几种常用的数制

常见基数数学的符号
在数学中，常见的基数符号通常用于表示数的底数或基数。

以下是一些常见的基数符号及其含义：
1. 十进制（Decimal）：使用数字0-9来表示数值，基数为10。

没有特定的符号来表示十进制，因为它是最常用的数制。

2. 二进制（Binary）：使用数字0和1来表示数值，基数为2。

在计算机科学中非常常见，因为计算机内部使用二进制进行运算。

二进制的基数可以用下标2来表示，例如二进制数1010表示十进制的10（即2^3 +
0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10）。

3. 八进制（Octal）：使用数字0-7来表示数值，基数为8。

在计算机科学中也常用，因为它可以更紧凑地表示二进制数。

八进制的基数可以用下标8来表示，例如八进制数12表示十进制的10（即8^1 + 2*8^0 = 8 + 2 = 10）。

4. 十六进制（Hexadecimal）：使用数字0-9和字母A-F（或a-f）来表示数值，基数为16。

在计算机科学中常用，因为它可以更紧凑地表示二进制数，并且易于人类阅读和书写。

十六进制的基数可以用下标16或者前缀"0x"或"0X"来表示，例如十六进制数A表示十进制的10（即16^1 + 10*16^0 = 16 + 10 = 26）。

请注意，这些符号主要用于表示数的进制或基数，而不是用于表示特定的数学运算或概念。

在数学中，还有其他符号用于表示各种数学概念和运算，例如加号（+）表示加法，减号（-）表示减法，乘号（×）表示乘法，除号（÷）表示除法，等等。

一、常用数制及其相互转换在我们的日常生活中计数采用了多种记数制，比如：十进制，六十进制（六十秒为一分，六十分为一小时，即基数为60，运算规则是逢六十进一），……。

在计算机中常用到十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数等，下面就这几种在计算机中常用的数制来介绍一下。

1．十进制数我们平时数数采用的是十进制数，这种数据是由十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意组合构成，其特点是逢十进一。

任何一个十进制数均可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。

例如：???这里的10为基数，各位数对应的权是以10为基数的整数次幂。

为了和其它的数制区别开来，我们在十进制数的外面加括号，且在其右下方加注10。

2．二进制数在计算机中，由于其物理特性（只有两种状态：有电、无电）的原因，所以在计算机的物理设备中获取、存储、传递、加工信息时只能采用二进制数。

二进制数是由两个数字0、1任意组合构成的，其特点是逢二进一。

例如：1001，这里不读一千零一，而是读作：一零零一或幺零零幺。

为了与其它的数制的数区别开来，我们在二进制数的外面加括号，且在其右下方加注2，或者在其后标B。

任何一个二进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。

其整数部分的权由低向高依次是：1、2、4、8、16、32、64、128、……，其小数部分的权由高向低依次是：0.5、0.25、0.125、0.0625、……。

二进制数也有其运算规则：加法：0+0=0????0+1=1???1+0=1????1+1=10乘法：0×0=0????0×1=0????1×0=0????1×1=1二进制数与十进制数如何转换：（1）二进制数—→十进制数对于较小的二进制数：对于较大的二进制数：方法1：各位上的数乘权求和??例如：（101101）2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45（1100.1101）2=1×23+1×22+0×21+0×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=12.8125方法2：任何一个二进制数可转化成若干个100…0?的数相加的总和??例如：（101101）2=（100000）2+（1000）2+（100）2+（1）2而这种100…00形式的二进制数与十进制数有如下关联：1后有n个0，则这个二进数所对应的十进制数为2n。

数字设计知识点总结数字设计是计算机科学领域中的一个重要分支，涉及到数字系统的设计和操控。

在这篇文章中，我们将对数字设计的一些关键知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、数字设计概述数字设计是指使用数字信号来处理和操控信息的过程。

