2020届高考数学专题一函数的图象与性质精准培优专练理

高考数学函数的图像专题卷一、单选题（共28题；共56分）1. ( 2分) （2020高三上·兴宁期末）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )．A. B.C. D.2. ( 2分) （2021高三上·宝安月考）函数的图象大致为（）A. B.C. D.3. ( 2分) （2021高三上·河南月考）函数的大致图象为（）A. B.C. D.4. ( 2分) （2021高三上·河北期中）函数的图象大致为（）A. B.C. D.5. ( 2分) （2021高三上·湖北期中）函数的图象大致为（）A. B.C. D.6. ( 2分) （2021·芜湖模拟）函数的部分图象可能为（）A. B.C. D.7. ( 2分) （2020高三上·天津月考）函数的图象大致是（）A. B. C. D.8. ( 2分) 函数的图象大致为（）A. B.C. D.9. ( 2分) （2020高三上·杭州期中）函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.10. ( 2分) （2021高三上·赣州期中）已知函数，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.11. ( 2分) （2021高三上·湖州期中）函数的图象可能是（）A. B. C. D.12. ( 2分) （2021高三上·金华月考）已知，函数，，则图象为上图的函数可能是（）A. B. C. D.13. ( 2分) （2021高三上·杭州期中）函数的图象可能是（）A. B.C. D.14. ( 2分) （2021高三上·陕西月考）在同一直角坐标系中，函数，，（，且）的图像可能是（）A. B.C. D.15. ( 2分) （2021高三上·贵州月考）函数f（x）= 的大致图象不可能是（）A. B.C. D.16. ( 2分) （2020高三上·温州月考）函数的图像可能是（）A. B.C. D.17. ( 2分) （2021·四川模拟）函数及，则及的图象可能为（）A. B.C. D.18. ( 2分) 已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=log a （x﹣k）的大致图象是（）A. B. C. D.19. ( 2分) （2021高三上·重庆月考）函数的大致图象如图所示，则a，b，c 大小顺序为（）A. B. C. D.20. ( 2分) （2021·株洲模拟）若函数的大致图象如图所示，则（）A. B. C. D.21. ( 2分) （2020高三上·浙江开学考）已知函数的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（）（1），（2），（3），（4）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个22. ( 2分) 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A. B.C. D.23. ( 2分) （2021·新乡模拟）如图，在正方形中，点M从点A出发，沿向，以每2个单位的速度在正方形的边上运动；点N从点B出发，沿方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点M第一次到达点A 时，的图象为（）A. B.C. D.24. ( 2分) （2017高三上·九江开学考）如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（0，1）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A. B.C. D.25. ( 2分) 在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A. B. C. D.26. ( 2分) 如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A. B.C. D.27. ( 2分) （2013·江西理）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A. B.C. D.28. ( 2分) （2016高三上·崇明期中）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f （x），则y=f（x）的大致图象是（）A. B.C. D.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除B，由当时，y=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.由此可排除A和C，故正确的选项为D.故答案为：D.【分析】利用奇函数的定义证出函数为奇函数，再利用奇函数的图象关于原点对称的性质结合特殊值法及函数值与0的大小关系，再利用排除法得出函数y＝xcos x＋sin x的大致图象。

1例2.已知函数f(x)2x 2x a ,x[1, )■2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求函数的定义域、值域A--------------------------------------- ------------------------------------------------------------例 1 ( 1)函数 f(x) —In C ，x 2 3x 2 . x 2 3x 4)的定义域为()xA.(, 4)[2,)；B. ( 4,0) (0,1) ； C. [, 4,0)(0,1]Q . [, 4,0)(0,1)(2)设 fxIg 2x，则 f x f 2的定义域为()2x2xA. 4,0 0,4；B.4, 1 1,4 ； C. 2,11,2 ；D.4, 22,4【答案】( 1)D ； (2) B【解析】(1)欲使函数f (x)有意义，必须并且只需x 2 3x 2 0 2x 3x 4-------------- --------------------- x [ 4,0) (0,1)，故应选择 Dx 2 3x 2 x 2 3x 4 0x 0【易错点】抽象函数的定义域【思维点拨】 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为 0;②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幕中，底 数不等于0；⑤负分数指数幕中，底数应大于 0;⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集 合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意 定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

求复合函数定义域，即已知函数f (x)的定义为［a,b ］，则函数f ［g(x)］的定义域是满足不等式 a g(x) b 的x 的取值范围；一般地，若函数f ［g(x)］的定义域是［a,b ］， 指的是x ［a,b ］，要求f (x)的定义域就是x ［a,b ］时g(x)的值域。

2020届高考数学命题猜想函数﹑基本初等函数的图像与性质2【考向解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.【命题热点突破一】函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T＝|a|.f x例1、【2017北京，文5】已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【变式探究】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 所以，所以，即(1)0f =，，所以.【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x =-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【变式探究】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【变式探究】(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x 1)](x2－x1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c(2)设函数f(x)＝ex(2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32e ，1 【解析】(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f(x)的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c.选D.【高考真题解读】1. （2018年浙江卷）函数y=sin2x 的图象可能是A.B. C. D.【答案】D2. （2018年全国III 卷）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C，故正确答案选D.3. （2018年全国卷Ⅱ）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B4. （2018年天津卷）已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.5. （2018年全国I卷）设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图像画出来，f x3.【2017北京，文5】已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B【解析】，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B. 4.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D5.【2017课标1，文9】已知函数，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】由题意知，，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．1.【2016高考新课标3文数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】因为，，所以b a c <<，故选A ．2.【2016年高考北京文数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.C. D.【答案】C3.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为，所以排除A 、B 选项；当[]0,2x ∈时，有一零点，设为x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

考点10 函数的图像1．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．2．通过绘制函数的图象,下列对其图象的对称性描述正确的一项是A．既是轴对称图形,又是中心对称图形B．是轴对称图形,不是中心对称图形C．是中心对称图形,不是轴对称图形D．既不是轴对称图形,也不是中心对称图形3．函数的图象是A．B．C．D．4．若定义在上的偶函数，满足且时，，则方程的实根个数是（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（）6．函数的图像可能是（）A．B．C．D．7．函数的图象是()A．B．C．D．8．函数关于直线对称，则函数关于（）A．原点对称B．直线对称C．直线对称D．直线对称9．下列四个图中，函数的图象可能是A．B．C．D．10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=-2x+1，设函数，则函数f(x)与g(x)的图象交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．611．函数的图象大致为A．B．C．D．12．定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为A．1 B．2 C．3 D．413．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A．B．C．D．14．点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P 经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．15．如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为"好点"．下列四个点P1（1，1），P2（1，2），P3（，），P4（2，2）中，"好点"有（）个A．1 B．2 C．3 D．416．已知函数，则的大致图象为（）A．B．C．D．17．函数的图象大致是（）A．B．C．D．18．函数的部分图像为A．B．C．D．19．已知函数，则的图象大致为( )A．B．C．D．20．函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．21．已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是_____（用符号“＜“连接起来）．22．函数满足,,当时, ,过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有个交点,则的取值范围为_________．23．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．。

