浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

浅谈初中数学中分类讨论的划分标准华育中学 黄喆在数学研究中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对他们一概而论的时候，迫使我们必须按所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们叫做分类讨论思想。

分类的根据是现代数学中集合分类的概念与逻辑学中概念划分的方法。

所谓概念的划分，就是根据它的属性来区分它的对象。

即根据它的内涵来对它的外延实行分类。

使同一类的对象具有相同的属性，不同类的对象具有不同的属性。

这些分类构成若干个新概念的外延，这些新概念就被称为从属于原来那个概念的种概念。

用来划分概念的那些属性，称为划分的标准。

然而根据分类的含义，无论是单层次还是多层次的分类，每一次的划分必须按同一标准进行，划分标准不同，划分的结果也不同。

对于初中数学而言，我大致总结了以下几种可以作为分类讨论的划分标准，供大家讨论。

1、数学概念和定义例1、若|a|=3，|b|=5，则|a+b|=分析：与绝对值相关的问题，一般要去掉绝对值号，这就要根据绝对值的概念进行分类。

解：当a 、b 同号时，|a+b|=8；当a 、b 异号时，|a+b|=2。

例2、矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是 （03上海中考第14题） 分析：“两圆相切”的问题在近两年（03、04）上海中考连续出现，考察的就是“两圆相切”包含内切和外切两种情况，然而得分率均低于50％，说明学生对于“两圆相切”这一概念掌握不深。

解：两圆外切时r 的取值范围是：1<r<8；两圆内切时r 的取值范围是：18<r<25，∴圆A 的半径r 的取值范围是1<r<8或18<r<252、定理、公式的适用范围例3、已知abc ≠0，且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线y=px ＋p 一定通过第 象限； 分析：等比性质的适用范围是a ＋b ＋c ≠0，题目中并没有交代a ＋b ＋c 的具体性质，须按照适用否等比性质进行讨论。

初中数学：分而治之（分类讨论法）分而治之【阅读与思考】1.在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法.运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类.正确分类的标准是:对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行.2.初中数学分类讨论问题的常见形式有:(1)一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；(2)题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；(3)一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；(4)一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；(5)对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论.【例题与求解】【解析】1.此题注意两种情况:(1)圆与AB相切时；(2)点A在圆内部，点B 在圆上或圆外时.2.根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解.【点评】本题利用的知识点:勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系.【解析】解此方程首先须脱去方程左边的绝对值符号，这就应对x的取值范围进行分类讨论，分类标准是应使x-2及x+3各自保持正负性不变(即x-2，x+3在分类中都不能既取正值又取负值)，这样才能根据绝对值定义去绝对值符号.【解析】解答本题的关键在于分两种情况讨论:①当k=6或9；②当k≠6且k≠9.【点评】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程.【点评】本题比较复杂，综合考查了相似三角形及直角三角形的性质，难度较大.【A级能力训练】【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题.解题思路：分高AD在△ABC内部或外部两种情况.【解析】画出图形可知有两种情况:∠BAC=∠BAD+∠CAD和∠BAC=∠BAD-∠CAD.【点评】本题考查的是三角形内角和定理及高线的概念:高线可能在三角形内部，也可能在三角形的外部.注意本题要分两种情况讨论.解法一：【解析】先在直角坐标平面内描出A、B两点,连接AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠P为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程.即可求P的坐标.【点评】本题考查了平面直角坐标系中勾股定理的运用，考查了分类讨论思想，本题中根据勾股定理计算P点的纵坐标x是解题的关键.解法二：【解析】△APB为直角三角形，A，B，P都可为直角点，A，B可各取一个，关键是P可确定几个.画图后求解即可.【点评】本题考查平面直角坐标系内点的位置关系，以及考查了一元二次方程的解的情况.【解析】在使用分类思想解数学题时，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.分类讨论一般应遵循以下原则:(1)对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准；(2)分类要完整，不重复，不遗漏；(3)有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准一定要统一.【点评】本题综合考查了圆周角定理、三角形的面积公式及特殊角的三角函数值.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解.【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可.【点评】此题考查了相似三角形的判定.【解析】【点评】此题主要考查了利用一元二次方程的判别式判定方程的根的情况，其中判别式若△>0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△<0，则方程没有实数根.【解析】先找出底为2，高为1的所有符合条件的普通平行四边形，注意变换位置；再找出长为2，宽为1的所有矩形；接下来找出边长为√2的正方形，据此即可得到答案.【解析】利用直接开平方法解方程对(1)进行判断；根据因式分解法解方程对(2)进行判断；根据分类讨论和勾股定理对(3)进行判断.【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解.【B级能力训练】【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内接四边形的性质，是一道综合性较强的题，本题有两解，学生做题时注意不要漏解.【解析】分两种情况进行分析，△DAP~△CBP或△DAP~△PBC，从而可求得点P的个数.【点评】此题主要考查相似三角形的判定及梯形的性质的综合运用.此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大.【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大.【解析】 (1)结合题意，画出相应图形帮助解答.要分两种情况来求y 关于x 的函数表达式:①点P 在边CA 上运动时y 与x 的函数关系式；②点P 在边AB 上运动时y 与x 的函数关系式；(2)依题意，y=1/4*S△ABC 求出x 的值即可.【点评】本题主要考查对相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解一元一次方程等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.【解析】(1)首先求出顶点坐标，再代入直线解析式，分析得出二次函数解析式，利用相似△BPE~△BAF，得出m的值；(2)假设△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质分析得出C点的坐标，从而求出解析式.【点评】此题主要考查了中心对称的性质，以及二次函数的对称性和等腰三角形的判定，题目综合性较强，注意从已知入手细心分析.【点评】本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法.【点评】本题主要考查了推理与论证，关键是读懂题意，从中获取有用的信息.【解析】假设出三队人数，由甲队最少，丙队最多得出，甲的取值范围，再结合比赛场数确定符合题意的人数.【点评】此题主要考查了三元一次方程的解法，以及整数解的有关知识，题目比较简单.。

