高考数学百题精炼系列7(文理合卷)

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考前强化练7 解答题组合练(C)1。

在△ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b，c，满足4a cos B-b cos C=c cos B。

（1)求cos B的值；（2)若=3，b=3,求a和c的值。

2。

(2018河南六市联考一，理17）已知数列{a n}中，a1=1,其前n项的和为S n,且满足a n=(n≥2）。

(1）求证:数列是等差数列；(2)证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+S n〈.3.(2018河北保定一模,理19)如图，四棱台A1B1C1D1-ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A 1B1=A1A=,AB=2，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1,M为C1C的中点。

(1）证明:AM⊥D1D；(2）若∠ABC=30°，且AC≠BC,求二面角B1—CC1—D1的正弦值.4.（2018河南郑州一模，理19）如图，在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6，BC=2,AC=2,D,E分别为线段AB，BC上的点,且AD=2DB,CE=2EB，PD⊥AC。

（1)求证：PD⊥平面ABC；(2）若PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角。

5.已知椭圆C:=1(a>b〉0）的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且|PM|=｜MN|,点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A，B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1，B1.（1）求椭圆C的方程。

京山五中高三文科数学测试卷（七）一、选择题1、下列命题中正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点2、如图, 正方体或四面体，,,,P Q R S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是（）3、如下图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60o角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是A.①②③B.②④C.③④D.②③④4、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．,a b B．,a c C．,c b D．,b d5、已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．．6、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）A ．32B ．327C ．64D ．6477、一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为35812+π，则正视图中x 的值为（ ） A.5 B.4 C.3 D ．28、如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.263π+B.83π+C.243π+D.43π+ 9、在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 是AB 的中点，则点C 到平面DM A 1的距离为（ ） A ．a 36 B ．a 66 C ．a 22 D ．a 2110、一圆锥底面半径为2，母线长为6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的半径为（ ） A．1 C．2D．11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．12 C ．18 D ．2412、 己知一圆锥母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积范围是(0,,则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ） A ．2πB ．π CD ．π侧视图俯视图正视图二、填空题13、0x y 坐标系中四边形ABCD 直观图如图''''O A B C ，且四边形''''O A B C 是边长为2的菱形，则在xOy 坐标中四边形ABCD 的面积为 .14、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比为_________．15、不重合的三个平面把空间分成n 部分，则n 的可能值为__________.16、已知三棱锥P-ABC ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC 的内切球半径为__________．三、解答题17、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积和表面积．19、如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为xcm 的内接圆柱．（1）试用x 表示圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大．20、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？OBAP21、如图四边形ABCD 为梯形，0//,90,2,4AD BC ABC AD AB ∠===，5BC=，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB 旋转一周形成一个旋转体.（1）求该旋转体的表面积； （2）求该旋转体的体积.22、如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5cm 、10cm ，母线长AB=20cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ． 求：（1）绳子的最短长度；（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．。

