多边形及其内角和讲义经典!

专题7.18 多边形的内角和与外角和（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】多边形及其相关概念1．多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形，如三角形，四边形，五边形，·····，三角形是最简单的多边形．2．多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．特别提醒：1．多边形的边数、顶点数及角的个数相等；2．把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线．【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等．【知识点三】凸多边形与凹多边形多边形分为凸多边形和凹多边形．如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形．【考点目录】．．．【变式2】（2024上北京朝阳·八年级统考期末）．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为︒的凸多边形纸片，则n的值为【变式1】（2023上·广西南宁5．五边形的外角和为（A．180︒【变式2】（2024上·广东汕头6．如图是由射线AB【考点3】正多边形内角和问题；【例3】（2023上·河南商丘7．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为接一圈后，中间会形成一个正多边形．(1)求1∠的度数；(2)求2∠的度数；(3)求n的值．【变式1】（2023·全国·八年级课堂例题）8．如图所示，在正五边形ABCDEA．26︒【变式2】（2023下·全国9．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠+∠+∠=123【考点4】正多边形外角和问题；【例4】（2023上10．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的(1)它是几边形？A．6【变式2】（202412．若一个正n边形的每个内角为【考点5】多边形外角和实际应用；【例5】（2023上13．亮亮从点M(1)亮亮______（填“能”或“不能(2)亮亮走过的路线围成了______(3)求（2）中图形的周长．【变式1】（2023上·河南许昌A．65︒B．70︒【变式2】（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）15．一个多边形的每一个外角都等于①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，综上所述，原多边形的边数为5或6或7，故答案为：5或6或7．4．180︒【分析】根据多边形的外角和进行解答即可．【详解】解：∵六边形的外角和为360︒，∠+∠+∠+∠+︒+︒=︒，∴12349090360∠+∠+∠+∠=︒．∴1234180【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为360︒．5．B【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和均为360︒即可得出答案．【详解】解：五边形的外角和为360︒，故选：B．6．190【分析】本题考查多边形的外角和，结合已知条件，利用多边形的外角和列式计算即可．【详解】解：由图形可得123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，，∠+∠+∠=︒135170∴∠+∠+∠=︒-︒=︒，246360170190故答案为：190．∠=︒7．(1)1108∠=︒(2)2120n=(3)6【分析】本题考查了正多边形的内角．（1）根据正五边形的内角和公式即可求解；（2）由（1）知正五边形内角为108︒，利用周角为360︒即可求解；（3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为120︒，根据内角和定理求解即可．a b⊥，90ABC∴∠=︒，∴正多边形的一个外角为∴360845n︒==︒，故选：C．60230︒÷=︒，正五边形的每一个内角()521805108=-︒÷=︒ ，∴图3中的五角星的五个锐角均为：1086048︒-︒=︒．故答案为：48︒．。

多边形内角和与外角和（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．（优质试题•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．A．27 B．35 C．40 D．44【答案】B．【解析】解：当n=10时，==35，即凸十边形的对角线有35条．【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。