中考数学思想方法专题讲座——分类讨论在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.一、分类讨论应遵循的原则： 1、分类应按同一标准进行； 2、分类讨论应逐级进行； 3、分类应当不重复，不遗漏。

二、分类讨论的主要因素：1、题设本身为分类定义；2、部分性质、公式在不同条件下有不同的结论；3、部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制；4、题目的条件或结论不唯一时；5、含参数（字母系数）时，须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；6、推理过程中，未知量的值，图形的位置或形状不确定。

三、分类类讨论的步骤：1、确定分类对象；2、进行合理分类；3、逐类讨论，分级进行；4、归纳并作出结论。

四、分类讨论的几种类型：类型一、与数与式有关的分类讨论热点1.在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，()()a aaa a≥==-⎧⎪⎨⎪⎩例1. =+==||，则5，3||若2baba。

分析：因b b2=||，故原题可转化为绝对值的问题进行讨论。

解：∵3||=a；∴x= ，∵b b2=||=5；∴x= ，，8|53|||时，5，3当=+=+==baba，2|5-3|||时，5-，3当==+==baba，2|53-|||时，5，3-当=+=+==baba，8|5-3-|||时，5-，3-当==+==baba故应填。

小结:二次根式的化简往往可转化为与绝对值相关的问题。

而去绝对值时一般要根据绝对值的概念进行分类讨论。

【练习】 1. 化简：①︱x︳=②=2. 已知│x│= 4,│y│=12，且xy<0，则xy= ．【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．3．若||3,||2,,( )a b a b a b==>+=且则A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－14．在数轴上，到－2的点的距离为3的点表示的数是．热点2：与函数及图象有关的分类讨论一次函数的增减性(k有正负之分)：【例1】已知直线y＝kx＋3与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值等于．【例2】若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，•则此函数的解析式为．0,0,k y xk y xy kx b⎧⎪⎨⎪⎩=+时随的增大而增大时随的增大而减小热点3：不等式中的分类讨论在根据不等式的基本性质解不等式时，当遇到含字母系数的一元一次不等式时，要根据系数的正负性，决定不等号的方向变化，此时需要讨论其正负性；在分式的值大于零或小于零时计算分式中某字母的取值范围，也要讨论分子分母的正负性，以此建立不等式或不等式组求解．【例1】不等式mx >n (m 、n 是常数且m ≠0)的解是 ．思路分析：x 前的系数m 的正负性不确定，故要对其讨论，再依据不等式基本性质求x 的取值．【例2】已知分式4－x 2x －3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 思路分析：欲求x 的取值范围，需要建立关于x 的不等式(组)，由“两数相除，异号得负”知4－x 与2x －3异号，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x >02x －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x <02x －3>0.分别解这两个不等式组即可．【练习】1．关于x 的一元一次不等式(2m ＋3)x >2m ＋3的解是 ．解析：分2m ＋3>0和2m ＋3<0两种情况讨论．2．若分式2x ＋3x －1的值大于零，则x 的取值范围是 ． 3.解不等式 (a +1)x ＞a 2-1.热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。

