能力提升1.椭圆mx 2+ny 2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( )A.(0,±m -n )B.(±m -n ,0)n -m )D.(±n -m ,0)是x 2-n +y 2-m =1.∵m<n<0,∴0<-n<-m.∴焦点在y 轴上,且c =-m -(-n )=n -m .2.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1·MF 2=0,则点M 到x 轴的距离为( )A .233B.263C.33D.3M (x 0,y 0),由F 1(‒3,0),F 2(3,0),得MF 1=(‒3‒x 0,‒y 0),MF 2=(3‒x 0,‒y 0).由MF 1·MF 2=0,得x 20+y 20=3.y 0=又x 204+y 20=1,解得±33,即点M 到x 轴的距离C .为33.故选3.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于( )B.4C.3D.14.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ·FP 的最大值为( )B.3 C.6 D.8F (-1,0),设点P (x 0,y 0),≤x 0≤2).则y 20=3(1-x 204)(‒2 OP ·FP =x 0(x 0+1)+y 20=x 20+x 0+y 20=x 20+x 0+3(1-x 204)=14(x 0+2)2+2,当x =26.时,OP ·FP 值为5.设P 为椭·|PF 2|的最大圆x 24+y 29=1上的任意一点,F 1,F 2分别为其上、下焦点,则|PF 1|值是 .a=3,|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=3时等号成立.故|PF|·|PF 2|的最大值为9.★6.已知P 是椭圆x 24+y 23=1上的一动点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,延长F 1P 到点Q ,|PQ |=|PF 2|,则动点Q 的轨迹方程是____________. ,依题意,|PF 1|+|PF 2|=2a (a 是常数,且a>0).又|PQ|=|PF 2|,∴|PF 1|+|PQ|=2a ,即|QF 1|=2a.由题意知a=2,b =3,c =a 2-b 2=4-3=1.∴|QF 1|=4,F1(-1,0).∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,4为半径的圆,∴动点Q 的轨迹方程是(x+1)2+y 2=16.x+1)2+y 2=167.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A (63,3)和B (223,1)的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (63,3)和B (223,1), ∴{m ·(63)2+n ·(3)2=1,m ·(223)2+n ·12=1,解得{m =1,n =19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 29=1.(2)∵在椭,可知a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.圆x 29+y 24=1中∴设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a 2+4a 2-5=1.∴a 2=15或a 2=3(舍去).∴所求椭圆方程为x 215+y 210=1.★8.已知动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=32内切,与定圆C 2:(x-3)2+y 2=8外切,点A 的坐标为(0,92).(1)求动圆的圆心C 的轨迹方程;(2)若轨迹C 上的两点P ,Q 满足AP =5AQ ,求|PQ |的值.如图,设动圆C 的半径为R ,则|CC 1|=42‒R ,①|CC 2|=22+R ,②①+②得,|CC 1|+|CC 2|=62>6=|C 1C 2|.由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,长轴长,为62的椭圆其轨迹方程为x 218+y 29=1.(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则AP =(x 1,y 1-92),AQ =(x 2,y 2-92). 由AP =5AQ ,可得(x 1,y 1-92)=5(x 2,y 2-92).所以x 1=5x 2,y 1=5y 2‒92×5+92=5y 2‒18.③由P ,Q 是椭圆C 上的两点,得 {x 2218+y 229=1,④25x 2218+(5y 2-18)29=1.⑤由④⑤得y 2=3.将y 2=3代入③,得y 1=-3,将y 2=3代入④,得x 2=0,所以x 1=0,所以P (0,-3),Q (0,3),即|PQ|=6.。

2.1 椭圆1、已知椭圆的离心率为12，焦点是()()3,03,0-，，则椭圆方程为（ ） A ．2213627x y += B ．2213627x y -= C ．2212736x y += D ．2212736x y -= 2、已知1F ,2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点,A 是椭圆上一动点,圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切,若(),0M t 为一个切点,则( ) A.2t =B.2t >C.2t <D.t 与2的大小关系不确定3、已知12,F F 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30︒的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若1212,2F AF AF AF S ⊥=△,则椭圆C 的方程为( )A.22162x y +=B.22184x y +=C.22182x y +=D.2212016x y += 4、若曲线22111x y k k+=-+表示椭圆,则k 的取值范围是( ) A. 1k > B. 1k <- C. 11k -<<D. 10k -<<或01k <<5、若椭圆222222(0)b x a y a b a b +=>>的左焦点为,F 右顶点为,A 上顶点为,B 若90ABF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B C6、已知椭圆22:12x C y +=，直线:l y x =C 上的点到直线l 的最大距离为（ ）AB C D ．7、已知平行四边形ABCD 内接于椭圆22142x y +=,直线AB 的斜率11k =,则直线AD 的斜率2k = ( )A. 12 B. 12-C. 14-D. 2-8、设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆于,?A B 点, 若△12AF F 的面积是△12BF F 的面积的3?倍, 23cos 5AF B ∠=,则椭圆E 的离心率为( )A. 12B. 23C.2D.29、已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点,过点P 作圆22(1)1x y ++=的两条切线,切点分别是,,A B 则PA PB ⋅的取值范围为( ) A. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 356,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,⎡⎤+∞⎣⎦10、已知椭圆2213216x y +=内有一点()2,2,B 12,F F 是其左、右焦点, M 为椭圆上的动点,则1MF MB +的最小值为( )A.B. C. 4 D. 611、椭圆221254x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 经过1F 椭圆于,A B 两点，则2ABF △的周长为________.12、如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D 在椭圆上，112DF F F ⊥,121F F DF =12DF F △的面积为2.则椭圆的标准方程为___________.13、已知点A 在椭圆221259x y +=上,点P 满足(1)(R)AP OA λλ=-∈(O 是坐标原点）,且72OA OP ⋅=,则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为__________.14、在平面直角坐标系xOy 中,经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点,则k的取值范围为__________15、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=，如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -.1.求22m k +的最小值；2.若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点.