【理科附加】专题03 不等式选讲-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)

专题20 数列的综合【母题来源一】【2019年江苏】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M－数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M－数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．【母题来源二】【2018年江苏】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d的取值范围（用1,,b m q 表示）．【解析】（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．【母题来源三】【2017年江苏】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．【命题意图】近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题、解决问题以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间． 【命题规律】数列一直是高考的热点，常以新定义为背景，与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】1.等差数列的判定与证明的方法：（1）定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列；（2）定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；（3）等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；（4）通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列；（5）前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：1n na q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔数列{}n a 是等比数列． （3）通项公式法：(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠. 3.数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和；（2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的； （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 4.数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 5.数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.1．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m +n （m ≠n ）恒成立，且2S 6>S 3． （1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d（2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q ≠1），求a 1⋅q 的取值范围． 【解析】在数列{a n }中，a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m +n （m ≠n ）恒成立， （1）设{a n }为等差数列，且公差为d ， 则2ma 1+2(21)2m m -d +2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m +n ）a 1+()(1)2m n m n ++-d ]，整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0， 由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0， 则a 1＞﹣3d ，所以d ＜03. （2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q ≠1），2q m +n ﹣q 2m ﹣q 2n ）＜0， q m ﹣q n ）2＜00，由2S 6>S 3，得2q 6﹣q 3﹣1＜0， 解得：﹣12＜q 3＜1， 由于q ＞0，所以0＜q ＜1， 则a 1＞0，即a 1⋅q ＞0．【名师点睛】本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，也考查了运算能力，属于中档题．2．【江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测数学试题】在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d .（1）若12d =，求23,a a 的值；（2）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列（k *∈N ）；（3）若对任意k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ，设11q ≠，证明数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列.【解析】（1）因为对任意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列， 所以当1k =时，123,,a a a 成等差数列且公差为2， 故12132d a a a a =-=-，故2113212,4a a d a a d =+==+=.（2）由题设，可得21214k k a a k +--=，k *∈N .所以()()()2211121123231k k k k k a a a a a a a a --++--=++-+--…()()4414121k k k k =+-++⨯=+…，由10a =得，212(1)k a k k +=+，从而222122k k a a k k +=-=，所以2222(1)k a k +=+.于是21222211k k k k a a k a a k++++==， 所以当2k d k =时，对任意的k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列. （3）由21221,,k k k a a a -+成等差数列，及22122,,k k k a a a ++成等比数列， 可得221212k k k a a a -+=+，所以212122112k k k k k k a a q a a q -+-=+=+， 当11q ≠时，可知1k q ≠，k *∈N ，从而11111111121k k k q q q --==+----，即1111(2)11k k k q q --=≥--， 所以数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列.【名师点睛】数列中的奇数项、偶数项问题，可分别求出奇数项、偶数项的通项后再讨论它们的性质，要证明一个数列是等差数列，关键是找到关于该数列的递推关系且满足等差数列的定义.3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m m ∈≥N 项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比）数列，则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列.（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21nn S =-.①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a +=+∈Q ，证明：{}n a 存在等比子数列.【解析】（1）①因为21nn S =-，所以当1n =时，11211a =-=， 当2n ≥时，1121n n S --=-，所以()()1121212nn n n a --=---=.综上可知：12n n a -=.②假设从数列{}n a 中抽3项,,()k l m a a a k l m <<成等差数列， 则2l k m a a a =+，即1112222l k m ---⨯=+， 化简得：2212l k m k --⨯=+.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以2212l k m k --⨯=+不成立. 因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽(,4)m m m ∈≥N 项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比数列. 设0n a b +=，则b +∈Q ，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足()()()2000n a k n a n a l ++=+++，即需满足2()()b k b b l +=+，则需满足2222k pk l k k b q=+=+.取k q =，则2l k pq =+.此时222222()2q q q b q q q p p p ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，2222()22q q q q b b l q pq q p p pp ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.故此时2()()b k b b l +=+成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比数列， 所以数列{}n a 存在等比子数列.【名师点睛】本题主要考查数列的综合应用，灵活运用等差数列与等比数列的通项公式和性质即可，属于常考题型.4．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知数列{}n a 的各项均不为0，其前n 项和为n S ．若26a =，22213n n n S n a S -=+，2n ≥，n *∈N ．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足13n n n a b b +=+，2353b b -=，求证：数列{}n b 是等差数列．【解析】（1）当2n =时，由22213n n n S n a S -=+得()22116126a a +=⨯+，解得13a =.（2）当2n ≥时，由22213n n n S n a S -=+，得22213n n n S S n a --=，则()()2113n n n n n S S S S n a ---+=，因为0n a ≠，所以213n n S S n -+=……①，所以()2+131n n S S n +=+……②， ②-①得+163,2n n a a n n +=+≥， 所以+2169n n a a n ++=+， 两式相减得+26,2n n a a n -=≥，即数列246a a a ⋅⋅⋅，，，及数列357a a a ⋅⋅⋅，，，都成公差为6的等差数列， 由26a =，得39a =，可求得3n a n =，所以数列{}n a 的通项公式为3n a n =.（3）由2353b b -=，11233a b b =+=，得231253b b b b -=+，所以3221b b b b -=-，因为3n a n =，所以133n n b b n ++=，所以()+12331n n b b n ++=+，两式相减得()+121333n n n n b b b b +++-+=，即21323n n n b b b ++--=，所以()113232n n n b b b n +---=≥，两式相减得()2113502n n n n b b b b n ++--++=≥，所以()()211132202n n n n n n b b b b b b n +++--++-+=≥，因为32120b b b -+=，可得2120n n n b b b ++-+=，所以211n n n n b b b b +++-=-，所以数列{}n b 是等差数列.【名师点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入n 和1n +，从而得到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明1n n a a d +-=或211n n n n a a a a +++-=-，符合定义式即可证得结论.5．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知数列{}n a 满足对任意的n *∈N ，都有111(1)2(1)n n n n n n n n n a q a q a a a q a +++-+=-，且10n n a a ++≠，其中12a =，0q ≠．记21123n n n T a qa q a q a -=++++L ．（1）若1q =，求2019T 的值；（2）设数列{}n b 满足(1)n n n n b q T q a =+-．①求数列{}n b 的通项公式；②若数列{}n c 满足11c =，且当2n …时，121n b n c -=-，是否存在正整数,k t ，使1c ，1k c c -，t k c c -成等比数列？若存在，求出所有,k t 的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）当1q =时，由()()111121n n n n n n n n n a q a q a a a q a +++-+=-，得()211n n n n a a a a +++=+，又10n n a a ++≠，所以11n n a a ++=，又12a =，所以()()()201912345201820191011T a a a a a a a =++++++=．（2）①由()()111121n n n n n n n n n a q a q a a a q a +++-+=-，得()211n n n n n q a a a a +++=+， 又10n n a a ++≠，所以11n n n a a q ++=， 又因为21123n n n T a qa q a q a -=++++， 所以23123n n n qT qa q a q a q a =++++，所以()()()()()231112233411n n n n n n q T a q a a q a a q a a q a a q a --+=++++++++++，()1n n n n b q T q a =+- 1111111n n n n a q a q a a n n =+++++-=+-=+， 所以1n b n =+．②由题意，得12121n b n n c -=-=-，2n …，因为1c ，1k c c -，t k c c -成等比数列，所以()()211k t k c c c c c -=-，即()22222k t k -=-， 所以()222324t k k =-⋅+，即()()221222321*t k k ---=-⋅+．由于10k c c -≠，所以1k ≠，即2k ≥．当2k =时，28t =，得3t =．当3k ≥时，由(*)，得()2122321k k ---⋅+为奇数，所以20t -=，即2t =，代入(*)得2222320k k ---⋅=，即23k =，此时k 无正整数解．综上，2k =，3t =．【名师点睛】本题考查数列的递推关系，数列的通项公式，数列求和，考查转化思想与分类讨论思想，属于难题.6．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知数列{}n a 各项为正数，且对任意*n ∈N ，都有()2111211n n n n a a a a a +-+=. （1）若1a ，22a ，33a 成等差数列，求21a a 的值； （2）①求证：数列{}n a 为等比数列；②若对任意*n ∈N ，都有1221n n a a a +++≤-，求数列{}n a 的公比q 的取值范围. 【解析】（1）因为()231213a a a a =，所以2213a a a =，因此1a ，2a ，3a 成等比数列.设公比为t ，因为1a ，22a ，33a 成等差数列，所以21343a a a =+，即3211413a a a a ⨯=+⨯，于是2413t t =+，解得1t =或13， 所以211a a =或13. （2）①因为()2111211n n n n a a a a a +-+=，所以()2212112n n n n n a a a a a a +++=， 两式相除得221111n n n n n a a a a ++-+=，即1112n n n n a a a +++=，()* 由()*，得21213n n n n a a a ++++=，()** 两式相除得2123112n n n n n n n n a a a a +++++++=，即2211213n n n n n n a a a ++++++=， 所以2213n n n a a a +++=，即212n n n a a a ++=，2n ≥，*n ∈N ，由（1）知2213a a a =，所以212n n n a a a ++=，*n ∈N ，因此数列{}n a 为等比数列.②当02q <≤时，当1n =时，可得101a <≤，所以1112n n n a a q --=≤，因此112122n n a a a -+++≤+++=21n -，所以02q <≤满足条件.当2q >时，由1221n n a a a +++≤-，得()11211n n a q q -≤--， 整理得()11121n n a q q a q ≤-+-+.因为2q >，101a <≤，所以110a q -+<，因此()112n n a q q <-，即112nq q a -⎛⎫< ⎪⎝⎭， 由于12q >，因此121log q q n a -<，与任意*n ∈N 恒成立相矛盾， 所以2q >不满足条件.综上，公比q 的取值范围为02q <≤.【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的证明，考查数列的求和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

