(江苏专版)201X年高考数学 母题题源系列 专题12 直线与圆位置关系 理

第45课 直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为7 .解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或177Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即k ＝4.4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－524)∪(524，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞). 范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ， 所以直线l 的斜率为k ＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0， 则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12.又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB ＝30 ；(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17， 所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ， 则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪4t ＝4， 所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以k OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝ 5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3x －4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4x ＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切， 所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15，所以所求直线方程为4x ＋3y ＋15＝0或4x ＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2； 当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数. 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(x ，y)，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以设圆心C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(x ，y)也在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125， 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 x ＝2或4x ＋3y －17＝0 Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x ＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以k ＝－43，切线方程为4x ＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则实数k ＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又k CM ＝－1，所以k ＝1.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 －1 .解析：圆(x －1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线ax ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 [－52，1] .解析：设点P 坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，则PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝x 2＋y 2＋12x －6y －20＝50＋12x －6y －20≤0，即2x －y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[x C ，x D ].由题意得x C ＝－52，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

2.2.2 直线与圆的位置关系双基达标 限时15分钟1．直线3x ＋4y －14＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝4的位置关系是________．解析 ∵圆心(1，－1)到直线3x ＋4y －14＝0的距离为d ＝|3－4－14|5＝3＞2，∴相离． 答案 相离2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为________．解析 圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离即为圆的半径，即r ＝d ＝|6＋4＋5|5＝3， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝93．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．解析 ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1(k 为切线斜率)． 解得k ＝33.∴切线方程为x －3y ＋2＝0. 答案 x －3y ＋2＝04．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．解析 直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，此点在圆x 2＋y 2＝2的内部．∴直线与圆的位置关系是相交．答案 相交5．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于________．解析 曲线即为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心到直线的距离d ＝5，圆的半径r ＝5，所以弦长的一半为r 2－d 2＝25，弦长为4 5.答案 4 56．(1)求证：直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交．(2)求过点A(2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引的切线方程．(1)证明 由(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0得a(x ＋y －4)＋(3y －x)＝0，∴无论a 取何值，直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0必过两条直线x ＋y －4＝0与3y －x ＝0的交点A(3,1)；圆的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0即为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心为C(3,0)，半径为r ＝2；∵AC ＝3－32＋1－02＝1，故AC ＜r ，所以点A(3,1)在圆的内部， 所以直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交．(2)解 显然x ＝2为所求切线之一；设另外一条切线方程为y －4＝k(x －2)，即为kx －y ＋4－2k ＝0，由|4－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝34，∴切线为3x －4y ＋10＝0. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0 .综合提高 限时30分钟7．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析 ∵圆心在第一象限，与x 轴相切，半径为1，∴可设圆心为(a,1)(其中a ＞0)；又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴d ＝r 即|4a －3|5＝1，解得正数a ＝2； ∴圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y －1)2＝18．如果直线l ：y ＝kx －10与圆x 2＋y 2＋mx ＋2y －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则直线l 截圆所得的弦长为________．解析 ∵圆上两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，∴圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，－1在直线x ＋2y ＝0上，即－m 2－2＝0，解得m ＝－4； ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，即为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9；又直线l ：y ＝kx －10上两点M 、N 关于x ＋2y ＝0对称，∴直线l 的斜率k ＝2，即直线l 方程为y ＝2x －10；∵圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|4－－1－10|5＝5，圆的半径r ＝3. ∴直线l 截圆所得的弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.答案 49．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，则实数m 的值为________．解析 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得k OP ×k OQ ＝－1，即y 1x 1y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0①另一方面，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个解，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275③ 又P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝14(3－x 1)(3－x 2)＝14， 将③代入得y 1y 2＝m ＋125④ 将③④代入①解得：m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立．∴m ＝3.答案 310．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(abc≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是________三角形．解析 由题意得|a·0＋b·0＋c|a 2＋b 2＝1，即c 2＝a 2＋b 2，∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形答案 直角11．已知一条直线经过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此直线的方程．解 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求方程为y ＋32＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM|＝52－42＝3 ∴⎪⎪⎪⎪k·0－0＋3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34. 所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0. 综上，所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．一个圆的圆心在直线x －y －1＝0上，与直线4x ＋3y ＋14＝0相切，在3x ＋4y ＋10＝0上截得弦长为6，求圆的方程．解 由圆心在直线x －y －1＝0上，可设圆心为(a ，a －1)，半径为r ，由题意可得⎩⎨⎧ |4a ＋3a －1＋14|5＝r ，r 2＝9＋⎝⎛⎭⎫3a ＋4a －1＋1052，经计算得a ＝2，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.13．(创新拓展)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(a,0)(a ＞0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设ΔAOB 的外接圆为⊙E ，(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)问是否存在这样的⊙ E ，⊙E 上到直线CD 的距离为32的点P 有且只有三个；若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a. 由⊙E 与直线CD 相切，得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)要使⊙E 上到直线CD 的距离为32的点P 有且只有三个，只须与CD 平行且与CD 距离为32的两条直线中的一条与⊙E 相切、另一条与⊙E 相交；∵OE ∥CD ，∴圆心E 到直线CD 的距离也就是点O 到CD 的距离．∴圆心E 到直线CD 距离为22，∴圆E 的半径为22＋32＝52，即r ＝22a ＝52，解得a ＝10.∴存在满足条件的⊙E ，其标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.。