答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：2答案及解析： 答案：A解析：如图,设,P Q 分别是圆C 与1F A 的延长线、线段2AF 相切的切点,()2212MF F Q a F A AQ ==-+1122a F P a F M =-=-，即122F M MF a +=,所以2t a ==.故选A3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：B解析：椭圆方程为22221,x y a b+=由题知在Rt ABF △中，222,BF AB AF +=即2222()a a b a c ++=+，222b a c =-代入得22-0,a ac c -= 两边同除以2a 得210,e e +-=解得e =6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：B解析：设直线AB 的方程为y x t =+,()11,A x y ,()22,B x y ,利用椭圆与平行四边形的对称性可得()22,D x y --,联立22142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得2234240x tx t ++-=,由0∆>,得206t <<(t=0时不能构成平行四边形),所以1243tx x +=-,则直线AD 的斜率12122121212222111423y y x x t t t k t x x x x x x +++===+=+=-+++-,故选B 。

课时达标对点练（二）[即时达标对点练]题组四种命题的概念．命题“若∉，则∈”的否命题是( )．若∉，则∉．若∈，则∉．若∈，则∉．若∉，则∉．命题“若>，则>”的逆命题是，逆否命题是．．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有；互为否命题的有；互为逆否命题的有(填序号)．题组四种命题的真假判断．下列命题中为真命题的是( )．命题“若>，则>”的逆命题．命题“若＝，则>”的否命题．命题“若＝，则＋－＝”的否命题．命题“若>，则>”的逆否命题．命题“若＝，则＝”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()．原命题、否命题．原命题、逆命题．原命题、逆否命题．逆命题、否命题．命题“若≠，则－≠”的真假性为．题组等价命题的应用．判断命题“若>，则方程＋－＝有实数根”的逆否命题的真假．．证明：若－－＋≠，则≠＋.[能力提升综合练]．若命题的否命题为，命题的逆否命题为，则与的关系是( )．互逆命题．互否命题．互为逆否命题．以上都不正确．下列四个命题：①“若＝，则＝，且＝”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若>，则>”的逆命题；④若>，则不等式－＋>.其中真命题的个数为( )．．．．．有下列四个命题：①“若＋＝，则、互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若≤，则＋＋＝有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为( )．①②．②③．①③．③④．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中所有正确叙述的序号是．．已知：表示点，，，表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：①⊥α，⊄α，若∥α，则⊥;②⊥α，若⊥β，则α∥β；③⊂α，∩α＝，为在α上的射影，若⊥，则⊥；④⊥α，若∥α，∥，则⊥，⊥.其中逆命题为真的是．．已知命题“若－<<＋，则<<”的逆命题为真命题，则的取值范围是．．设命题：若<，则关于的方程＋＋＝(∈)有实根．()写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；()判断命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)．判断命题：“若≤－，则关于的方程－＋＋＝有实根”的逆否命题的真假．答案即时达标对点练.解析：选命题“若，则”的否命题是“若綈，则綈”，“∈”与“∉”互为否定形式．.答案：若>，则> 若≤，则≤。

2.2.1　双曲线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若双曲线E :x 29‒y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( ) B.9C.5D.3a=3,b=4,c=5.由双曲线定义,可知||PF 1|-|PF 2||=|3-|PF 2||=2a=6,故|PF 2|=9.2.已知点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,则当a=3和a=5时,点P 的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线|F 1F 2|=10,|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴当a=3时,2a=6<|F 1F 2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F 1F 2|,此时轨迹为一条射线.3.若双曲线方程为x 2-2y 2=2,则它的左焦点坐标为( )A .(-22,0)B.(-52,0)C.(-62,0)D.(‒3,0)双曲线标准方程为x 22‒y 2=1,∴c 2=2+1=3.∴左焦点坐标为(‒3,0).4.若椭圆x 24+y 2m 2=1与双曲线x 2m2‒y 22=1有相同的焦点,则m 的值是( )A.±1B.1C.-1D.不存在5.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于( )A .14B.35C.34D.45为x 22‒y 22=1,所以a=b =2,c =2.因为|PF 1|=2|PF 2|,所以点P 在双曲线的右支上.所以|PF 1|-|PF 2|=2a=22,解得|PF 2|=22,|PF 1|=42.所以根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2=(22)2+(42)2-162×22×42=34.6.已知△ABP 的顶点A ,B 分别为双曲线C :x 216‒y 29=1的左、右焦点,顶点P 在双曲线C 上,则|sin A -sin B |sin P的值等于( )A .7B.74C.54D.45|PB|=m ,|PA|=n ,由正弦定理得|sin A -sin B |sin P =|m -n |2c=810=45.7.以椭圆x 28+y 25=1长轴的两个端点为焦点,且经过点(3,10)的双曲线的标准方程为____________.,得双曲线的焦点在x 轴上,且c=22.设双曲线的标准方程为x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0), 则{a 2+b 2=c 2=8,9a 2-10b 2=1,解得{a 2=3,b 2=5.故所求双曲线的标准方程为x 23‒y 25=1.‒y 25=18.设P 为双曲线x 2‒y 212=1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点.若|PF 1|∶|PF 2|=3∶△PF 1F 2的面积为 .2,则|PF 1|-|PF 2|=2a=2,且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,∴|PF 1|=6,|PF 2|=4.又|F 1F 2|=2c=213,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,·|PF 2|∴S △PF 1F 2=12|PF 1|=12×6×4=12.9.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)经过点P (3,154),Q (-163,5);(2)c =6,经过点(‒5,2),焦点在x 轴上.设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn<0),∵,点P (3,154),Q (-163,5)在双曲线上∴{9m +22516n =1,2569m +25n =1,解得{m =-116,n =19.∴双曲线方程为y 29‒x 216=1.(2)∵c x 轴上,=6,焦点在∴设双曲线方程为x 2a 2‒y 26-a 2=1.∵点(-5,2)在双曲线上,∴25a 2‒46-a 2=1,∴a 2=5.∴双曲线方程为x 25‒y 2=1.10.已知动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=9,C 2:(x-3)2+y 2=1都外切,求动圆圆心C 的轨迹方程.,由题意,得定圆圆心分别为C 1(-3,0),C 2(3,0),半径r 1=3,r 2=1.设动圆圆心为C (x ,y ),半径为r ,则|CC 1|=r+3,|CC 2|=r+1.两式相减,得|CC 1|-|CC 2|=2,∴点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b 2=c 2-a 2=8.∴方程为x 2≥1).‒y 28=1(x 二、能力提升1.若方程x 2m -1+y 2m 2-4=3表示焦点在y 轴上的双曲线,则m的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+∞)2)D.