第七章综合过关规X限时检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·某某省某某中学调研)下列命题正确的个数为( C )①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故①对；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形ABC，AB＝AC，直线AB，AC与直线BC所成的角相等，而直线AB，AC不平行，故②错；③两两相交的三条直线，比如墙角处的三条交线可以确定三个平面，故③对；④如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故④错．综上，选C.2．(2020·某某省某某市6月模拟)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若O1O2＝2，则圆柱O1O2的表面积为( C )A．4πB．5πC．6πD．7π[解析]由题意，可得h＝2r＝2，解得r＝1，所以圆柱O1O2的表面积为S＝πr2×2＋2πr ×h ＝6πr 2＝6π.故选C.3．(2021·某某省某某市期末)一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为1，则这个几何体的表面积是( D )A ．11πB ．9πC ．7πD ．5π[解析] 由三视图可得几何体为18个球体，球的半径为2，故该几何体的表面积为18×4×π×4＋3×π×44＝5π，故选D.4．(2021·某某省滨州市三模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是( B )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m ，则m ⊥βC ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n[解析]对A ：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m ，不妨取交线m 上一点P ，作平面β的垂线为l ，因为l ⊥β，α⊥β，且点P ∈α，故l ⊂α；同理可得l ⊂γ，故l 与m 是同一条直线，因为l ⊥β，故m ⊥γ.故B 选项正确；对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，才会有α∥β.故C 错误；对D ：若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m 与n 的关系不确定，故D 错误．故选B.5．(理)(2021·东北三省四市教研联合体模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点．则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为( C )A ．55B ．105C ．1515D ．2515(文)(2021·某某某某一中期末)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( C )A ．12B ．32C ．63D ．62[解析] (理)解法一：如图，设B 1M ∩A 1C 1＝H ，在AA 1上取点P ，使A 1P ＝13AA 1，连PH 、AC 1、PM ，易知PM ∥AC 1∥ON ，∴∠MHP 即为BM 与ON 所成的角，设正方体的棱长为6，则PM ＝3，PH ＝23，MH ＝5，∴cos ∠MHP ＝MH 2＋PH 2－PM 22PH ·MH ＝1515，故选C.解法二：以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有D (0,0,0)，O (1,1,0)，B 1(2,2,2)，M (1,0,2)，N (0，2,1)， 因此B 1M →＝(－1，－2,0)，ON →＝(－1,1,1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为α，所以cos α＝|B 1M →·ON →||B 1M →|·|ON →|＝|－1×－1＋－2×1＋0×1|－12＋－22＋02·－12＋12＋12＝1515.故选C.(文)连BD 1，∵E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，∴EF ∥BD 1，∴∠AD 1B 即为EF 与AD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则A 1D ＝2，BD 1＝3，又AB ⊥平面AD 1，∴AB ⊥AD 1，∴cos ∠AD 1B ＝AD 1BD 1＝23＝63.故选C.6．(2021·某某某某期末)已知m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是( C )①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ②若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β ③若m ∥n ，n ⊂α，α∥β，m ⊄β，则m ∥β ④若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β A ．①②B ．①③ C ．②③D ．②④[解析]在①中的条件下，m ∥n 或m 与n 相交或m 、n 异面，①错；又⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αn ⊥β⇒α∥β，②正确；⎭⎪⎬⎪⎫n ⊂αα∥β⇒⎭⎪⎬⎪⎫n ∥βm ∥n m ⊄β⇒m ∥β，③正确；⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β或m ⊂β，④错，故选C.7．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 点重合，重合后的点记为H .那么，在这个空间图形中必有( B )A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF[解析]根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.8．(2021·某某某某部分学校质检)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是( D )[解析]选项D中，MN⊂平面ABC，故选D.9．(2021·某某滨州期末改编)已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论错误的是( C ) A．BD⊥CMB．存在一个位置，使△CDM为等边三角形C．DM与BC不可能垂直D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°[解析]由题意知BD⊥OM，BD⊥CO，∴BD⊥平面MOC，∴BD⊥CM，A正确；设菱形边长为a，则CM的取值X围为(0，3a)，∴B正确；当CM＝a时，DM⊥BC，C错；当平面MBD⊥平面BCD时，直线DM与平面BCD所成角最大为60°，D正确，故选C.10．(2021·某某虹口区期末)在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是( C ) A．1个B．2个C．3个D．无数个[解析](1)如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；(2)当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；(3)如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况．故选C.11.(2021·某某某某模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝13，则CP的最小值为( A )A．13－2 B．13－3C.15－2 D．15－3[解析] 如图，作HG⊥BB1交BB1于点G，则B1G＝1.因为HP＝13，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝13－2.12．(理)(2021·某某某某质检)在三棱锥A－BCD中，△ABC和△BCD都是边长为23的等边三角形，且平面ABC⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为( D ) A．8πB．12πC．16πD．20π(文)(2021·某某某某、某某名师联盟质检)将一个半径为6的半球切削成一个正方体(保持正方体的一个所在平面上)，所得正方体体积的最大值为面在半球底面( B )A．42B．8C．22D．4[解析] (理)取BC的中点E，连结AE与DE，则AE⊥DE，且AE＝DE＝23×3 2＝3，在DE上取点I使得EI＝13DE，在AE上取点H使得EH＝13AE，则点I是三角形BCD的外接圆圆心，点H是三角形BCA的外接圆圆心，则BI＝12×2332＝2，分别过点I、H作平面BCD和ABC的垂线IO和HO交于O点，则点O是三棱锥A－BCD的外接球球心，OI ＝EH＝13×3＝1，BO＝BI2＋OI2＝4＋1＝5，故外接球半径为5，则三棱锥A－BCD 外接球的表面积4π×5＝20π.(文)由题意，当正方体内接于半球时体积最大，如图，连接球心O与点C，连接OC1，则OC1＝ 6.设正方体棱长为a，则在Rt△OCC1中，OC2＋CC21＝OC21，⎝⎛⎭⎪⎪⎫22a2＋a2＝6，解得a＝2，故正方体体积的最大值为8.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2021·石景山期末)已知平面α、β、γ.给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β(或填α⊥β，β∥γ，则α⊥γ) .14．(2018·某某卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为43.[解析]由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.15．如图所示，在直四棱柱(侧棱与底面垂直)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或ABCD 为正方形或ABCD 为菱形等) 时，有AC 1⊥BD 成立(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．[解析]∵C 1C ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC 1，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACC 1，∴AC 1⊥BD . 