狂刷14三角函数的图象与性质1．函数2()sin f x x =是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．函数π()2sin +6()2f x x =-的一个单调递增区间是A ．ππ[]63-，B ．π5π[]36，C ．ππ[]36-，D ．π2π[]63，3．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数的图象A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度4．若直线π(01)x a a =<<与函数tan y x =的图象无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为A ．ππ{|ππ,}62x k x k k +≤<+∈Z B ．ππ{|ππ,}42x k x k k +≤<+∈Z C ．ππ{|ππ,}32x k x k k +≤<+∈ZD ．ππ{|ππ,}44x k x k k -≤≤+∈Z5．若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ的值可能为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 6．已知函数()2sin 2f x x =，函数()34sin 4g x x x =+，则A ．将函数()f x 的图象的横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移12π个单位，可得函数()g x 的图象 B ．将函数()f x 的图象的横坐标压缩为原来的12，再向左平移12π个单位，可得函数()g x 的图象C ．将函数()f x 的图象的横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移6π个单位，可得函数()g x 的图象 D ．将函数()f x 的图象的横坐标压缩为原来的12，再向左平移6π个单位，可得函数()g x 的图象 7．已知函数22()cos sin ()6f x x x π=++，则 A ．()f x 的最小正周期为2π，最小值为12- B ．()f x 的最小正周期为π，最小值为12-C ．()f x 的最小正周期为2π，最小值为12D ．()f x 的最小正周期为π，最小值为128．将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度可得函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π9．已知函数23()cos(2)sin(2)32f x x x ππ=-+-，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是A ．π(,0)12-B ．π(,1)3C ．5π(,0)12D ．π(,0)1211．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<满足()()f x f x -=-，且直线2y =函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则 A ．()f x 在π(0,)4上单调递减B ．()f x 在π3π(,)88上单调递减C ．()f x 在π(0,)4上单调递增D ．()f x 在π3π(,)88上单调递增 12．已知函数()3cos f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =<，则下列结论正确的是A ．21x x -的最小值是2πB ．124ππ()3x x k k +=+∈Z C ．12()()4f x f x +<D ．函数()f x 在24(,)33ππ上单调递减13．已知函数()sin(π)(02π)f x x ϕϕ=+<<在2x =处取得最大值，则ϕ=______________．14．已知函数()2cos()(0,)f x x ωϕωϕ=->-π<<π的部分图象如下图所示，则ϕ=______________．15．若将函数()cos 2()()0πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π12个单位长度所得到的图象关于原点对称，则ϕ=______________．16．若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+><<π的图象经过点(,2)6π，且相邻两条对称轴之间的距离为2π，则()4f π-=______________． 17．函数()sin (0,0())f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则11π()24f =______________．18．函数ππ()sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<在区间ππ(,)42上是增函数，则 A ．π()14f =-B ．()f x 的周期为π2C ．ω的最大值为4D ．3π()04f = 19．已知函数()cos()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下所示，其中π(,0)2A ，3π(,2)2B 是函数()f x 图象的一个最高点，则当5π[2π,]4x ∈--时，函数()f x 的最小值为A ．1-B ．22-C ．2-D ．2-20．关于函数π()3sin(2)1()3f x x x =-+∈R ，下列命题正确的是A ．由12())1(f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．函数()f x 的表达式可改写成π()3cos(2)16f x x =++ C ．函数()f x 的图象关于点3π(,1)4对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称21．如图是函数()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象，为了得到函数1()2sin 2g x x =的图象，可将函数()f x 的图象右平移A ．13个单位长度 B ．3个单位长度 C ．2个单位长度D ．π3个单位长度 22．“3π4ϕ=”是函数“cos2y x =与函数sin(2)y x ϕ=+在区间π[0,]4上的单调性相同”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件23．已知函数π()3)cos (03)2f x x x ωωω=--<<的图象过点π(,0)3P ，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数()f x 的图象A ．向左平移2π3个长度单位B ．向右平移2π3个长度单位 C ．向左平移π3个长度单位D ．向右平移π3个长度单位24．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><<满足下列两个条件：①函数()12y f x π=-是奇函数；②12max |()()|2f x f x -=，且12min (||)3x x π-=．若函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，则实数t 的最小值为A ．4πB ．3π C ．512πD ．127π25．已知函数π3()cos()3π)(0)22f x x x ωωω=-+<<的图象过点5π(,2)3，则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度26．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=+>，当|()()|4f m f n -=时，||m n -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为A ．9πB ．6π C ．29πD ．3π27．已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，且()f x 在ππ(,)1224-上是单调函数，则ω的最大值为A ．3B ．5C ．7D ．928．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<，若π()()()12f m f x f ≤≤对任意实数x 恒成立，且π||12m -的最小值为π2，则π()8f =______________．29．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的最小正周期为2π3，当π[0,]3x ∈时，函数()()g x f x m =+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______________．30．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=+>，A ，B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，若||5AB =，则(1)f =______________．31．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=>，若集合{(0,π)|()1}x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是______________． 32．将()2sin22cos21f x x x =+的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法中正确的个数是______________． ①函数()y g x =的最小正周期是π；②函数()y g x =的一条对称轴是π8x =； ③函数()y g x =的一个零点是3π8；④函数()y g x =在区间π5π[,]128上单调递减．33．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增 ③()f x 在[,]-ππ有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③34．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．c s |)2(|o f x x =B ．s n |)2(|i f x x =C ．()c |os |f x x =D ．()s |in |f x x =35．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④36．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()24g π=3()8f π= A ．2- B ．2- C 2D ．237．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π38．【2018年高考天津卷理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减39．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知曲线C 1：cos y x =，C 2：sin(22π3)y x =+，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 240．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设函数cos π()()3f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2，π)单调递减 41．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=42．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为______________．43．【2018年高考北京卷理数】设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______________．44．【2018年高考江苏卷】已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是______________．1．函数2()sin f x x =是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数【答案】D【解析】因为函数2()sin f x x =，所以22()sin ()sin ()f x x x f x -=-==，∴函数2sin y x =为偶函数，函数2sin y x ==1cos22x -，∴最小正周期为T =2π2=π， 故选D ．【名师点睛】本题考查主要三角函数的奇偶性、二倍角的余弦公式的应用、三角函数最小正周期公式T =2π||ω，属于基础题．首先由()()f x f x -=判断函数为偶函数；利用二倍角的余弦公式化简()f x 11cos222x =-，根据求最小周期公式得出结论． 2．函数π()2sin +6()2f x x =-的一个单调递增区间是A ．ππ[]63-，B ．π5π[]36，C ．ππ[]36-，D ．π2π[]63，【答案】B【解析】∵π()2sin +6()2f x x =-，∴π()2sin(2)6f x x =--． 令ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ． 取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π[]36，．故选B ．【名师点睛】（1）根据诱导公式将函数π()2sin +6()2f x x =-转化为π()2sin(2)6f x x =--，再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间，对照各选项即可得到答案．（2）函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：①max y A B =+，min y A B =-；②周期为2πT ω=；③由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；④由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间，由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间． 3．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数的图象A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度【答案】B【解析】由题意，函数()ππsin 2sin[2()]36y x x =-=-，所以为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移π6个单位长度，故选B ．【名师点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x 的系数是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．先化简函数()ππsin 2sin[2()]36y x x =-=-，再根据三角函数的图象变换，即可求解．