(-2,2)2.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(⊥‒5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上的一点,且PF 1PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程是( )A .x 22‒y 23=1B.x 23‒y 22=1C.x 2‒y 24=1D.x 24‒y 2=1|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,其中m>0,n>0,在Rt △PF 1F 2中,m 2+n 2=(2c )2=20,m ·n=2,由双曲线定义,知|m-n|2=m 2+n 2-2mn=16=4a 2.∴a 2=4,∴b 2=c 2-a 2=1.∴双曲线的标准方程为x 24‒y 2=1.3.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则点P 到x 轴的距离为( )A .3B.62C.3D.6|PF 1|=m ,|PF 2|=n.由方程知c =2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得4c 2=m 2+n 2-mn.∵|m-n|=2,∴8=(m-n )2+mn=4+mn ,∴mn=4.设点P 到x 轴的距离为h ,·h 60°,∴h 则12×2c =12mn sin =62.4.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2‒y 29=1(a >0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|△PF 1F 2的周长是 .PF 1|=2|PF 2|=16,则|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a.∴a=4.又b 2=9,∴c 2=25.∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.5.已知动圆M 过定点B (-4,0),且和定圆(x-4)2+y 2=16相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 .M 的半径为r ,依题意有|MB|=r ,另设A (4,0),则有|MA|=r ±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M 到两定点A ,B 的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M 的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a 2=4,b 2=c 2-a 2=12,故轨迹方程是x 24‒y 212‒y 212=1★6.已知F 是双曲线x 24‒y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |值为__________.,已知F (-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A (1,4)在双曲线的两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9,当且仅当A ,P ,F'三点共线时,取等号.7.已知双曲线x 216‒y 24=1的两个焦点分别为F 1,F 2.若点M 在双曲线上,且MF 1·MF 2=0,求点M 到x 轴的距离.M 在双曲线的右支上,点M 到x 轴的距离为h MF 1⊥MF 2.,MF 1·MF 2=0,则设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,由双曲线定义知,m-n=2a=8.①又m 2+n 2=(2c )2=80,②由①②得m ·n=8,·h ,得h 由12mn =4=12|F 1F 2|=255.★8. 已知双曲线的方程为x 2‒y 24=1,如图,点A 的坐标为(‒5,0),点B 是圆x 2+(y ‒5) 2=1上的点,点M 在双曲线的右支上,求|MA |+|MB |的最小值.D 的坐标A ,D 是双曲线的焦点.为(5,0),则点由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.又点B 是圆x 2+(y ,圆的圆心为C (01,‒5)2=1上的点,5),半径为所以|BD|≥|CD|-1=10‒1.从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10+1.当点M ,B 在线段CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为10+1.。

选修1－1学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b答案 C解析 “若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C.2．命题：“存在数列{a n }，{b n }既是等差数列又是等比数列”( ) A ．是特称命题并且是真命题 B ．是全称命题并且是假命题 C ．是特称命题并且是假命题 D ．是全称命题并且是真命题 答案 A解析 存在非零常数数列既是等差数列又是等比数列，因此该命题是特称命题并且是真命题．故选A.3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10答案 B解析 ∵f ′(x )＝10xln 10＋1x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B.4．已知a 、b ∈R ，那么“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 将ab ＋1>a ＋b 整理得，(a －1)(b －1)>0，即判断“0<a <1且0<b <1”是“(a －1)(b －1)>0”的什么条件．由0<a <1且0<b <1可推知(a －1)(b －1)>0，由(a －1)(b －1)>0⇒⎩⎨⎧ a >1，b >1或⎩⎨⎧a <1，b <1.故“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的充分不必要条件．5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2]答案 A解析 由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1，∴－3≤m ≤ 3，∴4－23≤2m ＋4≤4＋23，故选A.6．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q答案 D解析 由3x<4x得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x>1，当x <0时不等式不成立，故p 为假命题，由图象知，tan x >x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故q 为真命题．故选D.7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|P 1F |，|P 2F |，|P 3F |成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 2答案 C解析 由抛物线定义及题中条件知2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即x 1＋x 3＝2x 2.8．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 圆心到渐近线bx ±ay ＝0的距离为22－1＝3，所以2bc ＝3⇒c ＝2a ⇒e ＝2，故选A.9．若曲线f (x )＝x 2－1与g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( )A.3366 B ．－3366 C.23 D.23或0答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝－3x 2， ∴(2x 0)·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366.故选A.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确答案 D解析 f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28＝4(m 2－6m ＋8)≤0，∴2≤m ≤4，故选D.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝( )A.19 B.14 C.13 D.12答案 A解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义，可得5＝1＋p 2，得p ＝8，即y 2＝16x ，M (1,4)．双曲线x2a －y 2＝1的左顶点为A (－a ，0)，渐近线方程为y ＝±1a x ，直线AM 的斜率为41＋a .