专题03算法初步【母题来源一】【2019年高考某某卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可． 【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =【名师点睛】识别、运行流程图和完善流程图的思路： （1）要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构； （2）要识别、运行流程图，理解框图所解决的实际问题； （3）按照题目的要求完成解答并验证．【母题来源二】【2018年高考某某卷】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______________．【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======， 因为76>，所以结束循环，输出8.S =【母题来源三】【2017年高考某某卷】如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是______________．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．【命题意图】（1）了解算法的含义，了解算法的思想.（2）理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（3）理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.【命题规律】高考中对流程图的考查，主要是顺序结构、条件结构、循环结构，其中循环结构为重点，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件，流程图常与函数、数列、不等式等知识点结合考查.高考中对算法语句的考查，主要是以伪代码的形式重点考查条件语句和循环语句.结合某某近几年的高考，此部分的考查基本集中在两个方面：一是流程图表示的算法；二是伪代码表示的算法.【方法总结】三种基本逻辑结构的常见问题及解题策略：(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．(3)循环结构①已知流程图，求输出的结果．可按流程图的流程依次执行，最后得出结果．②完善流程图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．③对于辨析流程图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.1．【某某省某某市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】某算法流程图如图所示，该程序运行后，x ，则实数a的值为_______．若输出的63【答案】7【解析】执行第一次循环时，有1n =，21x a =+； 执行第二次循环时，有2n =，43x a =+； 执行第三次循环时，有3n =，87x a =+， 此时有4n =，输出87x a =+. 所以8763a +=，故7a =. 故填7.【名师点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算，计算时关注各变量的变化情况，并结合判断条件决定输出何种计算结果.对于本题，按流程图逐个计算后可得关于a 的方程，解出a 即可. 2．【某某省某某市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_______．【答案】17【解析】模拟执行程序代码，可得S ＝3.第1步：i ＝2，S ＝S ＋i ＝5； 第2步：i ＝3，S ＝S ＋i ＝8； 第3步：i ＝4，S ＝S ＋i ＝12； 第4步：i ＝5，S ＝S ＋i ＝17. 此时，退出循环，输出S 的值为17． 故答案为17．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，属于基础题．求解时，模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，即可得解输出的S 的值．3．【某某省某某市2019届高三适应性考试数学试题】一个算法的流程图如图所示，则输出的a 的值为_______．【答案】9【解析】初始值1,0n a ==，第一步：033,1124a n =+==+=<，继续执行循环； 第二步：336,2134a n =+==+=<，继续执行循环； 第三步：639,314a n =+==+=，结束循环，输出9a =. 故答案为9.【名师点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行，即可得出结果.4．【某某省某某金陵中学、海安高级中学、某某外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】8【解析】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为8.【名师点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．对于本题，根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．5．【某某省七市(某某、某某、某某、某某、某某、宿迁、某某)2019届高三第三次调研考试数学试题】如图是一个算法流程图.若输出y的值为4，则输入x的值为_______．【答案】−1【解析】当1x ≤时，由流程图得：3y x =-， 令34y x =-=，解得：1x =-，满足题意. 当1x >时，由流程图得：3y x =+， 令34y x =+=，解得：1x =，不满足题意. 故输入x 的值为1-.【名师点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题.求解时，对x 的X 围分类，利用流程图列方程即可得解.6．【某某省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为_______．【答案】8【解析】根据如图所示的伪代码得：1T =，2i =，6T <成立，212T =⨯=，224i =+=； 6T <成立，224T =⨯=，426i =+=；6T <成立，428T =⨯=，628i =+=， 6T <不成立，结束循环，输出8i =.故答案为8.【名师点睛】本题主要考查了循环结构语句及其执行流程，属于基础题.按程序图依次执行即可得解. 7．【某某省某某市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______．【答案】8【解析】输出13y =，若6y x =，则1326x =>，不合题意； 若5y x =+，则1358x =-=，满足题意. 本题正确结果为8.【名师点睛】本题考查算法中的If 语言，属于基础题.根据伪代码逆向运算求得结果.8．【某某省某某中学2019届高三3月月考数学试题】执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为_______．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2，满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2； 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3， 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可，属于基础题．9．【某某省某某市（苏北三市（某某、某某、某某））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为_______．【答案】21【解析】第1步：3,9I S ==； 第2步：5,13I S ==； 第3步：7,17I S ==；第4步：9,21I S ==，退出循环，输出21S =. 故答案为21.【名师点睛】本题考查的知识点是程序框图和语句，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．求解时，由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.10．【某某省某某市2019届高三下学期阶段测试数学试题】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_______．【答案】205【解析】阅读伪代码可知，I 的值每次增加2，23S I =+， 跳出循环时I 的值为101I =，输出的S 值为21013205S =⨯+=. 故答案为205.11．【某某省某某市2019届高三5月高考信息卷数学试题】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为_______．【答案】7【解析】程序执行中的数据变化如下：1,3,k S ==133,123S k =⨯==+=， 继续运行，339,325S k =⨯==+=；继续运行，9545,527S k =⨯==+=，S >10，此时退出循环，输出k =7， 故答案为7.12．【某某省高三某某中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试数学试题】中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的2n =，1x =，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，输出的s 的值为_______．【答案】6【解析】第一次输入1a =，得1s =，1k =，判断否；第二次输入2a =，得3s =，2k =，判断否；第三次输入3a =，得6s =，3k =，判断是，退出循环，输出6s =，故答案为6.【名师点睛】本题考查了循环结构流程图，要注意每次循环后得到的字母取值，属于基础题.求解时，先代入第一次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为否，再代入第二次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断仍为否，再代入第三次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为是，得到输出值.13．【某某省某某市、某某市2019届高三第二次模拟考试数学试题】下图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为_______．【答案】16【解析】运行结果依次为：i =1，S =1，1＜6，i =3，S =4；3＜6，i =5，S =9；5＜6，i =7，S =16，7＞6，输出S =16.故答案为16.【名师点睛】本题主要考查算法，意在考查学生对该知识的理解能力和掌握水平.直接按照算法的伪代码运行即得结果.14．【某某省某某市基地学校2019届高三3月联考数学试题】运行如图所示的流程图，若输入的63a b ==，，则输出的x 的值为_______．【答案】0【解析】由6a =，3b =得：3x =，循环后：4b =，5a =；由4b =，5a =得：1x =，循环后：2b =，4a =；由2b =，4a =得：2x =，循环后：3b =，3a =；由3b =，3a =得：0x =，输出结果：0x =，本题正确结果为0.【名师点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.求解时，按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.15．【某某省某某、某某、某某、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】7【解析】初始值：a ＝0，b ＝1.第1次循环：a ＝1，b ＝3，满足a <15；第2次循环：a ＝5，b ＝5，满足a <15；第3次循环：a ＝21，b ＝7，不满足a <15，退出循环，输出b ＝7.故答案为7．【名师点睛】本题考查的知识点是算法流程图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见解析． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．专题23不等式选讲由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5． 【名师点睛】本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-， 【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤； 当2x >时，由()1f x ≥解得2x >． 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=． 故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．主要考查考生的数学运算能力，以及对分类讨论思想和数形结合思想的应用．【命题规律】主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等，分值10分． 【知识总结】 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．定理2：（基本不等式）如果a ，b>0，那么2a b+a=b 时，等号成立． 即两个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R +，那么3a b c ++a=b=c 时，等号成立． 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．推广：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12…na a a n+++≥a 1=a 2=…=a n 时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：（2）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法：①若c>0，则|ax+b|≤c等价于–c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤–c，然后根据a，b的值解出即可；②若c<0，则|ax+b|≤c的解集为⌀，|ax+b|≥c的解集为R．（3）|x–a|+|x–b|≥c（或≤c）（c>0），|x–a|–|x–b|≤c（或≥c）（c>0）型不等式的解法：注意：分区间讨论时，一是不要把分成的区间的端点遗漏；二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集．（4）|f（x）|>g（x），|f（x）|<g（x）（g（x）>0）型不等式的解法：①|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<–g（x）；②|f（x）|<g（x）⇔–g（x）<f（x）<g（x）．3．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a–c|≤|a–b|+|b–c|，当且仅当（a–b）（b–c）≥0时，等号成立．上述定理还可以推广到以下两个不等式：（1）|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|；（2）||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．4．证明不等式的基本方法（1）比较法①作差法：要证明a>b，只需证a–b>0．②作商法：要证明a>b，b>0，只要证ab>1．（2）综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．（3）分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立．（4）反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．（5）放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．5．柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式定理1：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时，等号成立．（2）柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立．（3）二维形式的三角不等式定理3：设x1，y1，x2，y2∈R．（4）一般形式的柯西不等式定理：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则（21a +22a +…+2n a ）·（21b +22b +…+2n b ）≥（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2，当且仅当b i =0（i=1，2，…，n ）或存在一个数k ，使得a i =kb i （i=1，2，…，n ）时，等号成立．【方法总结】1．解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：对a ∈R +，|x|<a ⇔–a<x<a ，|x|>a ⇔x<–a 或x>a ． （2）平方法：两边平方去掉绝对值符号．