4．若直线π(01)x a a =<<与函数tan y x =的图象无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为A ．ππ{|ππ,}62x k x k k +≤<+∈Z B ．ππ{|ππ,}42x k x k k +≤<+∈Z C ．ππ{|ππ,}32x k x k k +≤<+∈ZD ．ππ{|ππ,}44x k x k k -≤≤+∈Z【答案】B【解析】由题意得直线是正切函数的渐近线，所以12a =，tan 1x ≥， 所以ππππ,42k x k k +≤<+∈Z ， 故选B ．5．若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ的值可能为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】C【解析】将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位可得sin(2)3y x ϕπ=-+的图象． 由题可得3k ϕπ-+=π，k ∈Z ，即3k ϕπ=π+，k ∈Z ，当0k =时，可得3ϕπ=，故选C ．6．已知函数()2sin 2f x x =，函数()34sin 4g x x x =+，则A ．将函数()f x 的图象的横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移12π个单位，可得函数()g x 的图象 B ．将函数()f x 的图象的横坐标压缩为原来的12，再向左平移12π个单位，可得函数()g x 的图象C ．将函数()f x 的图象的横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移6π个单位，可得函数()g x 的图象D ．将函数()f x 的图象的横坐标压缩为原来的12，再向左平移6π个单位，可得函数()g x 的图象【答案】B【解析】由题可得()34sin 42sin(4)3g x x x x π=+=+， 故将函数()f x 的图象的横坐标压缩为原来的12，再向左平移12π个单位， 可以得到函数()g x 的图象， 故选B ．7．已知函数22()cos sin ()6f x x x π=++，则 A ．()f x 的最小正周期为2π，最小值为12- B ．()f x 的最小正周期为π，最小值为12-C ．()f x 的最小正周期为2π，最小值为12D ．()f x 的最小正周期为π，最小值为12【答案】D【解析】由题可得函数1111111()(1cos2)[1cos(2)]cos2(cos222322222f x x x x x π=++-+=++-- 3131)cos21sin(2)1426x x x x π=+=++， 则函数()f x 的最小正周期为π，最小值为11122-+=， 故选D ．8．将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度可得函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π【答案】A【解析】将()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度得到()cos(2)3g x x ϕπ=-+的图象， 因为函数()g x 的图象关于原点对称，所以32k ϕππ-+=π+，k ∈Z ，即6k ϕ5π=π+，k ∈Z ．令1k =-，可得||ϕ的最小值为6π，故选A ．9．已知函数23()cos(2)sin(2)32f x x x ππ=-+-，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π【答案】A【解析】由题可得1331()cos 22cos 22cos 2sin(2)226f x x x x x x x π=-++=+=+， 所以()sin[2()]sin(22)66g x x x ϕϕππ=++=++，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以2,62k k ϕππ+=+π∈Z ， 即,62k k ϕππ=+∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值是6π． 故选A ．10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是A ．π(,0)12-B ．π(,1)3C ．5π(,0)12D ．π(,0)12【答案】D 【解析】由2ππω=，解得2ω=，可得()sin(2)f x A x ϕ=+，再由函数图象关于直线π3x =对称，故π2π()sin()33f A A ϕ=+=±， 故可取π6ϕ=-，所以函数π()sin(2)6f x A x =-，令π2π,6x k k -=∈Z ，可得ππ,212k x k =+∈Z ， 故函数的对称中心为ππ(,0),212k k +∈Z ， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是π(,0)12，故选D ．【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．由函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由ππ2x k ωϕ+=+可得对称轴方程；由πx k ωϕ+=可得对称中心横坐标．对于本题，由周期求出2ω=，再由图象关于直线π3x =对称，求得π6ϕ=-，得到函数π()sin(2)6f x A x =-，π2π,6x k k -=∈Z 求得ππ,212k x k =+∈Z ，从而得到图象的一个对称中心． 11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<满足()()f x f x -=-，且直线2y =函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则 A ．()f x 在π(0,)4上单调递减 B ．()f x 在π3π(,)88上单调递减C ．()f x 在π(0,)4上单调递增D ．()f x 在π3π(,)88上单调递增【答案】D【解析】Q 函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<满足()()f x f x -=-， ∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 经过点(0,0)，3π4ϕ∴=， Q 直线2y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2， ∴函数的周期π2T =，2π4π2ω∴==，()2π)24f x x x ∴=+=-．当π3π88x <<时，π3π422x <<，∴函数()f x 在π3π(,)88上单调递增． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的性质，根据题中的奇偶性和周期求出函数的表达式，然后求得其单调性，有一定的综合性．由()()f x f x -=-得函数为奇函数，代入(0,0)，求出ϕ，然后再根据周期求出ω，从而计算三角函数的表达式，得到其单调性．12．已知函数()3cos f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =<，则下列结论正确的是A ．21x x -的最小值是2πB ．124ππ()3x x k k +=+∈Z C ．12()()4f x f x +<D ．函数()f x 在24(,)33ππ上单调递减【答案】D【解析】由题可得π()2sin()6f x x =-，当1π6x =，27π6x =时，12()()0f x f x ==，此时21x x -=π，故选项A 不正确；当1π3x =，27π3x =时，121()()2f x f x ==，此时122π2π3x x +=+，故选项B 不正确；因为2()2f x -≤≤，所以124()()4f x f x -≤+≤，故选项C 不正确；当2433x ππ<<时，7266x πππ<-<，所以函数()f x 在24(,)33ππ上单调递减，故选项D 正确．故选D ． 【名师点睛】（1）求三角函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式化简，并注意复合函数单调性的规律（同增异减）；（2）求形如(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+（其中0ω>）的单调区间时，要视“x ωϕ+”为一个整体，通过解不等式求解．但如果0ω<，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；（3）对于函数(n )si y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点0(,)0x 是不是函数的对称轴或对称中心时，可通0()f x 的值进行判断；（4）函数(n )si y A x ωϕ=+和(s )co y A x ωϕ=+的最小正周期为2||ωπ，函数()tan y x ωϕ=+的最小正周期为||ωπ． 13．已知函数()sin(π)(02π)f x x ϕϕ=+<<在2x =处取得最大值，则ϕ=______________．【答案】π2【解析】由题得πsin(2π)1,sin 1,2ϕϕϕ+=∴=∴=． 14．已知函数()2cos()(0,)f x x ωϕωϕ=->-π<<π的部分图象如下图所示，则ϕ=______________．【答案】56π 【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，则由题可得353()41234T πππ=--=，即T =π， 所以2T ωπ=2=，所以52212k ϕπ⨯-=π，k ∈Z ，即2k ϕ=-π+56π，k ∈Z ， 因为ϕ-π<<π，所以56ϕπ=．15．若将函数()cos 2()()0πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π12个单位长度所得到的图象关于原点对称，则ϕ=______________．【答案】π3【解析】将函数()cos 2()f x x ϕ=+的图象向左平移π12个单位所得到的图象对应的解析式为ππcos[2()]cos(2)126y x x ϕϕ=++=++由题意得函数，则函数πcos(2)6y x ϕ=++为奇函数，∴πππ,62k k ϕ+=+∈Z ，∴ππ,3k k ϕ=+∈Z ，又0πϕ<<，∴π3ϕ=． 【名师点睛】（1）先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得ϕ． （2）关于三角函数的奇偶性有以下结论：①函数y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数．②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k ∈Z )；若该函数为偶函数，则有φ＝kππ2+(k ∈Z )． ③若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kππ2+(k ∈Z )；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k ∈Z )． 16．若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+><<π的图象经过点(,2)6π，且相邻两条对称轴之间的距离为2π，则()4f π-=______________． 【答案】3-【解析】因为相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以2ωπ=π， 解得2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+．因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以sin(13ϕπ+=）， 所以2()32k k ϕππ+=π+∈Z ，即2k ϕ=π+()6k π∈Z ，因为0ϕ<<π，所以6ϕπ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，所以()2sin 426()f πππ-=-+=3-17．函数()sin (0,0())f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则11π()24f =______________．【答案】1-【解析】由函数的最小值可知2A =，函数的周期7ππ4()π123T =⨯-=，则2π2π2πT ω===， 当7π12x =时，73π2π2π()122x k k ωϕϕ+=⨯+=+∈Z ，据此可得π2π()3k k ϕ=+∈Z ， 令0k =可得π3ϕ=，则函数的解析式为π()2sin(2)3f x x =+，所以11π11ππ5π()2sin(2)2sin 1242434f =⨯+==-． 【名师点睛】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．18．函数ππ()sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<在区间ππ(,)42上是增函数，则 A ．π()14f =-B ．()f x 的周期为π2C ．ω的最大值为4D ．3π()04f =【答案】C【解析】因该函数的最小正周期是2πT ω=，故由题设可得区间ππ(,)42的长度ππ1242T -≤， 即ππ44ωω≤⇒≤，所以选项C 正确； 又因为区间ππ(,)42的端点都取不到，所以选项A ，D 都是错误的．故选C ．19．已知函数()cos()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下所示，其中π(,0)2A ，3π(,2)2B 是函数()f x 图象的一个最高点，则当5π[2π,]4x ∈--时，函数()f x 的最小值为A ．1-B ．2C ．2-D ．2-【答案】D【解析】依题意，2A =，3π4T =，故4π3T =，则2π32T ω==，故3()2cos()2f x x ϕ=+． 将π(,0)2A 代入可得3ππ2π()222k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()4k k ϕ=-+∈Z ，因为||πϕ<，所以π4ϕ=-，故3π()2cos()24f x x =-．因为5π[2π,]4x ∈--，所以315π[3π,]28x ∈--，则3π13π17π[,]2448x -∈--， 故函数()f x 的最小值为2-， 故选D ．20．关于函数π()3sin(2)1()3f x x x =-+∈R ，下列命题正确的是A ．