由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得1a ＝41＋a，解得a ＝19，故选A.12．直线y ＝x ＋3与曲线 y 29－x |x |4＝1( ) A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有两个交点 D ．有三个交点答案 D解析 当x ≥0时，曲线y 29－x |x |4＝1方程可化为： y 29－x 24＝1， ①将y ＝x ＋3代入①得：5x 2－24x ＝0，解得x ＝0或x ＝245，即此时有两个交点．当x <0时，曲线y 29－x |x |4＝1方程可化为： y 29＋x 24＝1， ②将y ＝x ＋3代入②有：13x 2＋24x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2413，即此时有一个交点．综上所述，直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1有三个交点，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若抛物线C ：y ＝ax 2(a >0)过点(4,2)，则抛物线C 的焦点坐标为________．答案 (0,2)解析 本题主要考查抛物线的标准方程及性质．将点(4,2)代入y ＝ax 2(a >0)，得a ＝18，所以抛物线标准方程为x 2＝8y ，焦点坐标为(0,2)．14．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件； ④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________． 答案 ①③解析 ①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真； ③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真，推不出綈p 为假． 15．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的减区间是________．答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＝3x 2－3<0.即－1<x <1.∴f (x )的减区间是(－1,1)．16．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.由根与系数的关系得，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 代入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋ax 在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 由已知可得f ′(x )＝1－ax 2.∵f (x )＝x ＋ax 在区间[1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝1－ax 2≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤(x 2)min ，∴a ≤1. 命题p ：A ＝{a |a ≤1}． g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解， Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3. 命题q ：B ＝{a |a <－3或a >3}． ∵命题“p ∨q ”为真命题， ∴A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．∴所求实数a 的取值范围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解 (1)设长为x m ，则宽为200x m.据题意，得⎩⎨⎧x ≤16，200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16000＝800x ＋259200x＋16000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16.(2)由(1)知y ′＝800－259200x 2，令y ′＝0，解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16时，函数y 单调递减，∴当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45000元． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1(x <－2)，x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2≤x ≤12，5x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <－2时，f (x )>1； 当－2≤x ≤12时，f (x )≥f (－2)＝1； 当x >12时，f (x )>72.所以函数f (x )的最小值是1. (2)由题意，得p ，q 一真一假．当p 是真命题时，1≥m 2＋2m －2，解得－3≤m ≤1， 则当p 是假命题时，m <－3或m >1；当q 是真命题时，m 2－1>1，解得m <－2或m >2， 则当q 是假命题时，－2≤m ≤ 2.当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1，当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m <－3或m >1，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2.综上，实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋1x －a. (1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)函数f (x )是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x＋1x －a，∴f ′(x )＝e x－1(x －a )2，∴f ′(0)＝1－1a 2.当a ＝12时，f ′(0)＝－3.又f (0)＝－1，∴f (x )在x ＝0处的切线方程为y －(－1)＝－3(x －0)，即y ＝－3x －1.(2)函数f (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)． 当x ∈(a ，＋∞)时，e x >0，1x －a >0，∴f (x )＝e x ＋1x －a>0.即f (x )在区间(a ，＋∞)上没有零点．当x ∈(－∞，a )时，f (x )＝e x＋1x －a ＝e x(x －a )＋1x －a ，令g (x )＝e x (x －a )＋1.只要讨论g (x )的零点即可．g ′(x )＝e x (x －a ＋1)，g ′(a －1)＝0. 当x ∈(－∞，a －1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数； 当x ∈(a －1，a )时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．∴g (x )在区间(－∞，a )上的最小值为g (a －1)＝1－e a －1.显然，当a ＝1时，g (a －1)＝0，∴x ＝a －1是f (x )的唯一的零点； 当a <1时，g (a －1)＝1－e a －1>0，∴f (x )没有零点； 当a >1时，g (a －1)＝1－e a －1<0，∴f (x )有两个零点．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点． 解 (1)∵y 2＝2px 过点P (1,1)， ∴1＝2p ，解得p ＝12. ∴y 2＝x .∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，准线为x ＝－14.(2)证明：设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的直线方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则直线OP 的方程为y ＝x ，直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，由题意知A (x 1，x 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x可得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0，∴x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2. ∴y 1＋x 1y 2x 2＝kx 1＋12＋x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 2＝2kx 1＋x 1＋x 22x 2＝2kx 1＋1－kk 22·14k 2x 1＝2kx 1＋(1－k )·2x 1＝2x 1.∴A 为线段BM 的中点．