（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解． （5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法（1）分离参数法：运用“f （x ）≤a ⇔f （x ）max ≤a ，f （x ）≥a ⇔f （x ）min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题．求最值的思路：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值．（2）更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．（3）数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题．注意：不等式的解集为R 是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式恒成立问题，如f （x ）>m 的解集为⌀，则f （x ）≤m 恒成立． 3．不等式能成立问题（1）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）>A 成立，等价于在区间D 上f （x ）max >A ； （2）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）<B 成立，等价于在区间D 上f （x ）min <B ． 4．不等式恰成立问题（1）不等式f （x ）>A 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）>A 的解集为D ； （2）不等式f （x ）<B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）<B 的解集为D ．5．证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明，用换元法证明不等式时，要注意新元的取值范围．证明不等式常用的思路：利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解．6．利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知函数()2f x x a x =-+，其中0a >． （1）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()()222f x a f x +-≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）当1a =时，()31,11,1x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩．当1x ≥时，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥， 当1x <时，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥不成立． 综上所述，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）记()()()22=h x f x a f x =+-2x x a a --+，则()0,04,04,x h x x x a ax a ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，∴()()max |22|4f x a f x a +-=． 依题意得42a ≤，∴12a ≤．所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知函数()|3|2f x x =+-． （1）解不等式()||<1f x x -；（2）若x ∃∈R ，使得()|21|f x x b ≥-+成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）{}|0x x <；（2）32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．【解析】（1）由()1f x x <-，可得321x x +-<-， 当1x ≥时，321x x +-<-不成立，当31x -<<时，321x x +-<-，∴30x -<<， 当3x ≤-时，321x x ---<-，51-<成立， ∴不等式()1f x x <-的解集为{}|0x x <． （2）依题意，3212x x b +---≥，令()6,3132123,3212,2x x g x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+---=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，易知()max 1322g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，则有32b ≥，即实数b 的取值范围是32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 【名师点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型． 3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值； （2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．【答案】（1）2a =；（2）见解析．【解析】（1）由()01f =-，得11a -=-，即2a =±． 由()13f -=，得123a a +--=，所以2a =． （2）由（1）知()2122f x x x =--+，所以()()1123232g x f x f x x x ⎛⎫=++-=--+ ⎪⎝⎭36,2334,2236,2x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x 的最大值为6，即6t =． 因为6(0,0)m n m n +=>>， 所以()491491491366n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为4912n m m n +≥=（当且仅当125m =，185n =时取等号），所以()49125131266m n +≥⨯+=． 【名师点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题． 4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->． 【答案】（1）(),6-∞；（2）见解析．【解析】（1）令15y x x =++-=24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集，则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6-∞．（2）由,a b 为不相等的正数，得要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >，只需证1a b b a a b -->，整理得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立． 【名师点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数15y x x =++-的图象与直线y m =无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案．（2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等．5．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】已知函数f （x ）=|x –a |+|x |．（1）当a =2时，解不等式f （x ）≥3的解集；（2）若存在x ∈R ，使得f （x ）＜3成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |x ≤–12或x ≥52}；（2）（–3，3）．【解析】（1）由()f x x a x =-+，2a =时，不等式()3f x ≥为23x x -+≥，等价于0223x x <⎧⎨-+≥⎩，解得12x ≤-； 或0223x ≤≤⎧⎨≥⎩，解得x ∈∅； 或2223x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得52x ≥； 所以不等式()3f x ≥的解集是{12x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭． （2）若存在x ∈R ，使得()3f x <成立，则()min 3f x <，①当0a >时，()2,0,02,a x x f x a x a x a x a -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，()min f x a ∴=，即3a <，a ∴的取值范围是0<<3a ；②当0a =时，()2f x x =，()()min 003f x f ∴==<，0a ∴=符合题意；③当0a <时，()2,,02,0a x x a f x a a x x a x -<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，()min 3f x a ∴=-<，即3a >-，a ∴的取值范围是33a -<<；综上，实数a 的取值范围是()3,3-．【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，含参数绝对值函数的分类讨论，属于中档题．6．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】已知函数()29f x x x =+-．（1）解不等式()15f x <；（2）若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}311x x <<；（2）9a >．【解析】（1）由题意，()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，∵()15f x <，∴931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩， 解不等式得所求解集为{}311x x <<．（2）依题意，求()f x 的最小值即可， ()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩的最小值为9，∴9a >．【名师点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f （x ）<a 恒成立⇔a >f （x ）max ，f （x ）>a 恒成立⇔a <f （x ）min ．第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．7．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟（二）数学】已知函数()3()f x x a x x =-++∈R ．（1）当2a =时，求()5f x x ≥-的解集；（2）若()7f x ≥对任意[3,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）R ；（2）(,2][4,)-∞+∞．【解析】（1）当2a =时，不等式()5f x x ≥-为235x x x -++≥-．当3x <-时，4235,3x x x x ---≥-≤，解得3x <-； 当32x -≤≤时，235,10x x x x -++≥-≤，解得32x -≤≤；当2x >时，235,6x x x x -++≥-≥-，解得2x >．综上，所求不等式的解集为R ．（2）据题意，得37x a x -++≥对任意[)3,x ∈+∞成立， 40x a x ∴-+-≥对任意[)3,x ∈+∞成立．当4x ≥时，a ∈R ；当34x ≤<时，4x a x -≥-，∴2222168x ax a x x -+≥-+，∴()()()4424a a a x +-≥-若4a =，分析知，满足题设；若4a >，则42a x +≥，∴48,4a a +≥≥，4a ∴>满足题设；若4a <，则42a x +≤，∴46,2a a +≤≤综上，所求实数a 的取值范围是][(),24,-∞+∞．【名师点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，转化为等价不等式求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+．（1）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（2）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[)1,+∞． 【解析】（1）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤；当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想．9．【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】已知函数()=413f x x x -+--．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数1-=ax y 的图象与()f x 的图像有公共点，求a 的取值范围．【答案】（1）{|16}x x -≤≤；（2）1(,2)[,)4-∞-+∞． 【解析】（1）由题意()4f x ≤即是417x x -+-≤，由绝对值的几何意义可得解集为{|16}x x -≤≤．（2）()22,10,1428,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，所以a 的取值范围是1(,2)[,)4-∞-+∞． 【名师点睛】本题考查含绝对值的函数，求参数范围要先去函数绝对值，是常考题型． 10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设函数()()2241,f x x x g x x m x m=+-+=++-，其中0m ≠． （1）解不等式()4f x ≤； （2）设()(),f x g x 的值域分别为,A B ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）][2,11,2⎡⎤--⎣⎦．【解析】（1）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩， 由4f x ≤（）得，2334x x ≥-≤⎧⎨⎩或254x x <-+≤⎧⎨⎩，解得713x ≤≤， ∴4f x ≤（）的解集为713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．（2）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，根据函数的单调性得[3A =+∞，）， ()()222g x x m x x m x m m m m ⎛⎫=++-≥+--=+ ⎪⎝⎭，当x =–m 时取等号， ∴B =2m m ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，时，A ⊆B ， ∴23m m+≤，即23m m +≤， ∴2||320m m -+≤，化简得12m ≤≤，∴m 的取值范围[–2，–1]∪[1，2]．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，根据集合的关系求参数的取值范围，属中档题．11．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷文科数学】设函数()31,f x x x x =++-∈R ，不等式()6f x ≤的解集为M ．（1）求M ；（2）当x M ∈时，()1f x a x ≥-恒成立，求正数a 的取值范围．【答案】（1）{}|4 2 M x x =-≤≤；（2）(]0,1 【解析】（1）()()()()223,31431,221,x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，226x --≤，解得43x -≤<-；当31x -≤≤时，46≤，可得31x -≤≤；当1x >时，226x +≤，解得12x <≤．综上，不等式()6f x ≤的解集{}|4 2 M x x =-≤≤．（2）当43x -≤≤-时，()1f x a x ≥-等价于()22a x a -≥+，得01a <≤，当31x -≤≤时，()1f x a x ≥-等价于40ax a -+≥，得01a <≤，当12x <≤时，()1f x a x ≥-等价于()220a x a ---≤得06a <≤，综上，实数a 的取值范围为(]0,1．【名师点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．12．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知函数()13f x x x =-+-的最小值为m ．（1）求m 的值并指出此时x 的取值集合：（2）求不等式()4f x ≤的解集．【答案】（1）2m =，{}|1 3 x x ≤≤；（2）{}|0 4 x x ≤≤．