多边形及其内角和讲义经典!

四边形，多边形的内角和重点：多边形的内角和定理和外角和定理难点：多边形内角和定理的证明；多边形内角和定理和外角和定理的灵活运用1、知识讲解1. 多边形（包括四边形）的定义：在同一平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

这里所说的多边形都是凸多边形，即该多边形完全处在其任何一边所在直线的同侧。

反之就称为凹多边形。

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2. 多边形（包括四边形）的对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

n边形共有条对角线。

连结多边形的对角线是一种常见的辅助线3. 多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）·180°。

定理证明的基本思路是要把问题转化为三角形的内角和问题。

4. 多边形外角和定理：n边形的外角和为360°。

5. n边形的内角中最多有3个是锐角2、例题分析例1已知：四边形的四个内角度数为1：2：3：4，求各内角的度数。

解：设四个内角的度数分别为x，2x，3x，4x，根据题意得：x+2 x+3x+4 x=360°解得：x=36，∴2x=72，3x=108，4x=144答：四边形各内角度数分别为36°，72°，108°，144°例2如图：四边形ABCD中，∠B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，求∠BAD的度数。

解：连结AC∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1∴设AB=BC=2K，CD=3K，DA=K∵∠B=90°，AB=BC=2K∴AC2=AB2+BC2=8K2（勾股定理）∠BAC=∠BCA=45°（等边对等角）∵AC2+AD2=9K2，CD2=9K2∴AC2+AD2=CD2∴∠CAD=90°（勾股定理的逆定理）∴∠CAD=90°∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°例3一个多边形的内角和是720°，求这个多边形的边数。

第八讲 多边形【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。

如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．(3)2n n -(2)180n n-°360n°凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的内角和1.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840︒，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？举一反三：【变式】小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620︒．（1）求这个多加的外角的度数；（2）求这个多边形的边数．类型二、求不规则图形内角和2.如图1是一个五角星（1）计算：A B C D E∠+∠+∠+∠+∠的度数．（2）当BE向上移动，过点A时，如图2，五个角的和（即)∠+∠+∠+∠+∠有CAD B C D E 无变化？说明你的理由．举一反三：【变式】在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数等于多少时，我们可以连接CD ，利用三角形的内角和则有B E ECD BDC ∠+∠=∠+∠，这样A ∠、B ∠、C ∠、D ∠、E ∠的和就转化到同一个ACD ∆中，即180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒.．尝试练习：图（2）中A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数等于 ．图（3）中A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数等于 ．图（4）中A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数等于 ．类型三、多边形中对角线问题 3.如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形⋯多边形的边数n 及其对角线条数t 的关系，再完成下面问题：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 ，n 边形的对角线条数 为t = （用n 表示）．（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．类型四、多边形内角和与外角和定理的应用4.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果332∠=︒，那么12(∠+∠= )度．A ．90B ．80C ．70D ．605.探究发现探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？如图甲，FDC ∠、ECD ∠为ADC ∆的两个外角，则A ∠与FDC ECD ∠+∠的数量关系 ． 探究二：如图，四边形ABCD 中，F ∠为四边形ABCD 的ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线构成的锐角，若设A α∠=，D β∠=；（1）如图①，180αβ+>︒，则F ∠= ；（用α，β表示）（2）如图②，180αβ+<︒，请在图中画出F ∠，且F ∠= ；（用α，β表示）（3）一定存在F ∠吗？如有，直接写出F ∠的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在F ∠．【复习巩固】1.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若350∠+∠=)∠=︒，则12(A．100︒B．120︒C．130︒D．180︒2.一个n边形从一个顶点出发可以画4条对角线，则它的内角和为()A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒3．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15︒，再前进5m后又向右转15︒，⋯这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？∠+∠-∠+∠+∠-∠+∠+∠-∠=度．4．如图所示，则(123)(456)(789)5．如图所示，A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．6．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30︒，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．7．一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13:2，求这个多边形的边数及这个多边形的对角线条数．8．一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100︒，求这个多边形内角和的度数和边数．。