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解 (1)根据椭圆对称性可得，P 1(1,1)，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32不可能同时在椭圆上，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32，代入椭圆方程可得：b ＝1，1a 2＋34＝1⇒a ＝2，故而可得椭圆的标准方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在，不妨设直线P 2A 为：y ＝kx ＋1，P 2B 为：y ＝(1－k )x ＋1.联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1⇒(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，此时可得：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8(1＋k )4(1＋k )2＋1，1－4(1＋k )24(1＋k )2＋1，此时可求得直线的斜率为：k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1－4(1＋k )24(1＋k )2＋1－1－4k 24k 2＋18(1＋k )4(1＋k )2＋1－－8k 4k 2＋1，化简可得k AB ＝－1(1＋2k )2，此时满足k ≠－12.①当k ＝－12时，A 、B 两点重合，不合题意．②当k ≠－12时，直线方程为：y ＝－1(1＋2k )2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 4k 2＋1＋1－4k 24k 2＋1，即 y ＝－(4k 2＋4k －1＋x )(1＋2k )2， 当x ＝2时，y ＝－1，因此直线恒过定点(2，－1)．。

2.3.1　抛物线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )B.(-2,0) C.(4,0)D.(-4,0)2.抛物线y=x 2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0=0 D.4y+1=0y=x 2的标准形式为x 2=y ,p y 轴正半轴上,故准线方程为y==12,且焦点在‒14,4y+1=0.3.已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为( )212y B.y 2=12x C.y 2=-12x D.x 2=12yx=-3,所以焦点在x 轴正半轴上,2p=12.故选B.且p 2=3,故4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )B.6 C.8 D.12P 到抛物线准线的距离为4-(-2)=6.由抛物线的定义知,点P 到抛物线焦点的距离也是6.5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在双曲线x 24‒y 22=1上,则抛物线的方程为( )A.y 2=8x B.y 2=4x C.y 2=2x D.y 2=±8x,即为(-2,0)或(2,0),线x 24‒y 22=1的顶点所以抛物线的方程为y 2=8x 或y 2=-8x.6.若抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 x 2y==14y ,准线为‒116.因为点M 到焦点的距离为1,所以点M 到准线的距离也为1,所以点M 的纵坐标等于1‒116=1516.7.若点M 到点F (0,-2)的距离比它到直线l :y-3=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是 .,点M 到点F (0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M 的轨迹是以点F (0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x 2=-8y.2=-8y 8.已知抛物线y 2=2px (p>0)上一点M (1,m )到其焦点的距离为5,双曲线x 2‒y 2a =1的左A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直,则实数a =_________________.1p=8.+p 2=5,解得由点M 在抛物线上,可得m=±4.不妨取M (1,4),则AM 的斜率为2,由已知a 得‒a ×2=‒1,故=14.9.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M (-6,6);(2)焦点F 在直线l :3x-2y-6=0上.∵点M (-6,6)在第二象限,∴过点M 的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为y 2=-2px (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y 2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上.设其方程为x 2=2py (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=2p×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x 2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y 2=-6x 或x 2=6y.(2)①由题意可知直线l 与x 轴的交点为(2,0).当抛物线的焦点是F (2,0),则p 2=2,∴p =4,∴抛物线的标准方程是y 2=8x.②由题意可知直线l 与y 轴的交点为(0,-3),当抛物线的焦点是F (0,-3),则p2=3,∴p =6,∴抛物线的标准方程是x 2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y 2=8x 或x 2=-12y.10.设抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ∈C ,已知以点F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD 的面积为42,求p 的值及圆F 的方程.F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点,所以△BFD 为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p ,又因为点A 到准线l 的距离d=|FA|=|FB|S △ABD ==2p ,所以42=12|BD |p=2.×d =12×2p ×2p ,所以所以圆F 的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.二、能力提升1.过点F (0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y 2=12xB.y 2=-12x2y D.x 2=-12y2.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A .34B.1C.54D.743.已知双曲线C 1:x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A.x 2=833y B.x 2=1633y 2yD.x 2=16ye 2=1y=+b 2a 2=4,得b a =3,则双曲线的渐近线方程为±3x ,即3x ±y =0.抛物线C 2的焦点坐标2,可为(0,p 2),由抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为得p22=2,p=8.解得故抛物线C 2的方程为x 2=16y.4.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8x 2x D.y 2=8xy 2=ax (a ≠0)的焦点F 的坐标l 的方程为y=y 轴的为(a 4,0),则直线2(x -a4),它与交点△OAF 的面积a=±8.为A (0,-a 2),所以为12|a 4|·|a 2|=4,解得所以抛物线的方程为y 2=±8x ,故选B.5.设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .抛物线的焦点坐标为F (p2,0),线段FA 的中,点B (p 4,1)在抛物线上∴12=2p ×p 4,∴p =2,∴x=B (24,1),抛物线的准线方程为‒22,∴点B 到该抛物线准线的距离为|24-(-22)|=324.★6.已知M 是抛物线y 2=2px (p>0)上的点,若点M 到此抛物线的准线和x 轴的距离分别为5和4,则点M 的横坐标为 .M (x 0,y 0),则x 0+p2=5,|y 0|=4.又y 20=2px 0,∴x 0=8p ,∴8p +p 2=5.∴p=2或p=8,则x 0=4或x 0=1.或47. 如图,已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A 在抛物线上,且是横坐标为4,位于x 轴上方的点,点A 到抛物线准线的距离等于5,过点A 作AB 垂直于y 轴,垂足为点B ,OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)过点M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N的坐标.