【解析】（1）设()(),01,0,(3,0)P x A B ，13x x -+-的几何意义是P 点到,A B 两点距离之和，由平面几何知识可知：当P 点在线段AB 上时，13x x -+-有最小值，且最小值为2，即 2m =，此时[]1,3x ∈，所以x 的取值集合为{}|1 3 x x ≤≤；（2）当3x ≥时，()13244434f x x x x x x =-+-=-≤⇒≤∴≤≤；当13x <<时，()132413f x x x x =-+-=≤⇒<<；当1x ≤时，()13244001f x x x x x x =-+-=-+≤⇒≥⇒≤≤，综上所述不等式()4f x ≤的解集为{}|0 4 x x ≤≤，【名师点睛】本题考查了利用绝对值的几何意义求函数的最小值问题，以及用零点法求绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想．13．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()(0,0)f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a =，2b =时，解不等式()5f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：1111311a ab b +++≥++． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见证明．【解析】（1）当1a =，2b =时，()125f x x x x =-++<+，①当2x <-时，不等式可化为215x x --<+，即2x >-，无解，②当21x -≤≤时，不等式可化为35x <+，即2x >-，得21x -<≤，③当1x >时，不等式可化为215x x +<+，即4x <，得14x <<，综上，不等式的解集为{|24}x x -<<．（2）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，0a >，0b >，∴2a b +=，故114a b +++=， ∴1112a b a b a b a b ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()11222222b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭， 111111111411a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭1112411b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭()12214≥+=． ∴1111311a ab b +++≥++． 【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．14．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】设函数()|1|3||f x x x a =++-．（1）当1a =时，解不等式()22f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()4|22|f x x a ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,5][3,)-∞-+∞． 【解析】（1）()|1|3||22f x x x a x =++-≤+，可转化为14222x x x ≥⎧⎨-≤+⎩或114222x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12422x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩， 解得12x ≤≤或112x ≤<或无解， 所以不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）依题意，问题等价于关于x 的不等式|1|||4x x a ++-≥恒成立，即min (|1|||)4x x a ++-≥，又|1||||1||1|x x a x x a a ++-≥+-+=+，当(1)()0x x a +-≤时取等号．所以|1|4a +≥，解得3a ≥或5a ≤-，所以实数a 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞．【名师点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画．15．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()22f x x x a =-++，a ∈R ．（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围．【答案】（1）4(,][2,)3-∞-+∞；（2）(7,1)--．【解析】（1）当1a =时，2215x x -++≥，由()5f x ≥得4(,][2,)3-∞-+∞．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++．（2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+43a +<．因为原命题等价于()221f x x x =-++， 所以43a +<，所以71a -<<-，即实数a 的取值范围为(7,1)--．【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题．。

【理科附加】专题02 坐标系与参数方程【母题来源一】【2019年江苏】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．【母题来源二】【2018年江苏】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 是圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为【母题来源三】【2017年江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=． 因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ， 从而点P 到直线l的距离22d ==，当s =min 5d =． 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5． 【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2.理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【命题规律】高考中以解答题的形式考查参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，难度不大，熟练应用互化公式、理解参数的几何意义即可顺利解决. 【答题模板】解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为： 第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外，当直线经过点P (x 0,y 0) ，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1+t 2，t 1·t 2，得到|AB |=|t 1-t 2【方法总结】1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x,y 的值.一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的问题，常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)． 4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）. 5．几种常见曲线的参数方程 （1）圆以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是cos sin x a r y b r αα=+⎧⎨=+⎩，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，其中α是参数．（2）椭圆椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，其中φ是参数．椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩，其中φ是参数．（3）直线经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，其中t 是参数．1．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】极坐标系中，过点π4P ⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程.【解析】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=，点π4P ⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1， ∴点P 在圆上，又圆心坐标为()1,0， 故过点P 的切线为1y =，∴所求的切线的极坐标方程为sin 1ρθ=.【名师点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型. 2．【江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长. 【解析】由曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=，得22sin 2cos ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程是22y x =，由13x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为40x y --=.由2402x y y x--=⎧⎨=⎩得2280y y --=， 设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 则12122,8y y y y +==-，所以||B A ===【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时，关键是掌握cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，直线与抛物线相交后所得弦长的计算，可联立它们的方程消元，用弦长公式来求解.3．【江苏省泰州中学2019届高三3月月考数学试题】已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin cos 2ρθθ+=，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.【解析】易得曲线22:14x C y +=，直线:20l x y +-=，可设直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入曲线C，得25240t ++=， 设,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，>0∆成立，1t ∴=2t =-， 故AB 12t t =-=【名师点睛】本题考查将圆的参数方程化为普通方程、直线的极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程、参数的几何意义，属于基础题．4．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测数学试题】在极坐标系中，曲线C ：2cos ρθ=．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，设过点(3,0)A 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率． 【解析】曲线C ：2cos ρθ=的普通方程为()2211x y -+=，设过点()30A ，的直线l 的普通方程为3x my =+， 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，1=，解得m =从而直线l的斜率为±． 【名师点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力. 5．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(sin )ρθθ+=，设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.【解析】易得直线0l y +-=，设点(cos ,3sin )P αα，∴P 到直线l的距离d ==≤=，当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”， 所以P 到直线l距离的最大值为6．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】在极坐标系中，圆C 的方程为2cos 0ρθ+=，直线l 的方程为7π2sin 06m ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数m 的值； （2）若2m =，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【解析】（1）由2cos 0ρθ+=得22cos 0ρρθ+=，化为直角坐标方程为x 2+y 2+2x ＝0，则圆心为（﹣1，0），半径r ＝1． 由7π2sin 06m ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2ρsin θcos 7π6﹣2ρcos θsin 7π6+m ＝0， 则直线l 的直角坐标方程为 x+m ＝0， 因为直线l 过圆C 的圆心，所以﹣1+m ＝0，得m ＝1． （2）若m ＝2，则圆心C 到直线l的距离12d ==， 所以直线l 被圆C截得的弦长为== 【名师点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，属于基础题．7．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为π42⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【解析】（1）分别将π42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=． 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r ， 又圆心到直线AB=， 则r． 【名师点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线的距离公式，属于中档题.8．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长.【解析】（1）因为曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=. 且222x y ρ+=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.直线l：122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）的普通方程为2y =+.（2）圆心(0,1)到直线l：2y =+的距离为12d ==， 又因为半径为1，所以弦长为=【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可求解，属于常考题型.9．【江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,()sin ,x y t ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为πsin()4ρθ-=（1）求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； （2）若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围． 【解析】（1）由题意知πsin()4ρθ-=ππsin coscos sin 44ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程为20y x --=，由,()sin ,x y t ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，得椭圆C的普通方程为(22213x y t t +=≠. （2）由2222013y x x y t--=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()2223121230t x x t +++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以()()22212431230t t∆=-+-≥，即()4200tt t -≥≠，所以t 的取值范围是11t t ≥≤-或， 所以t的取值范围是(][()(),3,11,33,-∞--+∞.【名师点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，以及直线与曲线的位置关系的应用，要熟记互化公式，合理利用直线与曲线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.10．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，（π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【解析】因为两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，（π6)， 所以两点M ，N 的直角坐标分別为(2，0)，(，所以直线MN的斜率为：k == 则直线MN的方程为)2y x =-0y --=.曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，可化为：()(2224x y -++=，即曲线C是一个以(2,C 为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线MN 的距离为2d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为==【名师点睛】本题主要考查了点的极坐标与直角坐标的互化，考查了直线方程及点到直线的距离公式，考查了圆的弦长公式及转化能力，考查计算能力，属于中档题.11．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数).（1）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()()2,0,0,2A B -，圆C 上任意一点M ，求ABM △面积的最大值. 【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数).则普通方程为()()22344x y -++=，故圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. （2）设点()32cos ,42sin M θθ+-+，则点M 到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM △的面积1π2cos 2sin 9924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM △面积的最大值为9+【名师点睛】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，涉及参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式、三角形的面积等内容．。

