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4.4正态随机变量的线性函数的分布

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随机变量函数的 分布

随机变量函数的 分布


WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性
正态分布及正态随机变量

正态分布及正态随机变量

正态分布及正态随机变量正态分布是连续型随机变量概率分布中的⼀种，你⼏乎能在各⾏各业中看到他的⾝影，⾃然界中某地多年统计的年降雪量、⼈类社会中⽐如某地⾼三男⽣平均⾝⾼、教育领域中的某地区⾼考成绩、信号系统中的噪⾳信号等，⼤量⾃然、社会现象均按正态形式分布。

正态分布中有两个参数，⼀个是随机变量的均值 µµ，另⼀个是随机变量的标准差σσ，他的概率密度函数 PDF 为：fX(x)=1√2πσe−(x−µ)2/(2σ2)fX(x)=12πσe−(x−µ)2/(2σ2)。

当我们指定不同的均值和标准差参数后，就能得到不同正态分布的概率密度曲线，正态分布的概率密度曲线形状都是类似的，他们都是关于均值 µµ 对称的钟形曲线，概率密度曲线在离开均值区域后，呈现出快速的下降形态。

这⾥，我们不得不专门提⼀句，当均值 µ=0µ=0，标准差σ=1σ=1 时，我们称之为标准正态分布。

还是⽼规矩，眼见为实，下⾯来观察两组正态分布的概率密度函数取值，⼀组是均值为 00，标准差为 11 的标准正态分布。

另⼀组，我们取均值为 11，标准差为 22。

代码⽚段：from scipy.stats import normimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport seabornseaborn.set()fig, ax = plt.subplots(1, 1)norm_0 = norm(loc=0, scale=1)norm_1 = norm(loc=1, scale=2)x = np.linspace(-10, 10, 1000)ax.plot(x, norm_0.pdf(x), color='red', lw=5, alpha=0.6, label='loc=0, scale=1')ax.plot(x, norm_1.pdf(x), color='blue', lw=5, alpha=0.6, label='loc=1, scale=2')ax.legend(loc='best', frameon=False)plt.show()。

随机变量及其分布正态分布

随机变量及其分布正态分布

测量误差
在自然科学中，许多测量误差都被认为服从正态 分布。这种假设允许使用统计方法进行误差分析 和建模。
正态分布在社会科学中的应用
能力和智力测试
正态分布在能力和智力测试中经常被用作模型，因为许多测试得分都呈现出正 态分布的形态。这使得教育工作者和心理学家能够对学生的能力或受试者的智 力进行评估和比较。
02 示例
人的身高、体重等都是连续型随机变量的例子。
03 性质
连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了 变量在某个区间内取值的概率。
随机变量的数学期望与方差
数学期望（均值）
描述了随机变量取值的“平均”水平。对于离散型随机变量 ，数学期望是各个可能取值与对应概率的加权和；对于连续 型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量乘积的积分 。
02
随机变量的分类与性质
离散型随机变量
01 定义
离散型随机变量是指其取值集合是可数集的随机 变量。
02 示例
抛硬币的正面次数、掷骰子的点数等都是离散型 随机变量的例子。
03 性质
离散型随机变量的概率质量函数（PMF）描述了 每个可能取值的概率。
连续型随机变量
01 定义
连续型随机变量是指其取值集合是连续统（不可 数集）的随机变量。
它由均值和标准差两个参数完全决定，呈现出钟 02 形的曲线。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如测 03 量误差、人口身高、考试成绩等。
正态分布的概率密度函数
01 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x μ)² / (2σ²)))，其中μ为均值，σ为标准差。
总结与展望
正态分布在统计学中的重要性总结
基础地位
第四章 第一讲 正态分布及其性质

