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第二章麦克斯威—玻尔兹曼统计（Maxwell—Boltzmann Statistics）统计物理不追求个别粒子的运动细节，而是研究集体行为表现的规律——统计规律。
主要内容是在给定条件下，某时刻系统处于某一状态的概率（或概率分布）。
状态概率描述了大量系统的随机性。
此时某个粒子的初始状态和以后运动轨迹为不重要的细节，动力学规律退为次重地位，而状态概率决定系统的主要性质。
本章的任务是：求ρ，求平均。
对象：孤立，近独立的经典粒子系统近独立系统：若系统粒子密度较低，相互作用力的作用距离短，以致力程远小于粒子的平均自由程，则粒子在行进过程中大部分时间处于自由态，任何时刻系统中只有极小部分粒子处于力程以内，故相互作用仅占次要地位。
近独立系统粒子的能量仅与粒子的本身状态有关，与其它粒子的运动状态无关。
即不考虑相互作用能，系统的能量为各个粒子的能量总和。
即：，是指一个能级上的粒子数。
因为是孤立系统，具有确定的粒子数N 、体积V 、总能U 。
则有约束条件。
∑∑∑====lNi ill lla U a N 1,εεl a ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎭⎬⎫==∑∑000ll l lla a U N δεδδδ§2.1等几原理与M—B 分布（Pinciple of Equal Probability and Maxwell-Boltzmann Distribution ）一、等几原理：自然界没有绝对孤立的系统，体系的能量只能在某个固定的值U 附近的一个小领域内，即人从U 到之间，其中当这些条件给定时，系统所能取的微观状态数是十分巨大的。
这些系统的可能微观状态数以什么样的几率出现，这是统计物理的根本问题，1870年玻尔兹曼给出了回答：即等几原理。
等几原理：对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的几率相等。
这是统计物理的一个基本假设，不可能从经典力学或量子力学中推导出来的，它的正确性是由它引出的推论与实际情况的比较来证实的。
麦克斯韦-玻耳兹曼统计分布律的相对论修正
麦克斯韦-玻耳兹曼统计分布定律是20世纪初科学发展进程中一个重要的里程碑。
该定律关于粒子物理学中电荷运动规律的预测能力受到广泛赞誉和肯定，但随着思想发展的进程，它也受到一定程度的质疑和反对。
根据相对论备受追捧的爱因斯坦在1908年提出的实验结论，24岁的荷兰物理学家玻耳兹曼提出了对此定律的相对论修正。
玻耳兹曼原本担任荷兰阿姆斯特丹主教特罗斯尼克物理学院的助教。
在修正麦克斯韦-玻耳兹曼定律的时候，他首先将物理规律建立在相对论的框架之内，为荷兰物理学发展做出了贡献。
他认为，物理规律在相对论中会有一定程度的改变，因此，需要考虑受到相对论影响的问题。
在玻耳兹曼的帮助下，机构成立了一个独立的研究小组，由博士生代表研究团队，研究团队的主要任务就是修正麦克斯韦-玻耳兹曼定律。
在深入研究和大量实验后，玻耳兹曼发现，当粒子处于高速运动状态时，它的质量会发生改变，而且它的结构会发生改变，受到重力的影响会发生变化，这些都是粒子在高速运动时会遇到的情况。
据研究，他提出了高度正确的预测，使该定律得到进一步的修正。
对麦克斯韦-玻耳兹曼统计定律的修正在相对论的基础上进一步发展，让物理交叉了一个新的里程碑，荷兰物理学家玻耳兹曼的名字也因此被物理史上的pt洞穴永久地铭记并传递至今。
虽然麦克斯韦-玻耳兹曼统计定律的修正目前仍处于试验和实现阶段，但它不断推动我们在物理研究领域取得新突破。
玻耳兹曼统计内容及应用玻耳兹曼统计是物理学中的一种统计力学方法，用于描述大量粒子的行为和性质。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻耳兹曼提出的，为了解释气体的热力学性质和熵的概念。
玻耳兹曼统计在理论物理、材料科学、化学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解物质的微观结构和宏观性质有着重要的意义。
玻耳兹曼统计是统计物理学的一个重要分支，在其基础上建立了统计力学的一般原理，并与热力学结合，使其能够应用于复杂系统的研究。
玻耳兹曼统计是基于微观粒子的运动状态和能量分布来描述宏观系统的性质的一种方法，在理想气体或者近似理想气体的情况下特别适用。
在这样的系统中，粒子之间的相互作用可以忽略，且粒子的能级分布服从玻耳兹曼分布，即服从玻耳兹曼分布的系统的分布函数为：\[f(E) = Ce^{-E/kT}\]其中，\(f(E)\)为能级为E的粒子的分布函数，C为一个常数，\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为系统的温度。
这个分布函数描述了系统中不同能级上的粒子数目与能级之间的关系，以此来描述系统的宏观性质。
玻耳兹曼统计的主要内容包括以下几个方面：1. 系统的分布函数：上述玻耳兹曼分布即描述了系统中粒子的能级分布，由此可以计算出系统的内能、熵等热力学性质。