第1讲 不等式的解法与三个“二次”的关系[考情考向分析] 不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用．热点一 不等式解法例1 (1)(2018·江苏兴化一中模拟)已知定义在区间[－2,2]上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝12f (x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则不等式f (x )≤x 的解集为_________． 答案 [1,2]解析 当－2≤x ＜0时，解f (x )≤x 即x 2－x ≤x 得0≤x ≤2，舍去； 当0≤x ＜2时，f (x )＝12f (x －2)＝12(x －2)2－12(x －2)，解f (x )≤x 得x 2－7x ＋6≤0, 所以1≤x ≤6 ，因此1≤x ＜2； 当x ＝2时，f (2)＝12f (0)＝14f (－2)＝32＜2.综上，不等式f (x )≤x 的解集为[]1，2. (2)解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a >0， ①当a >1时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a >0，所以x <2a 或x >2. ②当a ＝1时，2a ＝2，原不等式化为(x －2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2.③当0<a <1时，2a >2，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －2a >0，则x <2或x >2a.④当a <0时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a <0，所以2a <x <2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜2a 或x ＞2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜2或x ＞2a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a＜x ＜2. 思维升华 不等式的解法主要是两种：一种是直接利用其解法直接求解，含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数，判别式符号及两根大小；另一种方法是利用函数图象及性质求解．跟踪演练1 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是________．答案 [－1,1]解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2 ⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.(2)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是____________． 答案 ()－2，1解析 由题意得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2， 解x (x －2)＋2x ＋x －2<0，得－2<x <1. 热点二 三个“二次”之间的关系例2 已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )； (2)记函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为F (a )， 求F (a )的表达式．解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1.当x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1；当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－12≤x <1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎡⎦⎤－12，1.(2)因为x ∈[0,2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .当0<a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，0≤x ＜a ，x 2－ax ，a ≤x ≤2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 2上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤a 2，a 上是减函数，在区间[a,2]上是增函数，所以F (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝⎛⎭⎫a 2，f (2)， 而f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24，f (2)＝4－2a ，令f ⎝⎛⎭⎫a 2＜f (2)， 即a 24＜4－2a ，解得－4－42＜a ＜－4＋42， 所以当0＜a ＜42－4时，F (a )＝4－2a ； 令f ⎝⎛⎭⎫a 2≥f (2)，即a 24≥4－2a ， 解得a ≤－4－42或a ≥－4＋42， 所以当42－4≤a <2时，F (a )＝a 24.当a ≥2时，f (x )＝－x 2＋ax ，当1≤a 2<2，即2≤a <4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤a 2，2上是减函数，则F (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24； 当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0,2]上是增函数， 则F (a )＝f (2)＝2a －4.综上，F (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ，a ＜42－4，a24，42－4≤a ＜4，2a －4，a ≥4.思维升华 三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形．跟踪演练2 (1)已知m ，n 为实数，若关于x 的不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集为(－1,3)，则m ＋n 的值为____________________________________________________________________． 答案 －5解析 由题意得，－1,3为方程x 2＋mx ＋n ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，m ＋n ＝－5.(2)(2018·江苏徐州三中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b ()a ，b ∈R 的值域为(]－∞，0，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为()m －4，m ＋1，则实数c 的值为________． 答案 －214解析 由题意得Δ＝0，a 2＋4b ＝0，∴f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a22 ，由f (x )>c －1有解得c <1， 即⎝⎛⎭⎫x －a 22<1－c ，a 2－1－c <x <a2＋1－c ， 因此a 2－1－c ＝m －4，a2＋1－c ＝m ＋1，∴21－c ＝5，c ＝－214.热点三 一元二次不等式的综合问题例3 (1)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[]1，3，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________． 答案 4解析 ∵函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[]1，3，不等式f (x )≥0恒成立， ∴x 2－kx ＋4≥0，化简可得k ≤x ＋4x .∵x ＋4x ≥2x ×4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号， ∴k ≤4，∴实数k 的最大值为4.(2)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，且a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________________________________________． 答案 (0,1)∪[2,4)解析 易知已知函数为偶函数， 则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时为减函数． 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，且a ≠1)， 设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，1≤a2，g (1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2≤12，g ⎝⎛⎭⎫12＞0，则2≤a <4或0<a <1.思维升华 (1)二次不等式在R 上的恒成立问题，可以利用判别式的符号解决；在某个区间上的恒成立问题，可以利用最值或者参变量分离解决．(2)含多个变量的恒成立问题首先要清楚选谁为主元，一般地，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪演练3 (1)若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立可化为(1－x )k >1－x 2对x ∈(1,2)恒成立， 即k <1＋x 对x ∈(1,2)恒成立，而函数y ＝1＋x 在(1,2)上为单调递增函数， 所以k ≤1＋1＝2，即实数k 的取值范围是(－∞，2]．(2)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫24，＋∞解析 方法一 设f (x )＝a |x |2－|x |＋2a ，原不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，即f (x )≥0恒成立，令t ＝|x |，即g (t )＝at 2－t ＋2a 在[0，＋∞)上恒有g (t )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a ＜0，g (0)≥0，解得a ≥24. 方法二 当a ＝0时，－|x |<0，不等式解集为{x |x ≠0}，不满足题意；当a ≠0时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－8a 2≤0， 解得a ≥24. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫24，＋∞.1．(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x ＞0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．2．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 3．已知a ∈R ，关于x 的一元二次不等式2x 2－17x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围为________． 答案 (30,33]解析 二次函数f (x )＝2x 2－17x ＋a 的对称轴为x ＝174，所以3个整数为3,4,5.所以⎩⎪⎨⎪⎧f (3)≤0，f (6)>0，解得30<a ≤33.4．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．答案 (1,2)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－2x －1－1，x ＜0，作出其图象如图所示．∵f (x 2－2x )<f (3x －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＜0，x 2－2x ＜3x －4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜2，1＜x ＜4，∴1<x <2.5．(2018·江苏省南京市金陵中学月考)已知0≤x ≤2时，不等式－1≤tx 2－2x ≤1恒成立，则t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1，54 解析 当x ＝0时， －1<0<1成立；当0<x ≤2时，有2x －1x 2≤t ≤2x ＋1x 2在(0,2]上恒成立，因为2x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1，所以⎝⎛⎭⎫2x －1x 2max ＝1， 则t ≥1；①因为2x ＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12－1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2min ＝⎝⎛⎭⎫12＋12－1＝54，则t ≤54；② 由①②可得， 1≤t ≤54.A 组 专题通关1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 ∵2∉A ，∴4－4a ＋a 2－1<0， 即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3.2．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 答案 (－∞，5a )∪(－a ，＋∞)解析 由x 2－4ax －5a 2>0，得(x －5a )(x ＋a )>0， 因为a <0，所以x <5a 或x >－a .3．函数y ＝kx 2＋4kx ＋(k ＋3)的定义域是R ，则实数k 的取值范围为________． 答案 [0,1]解析 由题意知，kx 2＋4kx ＋(k ＋3)≥0的解集为R . (1)当k ＝0时，不等式为3≥0，成立．(2)当k ≠0时，kx 2＋4kx ＋(k ＋3)≥0的解集为R 等价于函数y ＝kx 2＋4kx ＋(k ＋3)的图象与x 轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝16k 2－4k (k ＋3)≤0， 解得0<k ≤1.综上，实数k 的取值范围是[0,1]．4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________． 答案 [80,125)解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a 5， 而正整数解是1,2,3,4， 则4≤a5＜5，∴80≤a ＜125. 5．若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2－ax ＋2>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，5)解析 令f (x )＝2x 2－ax ＋2，若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2－ax ＋2>0，则f (1)＞0或f (2)＞0，即4－a ＞0或10－2a ＞0，即a ＜4或a ＜5，故a ＜5，即实数a 的取值范围是(－∞，5)．