(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。

根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。

三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。

三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。

这个定理叫做“三角形内角和定理”。

我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。

接下来我们来谈谈四边形。

四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。

其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。

这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。

接下来是多边形。

多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。

不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。

例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。

五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。

如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。

在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。

例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。

在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。

此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。

第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。

知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。

3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

第三节多边形及其内角和(1 )三角形没有对角线(2 )正多边形必须满足定义中的两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等 .二者缺一不可 ,如果一个多边形的各个角都相等或每条边都相等 ,那么这个多边形并不一定是正多边形 ,如：菱形和矩形 .2 、多边形的内角和1.多边形的内角和等于 (n -2 )×180° (n≥3 ,且n为整数 ).应用：⑴边数求内角和；⑵内角和求边数；⑶正n边形的每个内角的度数等于()nn︒⨯-18022.多边形的外角和是360°注：多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角 ,所以n边形的内角和为n×180° ,所以外角和等于n×180° - (n -2 )×180° =360°.应用：⑴外角度数求正多边形的边数；⑵正多边形的边数求一个外角的度数 .3 、平面镶嵌 (密铺 )平面图形镶嵌的定义：用形状 ,大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 .彼此之间不留空隙 ,不重叠地铺成一片 ,这就是平面图形的镶嵌 .注：正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°,假设能构成360° ,那么说明能够进行平面镶嵌 ,反之那么不能 .总结:①单一正多边形的镶嵌：正三角形 ,正四边形 ,正六边形 .②两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、4个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等 .③用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图形 . 例题1 -1.假设一个多边形的内角和小于其外角和 ,那么这个多边形的边数是 ( ) 例题1 -2.一个多边形截去一个角后 ,形成另一个多边形的内角和为2520° ,那么原多边形的边数是 ( )检测1 -1假设一个多边形的内角和与外角和相加是1800° ,那么此多边形是 ( ) 检测1 -2将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形 ,那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( )A.360°B.540°C.720°D.900°检测1 -3如图 ,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的大小为 ( )A.180°B.360°C.540°D.720°第四节 图形的面积高频核心考点 精题精讲精练 方法技巧提炼正方形面积 =边长×边长； 长方形 (矩形 )面积 =长×宽；平行四边形面积 =底×高； 三角形面积 =21×底×高； 梯形面积 =21× (上底 +下底 )×高.⑴和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示 ,通过常规图形面积公式计算 .⑵割补法：有时直接求图形的面积有困难 ,我们可以通过分割或补形 ,把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解 .⑶等积变形法：对某些图形 ,找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形 ,通过代换为易求图形的面积 .⑷等比法：将面积比转化为线段的比 .同 (等 )高时 ,面积之比等于底之比；同 (等 )底时 ,面积之比等于高之比 .三角形一边中线平分三角形的面积 .例题 4 -1.将直角△ABC 绕顶点B 旋转至|如图位置 ,其中∠C =90º ,AB=4 ,BC =2 ,AC =23,︒=∠60ABC ,点C 、B 、A ′在同一直线上 ,那么阴影局部的面积是 ________ .例题4 -2.如下图 ,△ABC 中 ,点 D ,E ,F 分别是 BC ,AD ,CE 边上的中课后作业 出门考 点 ,且ABC S ∆ =4cm ²那么BEF S ∆的值为 ( )A.2cm ² B.1cm ² C.0.5cm ²D.0.25cm ²检测1 -1 .如图,在∆ABC 中,D 是BC 上任意一点,O 是AD 上任意一点,ABO S ∆ =3,A CO BO D S 2S ∆∆= =1,那么COD S ∆ =________ .检测1 -2.如图 ,AD 是△ABC 边BC 的中线 ,E 、F 分别是AD 、BE 的中点 ,假设△BFD 的面积为6 ,那么△ABC 的面积等于 ( )1.以下说法：①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；②夹在两条平行线间的垂线段相等；③成中|心对称的两个图形不一定是全等形；④一组对角相等的四边形是平行四边形；⑤用反证法证明 "四边形中至|少有一个角是钝角或直角〞时 ,必先假设 "四边形中至|多有一个角是钝角或直角〞 ,其中正确的选项是 ( )A.①②B.③④C.①②④D.①②⑤2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.轴对称图形3.假设一个多边形的每一个内角都是150° ,那么它是______边形；从它的一个顶点出发画对角线 ,可以把这个多边形分割______个三角形．4.如下图,AD,AE 分别是∆ADC 和∆ABC 的高和中线,AB =9cm,,AC =12cm,∠CAB =90º.试求:(1)AD 的长;(2)求∆ABE 的面积;(3)求∆ACE 和∆ABE 的周长的差.5.如图,在△ABC 中, BE ⊥AC ,BC =5cm, AC =8cm, BE=3cm ,(1 )求△ABC 的面积;(2 )画出△ABC 中的BC 边上的高AD,并求出AD 的值 .日期：_______ 姓名：1.以下说法中 ,你认为正确的选项是 ( )A.四边形具有稳定性B.等边三角形是中|心对称图形C.等腰梯形的对角线一定互相垂直D.任意多边形的外角和是360º2.以下各图中 ,是凸多边形的是 ( )A. B. C. D.3.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后 ,变成一个18边形 ,那么原多边形纸片的边数不可能是 ( )A.16B.17C.18D.194.如果一个多边形的每个内角都是120º ,那么这个多边形的边数是________．5.从一个10边形的一个顶点出发 ,连接其余各顶点 ,可以将这个边形分割成______个三角形．。