16．(2021·某某滨州期末)在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝2，且SA ⊥SB ，BC ＝5，AC ＝3，则该四面体体积的最大值为306，该四面体外接球的表面积为 8π.[解析]∵SA ＝SB ＝2，SA ⊥SB ，∴AB ＝22，又BC ＝5，AC ＝3，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，即AC ⊥BC ，当平面ASB ⊥平面ABC 时V S －ABC 最大，此时V S －ABC ＝13×152×2＝306.设AB 的中点为O ，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ＝2，即四面体外接球的半径为2，∴四面体外接球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(理)(2021·某某新高考质量测评)如图，在四棱锥M －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ＝1，MD ＝1，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：(1)二面角A －MD －C 的大小是2π3；(2)∠BAD ＝π2，若.求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．(文)(2021·某某、某某联考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点，AB ＝AC .(1)AB ∥平面CDE ； (2)A 1E ⊥CE .[解析](理)若选(1)．因为MD ⊥平面ABCD ， 所以AD ⊥MD ，CD ⊥MD ，所以∠ADC 就是二面角A －MD －C 的平面角， 所以∠ADC ＝2π3，过D 作x 轴⊥DC ，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0,1,0)，H⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，14，12.所以CH→＝⎝⎛34，－34，12)．取平面MCD的一个法向量为n＝(1,0,0)．设CH与平面MCD所成角为θ，则sin θ＝|CH→·n||CH→|·|n|＝34316＋916＋14＝34.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是34.若选(2)．因为MD⊥平面ABCD，∠BAD＝π2，所以DA，DC，DM两两垂直．以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0,1,0)，H⎝⎛⎭⎪⎫12，12，12.所以CH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，12.取平面MCD 的一个法向量n ＝(1,0,0)．设CH 与平面MCD 所成角为θ，则sin θ＝|CH →·n ||CH →|·|n |＝1214＋14＋14＝33.所以CH 与平面MCD 所成角的正弦值是33.(文)(1)因为D ，E 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点， 所以DE ∥A 1B 1，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以AB ∥DE .又因为DE ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE .(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，E 为B 1C 1的中点， 所以A 1E ⊥B 1C 1.因为C 1C ∥AA 1，所以C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 又因为A 1E ⊂平面A 1B 1C 1，所以C 1C ⊥A 1E . 因为C 1C ⊂平面BB 1C 1C ，B 1C 1⊂平面BB 1C 1C ，C 1C ∩B 1C 1＝C 1，所以A 1E ⊥平面BB 1C 1C .因为C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1E ⊥CE .18．(本小题满分12分)(2021·某某潍坊安丘市、诸城市、高密市联考)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的边长均为23，E ，F 分别是线段AC 1和BB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC ； (2)求三棱锥C －ABE 的体积．[解析](1)证明：取AC 的中点为G ，连结GE ，GB ，在△ACC 1中，EG 为中位线， 所以EG ∥CC 1，EG ＝12CC 1，又因为CC 1∥BB 1，CC 1＝BB 1，F 为BB 1的中点，所以EG ∥BF ，EG ＝BF ，所以四边形EFBG 为平行四边形，所以EF ∥GB ，又EF ⊄平面ABC ，GB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为V C －ABE ＝V E －ABC ，因为E 为AC 1的中点，所以E 到底面ABC 的距离是C 1到底面ABC 的距离的一半， 即三棱锥E －ABC 的高h ＝12CC 1＝3，又△ABC 的面积为S ＝34×(23)2＝33，所以V C －ABE ＝V E －ABC ＝13Sh ＝13×33×3＝3.19．(本小题满分12分)(理)(2021·某某某某、某某质检)已知平面多边形PABCD 中，PA ＝PD ，AD ＝2DC ＝2BC ＝4，AD ∥BC ，AP ⊥PD ，AD ⊥DC ，E 为PD 的中点，现将△APD 沿AD 折起，使PC ＝2 2.(1)证明：CE ∥平面ABP ；(2)求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值．(文)(2021·某某某某质检)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAB 是边长为2正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形．(1)证明：PC ⊥AB ； (2)求点D 到PAC 的距离．[解析](理)(1)证明：取PA 的中点H ，连HE ，BH . ∵E 为PD 中点，∴HE 为△APD 的中位线， ∴HE ∥AD ，HE ＝12AD .又AD ∥BC ，∴HE ∥BC ，HE ＝BC ， ∴四边形BCEH 为平行四边形， ∴CE ∥BH .∵BH ⊂平面ABP ，CE ⊄平面ABP ， ∴CE ∥平面ABP .(2)由题意知△PAD 为等腰直角三角形， 四边形ABCD 为直角梯形，取AD 中点F ，连接BF ，PF ，∵AD ＝2BC ＝4，∴平面多边形PABCD 中P ，F ，B 三点共线，且PF ＝BF ＝2， ∴翻折后，PF ⊥AD ，BF ⊥AD ，PF ∩BF ＝F ， ∴DF ⊥平面PBF ，∴BC ⊥平面PBF ， ∵PB ⊂平面PBF ，∴BC ⊥PB . 在直角三角形PBC 中，PC ＝22，BC ＝2，∴PB ＝2，∴△PBF 为等边三角形． 取BF 的中点O ，DC 的中点M ， 则PO ⊥BF ，PO ⊥DF ，DF ∩BF ＝F ， ∴PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB →，OM →，OP →分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，D (－1,2,0)，P (0,0，3)，A (－1，－2,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，1，32， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3，32， ∴AB →＝(2,2,0)，BP →＝(－1,0，3)．设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB→＝0n ·BP→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0－x ＋3z ＝0.故可取n ＝(3，－3，3)， ∴cos n ，AE →＝n ·AE→|n |·|AE →|＝－21035.∴直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值为21035.(文)(1)如图所示取AB 中点为M ，连接PM ，CM ，∵△PAB 、△ABC 均为正三角形， ∴PM ⊥AB ，CM ⊥AB .∴AB ⊥PM ，AB ⊥CM ，又PM ∩CM ＝M ， ∴AB ⊥平面PMC .又∵PC ⊂平面PMC ，∴AB ⊥PC .(2)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PM ⊥AB ， ∴PM ⊥平面ABC ，∴PM ⊥CM ， ∴PC ＝PM 2＋CM 2＝6，∴S △PAC ＝12×PC ×h ＝12×6×22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫622＝152， ∴V P －ABC ＝V P －ACD ＝13×S V －ABC ×PM ＝13×34×22×3＝1，设D 到平面PAC 的距离为d ，则V P －ACD ＝V D －PAC ＝13S V －PAC d ＝13×152d ＝1，∴d ＝2155，∴D 到平面PAC 的距离为2155. 20．(本小题满分12分)(理)(2021·某某某某调研)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ADC ＝120°，且DE ∥FC ，DE ⊥平面ABCD ，DE ＝2FC ＝2.(1)证明：平面FBE ⊥平面EDB ； (2)求二面角A －EB －C 的余弦值．(文)(2021·某某实验中学模拟)已知四边形ABCD 是梯形(如图甲)，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝4，AB ＝AD ＝2，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(如图乙)，且PB＝2.(1)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ； (2)求点A 到平面PBE 的距离．