6．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．答案 (－∞，3]解析 由题意得f (f (x ))≤3⇒f (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＜0，f 2(x )＋2f (x )≤3⇒f (x )≥－3⇒x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－x 2≥－3⇒x ≤ 3.7．关于x 的不等式x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1≤0对任意x ∈R 都不成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意，不等式x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1≤0的解集为∅，则x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1>0对任意x ∈R 恒成立，∴Δ＝16a 2－4⎝⎛⎭⎫4a 2＋a ＋1a －1<0，即a ＋1a －1>0，∴a 2－a ＋1a －1>0.又∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0恒成立， ∴a －1>0，即a >1.8．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,5]解析 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1,5]上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f (1)＝1－2(a －2)＋a ≥0，f (5)＝25－10(a －2)＋a ≥0，解得4≤a ≤5.综上，实数a 的取值范围是(1,5]．9．已知集合A ＝{x |(x －6)(x －2a －5)＞0}，集合B ＝{x |[(a 2＋2)－x ]·(2a －x )＜0}． (1)若a ＝5，求集合A ∩B ；(2)已知a >12，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由集合A 中的不等式(x －6)(x －15)＞0， 解得x ＜6或x ＞15，即A ＝(－∞，6)∪(15，＋∞)，集合B 中的不等式为(27－x )·(10－x )＜0， 即(x －27)(x －10)＜0，解得10＜x ＜27， 即B ＝(10,27)，∴A ∩B ＝(15,27)． (2)当a ＞12时，2a ＋5＞6，∴A ＝(－∞，6)∪(2a ＋5，＋∞)， a 2＋2＞2a ，∴B ＝(2a ，a 2＋2)，∵x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，∴B ⊆A ， ∴a 2＋2≤6，∴12＜a ≤2.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，2. 10．解关于x 的不等式：x 2－(3a ＋1)x ＋3a >0(a ∈R )．解 x 2－(3a ＋1)x ＋3a ＞0(a ∈R )等价于(x －3a )(x －1)＞0(a ∈R )． (1)当a ＜13时，3a ＜1，∴x ＜3a 或x ＞1；(2)当a ＝13时，3a ＝1，∴x ≠1；(3)当a ＞13时，3a ＞1，∴x ＜1或x ＞3a ；综上，原不等式的解集(1)当a ＜13时为(－∞，3a )∪(1，＋∞)；(2)当a ＝13时为(－∞，1)∪(1，＋∞)；(3)当a ＞13时为(－∞，1)∪(3a ，＋∞)．B 组 能力提高11．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，1)解析 函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为 x ＝－a －42＝4－a 2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )在[－1,1]上单调递增，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0， 解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，f (x )在[－1,1]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫4－a 2， 只要f ⎝⎛⎭⎫4－a 2＝⎝⎛⎭⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a2>1，即a <2时，f (x )在[－1,1]上单调递减，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0， 即a <1，故有a <1.综上，a 的取值范围是(－∞，1)．12．已知函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋12(a >0且a ≠1)在⎣⎡⎦⎤1，32上恒为正，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，89∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 设g (x )＝ax 2－x ＋12，x ∈⎣⎡⎦⎤1，32，需满足g (x )＝ax 2－x ＋12>0，即a >1x －12x 2，设h (x )＝1x －12x 2，则h ′(x )＝1x 2·⎝⎛⎭⎫1x－1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤1，32，∴h ′(x )≤0，h (x )在⎣⎡⎦⎤1，32上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫1x －12x 2max ＝12， 从而a >12，可得函数g (x )＝ax 2－x ＋12的对称轴为x ＝12a<1，从而函数g (x )＝ax 2－x ＋12在⎣⎡⎦⎤1，32上单调递增， 当a >1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，32上单调递增， ∴f (1)＝log a ⎝⎛⎭⎫a －1＋12>0⇒a >32， 当12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，32上单调递减， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝log a ⎝⎛⎭⎫a ·94－32＋12>0⇒49<a <89， 即12<a <89， 故答案为⎝⎛⎭⎫12，89∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.13．已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)＞f (x )的解集用区间表示为________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 函数f (x )的图象如图，可知图象关于直线x ＝2对称．因为x 2＋2＞0且f (x 2＋2)＞f (x )，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＞4，x ≥0，x 2＋2＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＞4，x ＜0，(x 2＋2)＋x ＞4，解得x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在区间[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在区间[－1,1]上存在零点，且0≤b －2a ≤1，求实数b 的取值范围．解 (1)当b ＝a 24＋1时，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋1， 故其图象的对称轴为直线x ＝－a 2. 当－a 2≥1，即a ≤－2时，f (x )在[－1,1]上单调减， g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2； 当－1≤－a 2＜1，即－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1；当－a 2＜－1，即a >2时，f (x )在[－1,1]上单调增， g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b . 因为0≤b －2a ≤1，所以－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 设g (t )＝－2t 2t ＋2，则g ′(t )＝－2t (t ＋4)(t ＋2)2，当t ∈[0,1]时，g ′(t )≤0，设h (t )＝t －2t 2t ＋2，则h ′(t )＝－2t 2－8t ＋2(t ＋2)2， 当t ∈[0，5－2)时，h ′(t )＞0，当t ∈(5－2,1]时，h ′(t )＜0.所以－23≤－2t 2t ＋2≤0，－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 因为当t ∈[－1,0)时，g ′(t )＞0，h ′(t )＞0，所以－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0， 所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－45]．。

专题20 数列的综合【母题来源一】【2019年江苏】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M－数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M－数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．【母题来源二】【2018年江苏】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d的取值范围（用1,,b m q 表示）．【解析】（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．【母题来源三】【2017年江苏】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．【命题意图】近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题、解决问题以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间． 【命题规律】数列一直是高考的热点，常以新定义为背景，与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】1.等差数列的判定与证明的方法：（1）定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列；（2）定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；（3）等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；（4）通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列；（5）前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：1n na q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔数列{}n a 是等比数列． （3）通项公式法：(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠. 3.数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和；（2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的； （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 4.数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 5.数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.1．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m +n （m ≠n ）恒成立，且2S 6>S 3．（1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d （2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q ≠1），求a 1⋅q 的取值范围．2．【江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测数学试题】在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d .（1）若12d =，求23,a a 的值；（2）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列（k *∈N ）；（3）若对任意k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ，设11q ≠，证明数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列.3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m m ∈≥N 项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比）数列，则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列.（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21nn S =-.①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a +=+∈Q ，证明：{}n a 存在等比子数列.4．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知数列{}n a 的各项均不为0，其前n 项和为n S ．若26a =，22213n n n S n a S -=+，2n ≥，n *∈N ．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足13n n n a b b +=+，2353b b -=，求证：数列{}n b 是等差数列．5．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知数列{}n a 满足对任意的n *∈N ，都有111(1)2(1)n n nn n n n n n a q a q a a a q a +++-+=-，且10n n a a ++≠，其中12a =，0q ≠．记21123n n n T a qa q a q a -=++++L ．（1）若1q =，求2019T 的值；（2）设数列{}n b 满足(1)nn n n b q T q a =+-．①求数列{}n b 的通项公式； ②若数列{}n c 满足11c =，且当2n …时，121n b n c -=-，是否存在正整数,k t ，使1c ，1k c c -，t k c c -成等比数列？若存在，求出所有,k t 的值；若不存在，说明理由．6．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知数列{}n a 各项为正数，且对任意*n ∈N ，都有()2111211n n n n a a a a a +-+=. （1）若1a ，22a ，33a 成等差数列，求21a a 的值； （2）①求证：数列{}n a 为等比数列；②若对任意*n ∈N ，都有1221n n a a a +++≤-，求数列{}n a 的公比q 的取值范围.。

