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数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。
1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。
3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。
§3最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ⊂。
记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。
n H 中的元素)(x P n 可表示为01()n n n P x a a x a x =+++L ，其中n a a a ,,,10L 为任意实数。
要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差)()(max min )()(max *x P x f x P x f n bx a H P n b x a n n −=−≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。
为了说明这一概念，先给出以下定义。
定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称)()(max ),(x P x f P f P f n bx a nn −=−=∆≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。
显然),(,0),(n n P f P f ∆≥∆的全体组成一个集合，记为)},({n P f ∆，它有下界0。
若记集合的下确界为,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n −=∆=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。
定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*，n n E P f =∆),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。
构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上的最佳逼近学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学姓名：学号：指导教师：日期：2012.06.20构造C[0，1]上W=&(1，x ，…，x 9)到f(x)=e x上的最佳逼近（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师摘要： 本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。
通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。
关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数最佳平方逼近一般而言，在[a , b ]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a , b ]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。
一、预备知识1．函数系的线性关系定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，在区间[a , b ]上连续，如果关系式0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ϕϕϕϕ 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。
如果函数系{ϕk (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无关，则称函数系{ϕk (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。
设)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=的全体是C [a , b ]的一个子集，记为},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ并称)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是生成集合的一个基底。