初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。

在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。

本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。

一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。

通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。

分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。

将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。

2.归纳总结。

在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。

3.统一思考。

将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。

二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。

仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。

2.分析问题。

将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。

在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。

3.解决小问题。

按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。

在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。

4.总结归纳。

在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。

5.整合答案。

将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。

在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。

三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。

例题1：现有一些白球和红球，共18个。

白球的个数不超过红球的个数。

问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。

谈初中数学教学中的分类讨论把数学问题划分为若干情况，然后逐一求解的过程叫作分类讨论。

分类讨论的基本要求是不重复、不遗漏。

数学中的分类讨论思想与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的，它可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，对养成学生严谨的思维品质有较大益处。

然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，从近几年的中考阅卷中发现，学生在解此类问题时常常是不知道要进行分类讨论，或者知道了要分类讨论却考虑不周全，导致解答此类问题时得分率偏低。

究其原因，主要是平时的教与学中对“分类讨论”的数学思想渗透不够，学生对分类讨论思想的运用不熟练。

以下就四种常见的问题，分别举例说明：一、应用问题中的分类讨论在小学数学问题中，答案往往是唯一的，导致学生思维的单向性倾向较明显。

当初中引入字母代替数的概念后，问题的多样性逐渐显现，学生的简单思维常常不能适应这样的变化。

在一些应用问题中，由于变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

解决这类问题时，要做到分析清楚问题中变量在整个过程中会造成质变的临界点，即变量的不同取值会对问题产生哪些不同的结果，把它们一一罗列出来，系统地分类，才能正确求解。

例1：某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。

厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。

方案一：买一套西装送一条领带;方案二：西装和领带均按定价的90%付款（两种优惠方案不可同时采用）。

某商店老板要到该服装厂购买西装20套和领带若干条（超过20条），请你帮助商店老板选择一种较省钱的购买方案。

分析：因已知条件中未明确所购领带的具体数量，因而较省钱的购买方案是不确定的，而是由不同的领带购买数量所决定的。

解:设商店老板需购买领带x条，则按方案一购买，应付款200×20+(x-20)×40=40x+3200(元)；按方案二购买，应付款(200×20+40x)×90%=36x+3600(元)。

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；. 分类讨论概述
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；
(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．
引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．
注：能回避分类讨论的尽可能回避．。

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。

分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。

当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。

分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。

分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a =，4b =且a b ＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m 。

2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=，求1x x+的值。

【例4】分式22943x x x --+的值为0，则x= （ ）A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程（组）中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根，求a 的取值范围。

【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。

张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。

如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。

已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。

【前言】 考虑问题要全面一、什么是分类讨论思想如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解决问题的思想叫做分类讨论。

二、“分类讨论”的解题步骤1、明确要分类进行讨论的对象（留意讨论对象的取值范围）；2、原则：正确选择分类的标准，进行合理分类 （确定分类的标准是重点、难点）；3、归纳并作出结论；三、分类的原则1、不重复例1 对三角形进行分类，把三角形划分为：锐角三角形 、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形分析：等腰三角形划分进来不恰当，分类的标准不一致，产生重合要么按角划分、要么按边划分回顾：书本对于有理数的划分，按照正负分，按整数分数分2、不遗漏例2 比较a 与－a 比较大小分析：a 的正负无法确定，故需要按照0,0,0a a a ><=分3种情况来讨论，不要遗漏0a =的情况3、逐层分类例3 已知0,0,,a ab b c a <>>>化简c a b a c b c a -+--+++2分析：除了对C 取值进行分类外，还需要进一步对2a c -进行分类讨论详细解答见--数形结合（答案）四、哪些地方可能会出现分类讨论从代数和几何的角度看都有可能。