第四章 第一讲 正态分布及其性质

上侧分位数的计算方法： 由定义知 ( u ) 1

u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
4-4正态随机变量的线性函数的分布

4-4正态随机变量的线性函数的分布


1 fZ ( z) e 3 2
( z 5 ) 2 18
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2.设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 且二次方程
y 4 y X 0 无实根的概率为 0.5 , 则 _____. 解： 方程 y 2 4 y X 0 无实根就是 16 4 X 0 , 即 X 4, 按题意,有 P( X 4) 0.5 , 即 P( X 4) 0.5. 已知 X ~ N ( , 2 ) , 所以 X 4 4 P( X 4) P( ) ( ), 从而， 4 ( ) 0 .5 , 4 0 , 由此得 4. 因为 (0) 0.5 , 所以应有
i 1
i 1
i 1
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立

X与Y不相关
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
小 结
1. 若 X ~ N ( , 2 )，则当b 0时，
fY ( y) [ FX ( y a )] 1 f X ( y a ) 1 e b b b 2 b
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
,
所以Y ~ N (a b , b2 2 ). 当 b 0 时类似地可证.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 推广： 设 X1 , X 2 , X n 相互独立， 且 X i ~ N ( i , i ),
i 1 , 2 , , n, 则
ci X i ~ N ( ci i , c i i 1 i 1 i 1
概率论2-5 (1)

概率论2-5 (1)


2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率 相加．
例 设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解 由题设可得如下表格
概率论与数理统计之正态分布

概率论与数理统计之正态分布


转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布及随机变量函数的分布

正态分布及随机变量函数的分布

概率预测
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布

《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布


y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相 同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0， 则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).
4.4正态随机变量线性函数的分布

4.4正态随机变量线性函数的分布


[推论] 设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X * X ~ N (0 ,1).
在定理1中，设 a , b 1 即得结论.
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立，并且都服从正态分布：
X
~
N (x
,
2 x
)
,
Y
~
N ( y
,
2 y
)
,
则它们的和也服从正态分布，且有
Z
X
Y
~
i1
i1
i1
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为1 ,标准差 为 2的正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机 变量 Z 2X Y 3 的概率密度. 解：已知 X 与Y 独立，且X ~ N(1 ,2) ,Y ~ N(0 ,1) ,
E(Z ) E(2X Y 3) 2E( X ) E(Y ) 3 5
i1
n
n
n
ci Xi ~ N(
cii ,
ci2
2 i
),
i1
i1
i1
其中 c1 ,c2 , ,cn 为常数.
例 设 X ,Y 是两个相互独立的服从同一正态分布
N (0 ,(
1 )2 ) 的随机变量，求随机变量 2
X Y
的数学
期望 E( X Y ).
解: 设Z X Y,由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N(0 ,1) ,
于是 Z的概率密度为
fZ (z)
1
z2
e 2 , z .
2π
所以，
E( Z ) z
1
z2
e 2 dz
2π
1
z2
概率论正太分布及其定理

概率论正太分布及其定理


概率论与数理统计
正态分布与极限定理
例3 若 X ~ N , 2 ，求X 落在区间 k , k 内的概率，
其中 k 1, 2, 3, 。
解 P k X k P X k
k
k
k
k
2 k 1
查表得 P X 21 1 0.6826
概率论与数理统计
§4.2 二维正态分布
正态分布与极限定理
①若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.
②若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y的边缘分布都是正态分布，
X与Y相互独立 X与Y不相关.
16
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
定理2 (1) 若随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，则
证明
服从二维正态分布.
(2) 若 (X,Y) 服从二维正态分布，如果 X 与 Y 不相关
则 X 与 Y 独立.
(2)
设随机变量(X,Y)~
N
( 1 , 12
;
2
,
2 2
;
)
f (x, y)
1
e
1
2 (1
2
)
(
1
PX
80
1
80 d 0.5
0.99
80 d 0.5
0.01
(2.33) 0.9901 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.33) 0.01
80 d 2.33 0.5
d 81.165 故设定温度d至少为81.165度.
10
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室

