A = − 1 ≠ 0 ⇒ A 可逆 0 1 1 − 2
-4-
A
−1
例2
求A的逆矩阵 的逆矩阵
1 2 3 A = 2 2 1 3 4 3
1 2 3 ∵ A = 2 2 1 =2≠0 3 4 3
∴ A−1存在.
2 1 A11 = = 2, 4 3
2 1 A12 = − = − 3, 3 3
-2-
定理2.3.1 定理2.3.1 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
设 AB = E , 由行列式乘法定理
A B = E =1⇒ A ≠ 0
(⇐ ) ⇐
1 ∗ 1 ∗ 设 A ≠ 0 ，由 A( A ) = ( A ) A = E A A
得
A
−1
1 ∗ = A A
称为奇异矩阵 否则称为非奇异矩阵 当 A = 0 时,A称为奇异矩阵 否则称为非奇异矩阵 称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵. 该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。 该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。
-3-
例1
a A= c
b d
A可逆 ⇔ A = ad − bc ≠ 0 可逆
A
−1
1 = A
A11 A12
A21 1 d = A22 ad − bc − c
1 0
− 1 = 2
− b a
如
2 A= 1
0 = − −1
(1)待定系数法;
A∗ (2)利用公式 A−1 = ; A (3)初等变换法 (下一章介绍 ).
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思考题： 思考题：
若 A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B是否有唯一解 X = A −1 B ? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 Y = BA −1 ?