[解析](理)(1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取EB 的中点H ，连接FH ，HO .∵四边形ABCD 为菱形，点H 是EB 的中点，DE ∥FC . ∴HO ∥FC ，HO ＝12ED ＝FC ，∴四边形CFHO 为平行四边形， ∵FH ∥CO .∵DE ⊥平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥CO . 又∵CO ⊥BD ，ED ∩BD ＝D ，∴CO ⊥平面EDB ， ∴FH ⊥平面EDB .又FH ⊂平面FBE ， ∴平面FBE ⊥平面EDB .(2)连接EC ，以点O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，OH →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意得A (0，－3，0)，C (0，3，0)，B (1,0,0)，E (－1,0,2)，则EB →＝(2,0，－2)，AB →＝(1，3，0)，BC →＝(－1，3，0)．设平面AEB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧EB →·m ＝0，AB→·m ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2z 1＝0x 1＋3y 1＝0，取m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－33，1.设平面CEB 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧EB →·m ＝0BC→·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2z 2＝0－x 2＋3y 2＝0，取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33，－1.cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝1×－1＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33＋1×－11＋13＋1×1＋13＋1＝－57，∴二面角A－EB－C的余弦值为－57.(文)(1)证明：连接BE，因为AB∥CD，AD⊥DC，CD＝4，E为CD的中点，AB＝AD＝2，所以四边形ABED是边长为2的正方形，且BE＝EC.取AE的中点M，连接PM，BM.因为AP＝PE＝2，所以PM⊥AE，BM⊥AE，且AE＝22，PM＝AM＝BM＝ 2.又PB＝2，所以PM2＋MB2＝PB2，所以PM⊥MB.又AE∩MB＝M，所以PM⊥平面ABCE.又PM⊂平面PAE，所以平面PAE⊥平面ABCE.(2)由(1)知，PM⊥平面ABCE，△PBE为正三角形且边长为2.设点A到平面PBE的距离为d，则V P －ABE ＝13×S △ABE ×PM ＝13×S △PBE ×d ， 所以13×12×2×2×2＝13×34×22×d ， 解得d ＝263，故点A 到平面PBE 的距离为263.21．(本小题满分12分)(2021·某某中原名校质量测评)如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且∠AOB ＝60°，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点．(1)求证：AC ⊥OB ；(2)若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．[解析](1)证明：由题意，得SO ⊥底面圆O ，∵点C ，D 分别为SB ，OB 中点，∴CD ∥SO ，∴CD ⊥底面圆O ，∵OB 在底面圆O 上，∴OB ⊥CD ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 为正三角形，又D 为OB 中点，∴OB ⊥AD ，又AD ∩CD ＝D ，且AD ，CD ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，∵AC ⊂平面ACD ，∴AC ⊥OB .(2)解法一：作DH ⊥OA 于H ，∵SO⊥底圆面O，∴DH⊥SO，∴DH⊥平面SOA，又正△OAB边长为2，∴DH＝32，AD＝3，又OS＝4，∴DC＝2，又CD⊥AD，∴AC＝AD2＋DC2＝7，设AC与平面SOA所成角为θ，又C到平面SAO的距离等于DH，∴sin θ＝327＝2114.解法二：(理)如图，以D为原点，DA，DB，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0,0)，C(0,0,2)，O(0，－1，0)，S(0，－1,4)，故AC→＝(－3，0,2)，AS→＝(－3，－1,4)，OA→＝(3，1,0)，设平面SOA的法向量为n＝(x，y，z)，由⎩⎨⎧ n ·AS →＝0n ·OA →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －y ＋4z ＝03x ＋y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－3，0)为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AC →|n |·|AC →|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3＋0＋01＋3×3＋4＝327＝2114， 即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114. 22．(本小题满分12分)(理)(2021·某某九师联盟质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，PA ⊥PD ，PA ＝PD .(1)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)若BC ＝1，AD ＝CD ＝2，求二面角A －PC －B 的余弦值．(文)(2021·皖豫名校联盟联考)如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAB ⊥底面ABCD ，∠ABC ＝90°，∠ACD ＝60°，AC ＝AD ，SA ＝2，AB ＝3，BC ＝1.设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，E 为SD 的中点．(1)求证：l ∥平面ACE ；(2)若在棱AB上存在一点Q，使得DQ⊥平面SAC，当四棱锥S－ABCD的体积最大时，求SQ的值．[解析] (理)(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又因为CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA．因为PA⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PC⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.(2)解：取AD中点O，连接OP，OB，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，因为PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OB.因为CD⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC，所以BC∥OD，BC＝OD，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥OC，所以OB⊥AD.以OA，OB，OP所在的直线分别为x、y、z轴建立，如图所示的空间直角坐标系O －xyz，则O (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (－1,2,0)，P (0,0,1)，所以AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－1,0,1)，BC →＝(－1,0,0)，BP →＝(0，－2,1)， 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ AC →·n ＝0，AP →·n ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1,1,1)．设平面BPC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧ BC →·m ＝0，BP →·m ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，－2b ＋c ＝0. 令b ＝1，则m ＝(0,1,2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝155， 易判断二面角A －PC －B 为锐角，所以二面角A －PC －B 的余弦值为155. (文)(1)在Rt △ABC 中，因为BC ＝1，AB ＝3， 所以tan ∠BAC ＝13＝33，AC ＝2， 所以∠BAC ＝30°.在△ACD 中，因为AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝2，∠CAD ＝60°，所以∠BAD ＝90°，又∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .如图，延长AB 和DC 交于点F ，连接SF ，因为F ∈AB ，AB ⊂平面SAB ，所以F ∈平面SAB .同理可得F ∈平面SCD .所以SF 所在直线即为直线l .因为BCAD ＝FC FD ＝12，所以C 为DF 的中点，所以在△SDF 中，l ∥CE .因为l 不在平面ACE 内，CE ⊂平面ACE ，所以l ∥平面ACE .(2)过S 向AB 作垂线，垂足为P ，因为平面SAB ⊥底面ABCD ，所以SP ⊥底面ABCD ，因为梯形ABCD 的面积和SA 的长为定值，所以当P 与A 重合，即SA ⊥底面ABCD 时，四棱锥S －ABCD 的体积最大． 因为DQ ⊥平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以DQ ⊥AC ，所以DQ 经过AC 的中点．所以∠ADQ ＝30°，所以AQ ＝AD ·tan ∠ADQ ＝2·tan 30°＝233， 故SQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＋22＝433.。

