下载文档原格式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
一元二次方程的根的判别式【学习目标】1.知道什么是一元二次方程的根的判别式.2.会用判别式判定根的情况.【主体知识归纳】1.一元二次方程的根的判别式：b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c =0 (a^O)的根的判别式.通常用符号“△”来表示.2.对于一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (a z 0),当4> 0时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0时，方程有两个相等的实数根；当△< 0 时，方程没有实数根.反过来也成立.【基础知识讲解】1 .根的判别式是指△= b —4ac,而不是指△ =、、b2 4ac .2.根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的符号.3.如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2—4ac>0,不要丢掉等号.4.判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明.例题精讲】例1 ：不解方程，判别下列方程的根的情况：2(1)3x —2x —1 = 0;(2)y2= 2y—4;(3)(2k2＋1) x2—2kx＋1=0；( 4) 9x2—( p＋7) x＋p—3= 0．解：(1) •「△=( —2) —4 x 3x( —1 )= 4+ 12> 0，—原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是 y —2y + 4 = 0.T △=( —2) —4x 1 x4 = 4 —16 v 0,二原方程无实数根.(3)v 2k2 + 1工0,二原方程为一元二次方程.又•/ △=( —2k) 2—4 (2k2 + 1)x 1 = —4k2—4v0,二原方程无实数根.(4)△=[—( p+ 7)]2—4x 9x( p—3)=( p—11) 2+ 36，v不论p取何实数，(p—11) 2均为非负数，•••(p—11)2 + 36>0, 即卩△ >0,•••原方程有两个不相等的实数根.说明：(1) 运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式.(2)判别式的应用是以方程ax2 + bx+ c = 0中0为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点.⑶ 要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题.例2：已知关于x的一元二次方程(k —1)x2 + 2kx+ k + 3= 0. k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3) 方程没有实数根？解：△= (2k)2—4 (k —1) (k+ 3)=—8k + 12.(1)当一8k + 12>0,且k —1工0, 即卩kv |且k工1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当一8k + 12= 0,且k —1工0,即k= |时，方程有两个相等的实数根；(3)当一8k + 12v 0,且k —1工0,即k>1时，方程没有实数根.说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零.例3:求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(b—x)2—4(a — x)( c —x) = 0必有实数根.剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方程从形式上不能直接判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得-2 23x + (4 a + 4c —2b) x + b —4ac= 0,显然是关于x的一元二次方程，所以只要证明△》0即可.证明：略说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明．例4:如果关于x的方程x2 + 2x= 9没有实数根，试判断关于 y的方程y2+ my- 2n+ 5 = 0的根的情况.剖析：要判断y2 + my-2m+ 5= 0根的情况，只要判断△ 2= vm- 4(—2m+ 5) = m + 8m—20的取值情况即可.而x2 + 2x— m—9= 0没有实数根，可得△ i = 2—4( 一 m—9) = 4m+ 40v 0,即m v—10,而当n v—10时，吊+8m-20恒大于零，所以方程y2 + my—2m+ 5=0 有两个不等的实数根.说明：判定△的值用到了Z0所得的结论m v—10,这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.【同步达纲练习】1 .选择题(1)关于x的方程mf+ 4x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是( )A.m v 4B. m K 4 且0C. mi> 4 且0D. m v 4 且0(2)关于 x 的方程 kx2+2x—1=0 无实数根,则 k 的取值范围是B. k v—1C. k K—1 ( )D. k=—1C. 1C.不论m 为何值，方程都没有实数根D.当一1v m< 1 A .无实数根 等的实数根C.有两个相等的实数根D .要根据a 、b 、 ⑶ 关于x 的一元二次方程(k — 1)x 2 + 2kx + k+ 3 = 0有两个不相等 的实数根，则k 的最大整数值是()A . 0B.— 1 D. 2 ⑷ 方程x 2+px+ q= 0有两个相等的实数根，则p 、q 之间的关系是 ()2 2A . p — 4q^0 B. p= 2、q C. p = 4qD. p 2> 4q(5) 关于x 的方程m i x 2 — 2mx^( mH 3)= 0的根的情况是()A .当m= 0时，方程有两个相等的实数根B .当m^ 0时，方程没有实数根时，方程有实数根(6) 设a 、b 、c 为三角形的三条边长，那么关于 x 的方程b 2x 2+(b 2+ c 2— a 2) x+c 2 = 0的根的情况是()B .有两个不相c的数值确定(7)已知a、b、c是厶ABC的三条边长，且关于x的方程(c— b) x2 + 2 (b— a) x+( a— b)= 0有两个相等的实数根，那么这个三角形是A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形(8)已知方程x2— px+ vm= 0 (m存0)有两个相等的实数根，则方程 x2 + px— m=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有无实数根，不能确定2.不解方程，判断下列方程根的情况：(1) y2—2y+ 1 = 0; (2) 4x2 + 5= 10x; ( 3) t2 = 7t - 15;(4) x2—2 .5 x = 3; 2(5) 0. 1x —0. 2x + 1 = 0; (6) 3x —(2 一 . 3 ) x + 1 = 0;3 .已知关于x的方程丄“- -(m—2) x + m= 0.4(1)有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求 m的值，并求此时方程的根；(3)没有实数根，求m的最小整数值.2 2 24.求证：关于x的方程(a+ 1)x —2ax + (a+ 4) = 0没有实数根.5.已知关于x的方程x2—2mx- 3吊+ 8m—4= 0.(1)当m> 2时，试判断方程根的情况;(2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.6.(1) k是什么正整数时，方程2x2—10x + 5k = 0有两个不相等的实数根？(2)k是什么负整数时，方程 x2—4x+ 2 — k = 0有两个不相等的实数根？(3)k是什么正数时，方程(2 + k) x2 + 6kx +4k+1 = 0有两个相等的实数根？7.已知△ ABC的三边分别是a、b、c,其中a、b的长是方程x2—4( .3 + 1)x + 16 .3 = 0的两个根，且a>b,关于x的一元二次方程a(1 — x2) + c(1 + x2) + 2bx= 0有两个相等的实数根，求△ ABC的三个内角的度数和三条边的长.。
一元二次方程第2节 根的判别式和根与系数的关系【知识梳理】1、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，用配方法可得222442a ac b a b x -=+）（ac b 42-=∆称为根的判别式0＞∆，则方程有两个不相等的实数根 0＜∆，则方程没有实数根0=∆，则方程有两个相等的实数根反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系如果21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根， 则acx x a b x x =-=+2121 【诊断自测】1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．−4B ．3C ．−43D ．433．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．83C ．−83D 【考点突破】类型一：根的判别式常见题型1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．答案：见解析。
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．例2、已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．答案：见解析解析：对于等腰三角形，需要讨论a是腰还是底边。
一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=;实际问题数学问题)0(02≠=++a c bx ax设未知数，列方程实际问题的答案数学问题的解aacb b x 242-±-=解 方 程降 次开平方法配方法公式法 分解因式法检 验当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