由12())1(f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．函数()f x 的表达式可改写成π()3cos(2)16f x x =++C ．函数()f x 的图象关于点3π(,1)4对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称【答案】D【解析】函数π()3sin(2)1()3f x x x =-+∈R ，最小正周期为2ππ2T ==． 对于A ：由12())1(f x f x ==，可能1x 与2x 关于其中一条对称轴是对称的，此时12x x -不是π的整数倍，故A 错误；对于B ：由诱导公式可得πππ5π()3sin(2)13cos[(2)]13cos(2)13236f x x x x =-+=--+=-+，故B 错误；对于C ：令3π4x =，可得3π3ππ15()3sin(2)13()144322f =⨯-+=⨯--=-，故C 错误； 对于D ：当π12x =-时，可得πππ()3sin()113121263f -=--+=-⨯+=-，所以()f x 的图象关于直线π12x =-对称，故D 正确．故选D ．21．如图是函数()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象，为了得到函数1()2sin 2g x x =的图象，可将函数()f x 的图象右平移A ．13个单位长度 B ．3个单位长度 C ．2个单位长度D ．π3个单位长度 【答案】D【解析】由已知可得函数()f x 的周期2ππ4()4π33T =+=，所以2π14π2ω==， 因为点π(,0)3-在函数()f x 的图象上，所以1πsin[()]023ϕ⨯-+=，因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=，所以1π()2sin()26f x x =+，因为π1ππ1()2sin[()]2sin 32362f x x x -=-+=，所以将函数()f x 的图象右平移π3个单位长度可得函数1()2sin 2g x x =的图象， 故选D ． 22．“3π4ϕ=”是函数“cos2y x =与函数sin(2)y x ϕ=+在区间π[0,]4上的单调性相同”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可得函数cos2y x =在区间π[0,]4上单调递减， 当3π4ϕ=时，函数3πsin(2)4y x =+，π[0,]4x ∈，可得3π3π5π2[,]444x +∈， ∴函数3πsin(2)4y x =+在区间π[0,]4上单调递减， 当3π2π4ϕ=+时，函数3πsin(2)4y x =+在区间π[0,]4上单调递减， ∴“3π4ϕ=”是函数“cos2y x =与函数sin(2)y x ϕ=+在区间π[0,]4上的单调性相同”的充分而不必要条件． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：①由条件p 能否推得条件q ；②由条件q 能否推得条件p ．23．已知函数π()3)cos (03)2f x x x ωωω=--<<的图象过点π(,0)3P ，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数()f x 的图象A ．向左平移2π3个长度单位 B ．向右平移2π3个长度单位 C ．向左平移π3个长度单位D ．向右平移π3个长度单位【答案】B【解析】函数π()3cos 2sin()6f x x x x ωωω=-=-．由已知πππ()2sin()0336f ω=⨯-=，所以πππ()36k k ω-=∈Z ，解得13()2k k ω=+∈Z ． 因为03ω<<，所以0k =，12ω=，所以1π()2sin()26f x x =-．令1πππ()262x k k -=+∈Z ，得4π2π3x k =+（k ∈Z ），所以函数()f x 的对称轴为4π2π3x k =+（k ∈Z ）． 0k =时，对称轴方程为4π3x =；1k =-时，对称轴方程为2π3x =-． 要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移4π3个长度单位，或向右平移2π3个长度单位．故选B ．24．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><<满足下列两个条件：①函数()12y f x π=-是奇函数；②12max |()()|2f x f x -=，且12min (||)3x x π-=．若函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，则实数t 的最小值为A ．4πB ．3πC ．512πD ．127π【答案】C【解析】由12max |()()|2f x f x -=可得1A =，由12min (||)3x x π-=可得23T π=， 所以223T ωππ==，解得3ω=，所以()sin(3)f x x ϕ=+，所以()sin(3)124y f x x ϕππ=-=+-， 因为函数()12y f x π=-是奇函数，所以()4k k ϕπ-=π∈Z ，即()4k k ϕπ=π+∈Z ，因为02ϕπ<<，所以4ϕπ=，所以()sin(3)4f x x π=+，当4x t π-<≤时，33244x t πππ-<+≤+，因为函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，所以3342t ππ+≥，即512t π≥，故实数t 的最小值为512π．故选C ．25．已知函数π3()cos()3π)(0)22f x x x ωωω=-+<<的图象过点5π(,2)3，则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度【答案】A【解析】由题可得π()sin 32sin()3f x x x x ωωω==-，因为点5π(,2)3在函数()f x 的图象上，所以5π5ππ()2sin()2333f ω=-=， 所以5πππ2π()332k k ω-=+∈Z ，即61()52k k ω=+∈Z ， 因为302ω<<，即6130522k <+<，解得55126k -<<， 又k ∈Z ，所以0k =，12ω=，所以()f x =1π12π2sin()2sin[()]2323x x -=-， 故要得到函数()f x 的图象，只需将函数12sin 2y x =的图象向右平移2π3个单位长度．故选A ．26．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=+>，当|()()|4f m f n -=时，||m n -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为A ．9πB ．6π C ．29πD ．3π【答案】C【解析】由题可得()3cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+，因为当|()()|4f m f n -=时，||m n -的最小值为3π， 所以函数()f x 的最小正周期2233T ππ=⨯=，则223ωππ=，解得3ω=，所以()f x =2sin(3)6x π+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位后得到函数2sin[3()]6y x ϕπ=-+=2sin[3(3)]6x ϕπ+-的图象，因为函数2sin[3(3)]6y x ϕπ=+-的图象关于y 轴对称，所以36ϕπ-=()2k k ππ+∈Z ， 解得()39k k ϕππ=--∈Z ，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2399πππ-=． 故选C ．27．已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，且()f x 在ππ(,)1224-上是单调函数，则ω的最大值为 A ．3 B ．5 C ．7D ．9【答案】B【解析】∵π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，∴ππ()4424kT T --=+，即π21()24k T k +=∈Z ． 又2πT ω=，0ω>，∴*21()k k ω=+∈N ，又()f x 在ππ(,)1224-上是单调函数，∴ππ()24122T --≤，∵2πT ω=，∴8ω≤． 当3k =，7ω=时，()sin(7)f x x ϕ=+，由π4x =是函数()f x 最小值点的横坐标知π4ϕ=-，此时，()f x 在ππ(,)1228--上递减，在ππ(,)2824-上递增，不满足()f x 在ππ(,)1224-上是单调函数，舍去；当2k =，5ω=时，()sin(5)f x x ϕ=+，由π4x =是函数()f x 最小值点的横坐标知π4ϕ=，此时()f x 在ππ(,)1224-上单调递增，故5ω=．故选B ．【名师点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可．求解本题时，由题意可得ππ()4424kT T --=+，即π21()24k T k +=∈Z ，根据2πT ω=，可推出*21()k k ω=+∈N ，再根据()f x 在ππ(,)1224-上是单调函数，可推出ππ()24122T--≤，从而可得ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件． 28．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<，若π()()()12f m f x f ≤≤对任意实数x 恒成立，且π||12m -的最小值为π2，则π()8f =______________．【答案】622【解析】由π||12m -的最小值为π2，可得()f x 的最小正周期为π，则2ππω=，故2ω=． 由π()()()12f m f x f ≤≤对任意实数x 恒成立，可得π()12f 是()f x 的最大值，故πsin(2)112ϕ⨯+=，故ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z ， 又0πϕ<<，故π3ϕ=，则ππ()2sin(84f =+πππππ62)2(sin cos cos sin )34343+=+=．29．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的最小正周期为2π3，当π[0,]3x ∈时，函数()()g x f x m =+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______________．【答案】(3,2]--【解析】由题得π()3sin cos 12sin()16f x x x x ωωω=++=++．2π2π, 3.3T ωω==∴=Q ∴π()2sin(3)16f x x =++．∵π[0,]3x ∈，∴ππ7π3,0() 3.666x f x ≤+≤∴≤≤ 由()()0g x f x m =+=得f (x )=−m ，即y =f (x )的图象与直线y =−m 恰有两个交点， 结合图象可知2≤−m ＜3，即−3＜m ≤−2．故实数m 的取值范围是(3,2]--．【名师点睛】处理零点问题常用数形结合分析解答．本题的关键是转化，把函数()()g x f x m =+恰有两个不同的零点转化为y =f (x )的图象与直线y =−m 恰有两个交点，后面问题就迎刃而解了．30．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=+>，A ，B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，若||5AB =，则(1)f =______________．【答案】1【解析】令()f x 的最小正周期为T ，由π()2sin()(0)3f x x ωω=+>，可得2()2f x -≤≤， 由,A B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，||25AB =，则由勾股定理可得222()4||2T AB +=，即216204T +=，解得4T =，故2π4ω=，可得π2ω=， ππ()2sin()23f x x ∴=+，故πππ(1)2sin()2cos 1233f =+==．【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．由函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2π||ω；由ππ2x k ωϕ+=+可得其图象的对称轴方程；由πx k ωϕ+=可得对称中心横坐标．解本题时，根据勾股定理可得222()4||2T AB +=，求得4T =，π2ω=，从而可得函数解析式，进而可得结果．31．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=>，若集合{(0,π)|()1}x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是______________．【答案】725(,]26【解析】f （x ）=2sin （ωx ﹣π3），作出f （x ）的函数图象如图所示． 令2sin （ωx ﹣π3）=﹣1得ωx ﹣π3=﹣π6+2k π，或ωx ﹣π3=7π6+2k π， ∴x =π6ω+2πk ω，k ∈Z 或x =3π2ω+2πk ω，k ∈Z ， 设直线y =﹣1与y =f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =3π2π2ωω+，x B =π4π6ωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A ＜π≤x B ，即3π2π2ωω+＜π≤π4π6ωω+，解得72526ω≤＜． 故实数ω的取值范围是725(,]26．【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y =﹣1与y =f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点的横坐标之间． 32．将()2sin22cos21f x x x =+的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法中正确的个数是______________． ①函数()y g x =的最小正周期是π；②函数()y g x =的一条对称轴是π8x =； ③函数()y g x =的一个零点是3π8；④函数()y g x =在区间π5π[,]128上单调递减． 【答案】3【解析】把()2sin22cos21f x x x =+=2sin （2x ﹣π4）+1的图象向左平移π4个单位长度， 得到函数y =2sin[2（x +π4）﹣π4]+1=2sin （2x +π4）+1的图象，再向下平移1个单位长度， 得到函数y =g （x ）=2sin （2x +π4）的图象．