第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。

知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。

3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

多边形及其内角和1.掌握多边形的相关概念；2.掌握多边形对角线的计算公式及其推导过程；3.熟练应用多边形的内角和、外角和进行相关计算；4.会利用多边形的特点处理镶嵌问题.1.多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算；2.多边形的镶嵌问题.多边形及其相关概念1、多边形的相关概念（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.（5）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.2、多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；①每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．3、多边形的对角线（1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）.例1.如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【答案】①①【解析】解：下列图形是多边形的有①①，故答案为：①①．练习1.如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选A．熟悉多边形的概念，边为直线段，而不是曲线.例2.下列图中不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选A．练习1.如图，下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．明确多边形的定义及判定方法，初中阶段常说的多边形一般指凸多边形.例3.下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形【答案】C【解析】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．练习1.下列说法正确的有（）（1）由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；（2）各边都相等的多边形是正多边形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】解：（1）在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，故此选项错误；（2）各边都相等的多边形是正多边形，错误，例如菱形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形，错误，例如矩形．故选：A．明确正多边形的定义：边、角都相等的多边形才是正多边形，只有边相等或者只有角相等一个条件并不能判断，这一点需要特别注意，并且要能够举出反例来说明.初三学到圆的时候还会学到正多边形，那部分知识主要是针对多边形进行计算.例4.下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．练习1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．练习2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【答案】B【解析】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．三角形具有稳定性，若想要多边形也具有稳定性，只需将多边形变成三角形即可，根据这一原理即可进行划分.例5.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】D【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：n﹣3=7，解得：n=10，故选：D．练习1.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．练习2.将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）A．6B．8C．12D．14【答案】D【解析】解：①六边形ABCDEF有6个顶点，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，①只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．故选D．首先明确多边形对角线的精确定义，根据多边形对角线的定义逐点计算多边形对角线的条数，理解多边形对角线总条数公式的推导过程，体会推导思想.例6.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：D．练习1.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．A．3B．4C．5D．3或4或5【答案】D【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，故选D．练习2.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个【答案】D【解析】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选D．多边形截角问题主要考查学生的图形想象力和分类讨论思想.明确截角的不同情况对多边形边数的影响.多边形的内角和、外角和及其应用1、多边形内角和定理：()2180n -⋅（n≥3且n 为整数）注：此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n ﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n ﹣2）个三角形，这（n ﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和． 2、多边形的外角和等于360°（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：外角和()1802180360n n =︒--⋅︒=︒例1.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）•180°=150n ，解得n=12，故选：B ． 练习1.内角为108°的正多边形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：外角是：180°﹣108°=72（度），360÷72=5， 则这个多边形是正五边形，故选B ．练习2.一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】解：（n ﹣2）•180°＜1999°，n ＜+2=+2①n 为正整数，①n 的最大值是13．故答案为C ．练习3.把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（）A．4B．6C．5D．3【答案】A【解析】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，720°÷180°=4，①x=4，故选A．明确多边形内角和的计算公式，体会多边形内角和与边数之间的关系.例2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【答案】C【解析】解：①多边形外角和=360°，①这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．练习1.正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72° D．108°【答案】C【解析】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．练习2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】解：设多边形的边数为n，①多边形的外角和是360°，且多边形的每一个外角都相等，①根据题意得，＜45，①45n＞360，n＞，n＞8，由于n是整数，①n的最小值为9，故选：C．明确多边形的外角和，理解多边形的外角和与边数之间的关系.例3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．练习1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选A．熟练掌握多边形的内、外角和公式，能够通过边的数量将两公式进行灵活转化.例4.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°【答案】B【解析】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x=2570，180•n=2930+x，①n=，①n为正整数，0°＜x＜180°，①n=17，①这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°=130°．故选B．练习1.看图回答问题：（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？（2）音音求的是几边形的内角和？【答案】解：（1）①n边形的内角和是（n﹣2）•180°，①内角和一定是180度的倍数，①2016÷180=11余36，①内角和为2016°不可能；（2）设漏加的内角为x，依题意有（n﹣2）•180=2016+x，①x=180n﹣2376，①90＜x＜180，①90＜180n﹣2376＜180，解得13.7＜n＜14.2，因而多边形的边数是14，故音音求的是十四边形的内角和．【解析】（1）根据n边形的内角和一定是180度的倍数，进行判断即可；（2）设漏加的内角为x，得出方程（n﹣2）•180=2016+x，求得x=180n﹣2376，再根据90＜x＜180，得到90＜180n﹣2376＜180，最后求得n的范围即可．练习2.一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？