高考数学母题题源系列专题12证明面面垂直与计算异面直线所成角理(含解析)

任务检查异面直线所成的角问题定位1长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．答案B解答连接、，如图：在长方体中，则为异面直线与所成角，由，，得，　，　， ，异面直线与所成角的余弦值为，异面直线所成角的求法方法一：平移直线至有公共点方法二：平移（构造）几何体故选．原因分析精准突破异面直线的定义我们把不同在任何一个平面内、没有公共点的两条直线叫做异面直线．例如，如图所示，直线、为异面直线．异面直线夹角的定义如图所示，已知两条异面直线，，如图①，作直线，使得，如图②，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角），如图③．异面直线夹角的范围为．2三棱柱中，与且、所成的角均为，，且，则与所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．答案D解答在三棱柱中，，，是平行四边形，，与所成角等于，设，则，，为正三角形，，又，，，由余弦定理可知：，四边形为矩形，，，，故与所成角的正弦值为，故选．3正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则异面直线与所成的角是（）A ．B ．C ．D ．答案C 解答取的中点，连接、，则，异面直线与所成的角为，，，，又在中，由余弦定理可得，则在中，可得，在中，由余弦定理得，，故选．4如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA ＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A B 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．11答案D 解答补形5如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，（1）求异面直线AP与BD所成的角；（2）若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos θ的值．答案见解析解答（1）如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.（2）设N为BF的中点，连接EN，MN，则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，则EN＝，EM＝，MN＝.在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN=即cos θ＝.课中巩固6在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．C解答方法一：取的中点，连接、、、、，在直棱柱中，，，且、、分别是、、中点，且，，且，四边形是平行四边形，与所成角即为与所成角，，设，在直三棱柱中，，，且 ， ，，，，在中，由余弦定理可得：，故选．7在正方体‐中，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．答案A解答取的中点，连接，，，.因为，分别是，的中点，所以，且，因此四边形为平行四边形，，而或其补角为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为，故选.8如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角是（）A．B．C．D．答案B解答如上图所示：延长至点，使得，连接、、，，，，，，四边形为平行四边形，，又、分别是、的中点，，设，则，，，，，又直线所成的角不为钝角，直线和所成的角是，【补救学习】故选．9（2015浙江）如图，三棱锥A—BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解答如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK.∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝2，∴MK ＝.在Rt △CKN 中，CK =.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝.总结优化10如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为．【拓展提升】答案．如上图所示：、分别是、中点，，又，，四边形为平行四边形，，与所成角等于，设正方体的边长为，则，，故与所成角的大小为．11如图，正方形ABCD 与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是 ，PQ 是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D.答案B解答略12（2016浙江）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于________．答案　解答当平面ABC⊥平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC的中点M，当点A在平面BCD上的射影M在BD上时，因为AB＝AC，所以BM＝MC，因为BC＝CD＝3，所以∠DBC＝30°，所以由∠BCD＝90°得BM＝MD，点M的轨迹的最大长度等于CD＝，将其补为四棱锥，所以AB＝，AE＝＝，又因为∠EBA为直线AB和CD 所成的角，所以cos∠EBA＝＝.线面角问题定位13如图所示，在正方体中，是棱的中点．求直线与平面所成的角的正弦值．答案．解答作的中点，连接、，在正方体中，为中点，为中点，，又平面，平面，即是直线与平面所成的角，设，设正方体的棱长为，，，平面，，，，，．14如图，正方体中，面对角线与对角面所成的角为．答案．解答连接交于点，连接，如图所示：四棱柱是正方体，三棱柱是直棱柱，平面平面，四边形是正方形，即，平面平面，平面，即是直角三角形，是与平面所成的角，具体步骤①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