压轴题07数列的通项、求和及综合应用数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考向一：数列通项、求和问题考向二：数列性质的综合问题考向三：实际应用中的数列问题考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）（2n ≥，n *∈N ）不能判断数列{}n a 为等差数列，需要补充证明21a a d -=；2、数列{}n a 满足212n n n a a a +++=()*n ∈N ，则{}n a 是等差数列；3、数列{}n b 满足1n n b qb +=()*n ∈N ，q 为非零常数，且10b ≠，则{}n b 为等比数列；4、在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,n n S n S S n n - =⎧⎨-∈⎩N≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．5、遇到形如1()n n a a f n +-=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；（2）形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设n n n a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11n n n n qa pa a a ++-=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n nq pa a +-=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +-=，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．81k=，1111()n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（3）1111(2)22n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3n n n n n n n n ++--++=．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a +=+=．在等比数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a ==．12、前n 项和与积的性质（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．①n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，公差为2n d ．②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，公差为2d ．③若项数为偶数2k ，则 S S kd -=奇偶，1k kS a S a +=偶奇．若项数为奇数21k +，则1 k S S a +-=奇偶，1S k S k+=奇偶．（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为.n S ①当1q ≠-时，n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等比数列，公比为.n q ②相邻n 项积n T ，2n n T T ，32n nT T ，…也成等比数列，公比为()nn q 2n q =．③若项数为偶数2k ，则()2111k a q S S q--=+奇偶，1S S q=奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且等差数列{}n a 的公差为d ，λ，μ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ ()*,k m ∈N 也是等差数列，公差为kd ．②数列{}n a λμ+，{}n n a b λμ±也是等差数列，而{}na λ是等比数列．（2）设数列{}n a 和{}n b 均是等比数列，且等比数列{}n a 的公比为q ，λ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ 也是等比数列，公比为k q ．②数列{}(0)n a λλ≠，(0)n a λλ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，{}n a ，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}mn a也是等比数列，而{}log a n a ()010n a a a >≠>，，是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法1：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a -+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小．一、单选题1．（2023·上海闵行·统考二模）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得[]1,m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”B ．存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”C ．存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”D ．存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”2．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1530S =，160S <，则（）A ．当15n =时，n S 最大B ．当16n =时，n S 最小C ．数列{}n S 中存在最大项，且最大项为8SD ．数列{}n S 中存在最小项3．（2023·山西·校联考模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若70a >，70S <，则（）A ．360a a +<B ．580a a +>C ．47S S <D ．1493S a >4．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．175．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111n n nx x x x x x --⋅⋅⋅>+ Dnnxy <7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知{}n x 为()22f x x x =--的牛顿数列，2ln1n n n x a x -=+，且()11,1n a x n +=<-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023S =（）A ．202321-B ．202421-C ．2022112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2023·河南安阳·统考二模）已知数列{}n x 和{}n a 满足()212223n n n n x x x x +-=>-，2ln1n n n x a x -=-，11a =．若()22n n n b a a n *++=+∈N ，124b b +=，则数列{}n n b a -的前2022项和为（）A ．20222B ．20202C ．202224-D ．202023-10．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．10二、多选题11．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（）A ．若10k =，则110b =B ．若10k =，则{}n b 所有项的和为590C ．当13k =时，{}n b 所有项的和最大D ．{}n b 所有项的和可能为012．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，有一列曲线1Ω，2Ω，L ，n Ω，L ，且1Ω是边长为6的等边三角形，1i +Ω是对(1,2,)i n Ω= 进行如下操作而得到：将曲线i Ω的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i +Ω，记曲线(1,2,)n n Ω= 的边长为n a ，周长为n c ，则下列说法正确的是（）A ．212(3n n a -=⋅B ．52569c =C ．在3Ω中OA OC OD OC ⋅=⋅D ．在3Ω中40OB OC ⋅=13．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x ，如果x 是奇数㩆乘以3再加1，如果x 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设*N k ∈，各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =，1,,2,,nn n n n a a a a k a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则（）A ．当5k =时，54a =B ．当5n >时，1n a ≠C ．当k 为奇数时，2n a k≤D ．当k 为偶数时，{}n a 是递增数列14．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n n n n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+15．（2023·河北唐山·统考二模）如图，ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，…，如此继续下去，设n n n A B C 的边长为n a ，n n n A B C 的面积为n M ，则（）A ．234n n M =B ．2435a a a =C ．21222nn a a a -++⋅⋅⋅+=-D．12n M M M ++⋅⋅⋅+16．（2023·浙江金华·模拟预测）已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，若对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．函数()f x 是奇函数B ．对*N n ∀∈，有()()nf x nf x =C ．若()22f =，则()()()23(2)222(1)2-2n nf f f f n ++++=+ D ．若(2)2f =，则2310111122210232123101024f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++=-三、填空题17．（2023·广西·统考模拟预测）有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．18．（2023·江西九江·校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则8a =__________.19．（2023·北京石景山·统考一模）项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.20．（2023·广西·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.（参考公式：()2222*(1)(21)1236n n n n n ++++++=∈N ）21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S .若)*1N ,2n n n a S S n n -=∈≥，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为___________.22．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且3a ，7a 为方程218650x x -+=的两根，且73a a >.若对于任意*n ∈N ，不等式()()2241nn n a a λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为___________.23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．24．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列{}n a 满足n a n p =-+，数列{}n b 满足52n n b -=，设,,n n nn n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n ∈N 且9n ≠，有9n c c >，则实数p 的取值范围为____.四、解答题25．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n naa a++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-+.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2023·天津·校联考一模）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记211n n n n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)记()12221,21,N1,2,N n n n n n a n k k a d n k k b +**⎧-⋅=-∈⎪⎪+=⎨=∈⎪⎪⎩，求221nn k k S d ==∑．28．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29．（2023·天津·统考一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()24Nn n a a n *+-=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)若215n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)在（2）的条件下，设124n n n n n b c b b ++=，求证：111346822n n n k n n --=++-<-.30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．31．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131nii i b b =<-∑．32．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数1x >-且0x ≠，正整数n 不小于2，那么(1)1n x nx +≥+．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．(1)证明：当[1,)α∈+∞时，(1)1x x αα+≥+对任意1x >-恒成立；(2)证明：对任意*n ∈N ，123(1)n n n n n n n ++++<+ 恒成立．。