对于①，由于T =2π2=π，故①正确； 对于②，由2x +π4=k π+π2，k ∈Z ，解得x =π2k +π8，k ∈Z ， 可得：当k =0时，y =g （x ）的图象的一条对称轴为直线x =π8，故②正确；对于③，g （3π8）=2sin （2×3π8+π4）=0，故③正确； 对于④，由2k π+π2≤2x +π4≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得：k π+π8≤x ≤k π+5π8，k ∈Z ，可得函数y =g （x ）在区间[π8，5π8]上单调递减，故④错误． 综上，说法中正确的个数是3．【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y =A sin （ωx +φ）的图象变换规律，函数y =A sin （ωx +φ）的图象的对称性，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．利用两角差的正弦函数公式、函数y =A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得g （x ），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．33．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增 ③()f x 在[,]-ππ有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C【解析】()sin |||sin()|sin |||sin |(),()f x x x x x f f x a -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间(,)2ππ单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()sin()sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-， 故()f x 在[,]-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[2,2]()x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[2,22]()x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确． 综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin |||sin |f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．34．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．c s |)2(|o f x x =B ．s n |)2(|i f x x =C ．()c |os |f x x =D ．()s |in |f x x =【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos ||cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出|cos 2|y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出|sin 2|y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数|()|y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin ||y x ω=不是周期函数．35．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点．故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点．故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确．③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，73(2)π(2)π1010k k x ωω-+<<． 取0k =，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<， 综上可得，()f x 在(0,)10π单调递增．故③正确．所以结论正确的有①③④．【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．36．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()24g π=3()8f π= A ．2- B ．2- C 2D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=， 又π()24g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()28f =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，再根据函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可．37．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为π()cos sin 2cos()4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此π3ππ3ππ[,][,],,,,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，。

1、下列函数中，存在最小正周期的是列四个函数中，以 π为最小正周期，且在区间 2π， π 上为减函数的是 (答案】 D单调递增，故排除 B ；C 选项，函数的周期是 4π，故排除 C.故选 D.A ．2B ．3C ． 3＋2D ． 2－ 3【答案】 B＝ 3.故选 B.4、函数 y ＝－ 2cos 2 4π＋x ＋1是( )A ．最小正周期为 π的奇函数B ．最小正周期为 π的偶函数C ．最小正周期为 2π的奇函数πD ．最小正周期为 2π的非奇非偶函数 【答案】 A 【解析】 .因为 y ＝－ 2cos 2 4π＋x ＋ 1考点 18 三角函数的图像与性质A ． y ＝ sin|x|B ．C ．y ＝tan|x|【答案】 BD ． y ＝ cos|x|y ＝ (x 2＋ 1)0sinx ， x ≥0，解析】 A ：y ＝sin|x|＝－ sinx ， x < 0，不是周期函数； B ：y ＝ cos|x|＝ cos x ，最小正周期 T ＝ 2π；C ：y ＝ tan|x|tanx ，x ≥0，不是周期函数； D ：－tanx ， x <0，y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期．故选 B.2、 A ． y ＝sin 2x B ． y ＝ 2|cos x| C ． x y ＝cos 2D ． y ＝ tan(－ x)解析】 A 选项，函数在π，334π上单调递减，在34π，π上单调递增，故排除 A ；B 选项，函数在 2π，π3、已知函数 y ＝ 2cos x 的定义域为 π3，π ，值域为 ［a ，b ］，则 b －a 的值是 ( 解析】因为函数 y ＝ 2cos x 的定义域为 ， π，所以函数 y ＝ 2cos x 的值域为 ［－ 2,1］，所以 b －a ＝1－(－2)1＋ cos 2x ＋ 1＝ sin 2x.y ＝sin 2x 是最小正周期为 π的奇函数．故选 A.5、函数 f(x)＝tan 2x － 3 的单调递增区间是 ( )D. k π＋6π，k π＋ 23π(k ∈Z)答案】 Bπ π π k π π k π 5 π解析】由 k π－ 2<2x －3<k π＋2(k ∈Z)得， 2π－ 12< x < 2π＋12(k ∈Z)，5π A.512ππD ．6π答案】2 B. π k π 5π12， 2＋ 512π(k ∈Z )π k π 5π12， k 2π＋ 12 k ∈Z) π5π12， k π＋ 512π k ∈Z)C. k π－ k π A. 增区间为 π k π 5 π 12， 2π＋12 (k ∈Z)．6、若函数 y ＝ 3cos(2x ＋ φ)的图象关于点 0 对称，则 |φ| 的最小值为 ( π A.6 π B ．4 π C.3ππ D ．2π 答案】 A 解析】由题意得 3cos 2×43π＋ φ＝3cos(23π＋φ＋2π＝)3cos 0， 2 π π π∴ ＋φ＝k π＋ ， k ∈Z ，∴ φ＝ k π－ ，k ∈ Z. 3 2 6 取 k ＝0，得 |φ|的最小值为 π. 6 7、若函数 f(x)＝sin ωx ＋6 (ω> 0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2π，且该函数图象关于点 (x 0,0)成中心对称， x 0∈ 0，则 x 0＝ ( )解析】由题意得T π π k π π2 ＝ 2，∴ T ＝π，ω＝ 2.又2x 0＋ 6＝ k πk (∈ Z) ，∴ x 0＝ 2 －12( k ∈Z) ，而x 0∈ 0，2π，5π∴x 0＝512π.8、已知函数 f(x)＝sin x ＋ 3cos x ，设 a ＝b ＝ f π，c ＝ f3π，则 a ，b ， c 的大小关系是 ()所以函数 f(x) ＝ tanB ．4ππC ．3πA ．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a答案】B解析】f(x)＝sin x＋3cos x＝2sin x＋单调递增，所以0，3π，因为函数f(x)在2π＝2sin 2π＝2sin π＝f(0)< f π，所以c<a<b.3 3 7π9、已知函数f(x)＝sin(2x－2)(x∈R)，下列结论错误的是(A ．函数f( x)是偶函数B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数D．函数答案】解析】增函数f(x)在区间0，f(x)的图象关于直线x＝4π对称πf(x)＝sin(2x－2)＝－cos 2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确；函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z) ，显然，无论k 取任何整数，πx≠4π，所以 D 错误．故选 D.10、函数y＝sin x2的图象是( )答案】D解析】.因为y＝sin x2为偶函数，所以函数的图象关于y 轴对称，排除A，C 选项；当x2＝2π，即x＝±时，y max＝1，排除B 选项．11、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ) θ∈函数，则θ的值为(π－2，A．B．C．D．答案】B解析】据已知可得 f(x)＝2sin x ＋θ＋3π，若函数为偶函数， 则必有 θ＋3π＝ k π＋2π(k ∈Z)，又由于θ∈令 2k π＋ π≤2x ＋π≤2k π＋3π，k ∈Z ，得 k π＋π≤x ≤k π＋2π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为 3.2 6 2 6 3故有 θ＋π＝ π，解得 θ＝ π，经代入检验符合题意．故选 B. ππ－2，212、设 ω>0 ， m>0，若函数 A. 0，23 单调递增，则 ω 的取值范围是 ( )C. 32，＋ ∞D ．［1，＋ ∞)答案】 B解析】 .f(x) ＝msinω2xcos2 ＝ 12msin ωx ，若函数在区间π－3，单调递增，则 T ＝π≥π＋π＝2π，即 ω∈2 ω3 3 30，3213、将函数 y ＝ sin 2x － 6π的图象向左平移 4π个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是 ( )πA ． x ＝12B ．x ＝π6πC ．x ＝3πD ． x ＝－12答案】 A解析】由题意知平移后的函数解析式为 y ＝sin 2 x ＋ 4π－ 6π＝ sin 2x ＋ 3π.令 2x ＋3π＝ k π＋ 2π(k ∈ Z) ，则 x ＝ 2π＋ 1π2( k ∈ Z)．结合选项知，选 A.14、已知函数 f(x)＝cos 2x ＋3π－cos 2x ，其中 x ∈R ，给出下列四个结论：①函数 f(x)是最小正周期为 π的奇函数；②函数2πf(x)图象的一条对称轴是直线 x ＝ 3π；③函数 f(x)图象的一个对称中心为3512π， 0 ；④函数 f(x)的递增区间为 kx ＋6π， k π＋23π，k ∈Z.则正确结论的个数是 (A ．1B ．2C ．3D ．4答案】 C解析】由已知得，f(x)＝cos 2x ＋3π－cos 2x ＝cos 2xcos 3π－sin 2xsin 3π－ cos 2x ＝－ sin 2x ＋ 6π，不是奇函数，故①错误；当 x ＝6π＝ 1，故②正确；当 x ＝512π时 f 5π＝12 ＝－ sin ＝π 0，故③正确；π 3，ωxf(x)＝ msin 2 cos答案】 B3 π 2 π解析】由题意可知 f( x)的最小正周期 T ＝ 4|α－ β|min ＝ 4× ＝3π，则 ＝3π，4ω 因为 f(x)的图象关于点 π， 1 对称，所以15、已知函数 f(x)＝sin ωx ＋4π( ω>0)，x ∈R.若函数 f(x)在区间 (－ ω， ω)内单调递增， 且函数 y ＝ f(x)的图象关 于直线 x ＝ ω对称，则 ω的值为 ( )1A.2B ．2 C.2πD ． 2π答案】 D解析】因为 f(x)在区间 (－ ω， ω)内单调递增， 且函数图象关于直线 x ＝ ω对称，所以 f(ω) 必为一个周期上的最大值，所以有 ω·ω＋ 4π＝ 2k π＋ 2π， k ∈Z ，所以 ω2＝ ＋2k π，k ∈Z.又 ω－(－ω)≤1·2 ，即 ω2≤π，即ω2＝ 4π，所以 ω＝ 2π. 16、已知函数 f(x)＝ sin x ＋6π，其中 x ∈ π3，a .若 f(x)的值域是21，1 ，则实数 a 的取值范围是 (A. 0，3πB ． π 3，C ．2π 3D ． π 3，答案】 解析】 若－π π π π3π≤x ≤a ，则－ 6π≤x ＋x ＋6π＝－ 6π或 x ＋6π＝76π时， sin x ＋ 6π＝－ 21，∴要使 f(x)的值域是 －12，1π π 7 π π 则有2≤a ＋6≤6 ，3≤a ≤π， 即 a 的取值范围是 π 3π，π17、已知函数 f(x)＝2sin(ωx ＋ φ)＋1 ω>0， |β|的最小值为 34π，且 f(x) 的图象 关于点4π， 1 对称，则函数 f(x)的单调递增区间是 ( )A. π－2＋2k π，π＋ 2k π， k ∈ ZB. －2＋3k π， π＋ 3k πk ∈ZC. D. π＋ 2k π，π＋3k π，52π＋2k π，k ∈Z52π＋3k π，k ∈Z2 ω＝23， f(α)＝－ 1，f(β)＝ 1，若 |α－1＝1，即sin 6＋φ ＝0.