它主要包括数字电路设计和数字系统设计两个方面。

数字电路设计关注如何将逻辑门和触发器等基本元件组合成特定功能的逻辑电路。

而数字系统设计则更加注重整个系统的功能和性能。

二、数字信号与模拟信号数字信号是离散的信号，只能取有限个值，常用0和1表示。

而模拟信号是连续的信号，在时间和幅度上都是连续变化的。

数字设计主要处理数字信号，因为数字信号在处理和传输过程中更加稳定和可靠。

三、数字逻辑门数字逻辑门是数字电路的基本组成部分，常见的逻辑门有与门、或门、非门、异或门等。

通过逻辑门的组合和连接，可以构建出更为复杂的数字电路，实现各种功能。

四、数字电路的设计方法在数字电路设计中，常用的设计方法有真值表、卡诺图和逻辑方程等。

真值表是用来描述输入输出关系的表格，卡诺图是一种图形化的最小化方法，逻辑方程则用代数形式表示逻辑功能。

五、时序逻辑与组合逻辑数字电路可以分为时序逻辑和组合逻辑。

组合逻辑的输出只与当前输入有关，没有记忆功能；而时序逻辑的输出还受到过去输入的影响，具有时序性。

常见的时序电路有触发器、计数器等。

六、数字系统的设计层次数字系统的设计可以按照不同的层次进行，从高到低依次为算法级、寄存器传输级、逻辑门级、物理实现级。

不同层次的设计可以有不同的优化方法和工具支持。

七、时钟与同步电路在数字电路中，时钟起着非常重要的作用。

时钟信号用来同步电路中的各个部件，确保它们按照预定的时间步进工作。

同步电路的设计需要考虑时钟的频率、相位以及时序要求等方面。

八、数制与编码在数字设计中，常用的数制有二进制、八进制和十六进制。

二进制是最基础也最常用的数制，其他数制都是二进制的进位表示形式。

编码则是将一定范围内的数字或字符映射成二进制形式，常见的编码方式有BCD码、格雷码等。

计算机常用数制之间的转换在计算机科学中，数制是指用来表示数字的符号系统。

计算机常用的数制有二进制、八进制、十进制和十六进制。

这些数制之间的转换是计算机科学中非常重要的基础知识。

本文将介绍这些数制之间的转换方法。

一、二进制转八进制二进制数是由0和1组成的数，八进制数是由0到7组成的数。

将二进制数转换为八进制数的方法是将二进制数从右往左每三位分成一组，然后将每组转换为对应的八进制数。

如果最左边的一组不足三位，则在左边补0。

例如，将二进制数101101101转换为八进制数的过程如下：101 101 101= 5 5 5因此，二进制数101101101转换为八进制数555。

二、二进制转十进制二进制数转换为十进制数的方法是将二进制数从右往左每一位乘以2的幂次方，然后将结果相加。

例如，将二进制数101101101转换为十进制数的过程如下：1×2^8 + 0×2^7 + 1×2^6 + 1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0= 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1= 365因此，二进制数101101101转换为十进制数365。

三、二进制转十六进制二进制数转换为十六进制数的方法是将二进制数从右往左每四位分成一组，然后将每组转换为对应的十六进制数。

如果最左边的一组不足四位，则在左边补0。

例如，将二进制数101101101转换为十六进制数的过程如下：1011 0110 1= B 6 1因此，二进制数101101101转换为十六进制数B61。

四、八进制转二进制八进制数是由0到7组成的数，二进制数是由0和1组成的数。

将八进制数转换为二进制数的方法是将八进制数的每一位转换为对应的三位二进制数。

例如，将八进制数555转换为二进制数的过程如下：5 5 5= 101 101 101因此，八进制数555转换为二进制数101101101。

几个重要概念重点概念1：计算机中的数据都是以二进制形式进行存储和运算的重点概念2：在计算机中存储数据时，每类数据占据固定长度的二进制数位，而不管其实际长度。

一般长度为字节的整倍数例如：在八位微机中，整数216 存储为11011000B整数56 存储为00111000B复习1）十进制特点：每一位数有02)二进制特点：3）十六进制特点：1（即乘10101000376542复习真值与机器数例：真值与机器数+77机机例：真值与机器数-77机机2数的定点与浮点表示计算机中如何表示实数中的小数点呢？计算机中不用专门的器件表示小数点，而是用数的两种不同的表示法来表示小数点的位置。

根据小数点的位置是否固定，数的表示方法分为定点表示和浮点表示,相应的机器数称为定点数和浮点数。

任意一个二进制数N均可表示为：N＝S·2J其中：最后面或最前面，即分为定点纯小数与定点纯整数两类，如图1-6所示。

01000000定点小数：定取不同的数值，则在计算机中除了要表示尾码示阶码J。

因此，一个浮点数表示为阶码和尾数两部分，尾数一般是定点纯小数，阶码是定点纯整数，其形式如图点N = 2p S点例:X= +10110.01= 2 +101×（+ 0.1011001）26点= 2无符号数带符号数数有正、负→带符号数把符号位和数值位一起编码：原码，反码，补码。

顺时针调：7＋9 ＝4 （mod 12）逆时针调：7－3 ＝4 （mod 12）由于时钟上超过12点时就会自动丢失一个数与原码相同，只要将符号位的得到它的真值。

对一个二进制数按位取反，最低位加1。

(计算机 已知负数的补码求真值在计算机中，用补码表示方法：按位取反，最低位加12 105 2 52 12 26 0[ 105D ] 补8位= 0 –0110 1001B = 0 –69H －D 2000:0 如，用DEBUG 查看到存放在内存中的一组符号数：由最高位判断：0 →正数7DH的真值= 7 ×16 + 13 = 125 D凡是能在计算机内存储或参与运算的都是二进制形式的机器数，计算机只能出别“0”和“1”，对于某个二进别致的最高位究竟应看做为符号位还是数值位，理论上是无法自动识别但是，由于引入了补码概念，使得计算机在进行无符号数和有符号数的运算时能够实现操作的一致性，且结果合理。

计算机中常用的数制一、几种常用的进位计数制1．十进制 (10个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9)2．二进制（2个基本数码：0、1）3．八进制（8个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、7）4．十六进制（16个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F）二、计算机常用的各种进制数的特点三、不同进位计数制间数据的转化1.二进制数转换成十进制数方法：把二进制各数位的权和该位上的数码相乘，乘积逐项相加。