戊所得为ci + 2d = 1 —=—钱.3 3故选：D.2. （2021•山东高三专题练习）随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产.经统计，2020年7月份到12月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨,12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为（【答案】C 【解析】 利用等差数列下标和的性质可求得结果. 设2020年n （l<n<12,neN^）的产量为弓，由题意可知，数列｛%｝是等差数列，则。

7=10，知=20,贝！18月到11月这四个月的产量之和为纬+%+%0+% =2（%+鬼）=60吨. 故选：C.2021届新高考高三数学试卷专项练习07：数列【含解析】 一、单选题 1.（2021-聊城市•山东聊城一中高三一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五 人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？ ”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次为等差数列.问五人各得多少 钱？ ”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中戊所得为（ c.；钱 A.:钱 B.—钱 4【答案】D【解析】由题意，设丙所得为。

钱，公差为d,结合等差数列的性质，有〈 c c, c C ,求。

,』，进而求戊所得. 2a-3d = 3a-}- 3d 【详解】由甲、乙、丙、丁、戊所得依次为等差数列，设丙所得为。

钱，公差为d,贝上甲、乙、丁、戊分别的 a 一 2d, a-d,a + d,a + 2d , 5a = 52a-3d = 3a + 3d ，得'A. 48 吨B. 54吨C. 60 吨D. 66 吨3.（2021-辽宁高三一模（理））某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产3600个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的口罩数分别为a、b、c且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的口罩数为（）个.A. 800B. 100C. 1200D. 1500【答案】C【解析】根据等差数列的性质求得a,b,c的关系，结合分层抽样的定义，建立比例关系，即可求解.【详解】由题意，从一、二、三车间抽取的口罩数分别为a、b、c且a、b、c构成等差数列，可得a + c = 2Z?,b b则第二车间生产的口罩数为一-—x3600 = —x3600 = 1200个.a +b +c 3b故选：C.4.（2021-湖南岳阳市•高三一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,则此数列所有项中，中间项的值为（）A. 992B. 1022C. 1007D. 1037【答案】C【解析】由题可得a n =15n-13,可判断｛%｝共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】解：由题意可知，a n-2既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即％—2 = 15（〃—1）,所以a n =15/1-13,当〃=135时，％35 =15x135 —13 = 2012v2021,当n = 136 时，％36 =15x136 — 13 = 2027 > 2021,故〃=1,2,3,・・・,135,数列｛%｝共有135项，因此数列中间项为第68项，且％=15x68 — 13 = 1007 .故中间项的值为1007.故选：C.5.（2021•山东青岛市•高三一模）在抛物线x2 =|y第一象限内一点（％,乂）处的切线与x轴交点横坐标记为a,』，其中neN* >已知缶=32, S“为｛%｝的前〃项和，若m > S n恒成立，则m的最小值为（）A. 16 B. 32 C. 64 D. 128【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到«…+1与a n的关系，从而判断出｛%｝是以!为公比的等比数列, 再根据等比数列前〃项和公式求出S,,得到S n的范围，即可求出.【详解】因为,=2必，y'=4x, k = 4a〃,所以切线：y— 2就=4。