4.4 n维正态随机变量


电子科技大学
多维正态随机变量
13.8.17
注 1) E ( X i ) i , D( X i ) i2 ,
2) cij Cov( X i , X j ) i j .
n维正态随机变量的分布由一阶矩和二阶 矩完全确定. 正态分 布具有 四. 正态随机向量性质 可加性 1) 有限个相互独立的正态随机变量的线 性函数仍服从正态分布；
电子科技大学
均值向量 协方差矩阵
1 2 2 2
x X y
其中σ1>0,σ2>0, | ρ |<1, 故协方差矩 阵满足|C|≠0.
电子科技大学
多维正态随机变量
13.8.17
联合概率密度可表示为
1 1 ( x, y) (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱX μ ) ( X μ ) 1 exp 2 2π C 2 1
二. 二维正态分布的重要结论
若 ( X ,Y ) ~
2 2 N ( 1 , 1 ; 2 , 2 ; ), 有下述结论成立：
1. 每个分量服从正态分布；
P72例3.1.10
2 2 X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
2. 正态随机变量的线性函数服从正态分布；
电子科技大学
多维正态随机变量
13.8.17
aX b ~ N (a1 b, a )
2 2 1
P87例3.4.7
3. 正态分布具有可加性；
X Y ~ N ( 1 2 , )
2 1 2 2
P90例3.4.11
思考 将2和3合起来得到什么结论？ 4. 正态分布的期望与方差：
E ( X ) 1 , D( X ) ,

随机变量函数分布

随机变量函数分布随机变量函数分布是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量经过函数转换后的分布情况。

在实际问题中，我们常常需要通过随机变量的函数来描述某种现象的规律或特性。

本文将介绍随机变量函数分布的基本概念和常见的分布形式。

一、随机变量函数分布的定义随机变量函数分布指的是一个随机变量经过某种函数转换后的概率分布情况。

在数学上，对于一个随机变量X和一个函数Y=f(X)，我们可以描述函数Y的概率分布，也就是Y的取值在各个区间内的概率。

通常情况下，我们可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述随机变量函数分布。

二、常见的随机变量函数分布形式1. 线性变换最简单的随机变量函数分布形式就是线性变换。

设X是一个随机变量，Y=aX+b是X的线性变换，其中a和b为常数。

如果知道X的分布情况，就可以通过线性变换得到Y的分布。

具体地，如果X服从均匀分布，则Y也会服从均匀分布。

2. 指数变换指数变换是常用的随机变量函数形式之一。

如果X服从指数分布，经过指数变换Y=e^X后，Y会服从对数正态分布。

指数变换在描述某些事件的时间间隔时非常有用，比如描述两次地震事件之间的时间间隔。

3. 幂变换幂变换是一种常见的函数形式，如果X服从正态分布，Y=X^2后，Y会服从卡方分布。

幂变换在统计学中的应用非常广泛，比如方差分析和回归分析中就经常用到幂变换来处理数据。

三、实际应用举例在实际问题中，随机变量函数分布具有广泛的应用。

比如在金融领域中，可以通过随机变量函数分布来描述股票价格的涨跌情况，进而进行风险管理和投资决策。

在生物学领域中，可以通过随机变量函数分布来描述基因的变异情况，进而研究遗传特性。

总的来说，随机变量函数分布是概率论中一个重要的概念，它通过函数转换描述了随机变量的特性和规律。

通过研究随机变量函数分布，我们可以更好地理解现实世界中复杂的随机变量关系，从而进行更加精确的建模和分析。

随机变量函数的分布


1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布 一般 地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随 机变量， 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还 是连续型随机变量的情形， 此时我们不仅希望求出 随机变量函数的分布函数， 而且还希望求出其概率 密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e

( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量， 其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布 求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数 主要 我们讨论变量间的函数关系时， 在微积分中， 注： 研究函数关系的确定性特征， 例如： 导数、积分等. 而 在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地， 对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a