知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。

拼成360度的角3、4。

知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。

要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。

多边形的内角和与外角和定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。

多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。

镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

多边形及其内角和1.掌握多边形的相关概念；2.掌握多边形对角线的计算公式及其推导过程；3.熟练应用多边形的内角和、外角和进行相关计算；4.会利用多边形的特点处理镶嵌问题.1.多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算；2.多边形的镶嵌问题.多边形及其相关概念1、多边形的相关概念（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.（5）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.2、多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；①每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．3、多边形的对角线（1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）.例1.如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【答案】①①【解析】解：下列图形是多边形的有①①，故答案为：①①．练习1.如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选A．熟悉多边形的概念，边为直线段，而不是曲线.例2.下列图中不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选A．练习1.如图，下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．明确多边形的定义及判定方法，初中阶段常说的多边形一般指凸多边形.例3.下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形【答案】C【解析】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．练习1.下列说法正确的有（）（1）由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；（2）各边都相等的多边形是正多边形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】解：（1）在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，故此选项错误；（2）各边都相等的多边形是正多边形，错误，例如菱形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形，错误，例如矩形．故选：A．明确正多边形的定义：边、角都相等的多边形才是正多边形，只有边相等或者只有角相等一个条件并不能判断，这一点需要特别注意，并且要能够举出反例来说明.初三学到圆的时候还会学到正多边形，那部分知识主要是针对多边形进行计算.例4.下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．练习1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．练习2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【答案】B【解析】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．三角形具有稳定性，若想要多边形也具有稳定性，只需将多边形变成三角形即可，根据这一原理即可进行划分.例5.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】D【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：n﹣3=7，解得：n=10，故选：D．练习1.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．练习2.将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）A．6B．8C．12D．14【答案】D【解析】解：①六边形ABCDEF有6个顶点，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，①只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．故选D．首先明确多边形对角线的精确定义，根据多边形对角线的定义逐点计算多边形对角线的条数，理解多边形对角线总条数公式的推导过程，体会推导思想.例6.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：D．练习1.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．A．3B．4C．5D．3或4或5【答案】D【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，故选D．练习2.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个【答案】D【解析】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选D．多边形截角问题主要考查学生的图形想象力和分类讨论思想.明确截角的不同情况对多边形边数的影响.多边形的内角和、外角和及其应用1、多边形内角和定理：()2180n -⋅（n≥3且n 为整数）注：此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n ﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n ﹣2）个三角形，这（n ﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和． 2、多边形的外角和等于360°（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：外角和()1802180360n n =︒--⋅︒=︒例1.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）•180°=150n ，解得n=12，故选：B ． 练习1.内角为108°的正多边形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：外角是：180°﹣108°=72（度），360÷72=5， 则这个多边形是正五边形，故选B ．练习2.一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】解：（n ﹣2）•180°＜1999°，n ＜+2=+2①n 为正整数，①n 的最大值是13．故答案为C ．练习3.把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（）A．4B．6C．5D．3【答案】A【解析】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，720°÷180°=4，①x=4，故选A．明确多边形内角和的计算公式，体会多边形内角和与边数之间的关系.例2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【答案】C【解析】解：①多边形外角和=360°，①这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．练习1.正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72° D．108°【答案】C【解析】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．练习2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】解：设多边形的边数为n，①多边形的外角和是360°，且多边形的每一个外角都相等，①根据题意得，＜45，①45n＞360，n＞，n＞8，由于n是整数，①n的最小值为9，故选：C．明确多边形的外角和，理解多边形的外角和与边数之间的关系.例3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．练习1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选A．熟练掌握多边形的内、外角和公式，能够通过边的数量将两公式进行灵活转化.例4.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°【答案】B【解析】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x=2570，180•n=2930+x，①n=，①n为正整数，0°＜x＜180°，①n=17，①这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°=130°．故选B．练习1.看图回答问题：（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？（2）音音求的是几边形的内角和？【答案】解：（1）①n边形的内角和是（n﹣2）•180°，①内角和一定是180度的倍数，①2016÷180=11余36，①内角和为2016°不可能；（2）设漏加的内角为x，依题意有（n﹣2）•180=2016+x，①x=180n﹣2376，①90＜x＜180，①90＜180n﹣2376＜180，解得13.7＜n＜14.2，因而多边形的边数是14，故音音求的是十四边形的内角和．【解析】（1）根据n边形的内角和一定是180度的倍数，进行判断即可；（2）设漏加的内角为x，得出方程（n﹣2）•180=2016+x，求得x=180n﹣2376，再根据90＜x＜180，得到90＜180n﹣2376＜180，最后求得n的范围即可．