ππ因为|φ|<2π，所以φ＝－6π，则f(x)＝2sin 23x－6π＋1.π 2 ππ令2kπ－≤ x－≤2kπ＋，k∈Z ，2 3 6 2解得3kπ－2π≤x≤3kπ＋π，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是［－2π＋3kπ，π＋3kπ，］k∈Z，选 B.18、设函数f(x)＝cos ωx－6π(ω>0) ．若f(x)≤f 4π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______ ．2【答案】23【解析】∵ f(x) ≤f 4π对任意x∈R 恒成立，∴ f 4π为f(x)的最大值，∴ f 4π＝cos 4πω－6π＝1，∴ 4πω－6π＝2kπ，22解得ω＝8k＋23，k∈Z，又∵ ω>0，∴当k＝0 时，ω的最小值为23. 3319、已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则ω＝ ______ ．π【答案】2π【解析】由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝2－(－2)＝2 2，|x2－x1|为函数y＝2sin ωx －2cos ωx＝2 2sin ωx－4π的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2 3)2＝22ωπ2π＋(2 2)2，ω＝2π.20、已知函数f(x)＝sin ωx＋4π(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)的图象的对称轴方程为__________ ．【答案】x＝k2π＋8π(k∈Z)【解析】由T＝π＝2ωπ? ω＝2，∴ f(x)＝sin 2x＋4π，则对称轴为2x＋4π＝kπ＋2π? x＝k2π＋8π(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝kπ＋π(k∈Z)．2821、已知函数f( x)＝sin2 x－cos2 x－2 3sin xcos x(x∈R) ．(1)求 f 23 的值；(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间．π 2π【答案】 (1) 2 (2) 6＋k π， 3 ＋k π(k ∈ Z)【解析】 (1)由 sin 23π＝ 23，cos 23π＝－ 21，得 f 23π＝ 23 2－－21 2－2 3×23×－12 ， 所以 f 23π＝ 2.(2)由 cos 2x ＝cos 2 x －sin 2 x 与 sin 2x ＝2sin xcos x 得 f (x)＝－ cos 2x － 3sin 2x ＝－ 2sin 2x ＋6 .所以 f(x)的最小正周期是 π. 由正弦函数的性质得2π＋ 2k π≤x 2＋ 6π≤32π＋ 2k π， k ∈ Z ， 解得 6π＋ k π≤x ≤23π＋k π， k ∈ Z ， 所以 f(x)的单调递增区间是π 2π6＋k π， 3＋k π(k ∈Z)．22、已知函数 f( x)＝ 4tan x ·sin 2π－x ·cos(x －3π)－ 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间－4π，4π上的单调性．【答案】 (1) π (2) 当 x ∈－4π，4π时，f(x)在区间－1π2，π4 上单调递增，在区间 － 4π，－ 1π2 上单调递减π【解析】 (1)f(x)的定义域为 x|x ≠2＋ k π， k ∈ Z .f (x)＝ 4tan xcos xcos＝4sin xcos x －3π－ 3＝2sin xcos x ＋2 3sin 2 x － 3 ＝sin 2x ＋ 3(1－cos 2x)－ 332 sin x －＝4sin xcos x ＋0.24、设函数 f(x)＝ sinωx － 6 ＋sin(ωx－2)，其中 0< ω<3，已知 f ＝ sin 2x － 3cos 2x ＝2sin 2x － 3π.所以 f(x)的最小正周期 T ＝ 22π＝π.(2)令 z ＝2x － 3π，函数 y ＝ 2sin z 的单调递增区间是3π π π由－ 2＋ 2k π≤x 2－ 3≤2＋ 2k π，得－ 1π2＋k π≤x ≤152π＋k π，k ∈Z.设 A ＝ －4π， 4πB ＝ x|－π＋ k π≤x ≤5π＋ k π， k ∈ Z ，易知 A ∩B ＝ －π12 12 12－2π＋2k π，2π＋2k π，k ∈Z.π12，4所以，当 x ∈－ 4π， 4π时， f(x)在区间 －1π2，4π上 单调递增，在区间 223、已知函数 f(x)＝2sin 2x ＋bsin x ·cos x 满足 (1)求实数 b 的值以及函数 f(x)的最小正周期；(2) 记 g(x)＝f(x ＋t)，若函数 g(x)是偶函数，求实数 t 的值．答案】 (1) π (2) k 2π＋ 3π，k ∈Z 解析】 (1)由 f 6π＝2，得 2×14＋ b则 f(x)＝ 2sin 2x ＋ 2 3sin xcos x ＝1－cos 2x ＋ 3sin 2x ＝ 1＋2sin －6π， 所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝22π＝ π.(2)由(1)得 f(x ＋t)＝2sin[2(x ＋t)－6π]＋1，所以 g(x)＝ 2sin 2x ＋ 2t － ＋1.又函数 g(x)是偶函数，则对于任意的实数 x ，均有 g(－x)＝ g(x)成立．π整理得 cos(2t － 6)sin 2x ＝0.则 cos 2t －0，得 2t －π＝k π＋π，k ∈Z ，所以 t ＝ k π＋π，k ∈Z.6 2 2 3单调递减．π－4，2.＝ 2，解得 b ＝2 3.sin 2t －6π－ 2x ，π所以 sin 2t － 6π＋(1) 求 ω；π(2)将函数 y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变 )，再将得到的图象向左平移 4个单位，得到函数 y ＝ g(x) 的图象，求 g(x) 在 － 4π， 34π上的最小值． 【答案】 (1) 2 (2) －32【解析】 (1)因为 f(x)＝ sin ωx －6 ＋sin ωx －2 ，所以 f(x)＝ 23sin ωx － 12cos ωx － cos ωx 33＝2 sinωx－2cos ωx由题设知 f 6π＝ 0， 所以ω6π－3π＝k π，k ∈Z.故 ω＝ 6k ＋ 2， k ∈ Z ，又 0<ω<3， 所以 ω＝ 2.(2) 由(1)得 f(x)＝ 3sin 2x －3π，即 x ＝－ 4π时， g(x)取得最小值－ 32.25、已知 a>0，函数 f(x)＝－ 2a ·sin 2x ＋6π＋2a ＋b ，当 x ∈ 0，2π时，－ 5≤f(x) ≤1. (1)求常数 a ，b 的值；(2) 设 g(x)＝f x ＋2π且 lg g(x)>0，求 g(x)的单调区间． 【答案】 (1) a ＝2，b ＝－ 5 (2) k π＋6π，k π＋3π，k ∈Z【解析】 (1)∵ x ∈ 0，2π，＝ 3sin 所以 g(x)＝ 3sin x ＋4π－ 3 ＝ 3 ＝ 3sin x － 12因为 x ∈ π －4，3π4所以 x － π∈ 12当 x －π12π3，ωx －23cos ωπ － 3，∴f(x)∈[b ，3a ＋ b]，又∵－ 5≤f(x) ≤1，b ＝－ 5，3a ＋ b ＝1，因此 a ＝ 2， b ＝－ 5. (2)由(1)得， f(x)＝－ 4sin 2x ＋6π－1， g(x)＝ f x＋2＝－ 4sin 2x ＋ 76 － 1＝4sin 2x ＋ 6π－ 1，又由 lg g(x)>0 ，得 g(x)>1， ∴4sin 2x ＋ 6π－ 1>1， ∴ sin 2x ＋ 6π>12，π π 5π∴2k π＋6<2x ＋6<2k π＋56π，k ∈Z ，其中当 2k π＋6π<2x ＋6π≤2k π＋2π，k ∈Z 时，π g(x)单调递增，即k π<x ≤k π＋6， k ∈ Z ，∴g(x)的单调增区间为 k π，k π＋6π， k ∈Z. 又∵当 2k π＋π<2 x ＋ π<2k π＋ 5π，k ∈ Z 时，2 6 6ππg(x)单调递减，即 k π＋6<x<k π＋3，k ∈ Z.∴ g(x)的单调减区间为 k π＋6π， k π＋ 3π， k ∈Z.∴2x ＋6∈ π 7 π 6， 6 ∴ sin 2x ＋ 12，1∴－ 2asin 2x ＋［－ 2a ， a ］．。

第 2 讲函数图象与性质函数及其表示[ 核心提炼 ]1．函数的三因素定义域、值域和对应关系是确立函数的三因素，是一个整体，研究函数问题务必按照“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不一样取值区间，有着不一样的对应关系，这样的函数往常叫做分段函数．分段函数固然由几部分构成，但它表示的是一个函数．[ 典型例题 ]x， 0<x<1，若 f(a)＝ f(a＋ 1)，则 f 1＝ ( )(1) 设 f(x) ＝2（ x－1）， x≥ 1， aA ． 2 B． 4 C． 6 D ． 8m＋x2， |x|≥ 1，的图象过点 (1， 1)，函数 g( x)是二次函数，若函数 f(g(x))(2)设函数 f(x) ＝x， |x|<1的值域是 [0，＋∞ )，则函数 g(x)的值域是 ( )A ． (－∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) B． (－∞，－ 1]∪ [0 ，＋∞ )C． [0，＋∞ ) D． [1，＋∞ )【分析】(1)当 0<a<1 时， a＋ 1>1 ，f(a)＝a， f(a＋ 1)＝ 2(a＋ 1－ 1)＝ 2a，因为 f(a)＝ f(a＋ 1)，所以a＝2a，1解得 a＝4或 a＝ 0(舍去 )．1所以 f a＝ f(4) ＝ 2× (4－ 1)＝ 6.当 a>1 时， a＋ 1>2，所以 f(a)＝ 2(a－ 1)， f(a＋ 1)＝2(a＋1－ 1)＝ 2a，所以 2(a－ 1)＝ 2a，无解．当 a＝ 1 时， a＋ 1＝ 2， f(1)＝ 0，f(2) ＝ 2，不切合题意．1综上， f a＝ 6.应选 C.m＋ x2， |x|≥ 1，(2)因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋ 1＝ 1，x， |x|<1x2， |x|≥ 1，解得m＝ 0，所以f(x)＝画出函数y＝ f(x)的图象(以下图)，x， |x|<1.A，B ，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞ )时， f(g(x)) 因为函数g(x)是二次函数，值域不会是选项的值域是 [0，＋∞ )．应选 C.【答案】(1)C(2)C(1)在求分段函数的函数值时，必定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的分析式求解．当自变量的值不确准时，要分类议论．(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应依据每一段的解析式分别求解，但要注意查验所求自变量的值或范围能否切合相应段的自变量的取值范围．[ 对点训练 ]ln （x＋ 1）的定义域是 ( )1．函数 f(x)＝x－ 2A．(－ 1，＋∞ )B． [－ 1，＋∞ )C． [－ 1， 2)∪ (2，＋∞ )D． (－ 1，2)∪(2，＋∞ )ln（ x＋ 1）x＋ 1>0，x>－ 1，分析：选 D.要使 f(x)＝存心义，需使即x－ 2 x－ 2≠0，x≠2，所以函数f(x) 的定义域为 (－ 1， 2)∪ (2，＋∞)．应选 D.2．(2019 ·波市九校期末联考宁)已知以下各式：①f(|x|＋ 1)＝ x2＋ 1；1②f(x2＋1)＝x；③f(x2－ 2x)＝ |x|；④f(|x|)＝ 3x＋ 3－x.此中存在函数f(x)对随意的 x∈ R 都建立的是 ( )A ．①④B．③④C．①②D．①③分析： 选 A. ① f(|x|＋ 1)＝ x 2＋1，由 t ＝ |x|＋ 1(t ≥ 1)，可得 |x|＝ t － 1，则 f(t)＝ (t － 1)2＋ 1，即有 f(x)＝ (x － 1)2＋ 1 对 x ∈ R 均建立；111－ 1， ②f()＝ x ，令 t ＝x 2 (0＜ t ≤1)， x ＝ ±t x 2＋ 1＋1对 0＜ t ≤ 1， y ＝ f(t)不可以构成函数，故不建立；③f(x 2－ 2x)＝ |x|，令 t ＝ x 2－ 2x ，若 t ＜－ 1时，x ∈ ?；t ≥ － 1，可得 x ＝ 1 ± 1＋ t(t ≥ － 1)，y ＝ f(t) 不可以构成函数； ④ f(|x|)＝3x＋ 3－x ，当 x ≥0时，f(x)＝ 3x ＋ 3－x；当 x ＜ 0 时，f(－ x)＝ 3x ＋ 3－x；将 x 换为－ x 可得 f(x)＝ 3x ＋ 3－x；故恒建立． 综上可得 ①④ 切合条件．函数的图象及应用[ 核心提炼 ]图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．特别注意y ＝f(x)与 y ＝ f(－ x)， y ＝－ f( x)， y ＝－ f(－ x)， y ＝ f(|x|)， y ＝ |f(x)|及 y ＝ af(x)＋ b 的互相关系．考向 1 函数图象的变换与辨别[ 典型例题 ](1) 函数 y ＝ sin x 2 的图象是 ()1(2)(2019 宁·波九校模拟 )已知函数 f(x)＝，则 y ＝ f(x)的图象大概为 ()x － ln x － 1【分析 】 (1)因为函数 y ＝sin x 2 是一个偶函数，选项A 、C 的图象都对于原点对称，所π选项 B 与选项 D 的图象都对于y 轴对称，在选项 B 中，当 x ＝ ± 时，函数 y ＝ sin x 2<1， 2ππ π明显不正确，当 x＝±2时， y＝ sin x2＝1，而2< 2，应选 D.1 1 1(2)因为 f(e)＝e－2 ＞ 0，清除 D. 因为 f(e) ＝ e＞0，清除 B. 因为 f(e2)＝e2－3 ＜ f(e)，故函数在(1，＋∞ )为减函数，清除 C，所以选 A.【答案】 (1)D (2)A考向 2 函数图象的应用[ 典型例题 ]已知 f(x)＝ 2x－ 1，g(x)＝ 1－ x2，规定：当 |f(x)|≥ g(x)时， h( x)＝ |f(x)|；当 |f(x)|<g(x) 时，h(x) ＝－ g(x)，则 h(x)( )A ．有最小值－ 1，最大值 1B．有最大值 1，无最小值C．有最小值－ 1，无最大值D．有最大值－ 1，无最小值【分析】由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而 h(x)＝|f（ x） |， |f（ x） |≥ g（ x），－g（ x）， |f（ x） |<g（x），故 h(x)有最小值－ 1，无最大值．