2. 系统的热力学性质：玻耳兹曼统计可以通过能级分布函数计算系统的内能、熵、自由能等各种热力学性质，从而可以有效地描述系统的热力学行为。
3. 统计力学的基本原理：玻耳兹曼统计建立了统计力学的基本原理，即将微观粒子的行为统计平均后得到宏观系统的性质，为理解和描述复杂系统提供了基础。
4. 热力学中的熵：玻耳兹曼统计的提出对于熵的概念有着重要的影响，将熵与微观粒子的排列方式联系在了一起，从而深化了对熵的理解。
玻耳兹曼统计的应用非常广泛，以下是几个典型的例子：1. 理想气体的性质：理想气体是玻耳兹曼统计的典型应用对象，可以通过玻耳兹曼分布计算气体的内能、熵等性质，并且可以解释气体的热力学行为。
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布统计力学是一门物理学的分支，它研究的是大量微观粒子所组成的系统在宏观上的行为。
而玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是统计力学中的两个重要概念。
首先，让我们来了解一下玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布是描述非简并理想气体平衡态的分布函数。
简单来说，它告诉我们在热力学平衡状态下，不同能级上粒子的数目与相应能级的能量成正比。
根据玻尔兹曼分布定律，粒子在不同能级上的分布可以通过玻尔兹曼因子来描述，玻尔兹曼因子等于自然对数的底e与能级对应的能量除以系统的热力学温度的乘积。
玻尔兹曼分布的重要性在于，它提供了理论上求解热力学平衡态下系统宏观性质的方法。
正是基于玻尔兹曼分布，我们可以计算出气体的压强、体积、温度等宏观物理量的统计平均值。
接下来，我们来探讨一下麦克斯韦速度分布。
麦克斯韦速度分布描述了气体分子在各个速度范围内的分布情况。
根据麦克斯韦速度分布定律，气体中分子的速度分布服从高斯分布，也就是正态分布。
在一维情况下，麦克斯韦速度分布可以用以下公式表示：f(v) = (m/2πkT)^(1/2) * exp(-mv^2/2kT)其中，f(v)表示速度为v的分子的分布函数，m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的热力学温度。
麦克斯韦速度分布告诉我们，气体分子的速度在不同范围内服从不同的分布。
更具体地说，分子的速度大致呈正态分布，而且随着速度的增大而逐渐减小。
这个分布曲线在速度较小的情况下逐渐上升，然后在速度达到峰值后迅速下降。
麦克斯韦速度分布的重要性在于，它可以帮助我们理解气体的热运动性质。
通过麦克斯韦速度分布，我们可以计算出气体中分子的平均速度、平均动能等重要参数，进而推导出气体的热力学性质。
总结一下，统计力学中的玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是描述非简并理想气体平衡态的重要工具。
玻尔兹曼分布告诉我们系统中不同能级上粒子的分布情况，而麦克斯韦速度分布描述了气体分子的速度分布。
玻尔兹曼方程Boltzmann equation玻尔兹曼方程（1）基本概念：对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理。
这能够得到载流子的各种输运参量，但是因为忽略了许多因素，故结果不太精确。
玻尔兹曼方程是经典粒子牛顿力学运动模型，和能态跃迁的量子力学模型相糅合的产物。
如果忽略所有的相干效应，经过一定的简化，可以从量子输运模型中推导出玻尔兹曼方程。
经典的输运理论建立在玻尔兹曼传输理论的基础上，玻尔兹曼理论的基本假设包括：(i) 电子和空穴都是微小粒子；(ii) 粒子之间各自独立，没有相干性，通过散射互相作用；(iii) 粒子可以用Bloch理论描述；(iv) 散射是一种瞬态行为，没有时间和空间上的持续性；(v) 只考虑两个粒子之间的散射，不考虑多个粒子之间的共同作用。
（2）玻尔兹曼方程：Boltzmann equation 又称为玻尔兹曼输运方程，它就是分布函数法中所采用的一种方程，即是非平衡分布函数f(k,r,t)所满足的一个方程，求解此方程可得到不同条件下的f(k,r,t)，然后即可求出电子的各种输运参量。
玻尔兹曼输运方程中考虑到了载流子的速度分布和散射的方向性，因此较为精确。
在有电场或温度梯度等外场的情况下，根据分布函数因电场、磁场、温度梯度等外场而引起的漂移变化以及因散射而引起的变化，即可建立起Boltamann方程，由于其中的散射项应是一个对散射几率的积分, 所以Boltamann方程是一个微分-积分方程。
该方程的求解很复杂, 通常采用近似方法，常用的一种近似方法就是弛豫时间近似。
玻尔兹曼方程是一个高维的方程，三维波矢空间（k），三维实空间（r），再加上一维时间（t），难于求解，常用蒙特卡罗方法来模拟。
（3）局限性：随着半导体器件进入纳米尺度，量子效应对器件性能的影响越来越重要，载流子的输运进入了量子输运的领域，这同时体现在空间和时间两个方面。