考前强化练7 解答题组合练C1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f (x )=√32sin 2x-cos 2x-12.(1)求f (x )的最小正周期;(2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c=√3,f (C )=0,若sin B=2sin A ,求a ,b 的值.2.已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满足a n =2S S22SS -1(n ≥2).(1)求证:数列{1S S}是等差数列;(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <32.3.(2019辽宁葫芦岛高三二模,理18)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中点,BC=3.(1)求证:AF⊥BD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值;的值;若不存在,请说明理由. (3)线段BD上是否存在点N,使得直线CE∥平面AFN?若存在,求SSSS4.(2019山东淄博部分学校高三三模,理19)已知正方形的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,以EF 为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角,点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点,连直线MF,由A,D,E三点所确定平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD∥平面EMC;(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°;若存在,求此时二面角M-EC-F的余弦值,若不存在,说明理由.5.已知椭圆C:S2S2+S2S2=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D(1,32)在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:直线l恒过定点;(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.参考答案考前强化练7 解答题组合练C1.解(1)f (x )=√32sin2x-cos 2x-12=√32sin2x-1+cos2S2−12=√32sin2x-12cos2x-1=sin 2x-π6-1.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (C )=0,得sin 2C-π6=1.因为0<C<π,所以-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,C=π3.又sin B=2sin A ,由正弦定理得SS =2.①由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3,即a 2+b 2-ab=3. ②由①②解得a=1,b=2.2.解(1)当n ≥2时,S n -S n-1=2S S22SS -1,S n-1-S n =2S n S n-1,1S S−1S S -1=2,从而{1S S}构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1S S=1S 1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12S -1,∴当n ≥2时,1S S n =1S (2S -1)<1S (2S -2)=121S -1−1S , 从而S 1+12S 2+13S 3+…+1S S n <1+121-12+12−13+…+1S -1−1S =32−12S <32. 3.(1)证明因为ADEF 为正方形, 所以AF ⊥AD.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,且平面ADEF ∩平面ABCD=AD , 所以AF ⊥平面ABCD. 所以AF ⊥BD.(2)解取AD 中点O ,EF 中点K ,连接OB ,OK.在△ABD 中,OB ⊥OD ,在正方形ADEF 中,OK ⊥OD , 又平面ADEF ⊥平面ABCD ,故OB ⊥平面ADEF ,进而OB ⊥OK ,即OB ,OD ,OK 两两垂直,分别以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图).于是,B√32,0,0,D 0,12,0,C√32,3,0,E 0,12,1,M√34,14,0,F 0,-12,1,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√34,-34,1,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设平面CDE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,即{-√32·S -52·S =0,S =0,令x=-5,则y=√3,则n =(-5,√3,0). 设直线MF 与平面CDE 所成角为θ,sin θ=|cos <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||S |=√314. (3)解要使直线CE ∥平面AFN ,只需AN ∥CD ,设SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =SSS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],设N (x n ,y n ,z n ),则x n -√32,y n ,z n =λ-√32,12,0,得x n =√32−√32S ,y n =12S ,z n =0,N √32−√32S ,12S ,0,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32−√32S ,12S +12,0.又SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,由SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得√32-√32S -√32=12S +12-52,解得λ=23∈[0,1].所以线段BD上存在点N,使得直线CE∥平面AFN,且SSSS =23.4.解(1)因为直线MF⊂平面ABFE,故点O在平面ABFE内也在平面ADE内,所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线EA上,如图所示.因为AO∥BF,M为AB的中点,所以△OAM≌△FBM.所以OM=MF,AO=BF.所以点O在EA的延长线上,且AO=2.连接DF,交EC于点N,因为四边形CDEF为矩形,所以N是EC的中点.连接MN,因为MN为△DOF的中位线,所以MN∥OD.又因为MN⊂平面EMC,所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得,EF⊥AE,EF⊥DE,所以EF⊥平面ADE,所以平面ABFE⊥平面ODE,取AE的中点H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以E(-1,0,0),D(0,0,√3),C(0,4,√3),F(-1,4,0),所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,√3), 设M (1,t ,0)(0≤t ≤4),则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,t ,0). 设平面EMC 的法向量m =(x ,y ,z ),则{S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2S +SS =0,S +4S +√3S =0,取y=-2,则x=t ,z=√3,所以m =t ,-2,8-S √3.DE 与平面EMC 所成的角为60°,所以2√S 2+4+(8-S )23=√32. 所以√3√=√32. 所以t 2-4t+3=0,解得t=1或t=3.所以存在点M ,使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°.取ED 的中点Q ,则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面CEF 的法向量,因为Q -12,0,√32,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32,0,-√32,m =t ,-2,8-S √3,设二面角M-EC-F 的大小为θ,所以|cos θ|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|S |=√3×√S 2+4+(8-S )23=√.因为当t=2时,cos θ=0,平面EMC ⊥平面CDEF ,所以当t=1时,θ为钝角,所以cos θ=-14.当t=3时,θ为锐角,所以cos θ=14.5.解(1)由题意得{S =√3S ,1S2+94S2=1,S 2=S 2+S 2,解得a 2=4,b 2=3,故椭圆C 的方程为S 24+S 23=1.(2)假设存在这样的直线l :y=kx+m ,∴M (0,m ),N (-SS ,0), ∵|PM|=|MN|,∴P (SS ,2S ),Q (SS ,-2S ), ∴直线QM 的方程为y=-3kx+m.设A (x 1,y 1),由{S =SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-3)=0,∴x 1+S S =-8SS3+4S 2,∴x 1=-3S (1+4S 2)S (3+4S 2).设B (x 2,y 2),由{S =-3SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+36k 2)x 2-24kmx+4(m 2-3)=0,∴x 2+S S =8SS1+12S 2,∴x 2=-S (1+4S 2)S (1+12S 2). ∵点N 平分线段A 1B 1,∴x 1+x 2=-2SS ,∴-3S (1+4S 2)S (3+4S 2)−S (1+4S 2)S (1+12S 2)=-2SS ,∴k=±12,∴P (±2m ,2m ),∴4S 24+4S 23=1,解得m=±√217, ∵|m|=√217<b=√3,∴Δ>0,符合题意,∴直线l 的方程为y=±12x±√217. 6.(1)解抛物线C :y 2=2px (p>0),其准线方程为x=-S2,∵点P (1,a )在此抛物线上,|PF|=2,∴点P 到准线的距离等于|PF|,即1+S2=2,得p=2, ∴所求抛物线方程为y 2=4x.(2)证明①当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m ,易知k ≠0,m ≠0.联立方程组得{S 2=4S ,S =SS +S ,从而可得方程k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0,由题意可知Δ=(2km-4)2-4k 2m 2>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=4SS . 因为以AB 为直径的圆M 过坐标原点, 所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0,所以S 2S 2+4SS=0,所以m=-4k.所以直线l 的方程为y=kx-4k ,即y=k (x-4),所以直线l 恒过定点(4,0).②当直线l 的斜率不存在时,易求得点A ,B 坐标分别为(4,4),(4,-4),直线l 也过点(4,0).综合①②可知,直线l 恒过定点(4,0).(3)解由题意可知直线l 斜率存在,设线段AB 中点坐标为(x 0,2),由(2)中所得x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S2,则y 1+y 2=k (x 1-4)+k (x 2-4)=k (x 1+x 2)-8k=4S ,所以{2+4S 2S 2=S 0,2S=2,解得{S =1,S 0=6,所以直线l 的方程为y=x-4.因为线段AB 中点坐标为(6,2),即为圆M 的圆心坐标. 设圆M :(x-6)2+(y-2)2=r 2.将点(0,0)代入,得r 2=40, 所以圆M 的方程为(x-6)2+(y-2)2=40.。