【答案】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1720°，解得n=11…100，①除去了一个内角，①边数是11+1=12，故这个多边形的边数为12，它的对角线的条数==54．答：这个多边形是十二边形，共有54条对角线．【解析】据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用1720°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值；n边形的对角线公式为．在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.多边形的边、角、对角线综合计算1、多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.2、多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.3、凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.例1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条【答案】B【解析】解：①一个凸多边形的每一个内角都等于150°，①此多边形的每一个外角是180°﹣150°=30°，①任意多边形的外角和是：360°，①此多边形边数是：360°÷30°=12，①这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2=12×（12﹣3）÷2=54．故选B．练习1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70【答案】C【解析】解：①一个正n边形的每个内角为144°，①144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．故选C．多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.例2.（选讲）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．（2）图2中草坪的面积为．（3）图3中草坪的面积为．（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．【答案】，πR2，，【解析】解：（1）三个角的和是：180°，则面积是：=；（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=；（4）多边形边数为n，则内角和是：（n﹣2）•180°，则面积是：=．故答案是：，πR2，，．练习1.如图所示，分别在三角形．四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪（阴影部分）．求：（1）图a中草坪的面积．（2）图b中草坪的面积．（3）图c中草坪的面积．【答案】解：（1）因为半径为1的圆面积为πR2，故该草坪形成的内角和度数为180°，所以a草坪的面积为πR2；（2）因为半径为1的圆面积为πR2，故b草坪的面积为4πR2﹣πR2=3πR2；（3）因为四边形外角和为360°，因此c草坪的面积为πR2．【解析】①因为半径为R的圆面积为π．图1的草坪形成的内角和度数为180°，为一个半圆，所以草坪的面积为πR2．①图b中草坪的面积为4个圆的面积减去1个圆的面积；①图c 中草坪的面积是1个圆的面积．多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.例3.如图，求证：①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【答案】解：如图所示，①A+①B=①1，①C+①D=①2，①E+①2=①3，①F+①G=①4，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=①1+①3+①4，①三角形的内角和等于180°，①①1+①3+①4=180°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．练习1.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成①AEF、①BGH、①CMN、①DPQ，求①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q的度数．【答案】解：由三角形外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，①四边形的外角和为360°，①①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，①①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q=360°．【解析】首先根据外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，根据四边形的外角和为360°，所以①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，即可解答．练习2.（1）如图①，你知道①BOC=①B+①C+①A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图①﹣1，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣2，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣3，则①A+①B+①C+①D+①E=°；（3）如图①，下图是一个六角星，其中①BOD=70°，则①A+①B+①C+①D+①E+①F=°．【答案】解：（1）如下图①，延长BO交AC于点D，①BOC=①BDC+①C，又①①BDC=①A+①B，①①BOC=①B+①C+①A．（2）如下图①，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图③，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，，根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，①①GFC+①FGC+①C=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．（3）如下图⑤，，①①BOD=70°，①①A+①C+①E=70°，①①B+①D+①F=70°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F=70°+70°=140°．故答案为：180、180、180、140．【解析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=①BDC+①C，然后根据①BDC=①A+①B，判断出①BOC=①B+①C+①A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，再根据①GFC+①FGC+①C=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180°，据此解答即可．（3）根据①BOD=70°，可得①A+①C+①E=70°，①B+①D+①F=70°，据此求出①A+①B+①C+①D+①E+①F 的度数是多少即可．凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.多边形的镶嵌问题利用正多边形进行镶嵌问题的基本原理是同一个顶点处的角能够凑成360°，才能实现密铺.无论由多少种几何图形进行镶嵌，其本质思想都是不变的.例1.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．练习1.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形【答案】A【解析】解：A、正方形每个内角是90°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角为180°﹣360÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正十边形每个内角为180°﹣360÷10=144°，不能整除360°，不能密铺；故选A．由同一种正多边形进行镶嵌，只需要保证该正多边形的内角的度数是360°的因数即可.例2.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）A．正八边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正三角形和正方形【答案】B【解析】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．故选B．练习1.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．①3×60°+2×90°=360°，①正方形能匹配；B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．①2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，①正六边形能匹配；C、正三角形的每个内角是60°，正八边形内角为135°，显然不能构成360°的周角，故不能匹配．D、正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是180°﹣360°÷12=150°，①60°+2×150°=360°，①正十二边形能匹配；故选C．练习2.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形的个数分别为（）A．2个和1个B．1个和2个C．3个和1个D．1个和3个【答案】B【解析】解：正八边形内角为135°，（360﹣90）÷135=2，所以一个顶点周围应该有两个正八边形，一个正四角形．故选B．由多种正多边形进行镶嵌，问题相对来说比较复杂，需要进行讨论，保证同一个顶点处几个多边形的内角能够凑成360°.本次课的重点内容是对多边形的处理，包括多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算，对相关公式的充分理解及是学习本章内容的首要条件.。