【答案】 C(2)函数图象的应用①判断函数的性质．②判断方程根的个数及不等式的解．[ 对点训练 ]1．(2019 绍·兴一中模拟 )函数 y ＝x 3的图象大概是 ()3x 4－1分析： 选 A. 因为 y ＝x 3，所以函数 y ＝x 3是奇函数，图象对于原点对称，故排3 434x － 1x － 1除 C ；当 x ＜－ 1 时，恒有 y ＜ 0，故清除 D ；－ 1＜ x ＜ 0 时， y ＞ 0，故可清除 B ；应选 A.2．(2019 鄞·州高级中学月考 )已知函数 f(x)＝ e|x －1|，x>0，若对于 f(x)的方程 [f(x)] 2－ x 2－ 2x ＋ 1， x ≤ 0－ 3f(x)＋ a ＝ 0(a ∈ R)有 8 个不等的实数根，则a 的取值范围是 ()11 A. 0，4 B. 3，3C ． (1， 2)D. 2，94分析： 选 D.作出函数 f( x)＝ e|x－1|，x>0的图象，以下图：－ x 2－ 2x ＋ 1，x ≤ 0对于 f(x)的方程 [f(x)] 2－ 3f(x) ＋a ＝ 0 有 8 个不等的实数根，故＝ 9－ 4a>0 ， a< 94，由函数f(x)图象可知 f(x)∈ (1，2) ，令 t ＝ f(x)，则方程 [f(x)] 2－3f(x)＋ a ＝0 可化为 a ＝－ t 2＋ 3t ， t ∈ (1， 2)．a＝－ t2＋ 3t 表示张口向下，对称轴为直线3t＝的抛物线，23 2 3 9可知 a 的最大值为－ 2 ＋ 3×2＝4，9 9a 的最小值为 2，故 a∈2，4 .综上可知a∈ 2，4 .应选 D.函数的性质及应用[ 核心提炼 ]1．函数的单一性单一性是函数的一个局部性质，一个函数在不一样的区间上能够有不一样的单一性．判断函数单一性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象对于y 轴对称，在对于坐标原点对称的定义区间上拥有相反的单一性；奇函数的图象对于坐标原点对称，在对于坐标原点对称的定义区间上拥有同样的单一性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．[ 典型例题 ](1)(2019 浙·江吴越结盟)已知函数f(x)是 R 上的奇函数，当 x＞ 0 时为减函数，且 f(2) ＝ 0，则会合 { x|f(x－ 2)＞ 0} ＝ ()A ． { x|0＜ x＜ 2 或 x＞ 4}B． { x|x＜ 0 或 x＞ 4}C． { x|0＜ x＜ 2 或 x＞ 2}D． { x|x＜ 0 或 2＜ x＜ 4}（x＋1）2＋ sinx(2)设函数 f(x)＝的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋ m＝ ________．x2＋ 1【分析】(1)因为奇函数知足f(2)＝ 0，所以 f(－ 2)＝－ f(2)＝ 0.对于 { x|f(x－ 2)＞ 0} ，当 x－ 2＞ 0 时， f(x－2)＞ 0＝ f(2)，因为当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)为减函数，所以0＜ x－2＜ 2，所以 2＜ x＜ 4；当 x－ 2＜ 0 时，不等式可化为f(x－ 2)>0 ＝ f(－ 2)，因为当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)为减函数，所以函数f(x) 在(－∞， 0)上单一递减，所以 x － 2＜－ 2，所以 x ＜ 0.综上可得，不等式的解集为{ x|x ＜ 0 或 2＜x ＜ 4} ，应选 D.2x ＋ sin x2x ＋sin x (2)f(x)＝ 1＋ ，令 g(x)＝ x 2 ，则 g(x)为奇函数，对于一个奇函数，其最大值x 2 ＋1＋ 1与最小值之和为 0，即 g(x)max ＋ g(x)min ＝ 0，而 f(x)max ＝ 1＋ g(x)max ，f(x)min ＝ 1＋ g(x) min ，所以 f(x)max＋ f( x)min ＝ M ＋ m ＝ 2.【答案 】 (1)D (2)2(1)四招破解函数的单一性①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形联合法；②对于由基本初等函数经过加、减运算或复合而成的函数，常转变为基本初等函数的单调性问题来解决；③对于分析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法；④对于抽象函数一般用定义法．(2)判断函数奇偶性的三个技巧①奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．②确立函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域能否对于原点对称．③对于偶函数而言，有f(－ x)＝ f(x)＝ f(|x|)．[ 对点训练 ]1．(2019 ·波诺丁汉大学附中高三调研宁 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞ )单一递减，若实数 a 知足 f(log 3a)＋ f(log 1a) ≥2f(1)，则 a 的取值范围是 ()31A ． (0， 3]B ． (0， 3]1 C ． [3， 3]D ． [1， 3]分析： 选 C.因为函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(－ x)＝ f(x)，即有 f( x)＝f(|x|)，由实数 a 知足 f(log 3a)＋ f(log 1a)≥ 2f(1) ，3则有 f(log 3a)＋ f(－ log 3a)≥ 2f(1)，即 2f(log 3a)≥ 2f(1)即 f(log 3a) ≥f(1) ，即有 f(|log3a|)≥ f(1) ，因为 f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递减，则|log 3a|≤ 1，即有－ 1≤log 3a≤1，解得13≤ a≤ 3.2．(2019 ·兴、绍诸暨高考二模 )已知 f( x)是定义在R 上的单一递加函数，则以下四个命题：①若 f(x0)＞ x0，则 f[f(x0)] ＞ x0；②若 f[f(x0)] ＞x0，则 f(x0)＞ x0；③若 f(x)是奇函数，则f[f(x)] 也是奇函数；④若f(x)是奇函数，则f(x1)＋ f(x2)＝0? x1＋ x2＝ 0，此中正确的有 ()A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个分析：选 A. 对于①，因为 f(x)是定义在R 上的单一递加函数，若f(x0)＞x0，则f[f(x0)]＞f(x0)＞x0，故①正确；对于②，当 f[f(x0)] ＞ x0时，若 f( x0)≤ x0，由 f(x)是定义在 R 上的单一递加函数得f[f(x0)] ≤ f(x0)≤ x0与已知矛盾，故②正确；对于③，若 f(x)是奇函数，则 f[f(－ x)] ＝ f[－ f(x)]＝－ f[f(x)] ，所以 f[f(x)] 也是奇函数，故③正确；对于④，当 f(x)是奇函数，且是定义在R 上的单一递加函数时，若f(x )＋ f(x )＝ 0，则 f(x )＝－ f(x )? x ＝－ x ? x ＋x ＝0；若 x ＋x ＝ 0? x11 2 1 2 1 2 1 2 1 2＝－ x ? f(x )＝ f(－ x )＝－ f(x )? f(x )＋ f(x )＝ 0，故④正确；应选 A.2 1 2 2 1 2专题加强训练1．(2019 金·华十校调研)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2C．－ 1 D．－ 31 1 1分析：选 A. 因为 f(x)＝x＋－ 1，所以 f( a)＝ a＋－ 1＝ 2，所以 a＋＝ 3，所以 f(－ a)＝－ ax a a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是()1A ． y ＝ xB ． y ＝ |x|－ 11 |x|C ． y ＝ lg xD ． y ＝ 2分析： 选 B.A 中函数 y ＝1A 错误；B 中函数满x 不是偶函数且在 (0，＋ ∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋ ∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x －a4．已知函数 f(x)＝ 2x 的图象对于原点对称， g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b＝ ()A ． 1B ．－ 1 1 1C ．－ 2D.4分析： 选 B.由题意得 f(0) ＝ 0，所以 a ＝ 2.1因为 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e ＋ 1)－ b ＝ ln e ＋ 1 ＋ b ，1 1 所以 b ＝ 2，所以 log a b ＝ log 22＝－ 1.5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x 2＋ a(a ∈ R )的图象不行能是 ()|x|分析： 选 A. 直接利用清除法： ① 当 a ＝ 0 时，选项 B 建立；1 D ；②当 a ＝ 1 时， f(x)＝ x 2＋ ，函数的图象近似|x|③当 a ＝－ 1 时， f(x)＝ x 2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x在区间 [3，4] 上的最大值和最小值分别为M ，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝ x － 2m 2＝()m ，则 M23 A. 3 B.8 38C.2D.3分析： 选 D. 易知 f(x)＝2x＝ 2＋ 4，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M ＝ f(3)x － 2 x － 244m 216 8＝ 2＋ 3－ 2＝ 6，m ＝ f(4)＝ 2＋ 4－2＝ 4，所以 M ＝ 6 ＝ 3.7．(2018·考全国卷高 Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y ＝ ln x 的图象对于直线x ＝ 1 对称的是 ()A ． y ＝ ln(1 － x)C ． y ＝ ln(1＋ x)分析： 选 B. 法一： 设所求函数图象上任一点的坐标为B ． y ＝ ln(2 － x)D ． y ＝ ln(2 ＋ x)(x ， y)，则其对于直线x ＝ 1的对称点的坐标为 (2－ x ，y)，由对称性知点 (2－x ，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上， 所以 y ＝ ln(2 － x)．故选 B.法二： 由题意知，对称轴上的点 (1，0)既在函数 y ＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除 A ，C ， D ，选 B.8．(2019 ·江台州市书生中学高三月考浙 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）≥ 0.又因 f(x)在 (0， 分析：选 D. 因为函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?5xx＋ ∞ )上为单一递减函数，且 f(2)＝ 0，所以得，函数 f(x)在 ( －∞ ， 0)上单一递减且 f(－ 2)＝0.所以， x ∈(－∞ ，－ 2)∪(0， 2)时， f(x)>0 ； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f(x)<0，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. － 1， 1B. － 6， 66 6 6 6 C. － 1，1D.－3，33 3331 2|－ 3a2) ，所以当 0≤ x≤ a2 1 (a2分析：选 B. 因为当 x≥ 0 时，f(x) ＝ (|x－ a2|＋ |x－ 2a 时，f(x)＝2 2 －x＋ 2a2－ x－ 3a2) ＝－ x；当 a2＜ x＜ 2a2时， f(x)＝1(x－ a2＋ 2a2－x－ 3a2)＝－ a2；2当 x≥ 2a2时， f(x)＝12(x－ a2＋ x－ 2a2－ 3a2)＝ x－ 3a2.综上，函数f(x) ＝1(|x － a2| ＋ |x － 2a2 | － 3a2) 在 x≥ 0 时的解析式等价于 f(x) ＝2－x， 0≤ x≤a2，－a2， a2＜ x＜ 2a2，x－ 3a2， x≥ 2a2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，2 2 6≤a≤6 察看图象可知，要使 ? x∈ R，f(x－ 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－ t18 t恒建立，则实数t 的取值范围是( )A ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3] B． (－∞，－3]∪ (0，3] C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞) D． [－3， 0)∪ [3，＋∞) 分析：选 C.因为 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，因为 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1故 f(x)＝ (x2＋ 6x＋ 8)，9因为1 3x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥ 18 t －t 恒建立，所以－11 39＝f(x)min≥ 18 t － t ，解得t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝ 2 则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (1)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0. 2若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (1)x－ 2≥ 2 得 (1)x≥ 4，则 2－x≥ 4，22得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：因为 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，因为 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3， 5]．