正态随机变量线性组合的分布问题


— ￣ — ／ ＋ — —● ；
。
第 １ ６卷 第 ４期
任耀峰 ， 王玉琢 ： 正 态 随 机 变量 线 性 组 合 的 分布 问题
１ ０ ５
则 得
正态 分布 Ｎ（ Ｊ Ｉ ‘ ， ｃ ）的充 分 必要 条 件 是 ： 它 的任 一 线
ｅ 一 彘
性组合Ｙ一 ∑ ｋ ｘ 服 从一 维正 态分 布．
个分 支如 参数估 计 和 假设 检 验 中都 要用 到． 因为 比
较 复杂 ， 理科 教材 中多用 特征 函数 的方 法证 明 ， 而工 科 教材一 般 只介绍 结论 ， 没有 详细 的证 明 ， 影 响学 生 对 这个 问题 及数理 统 计 中相关 内容 的理 解 ， 这 里 我 们 给 出一个 相对 简单 的证 明． 用 Ｘ ～ Ｎ（ ， Ｇ ２ ）表示 随机 变量 Ｘ服 从 以 为均值 ， 为方 差 的正态 分布 ．
在 概 率论 和 数 理统 计 的教 学 中 ， 正 态 随 机 变量
密度 为
Ｐ ｖ （ ）＝
线性组 合 的分布 问题 是 一 个 重要 的 内容 ， 也是 各 类
考试 的重 点题 型． 但 是 这 部分 内容 分 散 在 教 材 的几
个章节 中 ， 学生较 难 理解 和掌握 ． 特别 对 于工科 大学 生来讲 有些 内容 还 没有 在 教 材 中出 现 ， 成 为 学 习 的
第 １ ６卷 第 ４期 ２ ０ １ ３年 ７月
高 等 数 学 研 究
Ｓ Ｔ Ｕ ＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ＣＳ
Ｖｏ １ ． １ ６。 Ｎｏ ． ４ Ｊ ｕ １ ．，２ ０ １ ３
正态 随机 变 量 线 性 组 合 的分 布 问题
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(4.20)
对比（4.1）知Y ~ N (a b , b 2 2 ).
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： 2 2 Y a bX ~ N (a b , b ). [推论] 设随机变量 X N ( , 2 ) 则标准化的 X * X ~ N (0 ,1). 随机变量 1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
[定理2] 随机变量 X N ( , 2 ) 的充要条件是


X
*
X

~ N (0 ,1).
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理3] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ),
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具有概率密度 f ( x)
1
e
( x 20 ) 2 3200
,
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
设Y为三次测量中误差的绝对值不超过30m出现的次数， 则Y服从二项分布B（3,0.4931），
所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率为
3 1-P （ 0 ） =1 (1 0.4931) 3
0.8698.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X 服从均值为 1 , 标准差 为 2 的正态分布， 而 Y 服从标准正态分布， 试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解： 已知 X 与Y 独立， 且 X ~ N (1 ,2) , Y ~ N (0 ,1) , 所以 W 2 X Y ~ N (2 ,9). 又因为随机变量Z W 3, 于是 Z 2 X Y 3 W 3 ~ N (5 ,9). 由此可知， Z 的概率密度为
则它们的和也服从正态分布， 且有
Z X Y ~ N ( x y , ).
2 x 2 y
证明：见P185
定理2表明： 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
由定理1及定理3 还可得下面更一般的结论. [定理4] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立， 且都
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 [定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布,即 Y a bX ~ N (a b , b 2 2 ).
1 fZ ( z) e 3 2
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( z 5 ) 2 18
, z .
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证： 因为X ~ N ( , 2 ), 其密度为f ( x) X
所以由P83(2.41)知Y的密度为
1 ya 1 fY ( y ) fX ( ) e b b 2 b
1 e 2
( x )2 2 2
(4.1)
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
i 1
i 1
i 1
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m)
40 2 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率. 解：按题意， 每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 2 正态分布 N (20 ,40 ) , 于是 P( X 30) P(30 X 30) 30 20 30 20 ( ) ( ) 40 40 (0.25) (1.25) (0.25) [1 (1.25)] 0.4931.
2 X ~ N ( , 服从正态分布： i i i ), i 1 ,2 , n , 则它们
且有 的线性组合 ci X i 也服从正态分布，
i 1
n
2 2 c X ~ N ( c , c i i i i i i ),
n
n
n
其中 c1 , c2 , , cn 为常数.