抛物线y 2=2px 的准线方程为x=4‒p 2,于是+p 2=5,p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)由题意得A (4,4),B (0,4),M (0,2).又F (1,0),所以k AF FA 的方程为y =43,则=43(x ‒1).因为MN ⊥FA ,所以k MN =‒34,则MN 的方程为y=‒34x +2.解方程组{y =-34x +2,y =43(x -1),得{x =85,y =45.所以N (85,45).★8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100+y 225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M (0,647)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D (8,0).观测点A (4,0),B (6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点A ,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?设曲线方程为y=ax 2+647,由题意可知,0=a ·64+647.∴a =‒17.∴曲线方程为y=‒17x 2+647.(2)设变轨点为C (x ,y ),根据题意可知 {x 2100+y 225=1,y =-17x 2+647,①②解得y=4或y=,舍去).‒94(不合题意∴y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴点C 的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC |=4.答:当观测点A ,B 测得离航天器的距离分别,应向航天器发出变轨指令.为25,4时。

阶段质量检测（二）(A 卷 学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝4x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝116D ．y ＝－116解析：选D 由抛物线方程x 2＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－116.2．“1<m <3”是“方程x2m －1＋y23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当方程x2m －1＋y23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m>0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．3．(新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x2a2－y23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1 解析：选D 因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e 2＝1＋3a2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．5．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x解析：选C 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c2－b2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上， 故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1 C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝1 解析：选A 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3， 根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b ＝2，则a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1.8．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 由题意得点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P 的轨迹是抛物线． 9．(山东高考)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x28＋y22＝1 B.x212＋y26＝1 C.x216＋y24＝1 D.x220＋y25＝1 解析：选D 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ， 代入椭圆方程得x2a2＋x2b2＝1，即x24b2＋x2b2＝5x24b2＝1， 所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x220＋y25＝1.10．已知|AB―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP―→＝13OA―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1C.x29＋y 2＝1 D ．x 2＋y29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3， 所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x24＋y 2＝1.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p＝452， 所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B.23C.23D.223解析：选D 将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0. 设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8－4k2k2，x 1x 2＝4.抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2， 代入x 1x 2＝4，整理得x 2＋x 2－2＝0， 解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)． 所以x 1＝4，8－4k2k2＝5，解得k 2＝89.又因为k ＞0， 所以k ＝223.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x24－y212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x216＋y212＝114．设F 1，F 2为曲线C 1：x26＋y22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x26＋y22＝1，x23－y2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝2.答案：215．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4.点R 是直线l 上的一点．若RA―→＝AP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，R (a,2a －4)，则RA ―→＝(1－a,4－2a )，AP ―→＝(x －1，y )． ∵RA ―→＝AP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝x －1，4－2a ＝y ，消去a 得y ＝2x . 答案：y ＝2x16．已知二次曲线x24＋y2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x24－y2－m＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m2. ∵m ∈[－2，－1]， ∴52≤e ≤62.答案：52，62三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． 解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a2－6b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝14，b2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，b2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝kx ＋2，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0. ∵直线l 与抛物线相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，Δ＝4－16k ＞0，解得k ＜14且k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k ，从而x 1x 2＝y212·y222＝4k2.∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即4k2＋4k＝0， 解得k ＝－1符合题意， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.19．(本小题满分12分)设A ，B 分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc|b2＋a2＝3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x0y0＝433，x2012－y203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝43，y0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．20．(本小题满分12分)已知椭圆x24＋y29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m .(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①上面方程的判别式Δ＝36m 2－36(2m 2－18) ＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点， ∴Δ≥0，据此可解得－32≤m ≤32.故所求实数m 的取值范围为[－3 2，32]．(2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m2－189，故|AB |＝1＋k2 错误!＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m2－189＝133－m2＋18，当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.21．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，由根与系数的关系得： x 1＋x 2＝16k4k2＋1，x 1x 2＝124k2＋1.从而|PQ |＝k2＋1|x 1－x 2| ＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4tt2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.22．(本小题满分12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程．(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．解：(1)直线AB 方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，ab a2＋b2＝32，a2＝b2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x23＋y 2＝1.(2)假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x2＋3y2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0.①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－12k1＋3k2，x1·x2＝91＋3k2.②而y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)， 当且仅当CE ⊥DE 时， 则y1x1＋1·y2x2＋1＝－1. 即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③ 将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使以CD 为直径的圆过点E .(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0 C ．(0,2)D ．(0，－2)解析：选D 把方程化为标准形式得x 2＝－8y ，故焦点坐标为(0，－2)． 2．焦点在y 轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是( ) A.y264－x236＝1 B.y236－x264＝1 C.y216－x29＝1 D.y29－x216＝1 解析：选D 易知a ＝3，c ＝5， 故b 2＝16，则方程为y29－x216＝1.3．若方程x 2sin θ＋y 2sin 2θ＝1表示椭圆，则θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫kπ，kπ＋π2，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π2，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π4，k ∈ZD ．以上皆不正确解析：选D 把方程x 2sin θ＋y 2sin 2θ＝1化为标准形式：x21sin θ＋y21sin 2θ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧1sin θ＞0，1sin 2θ＞0，sin θ≠sin 2θ得：θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π3，2kπ＋π2.4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin2θ得6sin2θ＝12，∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4.5．平面内点P (x ，y )的坐标满足方程 错误!＝错误!，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线解析：选C 由题意知点P 到定点(1,1)的距离等于到定直线x ＋y －2＝0的距离， 故点P 的轨迹为抛物线．6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相切D ．不确定解析：选C 如图，|PP 2|＝|PP 1|－|P 1P 2| ＝12(|MM 1|＋|FF 1|)－|P 1P 2|＝12(|MM 2|＋|M 1M 2|＋|FO |＋|OF 1|)－|P 1P 2| ＝12(|MM 2|＋|FO |) ＝12|MM 1|＝12|MF |， ∴该圆与y 轴相切．7．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m＝1的离心率是( )A.32或52B.32C.5D.32或5解析：选D 由题意得m ＝±4，当m ＝4时，x 2＋y2m ＝x 2＋y24＝1是椭圆，离心率为e ＝1－14＝32；当m ＝－4时，x 2＋y2m ＝x 2－y24＝1是双曲线，离心率为e ＝1＋4＝5.8．方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是( )解析：选A 把方程化为标准形式得y 2＝－m n x ，x21m ＋y21n＝1，当mn <0时，－m n >0，y 2＝－mnx 表示焦点在x 轴上，开口向右的抛物线，x21m＋y21n ＝1表示双曲线，可排除B 、C 、D.9．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53B.23C.13D.12解析：选A 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1， 则|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c2a ＝53.10．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长是焦距的12，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±22x解析：选C 由题意可知2a ＝12×2c ＝c ，则4a 2＝c 2＝a 2＋b 2，解得b2a2＝3，所以ba＝3，故该双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，选C.11．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15解析：选B 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1. 又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为4或－4， 故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B.12．已知P (x ，y )为椭圆C ：x225＋y216＝1上一点，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF ―→|＝1且MP ―→·MF―→＝0，则|PM ―→|的最小值为( )A.3B ．