练习2.一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？【答案】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1720°，解得n=11…100，①除去了一个内角，①边数是11+1=12，故这个多边形的边数为12，它的对角线的条数==54．答：这个多边形是十二边形，共有54条对角线．【解析】据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用1720°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值；n边形的对角线公式为．在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.多边形的边、角、对角线综合计算1、多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.2、多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.3、凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.例1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条【答案】B【解析】解：①一个凸多边形的每一个内角都等于150°，①此多边形的每一个外角是180°﹣150°=30°，①任意多边形的外角和是：360°，①此多边形边数是：360°÷30°=12，①这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2=12×（12﹣3）÷2=54．故选B．练习1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70【答案】C【解析】解：①一个正n边形的每个内角为144°，①144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．故选C．多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.例2.（选讲）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．（2）图2中草坪的面积为．（3）图3中草坪的面积为．（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．【答案】，πR2，，【解析】解：（1）三个角的和是：180°，则面积是：=；（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=；（4）多边形边数为n，则内角和是：（n﹣2）•180°，则面积是：=．故答案是：，πR2，，．练习1.如图所示，分别在三角形．四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪（阴影部分）．求：（1）图a中草坪的面积．（2）图b中草坪的面积．（3）图c中草坪的面积．【答案】解：（1）因为半径为1的圆面积为πR2，故该草坪形成的内角和度数为180°，所以a草坪的面积为πR2；（2）因为半径为1的圆面积为πR2，故b草坪的面积为4πR2﹣πR2=3πR2；（3）因为四边形外角和为360°，因此c草坪的面积为πR2．【解析】①因为半径为R的圆面积为π．图1的草坪形成的内角和度数为180°，为一个半圆，所以草坪的面积为πR2．①图b中草坪的面积为4个圆的面积减去1个圆的面积；①图c 中草坪的面积是1个圆的面积．多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.例3.如图，求证：①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【答案】解：如图所示，①A+①B=①1，①C+①D=①2，①E+①2=①3，①F+①G=①4，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=①1+①3+①4，①三角形的内角和等于180°，①①1+①3+①4=180°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．练习1.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成①AEF、①BGH、①CMN、①DPQ，求①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q的度数．【答案】解：由三角形外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，①四边形的外角和为360°，①①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，①①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q=360°．【解析】首先根据外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，根据四边形的外角和为360°，所以①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，即可解答．练习2.（1）如图①，你知道①BOC=①B+①C+①A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图①﹣1，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣2，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣3，则①A+①B+①C+①D+①E=°；（3）如图①，下图是一个六角星，其中①BOD=70°，则①A+①B+①C+①D+①E+①F=°．【答案】解：（1）如下图①，延长BO交AC于点D，①BOC=①BDC+①C，又①①BDC=①A+①B，①①BOC=①B+①C+①A．（2）如下图①，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图③，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，，根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，①①GFC+①FGC+①C=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．（3）如下图⑤，，①①BOD=70°，①①A+①C+①E=70°，①①B+①D+①F=70°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F=70°+70°=140°．故答案为：180、180、180、140．【解析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=①BDC+①C，然后根据①BDC=①A+①B，判断出①BOC=①B+①C+①A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，再根据①GFC+①FGC+①C=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180°，据此解答即可．（3）根据①BOD=70°，可得①A+①C+①E=70°，①B+①D+①F=70°，据此求出①A+①B+①C+①D+①E+①F 的度数是多少即可．凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.多边形的镶嵌问题利用正多边形进行镶嵌问题的基本原理是同一个顶点处的角能够凑成360°，才能实现密铺.无论由多少种几何图形进行镶嵌，其本质思想都是不变的.例1.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．练习1.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形【答案】A【解析】解：A、正方形每个内角是90°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角为180°﹣360÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正十边形每个内角为180°﹣360÷10=144°，不能整除360°，不能密铺；故选A．由同一种正多边形进行镶嵌，只需要保证该正多边形的内角的度数是360°的因数即可.例2.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）A．正八边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正三角形和正方形【答案】B【解析】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．故选B．练习1.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．①3×60°+2×90°=360°，①正方形能匹配；B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．①2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，①正六边形能匹配；C、正三角形的每个内角是60°，正八边形内角为135°，显然不能构成360°的周角，故不能匹配．D、正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是180°﹣360°÷12=150°，①60°+2×150°=360°，①正十二边形能匹配；故选C．练习2.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形的个数分别为（）A．2个和1个B．1个和2个C．3个和1个D．1个和3个【答案】B【解析】解：正八边形内角为135°，（360﹣90）÷135=2，所以一个顶点周围应该有两个正八边形，一个正四角形．故选B．由多种正多边形进行镶嵌，问题相对来说比较复杂，需要进行讨论，保证同一个顶点处几个多边形的内角能够凑成360°.本次课的重点内容是对多边形的处理，包括多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算，对相关公式的充分理解及是学习本章内容的首要条件.。