历年高考：两异面直线所成的角 题目解法大全（配有高考真题练习题） 异面直线所成角的求法(1)利用定义：将其中一条平移，使之与另一条相交于一点，得出两直线所成的角(有时需要同时平移两条);(2)利用空间向量知识来求：a 与b 的夹角θ为cos θ例一、已知正四棱锥P —ABCD 侧棱长与底面边长相等，E 、F 分别为PC 、PD 的中点，求异面直线BE 与CF 所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE 不动，在面PDC 内过点 E 平移CF ；法二、CF 不动，过F 平移EB ，其中是以平行四边形BEFH 为依托； 法三、利用空间向量知识来求解.解法一 ：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC 内过E 作EG 平行于CF ，交PD 于G ，连结BG . 则BEG ∠或其补角为BE 与CF 所成角. BD=22,又PB=PD=2, 所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG ∆中,cos BEG ∠=EGBE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小图1图2CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FHCF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61 .解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则 = (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 红色警示：1、 算出是钝角时，应取锐角；2、 平移直线要在某个平面内平移.例二、（2006福建卷，18）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2，AB=AD=2.（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.（Ⅰ）提示：证AO ⊥BD ，AO ⊥CO （勾股定理） （Ⅲ）7A（Ⅱ）绿色通道：法一、已知OE//CD ，过E 作AB 的平行线；法二、已知OE//CD ，过O 作AB 的平行线； 法三、用空间向量知识来求. 方法一 ：（II ）解：如上图.取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC , ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在OME ∆中,OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线， ∴OM=21AC=1. ME=21AB=22, OE= 21CD=1, 422cos 222=⋅⋅-+=∠EM OEOM EM OE OEM , 所以异面直线AB 与CD 所成角的大小为 方法二：如下图B AE设F 是AD 的中点，连结OF ，OE ，EF ，则OE//CD ，OF//AB,OF 与OE 所成的角就是AB与CD 所成的角.设H 是OD 的中点，连结FH ，HE ，则FH//AO.且FH =21AO =21，由（Ⅰ） 知FH ⊥HE.在∆HOE 中,HE 2=OH 2 +OE 2—2OH.OE cos120︒=47, EF 2 = FH 2+HE 2 = 2, 所以cos 42221221212222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=∠OF OE EF OE OF EOF , 所以AB 与CD 所成的角大小为arccos42. 方法三、解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(,(1,0,1),(1,22C A E BA CD =-=-.2cos ,4BACD BA CD BA CD∴<>==∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos4红色警示：总之,求线线所成角关键的一步是确定在哪个平面内作平行线,一般利用三角形中位线,或平行四边形来找到平行线;当平行线难于找到,或计算较繁时,可考虑用空间向量知识来求解,当然该图形结构也要利于空间直角坐标系的建立才可行.思维挑战1、（2006广东卷,19）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是⊙O 的直径，6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.2、（2006湖南卷,18）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.yAFD(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.CQ3、(2006上海卷,19)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.答案提示：1、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180,cos =⨯++=>=<EF BD 设异面直线BD 与EF 所成角为α， 则1082|,cos |cos =><=α 2、解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD .（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． 由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是A(22,0,0) ,(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B ,所以)2,0,22(--=AQ,1)PB =-,于是3c o s ,.A QPB A QP B A Q P B⋅<>==⋅从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos 9. 解法二： （Ⅰ）．取AD 的中点M ，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM .又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）．连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在 PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面. 取OC 的中点N ，连结PN ． 因为11,22PO NO NO OQ OA OC ===，所以PONOOQ OA=， 从而AQ ∥PＮ.∠BP Ｎ（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.连接BN ，因为3PB ==．PN===BN ===所以222cos 29PB PN BN BPN PB PN +-∠===⋅ 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是. 3、[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、 OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是=(23,0, 23),=(0, 3,3).设的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,式θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42. 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ，∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角)， 在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中，PA=6， 则EF=26在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42,∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42.。

异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学，遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。

难在何处? 不会作！下面介绍两种求法一.传统求法 ------- 找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便平移面的确定: 般是过两异面直线中某条直线的个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD E、F、G H分别是AC BC DB DA的中点，若AB=12-.2 , CD= 4、2，且四边形EFGH勺面积为12 .3 , 求AB和CD所成的角.n 解？由三角形中位线的性质知，HG/ AB HE// CD••• / EHG就是异面直线AB和CD所成的角.••• ? EFGH是平行四边形，H* - AB = 62，2HP1, CD= 2 3,2••• ? S EFGH = HG HE- sin / EHG= 12 6 sin / EHG 「12 6 sin / EH& 12 ,3.••• ? sin / EH& —,故/ EH &45°2••• ? AB 和CD 所成的角为45°注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD 二BCE 、F 分别是AB CD 的中点，且EF —2 AD,2 求异面直线AD 和BC 所成的角。

（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG FG 因D 、F 分别是AB CD 中点，故 EG/ BC 且 EG 」BC, FG// AD 且 2 FG 」AD 由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成2锐角或直角为异面直线 AD BC 所成角，即/ EGF 为所求。

由BC 二ADD EG 二GF^AD 又EF=AD 由余弦定理可得 cos /EGF=0即/ EGF=902注：本题的平移点是 AC 中点G,按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行 线，然后在厶EFG 中求角。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。

【异面直线所成的角】 1.步骤（1）造角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成角或补角的平面角。

（2）证明：证明作出的角就是所求的角或是补角。

（3）计算：求角度，常利用解三角形求解 （4）结论：注意异面直线所成角的范围。

2.平移法作异面直线所成角的策略直接平移；找等分点（如中点、三等分点等）平移；补形法1.（2017全国卷2）已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A.23 B.515 C.510 D.332.如图所示,在三棱锥A-BCD 中,AB=CD,AB 上CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 与AB 所成的角.3.（2018年全国2）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（ ）A. B ． C ． D ．4.如图所示,在等腰直角三角形ABC ，DA ⊥AC,DA ⊥AB,若DA=1,且E 为DA 的中点,求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.5.（2018年北京）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值.6.(2016课标Ⅰ,理11)平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A ．√32B √22C√33D 13方法：1.垂线法 2.等三棱锥体积法1.（2019全国1文）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．2．（2018全国2）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形﹐PA⊥.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.2.（2017全国卷3节选）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．证明：AC⊥BD.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PA⊥平面,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥平面BEF.4.（2018年全国2）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.=．ABC是底面5.（2020全国1）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD的内接正三角形，P为DO上一点，PO=．证明：PA⊥平面PBC；【线面平行】1.（2019天津）如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥ AB, AB=AD=1, AE= BC=2.求证:BF∥平面ADE；2.（2016山东节选）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC，FB的中点。