专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【2019年江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .【答案】4【解析】设P 点的坐标是4(,)(0)m m m m+>， 则点P 到直线x +y =044||24m m m +++=≥=， 当且仅当42m m=，即m = 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4. 故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.利用基本不等式即可求解.【母题来源二】【2018年江苏】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得， 因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.【母题来源三】【2017年江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x+⨯=+≥⨯=， 当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 【名师点睛】利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．【命题意图】（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【命题规律】基本不等式是高考考查的热点，常以填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围. 【方法总结】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. （3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解. （4）基本不等式的常用变形①a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． ②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．③b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．④a ＋1a≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．1．【江苏省苏锡常镇2019届高三教学情况调研数学试题】已知，，且，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】∵， 当且仅当时取等号. 因此的最小值是2．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知0a >，0b >，且113a b b a+=-，则b 的最大值为____________．【答案】13【解析】113a b b a +=-化为1132b a b a -=+≥，即23210b b +-≤，解得：103b <≤，所以b 的最大值为13.故答案为13.3．【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】设，向量a ，，若，则的最小值为____________． 【答案】9【解析】因为，所以4x +（1﹣x ）y =0， 又x ＞0，y ＞0，所以+=1， 故x +y =（+）（x +y ）=5++≥9．当且仅当=，+=1同时成立，即x =3，y =6时，等号成立． 则（x +y ）min =9． 故答案为9．4．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】在等腰ABC △中，，，则ABC △面积的最大值为____________． 【答案】4【解析】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，， ，， ， ， ， ，当且仅当，即时等号成立， ， ，则ABC △面积的最大值为4. 故答案为4．5．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b+++的最小值为____________． 【答案】11【解析】因为1a b +=，且,a b 都是正实数，所以2221241414222a b a b a b a b a b ++⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()141442127711b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12,33a b ==时，等号成立. 所以222124a b a b+++的最小值为11. 6．【江苏省扬州市2019届高三第一学期期末检测数学试题】已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(,9]-∞【解析】由题意知x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得411x y+=，由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y=，即当x ＝2y =6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9． 因此，m ≤9． 故答案为(,9]-∞．7．【天津市部分区2019年高三质量调查数学试题】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3B =，b =，则ABC △周长的最大值是____________．【答案】【解析】因为222π2cos3b ac ac =+-， 所以222222()12()3()3()24a c a c a c ac a c ac a c ++=+-=+-≥+-=， 当且仅当a c =时取等号，因此2()48,a c a c a b c +≤+≤++≤故ABC △周长的最大值是8．【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考数学试题】已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为ab 的最大值为____________．【答案】92【解析】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=， 则圆心为()1,2,半径为r =又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =， 所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心,即260a b +-=， 即26,0,0a b a b +=>>，62a b ∴=+≥2a b =时取等号，9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92.故答案为92. 9．【河南省名校联考2019届高三联考（四）数学试题】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin 4sin C B A +=.若2a =，则当cos A 取得最小值时，ABC △的外接圆的半径为____________．【解析】由正弦定理得48b c a +==，由余弦定理得()222224430307cos 112282b c bc b c A bc bc bc b c +--+-===-≥-=+⎛⎫⎪⎝⎭， 即当4b c ==时，cos A 取得最小值为78，此时sin 8A ==， 设外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin a r A =，解得15r =. 故当cos A 取得最小值时，ABC △. 10．【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为____________． 【答案】1【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则首项1a q =，由224m n a a a =得()()22113111m n a q a q a q --⋅=，则28m nqq +=，28m n ∴+=，()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， *,m n ∈Q N ，40,0n mm n∴>>，则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号）， ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为1.11．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】如图，点D 在ABC △的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为____________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos 121244ABC ABC ⎛⎫∠∠=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为3CD AD =，所以3CD DA =u u u r u u u r，即()3BD BC BA BD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得到3144BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅u uu r u u u r u u u r u u u r ， 即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯u uu r u u u r u u u r u u u r ， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，设,c BA a BC ==u u u r u u u r ，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-， 因为2933332222ac c a c a ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，则35c a +≤=，当且仅当5a =，15c =时等号成立，。

【理科附加】专题01 矩阵【母题来源一】【2019年高考江苏】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【答案】（1）2=A 115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． 【答案】（1）1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）(3，–1)． 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ， 所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【母题来源三】【2017年高考江苏】 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）228x y +=． 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b mp am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．【命题意图】高考主要考查矩阵的逆，矩阵变换，矩阵运算以及矩阵的特征值与特征向量，考查推理运算能力以及对知识的理解掌握水平. 【命题规律】江苏高考中，主要考查的是如何求二阶矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量，矩阵变换下的曲线方程和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查. 【方法总结】（一）线性变换、二阶矩阵及其乘法（1）二阶矩阵与列向量的乘法规则：若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b x ax by c d y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB .（2）二阶矩阵乘法规则： 若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，m p n q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB . 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. （3）线性变换的基本性质： ①设向量x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，则x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦λλλα. ②设向量1212,x x y y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αβ，则1212x x y y +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦αβ.③矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''.④A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋Aβ.⑤二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. （4）几种常见的平面变换 ①当M ＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换是恒等变换. ②由矩阵M ＝001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k >0，且k ≠1）确定的变换称为（垂直）伸压变换. ③反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. ④当M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.⑤将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.⑥由矩阵M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k ∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.（二）逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（1）逆变换与逆矩阵①对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵. ②若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1.③逆矩阵求法：1||||(||0)||||其中db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A A A A A . （2）特征值与特征向量①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.②从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.③计算矩阵M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征向量的步骤如下： i.由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝λa b c λd----；ii.求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；iii.将特征多项式的根(特征值)代入特征方程()0()0λa x by cx λd y --=⎧⎨-+-=⎩，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．1．【江苏省徐州市2018−2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知,a b ∈R ，向量1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵130b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵1-A . 【答案】1312102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A . 【解析】因为向量1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵130b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值−2的一个特征向量， 所以131120b a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1322a ab a +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1322a ab a +=-⎧⎨=-⎩，即1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以矩阵1302⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .又因为1(2)3020⨯--⨯=-≠，所以1312102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A .【名师点睛】本题考查矩阵的特征值、特征向量的性质、逆矩阵的求法，属于基础题.求解时，先求出,a b ，再用公式求1-A .2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知矩阵 1 2 0x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 5 72 3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，B 的逆矩阵1-B 满足17 17 7y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦AB． （1）求实数,x y 的值； （2）求矩阵A 的特征值．【答案】（1）1,3x y ==；（2）2-和1. 