其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题【题型划分】【1、有理数概念、定义】例1 下列个数中：1330.70125---，，，，，中负分数有 个；负整数有 个；自然数有 个例2 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 所对应的数为___________练习1、⑴在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．⑵①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．2、⑴下列说法正确的是（ ）A 、a -表示负有理数B 、一个数的绝对值一定不是负数C 、两个数的和一定大于每个加数D 、绝对值相等的两个有理数相等⑵两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ ）A 、这两个加数的符号都是正的B 、这两个加数的符号都是负的C 、这两个加数的符号不能相同D 、这两个加数的符号不能确定3、已知点A 在数轴上对应的数是1，点B 对应的数是－2，数轴上动点甲和乙，甲从A 出发，开始以每秒1个单位长度移动，乙从B 出发，开始以每秒2个单位长度移动，若甲、乙两点同时开始移动，移动3秒钟后，甲、乙两点甲点对应的数是几？乙点对应的数是几？【2、绝对值中的a a 型】 当0a >时，1a a a a ==；当0a <时，1a a a a==-。

浅谈数学中的分类讨论思想在中学数学中，分类讨论的数学思想是颇为常见的．用代数语言表述事物具有一般性．通常用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，还可以是负数．当含有字母的式子用来表示几何关系时，就可能出现不同的情况．因此，分类讨论是不可避免的．分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同类的逻辑方法．分类也叫划分．分类是以比较为基础的，通过比较认识对象之间的异同，根据相同点将对象归纳为较大的类，根据差异点将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统．分类的目的在于使知识合理化，进而系统化．分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据．母项是被划分的总概念，子项是划分后的类概念，划分的根据就借以划分为标准．分类的标准在于根据对象本身的某种属性和关系来进行划分．由于客观事物有多方面的属性，事物之间有多方面的联系，因此，分类的标准也是多方面的，可根据不同的需要采用不同的分类标准，对事物进行不同的分类．但每一次分类应按照同一标准进行，所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度．任何分类必须遵循以下原则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象．1．分类具有同一标准性．在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则不如说是方法．它有两层意思：一是判断概念应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清．2．分类具有完备性．分类所得各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等．从量方面要求一个都不能丢掉．从集合观念看，被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误．2．分类具有纯粹性．分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系．从集合的角度看，被分成的任何两类之间的不相交，即无共同元素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准或关系的不能属于同一类，即各属概念外延之交集为空集．如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了第二个原则，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病．所谓分类是根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法．分类也叫划分．分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统．分类讨论的目的在于使知识组成条理化、系统化．而分类的标准是母项、子项和根据．母项是被划分的种概念，子项是划分后得到的类概念，划分的根据就是借以划分的标准．分类讨论的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行用分类讨论思想解题的一般步骤：（1）确定分类讨论的对象．（2）进行合理的分类讨论．（3）逐步逐级分类讨论．（4）综合归纳结论．分类讨论的常规方法：（1）依据数学公式、原则、法则的适用范围进行．如等比数列求和公式．（2）根据数学概念的定义进行分类．如绝对值、直线与平面所成的角等．（3）根据数形结合分类．如集合的交、并、补用数轴讨论．（4）依据位置关系进行分论．如几何中点与点，点与线，面与面等位置关系．（5）依据数学性质进行分类．如偶次算术根的性质，二次函数、幂函数的性质．（6）依据参数的变化范围进行分类．（7）依据整数的奇偶性进行分类．在中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况主要有：(1)给概念下定义和对概念进行归纳总结．关于绝对值的概念，可以有这样一种定义方式：（２）定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式．在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的．同样，在中学数学的解题教学中，无论是计算题、作图题还是论证题等，运用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证，从而获得合理的解题思路和方法．（３）对已有结论进行推广．此外，我们还可以在已有结论的范围基础上，对尚未讨论的情况进行探究，从而达到对结论的扩展和推广．如，在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论．再如，若我们已经推导出了圆台（或棱台）中截面的面积公式，那么，我们可以进一步推导其它位置的截面的面积公式．运用分类讨论思想可以解决许多数学问题．一、代数（一）数、式。