第46课直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]内容要求A B C直线与圆、圆与圆的位置关系√1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r2－r1|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 相交 [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·某某模拟)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值X 围是________．[0,10] [因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得|－3＋4×2－m |5≤1⇒|m －5|≤5⇒0≤m ≤10.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.AB ＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]直线与圆的位置关系(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是________． (2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.(1)相交 (2)6 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)由圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．于是AB 2＝AC 2－r 2＝40－4＝36，则AB ＝6.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·某某某某模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________. 【导学号：62172250】(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD ＝__________.(1)2x ＋y －7＝0 (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，AB ＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E . 如图所示，则CE ＝AB ＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.∴CD ＝CEsin 60°＝AB sin 60°＝2332＝4.]圆与圆的位置关系(1)(2016·某某高考改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．(2)(2017·某某三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．(1)相交 (2)3 [(1)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<MN <3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．(2)由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即MN ≤ON －1⇒ON ≥2，又ON ≥OM －1，所以OM ≥3.a 2＋a －32≥3⇒a ≥3或a ≤0(舍)．因此a 的最小值为3.][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆心的连线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]直线与圆的综合问题(2016·某某高考改编)如图46­1，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图46­1[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且MN ＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：62172251】[解] (1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m . ∵圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， ∴圆心(－2,1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0.∵MN ＝23，半径r ＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN 的距离为22－32＝1.则|－4－1＋c |5＝1，∴c ＝5± 5. ∴直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式AB＝1＋k2|x A－x B|＝1＋k2[x A＋x B2－4x A x B].[易错与防X]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交[由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.【导学号：62172252】9 [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而C 1C 2＝32＋42＝5.两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是________．－4 [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是________．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)．又圆的半径r ＝12OP ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________. 【导学号：62172253】1023 [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，∴最短弦的长为2r 2－PC 2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则OD ＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°， ∴OB ＝2OD ＝2，即r ＝2.]8．(2017·某某模拟)过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为________. 【导学号：62172254】y ＝－12[圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]9．(2017·某某模拟)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__________.2 [依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.]10．(2017·某某联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33. 所以实数k 的最小值为－33.] 二、解答题11．(2017·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1,0)，B (3,0)，C (0,1)．(1)求圆M 的方程；(2)若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，某某数m 的值． [解] (1)法一：设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－4，F ＝3.所以圆M 的方程x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0.法二：线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ，线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝2，解得M (2,2)．所以圆M 的半径r ＝AM ＝5，所以圆M 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. (2)因为MP →·MQ →＝0，所以∠PMQ ＝π2.又由(1)得MP ＝MQ ＝r ＝5， 所以点M 到直线l 的距离d ＝102. 由点到直线的距离公式可知，|2m －4－2m －1|m 2＋4＝102，解得m ＝± 6.12．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34. 又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－32＝134.又OA ＝32＋52＝34.所以S ＝12OAd ＝12. B 组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．(2017·某某调研一)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y＋m ＝0上存在点P ，使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值X 围是________． [－22，22] [法一：设满足条件PB ＝2PA 的P 点坐标为(x ，y )，则(x －4)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，化简得x 2＋y 2＝4.要使直线x －y ＋m ＝0有交点，则|m |2≤2.即－22≤m ≤2 2.法二：设直线x －y ＋m ＝0有一点(x ，x ＋m )满足PB ＝2PA ，则(x －4)2＋(x ＋m )2＝4(x －1)2＋4(x ＋m )2.整理得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0(*)方程(*)有解，则△＝4m 2－8(m 2－4)≥0，解之得：－22≤m ≤2 2.]2．(2017·某某模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 9 [圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －02＋0－b 2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.] 3．如图46­2，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .图46­2(1)求圆A 的方程； (2)当MN ＝219时， 求直线l 的方程．[解] (1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1，则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.4．(2013·某某高考)如图46­3，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．图46­3(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值X 围．[解] (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

常考问题 12直线与圆[ 真题感悟 ]1．(2012 ·江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋ y2－8x＋ 15＝0，若直线 y＝kx－2 上起码存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是 ________．分析|4k－2|设圆心 C(4,0)到直线 y＝kx－ 2 的距离为 d，则 d＝，由题意知k2＋1|4k－ 2|≤2，得 0≤ k≤4，因此 k max＝4问题转变为 d≤2，即 d＝k2＋133.4答案32．(2013 ·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3)，直线 l ：y＝ 2x－4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．(1)若圆心 C 也在直线 y＝ x－ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使 |MA|＝2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y＝2x－4 和 y＝x－1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在．|3k＋ 1|设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y＝ kx＋3，由题意，得 2 ＝1，解得k＝k ＋130 或－4，故所求切线方程为y＝3 或 3x＋ 4y－12＝0.(2)由于圆心在直线y＝2x－ 4 上，因此圆 C 的方程为 (x－a)2＋[y－2(a－2)] 2＝1.设点 M(x，y)，由于 |MA|＝ 2|MO|，因此x2＋ y－3 2＝2x2＋y2，化简得 x2＋y2＋2y－3＝0，即 x2＋(y＋ 1)2＝ 4，因此点 M 在以 D(0，－ 1)为圆心， 2 为半径的圆上．由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，因此圆 C 与圆 D 有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即 1≤ a 2＋ 2a －3 2≤3.整理得－ 8≤5a 2－12a ≤ 0.2 212由 5a －12a ＋8≥0，得 a ∈ R ；由 5a － 12a ≤0，得 0≤ a ≤ 5.12 因此点 C 的横坐标 a 的取值范围是0，5 .[ 考题剖析 ]高考对本内容的考察主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的地点关系；直线被圆截得的弦长．多为 B 级或 C 级要求．。

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。