龙文教育一对一讲义教师:学生:日期:星期:时段:课题多边形的内角和与外角和学习目标与分析目标：会求多边形的内角和，会根据多边形的外交和求相应的边角关系。

考点：1）多年形内角和公式：（n-2）*18002）多年形外角和为3600学习重点重点：会运用多边形的内角和公式进行相关的计算。

难点：运用外角和定理，内角和公式求多边形的边角关系。

学习方法讲授与练习，归纳与总结学习内容与过程教师分析与批改1.12边形内角和是_______2.已知一个多边形的每个内角为140度则这个多边形是—————边形3.若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加——4.在四边形ABCD中四个内角度数比为2:3:4:3则每个内角—————5.下列角中能成为一个多边形内角和的是————A 270度B 560度C 1800度D 1900度6. 如果一个多边形的每个外角都等于40°,则这个多边形的内角和是多少？7.如果一个多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形的边数是多少？8.如图：求正五边形的每一个外角以及每一个内角的度数各是多少度？学习内容与过程教师分析与批改9.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.10、一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于900 , ∠B 和∠C应分别是210和320,检验工人量得∠BDC=1480,就断定这个零件不合格.运用你学过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由.11. (1）如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。

（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？。

多边形的内角和与外角和复习提高讲义一、【基础知识精讲】1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

2．多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°．3．多边形外角与外角和定理（1）多边形外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．（2）多边形外角和：在多边形的每一个顶点处取多边形一个外角，它们的和，叫做多边形的外角和．（3）外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．4．多边形的对角线(1)从n边形的一个顶点，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形．(2)n边形共有2)3(nn条对角线.5．多边形边数与内、外角和的关系(1) 多边形内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立．(2 ) 多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．6．正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．7．平面图形的密铺：（1）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．（2）密铺需满足的条件是：在一个拼接点处有m个角，这些角的和应为360°（3）任意的正三角形、正四边形、正六边形都可密铺，其他正多边形都不能密铺．二、【例题精讲】例1 从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）例2 从多边形的一条边上任意一点（除两端点外）与各顶点连线，总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）例3 多边形内任意一点连接各顶点，总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）例3：一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为例4：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？例5：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？三、【课堂练习】一、选择题：1、若一个多边形的内角和等于7200，那么这个多边形是（）A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形2、随着边数的增加，n边形的外角和的度数( )A. 不变B. 增加C. 减少D. 不一定3、一个多边形内角和是外角好的k倍，那么这个多边形的边数是（）A、kB、2k+1C、2k+2D、2k-2二、填空题1、如果一个多边形的每个内角都相等，且每个内角是它的邻补角的一半，则它的边数是 .2、若一个多边形的每一个外角都等于300，则它的内角和等于 .三、解答题如果一个多边形对角线的总条数是它边数的4倍，求这个多边形对角线的总条数。

11.3 多边形和多边形内角和教学目标1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念．(重点)2．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线．(难点)3．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点)教学过程一、情境导入问题：请观察图片，在图中能找出哪些多边形？长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工农业生产中都有应用。

二、知识梳理导学一：多边形的概念和性质1．请仿照三角形的定义给多边形定义三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段相接所组成的封闭图形叫做三角形多边形的定义：由不在同一条直线上的条线段相接所组成的封闭图形叫做多边形2．请仿照三角形的有关概念写出多边形的有关概念结论1：多边形段组成的角叫做它的内角．多边形的边与它的的组成的角叫做多边形的外角。