3C.125D ．1解析：选A 因为|MF ―→|＝1且 MP ―→·MF ―→＝0，所以点M 在以F (3，0)为圆心，1为半径的圆上，PM 为圆的切线， 所以当|PF |最小时，切线长|PM |最小，由图知，当点P 为右顶点(5,0)时，|PF |最小，最小值为5－3＝2，此时|PM |＝22－12＝3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________．解析：双曲线两渐近线垂直即为等轴双曲线， ∴e ＝2. 答案：2 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |＝________.解析：由抛物线定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .答案：4p 15．已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.答案：12 16．方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF1―→＝DA ―→＋2DF2―→，则该椭圆的离心率为________．解析：设点D (0，b )，则DF1―→＝(－c ，－b )，DA ―→＝(－a ，－b )，DF2―→＝(c ，－b )，由3DF1―→＝DA ―→＋2DF2―→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：15三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆x249＋y224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线．(1)求双曲线方程；(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为π3的直线方程．解：(1)椭圆的焦点坐标为(±5,0)，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为x a ±y b ＝0，即y ＝±bax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝25，b a ＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，b2＝16，则双曲线方程为x29－y216＝1.(2)∵直线的倾斜角为π3，∴直线的斜率为3，故直线方程为y ＝3(x －5)，即3x －y －53＝0.18．(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，求三条曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上， 故其方程可设为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，又因为它的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以ba＝3，即b2a2＝ c2－a2a2＝e2－1＝3，解得e ＝2，因为c ＝4，所以a ＝2，b ＝3a ＝23，所以双曲线方程为x24－y212＝1.因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为12，设椭圆方程为x2a21＋y2b21＝1(a 1>b 1>0)，则c ＝4，a 1＝8，b 21＝82－42＝48.所以椭圆的方程为x264＋y248＝1.易知抛物线的方程为y 2＝16x .19．(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线相交于A ，B 两点，求AB 的长度． 解：(1)由题意可知p ＝2. ∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)直线l ：y ＝2x ＋1过抛物线的焦点F (0,1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝y 1＋y 2＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x2＝4y得x 2－8x －4＝0， ∴x 1＋x 2＝8，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋2＝2(x 1＋x 2)＋4＝20. 20．(本小题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，22在椭圆上，且PF1―→·F1F2―→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程； (2)当OA ―→·OB ―→＝23时，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2， ∴c ＝1，1a2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1， ∴椭圆的标准方程为x22＋y21＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m|k2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x22＋y2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴Δ＞0⇒k 2＞0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m2－21＋2k2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－2k21＋2k2＝1－k21＋2k2，∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k21＋2k2＝23，∴k ＝±1.21．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆x24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1―→·PF2―→＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，则错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝32，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32.(2)由题意知直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，Δ＞0⇒k 2＞34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k2. 由∠AOB 为锐角可得，OA ―→·OB ―→＞0⇒x 1x 2＋y 1y 2＞0⇒(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0，即(1＋k 2)·121＋4k2－2k ·16k1＋4k2＋4＞0， 解得k 2＜4. 综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，2. 22．(本小题满分12分)已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为其上一点，且有|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 1与椭圆E 交于A 、B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最大值． 解：(1)设椭圆E 的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)， 由已知|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，∴a ＝2， 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， ∴14＋94b2＝1， ∴b ＝3， 椭圆E 的标准方程为x24＋y23＝1. (2)由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形，∴S 四边形ABCD ＝4S △OAB ，设直线AB 的方程为x ＝my －1，且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x24＋y23＝1得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝6m 3m2＋4， y 1y 2＝－93m2＋4， S △OAB ＝S △OF 1A ＋S △OF 1B ＝12|OF 1|·|y 1－y 2| ＝12|y 1－y 2| ＝12错误! ＝6 错误!，令m 2＋1＝t ，则t ≥1，S △OAB ＝6错误!＝6 19t ＋1t＋6， 又∵g (t )＝9t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (t )≥g (1)＝10，∴S △OAB 的最大值为32， 所以S 四边形ABCD 的最大值为6.。