知识点一：多边形及其有关概念(1)多边形定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、 六边形、……由n 条线段组成的多边形就叫做n 边形•如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE三角形是最简单，边数最少的多边形 ⑵多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边. (3) 多边形的内角、外角:是五边形的外角.(4) 多边形的对角线:①「定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线•如图， AC AD就是五边形 ABCD 囲的两条对角线.② 拓展理解：一个n 边形从一个顶点可以引(n — 3)条对角线，把n 边形分成(n — 2)个三角形•一个n多边形多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角， 边的延长线组成的角叫做多边形的外角•如图，/也称为多边形的角；多边形的边与它的邻 B,Z C,Z D,…是五边形的内角，/ 1边形一共有n(n~3)条对角线.(5) 凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD勺任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC或BC所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形.【例1】填空：(1) 十边形有_______ 个顶点，_________ 个内角，__________ 个外角，从一个顶点出发可画_______ 条对角线，它共有__________ 条对角线.(2) 从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________ 边形.变式1:过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()•A. 8 B • 9 C • 10 D • 11变式3: 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和.知识点二：正多边形(1) 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.如等边三角形、正方形等.(2) 特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形.如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形.注：正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等.【例2】下列说法正确的个数有().(1) 由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2) 各边都相等的多边形是正多边形；(3) 各角都相等的多边形一定是正多边形；(4) 正多边形的各个外角都相等.知识点三：多边形的内角和(1) 公式：n 边形内角和等于(n — 2) x 180°.形的内角和等于 180°x 3= 540°形的内角和等于 180°x 4= 720°形，n 边形的内角和等于 180°x ( n — 2).所以多边形内角和等于(n — 2) x 180°. ⑶应用:①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和; 边数相同的多边形内角和也相等， 因此已知多边形内角和也能求出边数.【例3】选择:150°,则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是A. 7 B . 8 C . 9 D . 10变式1 :若一个四边形的四个内角度数的比为 3 : 4 : 5 : 6,则这个四边形的四个内角的度数分别为 ___________ .变式2: 一个多边形的内角和等于1 440 °，则它的边数为 ___________ .变式3: 一个多边形的内角和不可能是 ().A. 1 800 ° B . 540° C. 720° D . 810①从五边形的一个顶点出发,2条对角线，它们将五边形分成 3个三角形，五边②从六边形的一个顶点出发， 可以画 3条对角线，它们将六边形分成 4个三角形，六边③从n 边形的一个顶点出发,可以画 (n — 3)条对角线，它们将n 边形分成(n — 2)个三角②由多边形内角和公式可知,(1) 十边形的内角和为( A. 1 260 ° B . 1 440 ° C. 1 620 ° D . 1 8 00°一个多边形的内角和为 720°,那么这个多边形的对角线共有( ).A. 6条B . 7条C. 8条(3)多边形的每一个内角都是 (2)探究过程：如图,可以画知识点四：多边形的外角和(1) 公式：多边形的外角和等于360°(2) 探究过程：如图，以六边形为例.①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即/ 1,/ 2,/ 3,/ 4,/ 5,/ 6,它们的和为外角和.②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°X6 =1 080。