沪科版二次根式
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《二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (3)
∠1是∠3的
，两边分别在同一条直线上.因
此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边 延长
得到的没有公共边的角
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且 ∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线.
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶 点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两 个角叫做对顶角.
动手操作 问题：怎么样画已知直线的垂线？
1.用三角尺画垂线
(1)如图，已知直线 L,作L的垂线.
A
问题：
1靠、 2画线、
这样画L的 垂线可以
O
L
画几条？
无数条
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的
垂线.
问题： 这样画L的 垂线可以
B 则所画直线AB是过
点A的直线L的垂线.
画几条？
L
A
什么叫做平方根？
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用a(a0)表 示 .
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
如图所示的值表示正方形的面积，
生活拓展
C观A察下Oa列各BD图A，C寻Ob找对D顶BACG角（E不FOc含平DH角B )
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角 ⑵ 如图b，图中共有 对对顶角 ⑶ 如图c，图中共有 对对顶角 ⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之 间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成
对对顶角 ⑸ 若有2008条直线相交于一点，则可形成 对 对顶角.
E
八年级数学下册《16.1二次根式》课件2 (新版)沪科版
第十四页，共14页。
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
沪科版初中数学八年级下册精品课件16.1 二次根式
属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5） 中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为 在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：1二次根式复习
2. a-4+ 4-a 有意义的条件是 a=4
.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）.
题型二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
2．化简： x－2－ 2－x＝____0____．
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿5 ＿＿
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
5.下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？
① 15
④ 质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －aa （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
沪科版八下数学1二次根式教学课件
(2)( 2 )2; ＝2
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
沪科版八年级数学下册 16.1《二次根式》课件(共19张PPT)
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
1 5 2 4 b b 0
指出下列哪些是二次根式？
3
5
9
a 1a 2
3
3
3
21
2
6
a b ab
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
掌握二次根式有意义的条件
a ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
2
(3) x
( 4)
1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
掌握并应用二次根式的基本性质
你如何理解“二次根式”？ •它们都带有 • 根号里的被开方数都是非负数 •
a 本身是一个非负数
a与 a 会区分
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
个非负数，是
a 表示a的算术平方根，它永远是一
a 中正的那个
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
1.二次根式的定义: 2.二次根式 a 有 意义的条件:
沪科版数学八年级下册教学课件PPT16.1 二次根式
课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
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1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
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2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
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3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
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3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．
2
4
4
2
2
2
1 3
2
2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
1二次根式沪科版数学八年级下册课件
(1 2)2 ( 2 1)2
解：原式 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
1.计算下列各题:
(1)
2
15
(2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3. a2 与 （√ a ）2 是一样的吗？
你的理由是什么，请小组讨论一下。
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的情势，例： 5 25,
0.9 0.81
( a )2与 a2 有区别吗?
1.从运算顺序来看,
a 2 先开方,后平方。
a 2 先平方,后开方。
2.从取值范围来看,
式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3 这类代数式，应把 2, 3
这些二次根式看作系数或常数项，整个代数式仍 看做整式。
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
通过上一节课的学习，凭着自己已
掌握的知识,说说对二次根式 a 的
理解！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根. 2. a可以是数,也可以是式子. 3. 情势上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
4 (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
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12
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
2 3 2 =12
3
2 3
2
=
-6
2
x xy 52 52
x3y
=3
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13
2.计 算 (1： )0 2( 33)2
解：(10 )2(33)2 10 (3)2( 3)2
10 27 17
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14
32 3
- 22 2
1
2
大家好
1
教学目标：
1、认识二次方根，理解二次方根 的双重非负性，并会根据二次方 根的双重非负性解相关练习。
2
2、认识二次方根的性质1 ： a a （a≥0）和 性质2： a2 a ；并利 用它们进行计算和化简．
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2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
x为全体实数.
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10
( 4)2 4
2
1 9
1 9
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
二次根式性质1：
性质1
2
a a (a≥0)
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11
计 算 ： （ 1） （3） 2； （ 2） （ 35） 2. 2
解：（1）（3） 2=3； 22
（2）（3 5） 2=32（5） 2=95=45.
2
1 2
02 0
二次根式性质2： a (a 0）
a2 a
a(a 0)
大家好
15
大家好
16
大家好
17
归纳
当a＞ 0 时 ，a表 示a的 算 术 平 方 根 ，a因 ＞0此 ;
当a 0时 ，a表 示0的 算 术 平 方 根 ，a因 0此 这就是说
a（ a≥ 0） 是 一 个 非.负 数
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4
一个正数有两个平方根, 它们互为相反数； 0的平方根是0；
负数没有平方根。
a（a≥0）的平方根 a，
a的算术平方根是 a .
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5
二次根式
一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二 次根号.
二次根式
含有二次根号；
被开方数为非负数.
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6
指出下列哪些是二次根式？
1 2a
2
3 a32 （a可取任意实数）
方法构想
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
Байду номын сангаас
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9
2.当x为怎样的实数时，下列各
式有意义？
1
x36x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
21x x1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为全体实数.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
用 a (a≥0)表示数a的算术平方根.
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0
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3
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ，算术平方根 ； 3 0.64 的平方根 0，.8算术平方根 ； 0.8
0 的平方根 0 ，算术平方根 . 0
大家好
18
结束
大家好
19
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb0√
二次根式满足的两
个条件是：
5a2a2√ （1）有二次根号；
（2）被开方数是非
6 abab 负数.
7 5m 8 x2√1
大家好
7
二次根式 a
被开方数a≥0；
a ≥0
双重非负性
大家好
8
1.求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1 (a≥-1) 2 1 (a 1 )