11答案：1[－ ， ]14．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时， a ⊕ b ＝ a ；当 a<b 时， a ⊕ b ＝b 2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x－ (2⊕ x)， x ∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x － 2， x ∈ [－2， 1]，分析： 由题意知 f(x)＝x 3 － 2， x ∈（ 1，2]，当 x ∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x ∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x ∈ [－ 2， 2]时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]－ x 2， 0<x ≤ 4，15．已知函数 h(x)(x ≠ 0)为偶函数，且当x>0 时， h(x)＝4若 h(t)>h(2)，则4－ 2x ， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x 2－ 4 ，0<x ≤ 4，分析： 因为 x>0 时， h(x)＝4－ 2x ， x>4.易知函数 h(x)在 (0，＋ ∞)上单一递减，因为函数 h(x)(x ≠ 0)为偶函数，且 h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以 0<|t|<2，t ≠0， t ≠0，所以 即 解得－ 2< t<0 或 0<t<2.|t|<2， － 2<t<2，综上，所务实数 t 的取值范围为 (－ 2，0) ∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的 x ≥ 2，都有 (x ＋ a)|x ＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析： 对随意的 x ≥ 2，都有 (x ＋ a)|x ＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x ≥ 2 时， (x ＋a)|x ＋a|＋ (ax)x ≤0恒建立 .①若 x ＋ a ≥ 0，即 a ≥ －2 时，则有 (x ＋ a)2 ＋ax 2≤ 0,所以 ( a ＋ 1)x 2＋2ax ＋ a 2≤ 0.a ＋ 1＜ 022或 －2a ＜ 2 ，令 f(x)＝ (a ＋ 1)x ＋ 2ax ＋ a ，则有 a ＋1＝ 0 2（ a ＋1）f （ 2）＝ 4（ a ＋1）＋ 4a ＋ a 2≤ 0求得 a ＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a ＜－ 1，综合可得－ 2≤ a ≤ － 1；②若 x ＋ a ＜ 0，即 a ＜－ 2 时，则有－ (x ＋ a)2＋ ax 2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为 a ＜－ 2；③若 x ＋ a ＝ 0，即 a ＝－ x ≤ － 2 时，则由题意可得 ax 2≤0，知足条件 .综合 ①②③ 可得， a ≤－ 2 或－ 2≤ a ≤ －1，故 a 的最大值为－ 1. 答案： －117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x ，y} ＝ x （ x<y ），则不等式 min{ x ＋ 4，4} ≥ 8min{ x ， 1 }y （ x ≥ y ）x x 的解集是 ________．44 分析： ① 当 x>0 时，由基本不等式可知x ＋ x ≥ 2x ＋ x ＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.1 1x ≤ 2x ≥2 或，1x ≥ 12 1x ≤ 12②当 x<0 时，14 8 ，(ⅰ )当－ 1<x<0 时， <x ，原不等式化为x ＋ ≥ xx x即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．(－ ∞， 0)∪ (0，1综上不等式的解集为 2]∪ [2，＋ ∞ )． 答案： (－∞， 0)∪ 1(0， ]∪ [2，＋∞ )218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直 线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 因为函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3 所以b ，－2＝ 1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3， 所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m ＜ 1 时， f(x)min ＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max ＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3， 所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m ＜－ 1 时， f(x)min ＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max ＝ f(m)＝m 2－ 2m ，所以 f(x)的值域为 [－ 1， m 2－ 2m] ．x 2－ 2ax ＋ a 2 ＋ 1， x ≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考 ) 已知函数 f(x)＝2－ a ，x ＞ 0.x 2＋x(1)若对于随意的 x ∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为 M(a)，解对于实数 a 的不等式 M(a － 2)＜M(a)．解： (1) 当 x ≤ 0 时， f(x)＝ (x － a)2＋ 1，因为 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞ ， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在 (1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，因为 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为 f(a)＝ 1，f(0) ＝ a2＋1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得0≤ a≤1，a≥ 0解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0， 1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，因为 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。

3.4 函数的图象基础篇考点 函数的图象1.(2020浙江,4,4分)函数y =x cos x +sin x 在区间[-π,π]上的图象可能是( )答案 A2.(2022全国甲,理5,文7,5分)函数y =(3x -3-x )cos x 在区间[−π2,π2]的图象大致为( )答案 A3.(2023届山东潍坊五县联考,3)函数y =(e x −1)(x−1x)e x +1的大致图象为 ( )A BC D答案B4.(2021福建三明三模,5)若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=x|x|−1B. f(x)=x1−|x|C. f(x)=xx2−1D. f(x)=x1−x2答案C5.(2021浙江,7,4分)已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sin x,则图象为如图的函数可能是()A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-14C.y=f(x)g(x)D.y=g(x)f(x)答案D6.(2022全国乙文,8,5分)下图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是( )A.y=−x 3+3xx2+1B.y=x3−xx2+1C.y=2xcosxx2+1D.y=2sinxx2+1答案A7.(2018课标Ⅲ文,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B综合篇考法一函数图象的识辨1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考,5)函数y=sin x·ln x 2+1x2的图象可能是( )A BC D答案D2.(2020天津,3,5分)函数y=4xx2+1的图象大致为( )答案A3.(2019浙江,6,4分)在同一直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a(x+12)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )答案 D4.(2019课标Ⅰ,文5,理5,5分)函数f (x )=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]的图象大致为( )答案 D5.(2022广东佛山一中月考,6)函数f (x )=2(x−b)2a的图象如图所示,则 ( )A.a >0,0<b <1B.a >0,-1<b <0C.a <0,-1<b <0D.a <0,0<b <1 答案 D考法二 函数图象的应用1.(2020北京,6,4分)已知函数f (x )=2x -x -1,则不等式f (x )>0的解集是 ( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 D2.(2022河北神州智达省级联测联考,4)已知函数f (x )={(12)x ,x ≥1,log 4(x +1),−1<x <1,则f (x )≤12x 的解集为( )A.(-∞,0]B.(-1,0]C.(-1,0]∪[1,+∞)D.[1,+∞) 答案 C3.(多选)(2023届南京学情调研,12)已知函数f (x )=3x -2x ,x ∈R,则 ( )A.f (x )在(0,+∞)上单调递增B.存在a ∈R,使得函数y =f(x)a x为奇函数 C.函数g (x )=f (x )+x 有且仅有2个零点 D.对任意x ∈R,f (x )>-1 答案 ABD4.(2017山东理,10,5分)已知当x ∈[0,1]时,函数y =(mx -1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2√3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,√2]∪[2√3,+∞) D.(0,√2]∪[3,+∞) 答案 B5.(2023届江西百校联盟联考,16)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,f (x )={−x 2+2x +12,0≤x ≤2,log 4x,x >2.若关于x 的方程m [f (x )]2+nf (x )+1=0恰好有7个不同的实数根,那么m -n 的值为 . 答案 46.(2023届福建龙岩一中月考,16)已知函数f (x )={−x 2−2x,x ≤0,|1+lnx |,x >0.若存在互不相等的实数a ,b ,c ,d 使得f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=m ,则实数m 的取值范围为 ;a +b +c +d 的取值范围是 . 答案 (0,1) (2e -1-2,e -2-1)。

2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题4.3 三角函数的图象与性质1．（湖南师范大学附属中学2018-2019学年期中）给出如下四个函数：①())cos sin f x x xx x =+-；②()44sin cos f x x x =+；③()2sin sin f x x b x c =++，b ，c 为常数；④()sin 2cos2f x x x =+．其中最小正周期一定为π的函数个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】())()cos sin 2sin 23f x x xx x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭周期为π．()44222131sin cos 12sin cos 1sin 2cos 4244f x x x x x x x =+=-=-=+周期为2π；对()2sin sin f x x b x c =++，当0b ≠时，易知()()f x f x π+=不恒成立，()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭周期为2π；因此仅有())cos sin f x x xx x =+-满足，故选B 。

2．（山西省临汾第一中学2018-2019学年期中）若0ω>，函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后关于原点对称，则ω的最小值为（ ） A ．112B ．52C ．12D ．32【答案】B【解析】函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后，对应图像的解析式为()cos()33g x x πωπω=+-，因为()g x 的图像关于原点对称，所以,332k k Z πωπππ-=+∈，故13,2k k Z ω=--∈，因0ω>，故ω的最小值为52，故选B 。

3．（福建省三明市第一中学2018-2019学年期中）已知函数(2sin(2)3f x x π=+），则下列关于该函数()f x 图象对称性的描述正确的是（ ） A ．关于点(,0)6π对称 B ．关于点5(,0)12π-对称 C ．关于直线3x π=对称 D ．关于直线12x π=对称【答案】D 【解析】令232x k πππ+=+，其中k Z ∈，所以,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，12x π=，故()f x 的图像关于直线12x π=对称，因为2123k πππ+=无整数解k ，故直线3x π=不是函数图像的对称轴。