【解析】（1）因为17 17 7y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦AB， 5 72 3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，∴17175712()723514721y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A AB B ，即12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，∴5147210y x y -=⎧⎨-=⎩，13x y =⎧⎨=∴⎩. （2）矩阵A 的特征多项式12()1f λλλ+-=-=（λ+1）λ﹣2＝（λ+2）（λ﹣1），令f （λ）＝0，则λ＝﹣2或λ＝1， ∴矩阵A 的特征值为﹣2和1．【名师点睛】本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属于基础题． （1）利用1()A AB B -=求解即可； （2）矩阵A 的特征多项式12()1f λλλ+-=-求出行列式，然后令f （λ）＝0即可．3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知1是矩阵102a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标. 【答案】(3,4).【解析】因为矩阵A 的特征多项式为1()()(2)02af a λλλλλ--==---，因为1是矩阵A 的一个特征值， 所以(1)0f =，解得1a =，所以矩阵1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A .因此1111320224⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A . 所以点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点为(3,4).【名师点睛】本题主要考查特征值与矩阵变换，熟记公式即可，属于常考题型.先由题意，得到矩阵A 的特征多项式为1()()(2)02af a λλλλλ--==---，根据1是矩阵A 的一个特征值，求出1a =，得到1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，进而可求出结果.4．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】变换1T 是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ，变换2T 对应的变换矩阵是21101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换作用下所得曲线的方程. 【答案】22221x xy y -+=.【解析】旋转变换矩阵1ππcos sin 0122ππ10sin cos 22⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦M .记21110111011010--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M M M . 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩， 代入22001x y +=，得22()1y y x +-=，所以所求曲线的方程是22221x xy y -+=.【名师点睛】本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，求出旋转变换矩阵10110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 是关键，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得到00x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解.5．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知矩阵1a ⎡=⎢⎣A 11⎤⎥⎦，在平面直角坐标系xOy 中， 直线:30l x y ++=在矩阵1-A 对应的变换下得到直线:10l x by '++=，求实数,a b 的值. 【答案】22,3a b ==. 【解析】由题意可得直线l '上任意一点(),x y ''在矩阵111a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换下得到直线l 上任意一点(),x y ，则111x x a y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x x y y ax y =+⎧∴⎨=+''''⎩，代入:30l x y ++=，得()30x y ax y ''''++++=，化简后得:(1)230l a x y '''+++=， 与直线:10l x by '++=对比可得：21113a b +==， 22,3a b ∴==. 【名师点睛】本题考查了矩阵变换，考查了数学运算能力、代入思想、坐标变换思想.求解时，设直线l '上任意一点(),x y ''在矩阵111a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换下得到直线l 上任意一点(),x y ，根据变换性质列出关系式是求解的关键.6．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l'：x ﹣y ＝1，求矩阵A ． 【答案】1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A .【解析】设直线l ：x +y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变换作用下，变换为点(,)M x y '''， 由x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝01m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ＝mx ny y ⎡+⎤⎢⎥⎣⎦，得x mx ny y y =+⎧⎨=''⎩， 又点(,)M x y '''在l '：x ﹣y ＝1上， ∴=1x y '-'，即（mx +ny ）﹣y ＝1，依题意111m n =⎧⎨-=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，则矩阵1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． 【名师点睛】本题考查了特殊的矩形变换，找出M 在矩阵A 的变换作用下点M '两点的坐标关系是解本题的关键，属于基础题．求解时，设直线l ：x +y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，根据矩阵A 列出x 与x '，y 与y '的关系式，再由(,)M x y '''在直线l '上，求出m 与n 的值，即可确定出矩阵A ．7．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知，，，a b c d ∈R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程． 【答案】2510x y -+=.【解析】由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即2122100101a c a dac b d bd b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1120，，，a b c d ====，即矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 设()，P x y 为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()，P x y '''，则1201x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'，即2.，x x y y y ''=-⎧⎨=⎩ 由已知条件可知，()，P x y '''满足21y x ''=+，整理得：2510x y -+=， 所以曲线C 的方程为2510x y -+=．【名师点睛】本题主要考查了矩阵与其逆矩阵的关系，考查了方程思想及矩阵对应的变换，考查计算能力，属于中档题.求解时，利用矩阵与逆矩阵的关系即可求得1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，设()，P x y 为曲线C 上的任意一点，利用矩阵A 对应的变换可得：2.，x x y y y ''=-⎧⎨=⎩代入21y x ''=+即可得解.8．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知矩阵A ＝210a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1-A ＝01b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ． 【答案】4301⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】因为11001-⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦A A ，所以210a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦01b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以22110001b c a +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即：212101b c a =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，即12121b c a ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以2101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2212143010101⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A . 【名师点睛】本题主要考查了矩阵的运算法则及矩阵与其逆矩阵之间的关系，考查计算能力，属于基础题.求解时，直接利用矩阵与其逆矩阵的关系列方程可得：1a =，再利用矩阵运算法则即可求解.9．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知矩阵123a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量.【答案】另一个特征值为5；特征向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e . 【解析】矩阵123a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的特征多项式是()()()132f a λλλ=---， 由()10f -=得4a =，令()0f λ=，则1λ=-或5λ=，解方程组()()51402530x y x y ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩可得一组不为零的解是11x y =⎧⎨=⎩， 所以矩阵A 的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e .【名师点睛】本题考查矩阵的特征值和特征向量问题，属于基础题.求解时，根据特征多项式求得a ，从而求得另一个特征值5λ=；解方程组求得特征向量.10．【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试试题】已知直线1C ：1x y +=，对它先作矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换，再作矩阵010m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 对应的变换（其中0m ≠），得到直线2C ：112x y +=，求实数m 的值．【答案】1. 【解析】直线C 1到直线C 2的变换矩阵BA =010********m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在直线C 1上任取一点()00,x y ，设该点在矩阵BA 对应的变换下变为(),x y ，则有000210x m x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以002my x x y =⎧⎨=⎩，解得002x y m x y⎧=⎪⎨⎪=⎩， 代入直线C 1：x ＋y ＝1得12x y m +=， 与直线C 2：112x y +=对比得1m =， 所以1m =.【名师点睛】本题考查了矩阵变换的性质，解题时要特别小心变换矩阵是BA ，而不是AB .先求出直线C 1到直线C 2的变换矩阵BA ，设直线C 1上任一点()00,x y ，该点在矩阵BA 对应的变换下变为(),x y ，建立关系，解出()00,x y 代入C 1，然后与C 2比较得出答案.11．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知矩阵23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB . （1）求a ，b 的值；（2）求A 的逆矩阵1-A .【答案】（1）14b a =⎧⎨=⎩；（2）1312221-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦A . 【解析】（1）因为23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB ， 所以21,4,31,b a a -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩即1,4.b a =⎧⎨=⎩ （2）因为23142=⨯-⨯=A ， 所以131312222422122-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦A . 【名师点睛】本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ． 【答案】4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ， 所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ， 所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩. 所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 【名师点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.求解时，先设二阶矩阵为a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，再根据特征值、特征向量可列出关于a b c d ,,,的方程组，求解即可得到结果. 13．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【答案】40=01⎡⎤⎢⎥⎣⎦M . 【解析】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ．因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ． 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． 【名师点睛】本题考查了逆矩阵的求法及应用，注意矩阵乘积的运算法则，矩阵初等变换的性质的合理运用，属于基础题.求解时，直接根据矩阵的乘法公式及逆矩阵的求法进行求解即可.14．【江苏省扬州市2018−2019学年度第一学期期末检测试题高三数学】已知矩阵A ＝a b ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值．【答案】1或4. 【解析】∵1113632368a a b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， ∴3668a b +=⎧⎨+=⎩，即32a b =⎧⎨=⎩. ∴32⎡=⎢⎣A 12⎤⎥⎦. 则矩阵A 的特征多项式为()()()3132222fλλλλλ--==-----2540λλ=-+=， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值为1或4．【名师点睛】本题考查矩阵的乘法运算，矩阵的特征值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．求解时，由矩阵的乘法首先求得实数a ，b 的值，然后求解矩阵的特征值即可．15．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，求1-A B ． 【答案】54220⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解析】易得1312210-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ， 所以1=-A B 312210⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦20=18⎡⎤⎢⎥⎣⎦54220⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 【名师点睛】本题考查矩阵乘积的求法，考查逆矩阵等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．。