3．多边形的对角线探究小结：连接多边形的两个顶点的，叫做多边形的对角线【探究】从四边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，四边形共有条对角线从五边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，五边形共有条对角线从六边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，六边形共有条对角线结论2：以此类推：从n边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，n边形共有条对角线4．正多边形的性质【探究】图是正多边形的一些例子，请利用直尺、量角器等度量工具寻找正多边形的特征．小结：都相等，都相等的多边形叫做正多边形。

导学二：多边形的内角和和外角和【探究1】下列多边形的内角和结论3：多边形的内角和= （非常重要！）【探究1】根据下图，探究多边形的外角和请尝试写出推导过程：结论：多边形的内角和= （重要！）三、考点题型探究点一：多边形的概念【类型一】多边形及其概念例题1：下列图形不是凸多边形的是( )【类型二】确定多边形的边数例题2：若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( ) A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17探究点二：多边形的对角线【类型一】确定多边形的对角线的条数例题3：从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从n边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n边形共有________条对角线．【类型二】根据对角线条数确定多边形的边数例题4：从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A．6 B．7 C．8 D．9【类型三】根据分成三角形的个数，确定多边形的边数例题5：连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( ) A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形探究点三：正多边形的有关概念例题6：下列图形中，是正多边形的是( )A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形探究点四：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数例题7：一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和例题8：一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算例题9：如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数例题10：一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？探究点五：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数例题11：正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( ) A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用例题12：一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( ) A．五边形B．四边形C．三角形D．不能确定三、巩固练习题组一：多边形内角和的运用1．一个多边形的边数增加2 条，则它的内角和增加（）．A．180° B．90° C．360° D．540°2．如果一个正多边形的一个内角等于150°，则这个多边形的边数是（）．A．12 B．9 C．8 D．73．一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是780°，则这个多边形的边数n的值是多少？题组二：多边形外角和的运用1．在△ABC 中，与∠A，∠B，∠C 相邻的外角度数比是5：4：3，则△ABC 的最大内角是．2．四边形的四个外角度数之比1：2：3：4，则相应各内角度数之比为．3．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°．（1）求多边形的边数．（2）此多边形必有一内角为多少度？。

专题11.7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】多边形及其相关概念1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.2.多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.【知识点三】凸多边形与凹多边形如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是（n−2）×180°.【知识点五】多边形外角和定理1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】由多边形内角和公式求度数【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值(1)(2)【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A．增加180︒B．为360︒C．不变D．减少【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是度．【题型2】由多边形内角和公式求边数【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M和N的对话：求M和N的边数．【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为140︒，那么该正多边形的边数是（）A．六B．七C．八D．九【变式2】一个正多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数．【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【题型4】由多边形内、外角和公式求角度【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的32倍，求这个正多边形一个内角的度数．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，ABE ∠是四边形ABCD 的外角，且ABE D ∠=∠，110C ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．110︒B ．50︒C ．70︒D ．35︒【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，,1,2,3AB ED ∠∠∠∥分别是,,ABC BCD CDE ∠∠∠的外角，则123∠+∠+∠的度数为．【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】【规律发现】（1）七边形的对角线条数为______．（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形的对角线条数可表示为522⨯，…，n 边形的对角线条数可表示为______．(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为1620︒，求这个多边形的边数和对角线的条数．【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）A ．1080︒B ．720︒C ．140︒D ．135︒【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为72︒，则该正多边形的对角线共有条．【题型6】由多边形截角问题【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．如图（1），我们知道四边形的内角和为()42180360-⨯= ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为()52180540-⨯= ．上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（）A ．360︒B ．540︒C ．360︒或540︒D ．360︒或540︒或720︒【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是2022︒，则少算的这个内角的度数为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请n-⋅︒”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，你在不直接运用结论“n边形的内角和为(2)180结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A．36︒B．40︒C．45︒D．60︒2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形ABCD的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P与A，B，C，D也构成爱尔特希点集，则APB∠=．【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A．2022B．2023C．2024D．2025。