2013高考百天仿真冲刺卷 数 学(理) 试 卷（七）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1 （B ）0 （C ）2- （D ）3- 2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x ya b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87 （D ）47第4题图 第6题图 7．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个 （D ）不存在 8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b + （A ）最小值为15 （B（C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =，则A =_____.10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____.11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PDA切圆O 于点C .已知圆O，2OP =，则 PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______. 14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4xf x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,ACBD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC折起，使BD =，得到三棱锥B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =，并证明你的结论.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)x a f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.M19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A =；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.（Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）2013高考百天仿真冲刺卷 数学(理)试卷（七）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 30 10. 5 11.1；7512.)4π（或其它等价写法） 13.2-；6- 14.120；(21,2),k k k -∈*N . 注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，sin()04x π+≠， ………………2分 所以()4x k k π+≠π∈Z ， ………………3分 所以()4x k k π≠π-∈Z ， ………………4分函数()f x 的定义域为{x x ≠,4k k ππ-∈Z }. ………………5分（Ⅱ）cos 2cos 2()sin()sin cos cos sin44x xf x x x x ==πππ++ (7)分=………………8分 sin )x x==-. ………………10分因为4()3f x =，所以cos sin x x -=. ………………11分所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分81199=-= . ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD .………………3分 （Ⅱ）解：由题意，3OB OD ==，因为BD =，所以90BOD ∠=，OBOD ⊥. ………………4分 又因为菱形ABCD ，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以(33,0,3),(33,3,0),AB AD =-=-………………6分设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ，则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即：30,30z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则y z ==n=. ………………7分 因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . ………………8分000cos ,⋅〈〉===n n n n n n 因为二面角A BD O --是锐角， 所以二面角A BD O --的余弦值为. ……………9分 （Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设111(,,)N x y z ，BN BD λ=，则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-，所以1110,3,33x y z λλ===-， ……………10分 则(0,3,33)N λλ-，(33,3,33)CN λλ=-，由CN ==，即29920λλ-+=，…………11分解得13λ=或23λ=， ……………12分 所以N 点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2). ……………13分（也可以答是线段BD 的三等分点，2BN ND =或2BN ND =） 17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = ………………3分11110220=⨯=. ………………5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， ………………7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， ………………9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， ………………10分(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………11分 X………………12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）22()e x x ax a f x x-+'=， ………………3分 当2a =时，2222()e xx x f x x-+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. ………………7分（Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩………………9分所以4a >. ………………10分 设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分因为，512()()e f x f x =， 所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a-+=，5e e a =，解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =. ………………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a， ……………1分，即c a =，所以c =， ………………2分 所以3a =，c =………………4分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny .由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， ………………7分同理可得2219327nn x +-=， ………………8分 所以1961||22++=n n BC ，222961||n n n n AC ++=， ………………10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t ==≤++， ………………13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. ………………14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229kmy y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC SDC y y ∆=-12==……………12分 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=. 所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分所对应的数表为：……………3分集合组2不具有性质P . ………………4分因为存在{{2,3}1,2,3,4}⊆， 有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===∅，与对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i = 或}{y 矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . ………………5分（Ⅱ）……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设12,,,t A A A 所对应的数表为数表M ，因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组，所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②， 由条件①：12t A A A A =，可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈有i A x ∈， 所以1=xi a ，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. ………………9分 由条件②知，对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y ，所以yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t 个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t-个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t ≤-，所以7t ≥.又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P .所以7t =. ………………12分 因为12||||||t A A A +++等于表格中数字1的个数，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 110 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 1 1 0 01▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 所以，要使12||||||t A A A +++取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少， 而7t =时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C =行；1的个数为3的行最多3735C =行；1的个数为4的行最多4735C =行； 因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304+⨯+⨯+⨯+⨯=个1. 所以12||||||t A A A +++的最小值为304. ………………14分。