注意：整数部分权由0，1，2依次展开，小数部分权由-1，-2依次展开。

遇0时可以省略，因为0乘以任何数都为0。

例题：把二进制111010和101.101转换成十进制数。

（111010)2=1ⅹ25+1ⅹ24+1ⅹ23+1ⅹ21=(58)10（101.101)2=1ⅹ22+1ⅹ20+1ⅹ2-1+1ⅹ2-3=(5.625)102.十进制数转换成二进制数方法：整数部分“除2取余法”，小数部分“乘2取整法”注意：整数部分在取余数时，从后向前取，小数部分从前向后取。

例题：把十进制205.8125转换成二进制数。

整数部分205转换过程如下：小数部分0.8125转换过程如下：（205.8125)10=(11001101.1101)23.十进制数转换成八进制数方法：整数部分“除8取余法”，小数部分“乘8取整法”注意：整数部分在取余数时，从后向前取，小数部分从前向后取。

例题：把十进制1645.6875转换成八进制数。

（1645.6875)10=(3155.54)84.十进制数转换成十六进制数方法：整数部分“除16取余法”，小数部分“乘16取整法”注意：整数部分在取余数时，从后向前取，小数部分从前向后取。

例题：把十进制205.21875转换成十六进制数。

（205.21875)10=(CD.38)165.十六进制数和八进制数转换成二进制数方法：十六进制和八进制到二进制分别为24和23,因此,把十六进制和八进制数的每一个数码转成3位和4位的二进制即可.注意：整数前的高位O和小数后的低位O可以去掉。

1 计算机中的常用数制进位计数制，按进位的原则计数，超过基数，向左边进位。

日常生活中有10进制、60进制……计算机中有2进制、8进制、16进制等。

1.1 常用的数制数字66是几？先要确定它是几进制数。

在进位计数制中有数位、基数和位权三个要素。

✧数位：是指数码在一个数中所处的位置。

对于任意禁止—J进制，J个数字符号，逢J进一。

例如十进制，逢十进一；✧基数：是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数。

例如十进制，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

✧位权：在一个形成数的数码序列中，各位上的基数的幂有所不同。

例如十进制数，各数位的位权(由右至左)分别为100，101，102，……最常见，最熟悉的是10进制；计算机用2进制；8进制和16进制都是从2进制“派生”出来的。

1.2数制转换二←→十进制之间的转换是基础。

1)非十进制→十进制a n ...a1a0.a-1...a-m (r) = a n×r n+ …+ a1×r1 + a0×r0 +a-1×r-1+...a-m×r-ma i是某一位上的数码，r是基数，r i是权。

不同的基数，表示是不同的进制数。

r 进制转化成十进制：数码乘以各自的权的累加例：10101=1×24+1×22+1×20=21101.11(B)=22+1+2-1+2-2=5.75101(O)=82+1=6571(O)=7x8+1=57101A(H)=163+16+10＝4106注：(B)—表示该数是二进制数；(O)—表示该数是八进制数；(H) —表示该数是16进制数2) 十进制数→非十进制整数部分和小数部分分别计算。

整数—除2取余，到0为止；小数—乘2取整，到0或满足精度为止。

最先算出的数离小数点近。

例：将十进制数转换成二进制数，小数部分和整数部分分别转换：整数部分：小数部分：2 100 0.6252 50 0 离小数点近× 22 25 0 离小数点近1 1.2502 12 1 × 22 6 0 0 0.502 3 0 × 22 1 1 1 1.00 1100.625=1100100.1013) 二、八、十六进制数制间的转换等价关系，3位二进制数对应1位8进制数；4位二进制数对应1位16进制数。

数制转换一、数制1、数制:是人类创造的数的表示方法，它是用一组代码符号和一套统一的规则来表示数的。

如十六进制：有16个代码：0 - 9，A，B，C，D，E，F (A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15) ，逢十六进一。

2、基数:是一种数制中代码符号的个数。

基数常用R表示，逢R进一。

如十进制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个代码，基数为10。

二进制有0和1两个代码，基数为2。

常用数制有十进制、二进制、八进制和十六进制，分别用大写字母D(decimal)、B(binary)、O(octal)和H(hexadecimal)来表示，有的书上用Q作为八进制的表示符号。

3、权:数制中的权是表示在一种数制下的数中某一位置上的数字所代表数值的大小。

对于多位数，每一位数的数字乘以权就是该位数所表示的数值的大小，称为该位的位权。

302=3*102+0*101+2*100二、数制转换不同进位计数制之间的转换原则：是根据两个有理数如相等，则两数的整数和分数部分一定分别相等的原则进行的。

也就是说，若转换前两数相等，转换后仍必须相等。

(一)十进制数与非十进制数之间的转换1、十进制数转换成非十进制数把一个十进制数转换成非十进制数（基数记作R）分成两步.整数部分转换时采用“除R取余倒排法”，直到商为零；小数部分转换时采用“乘R取整顺排法”，直到为零或精确到小数点后几位。

在实现手工转换时，如果对二进制数已经比较熟悉。

基本上记住了以2为底的指数值(20=1,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…)，即二进制数每一位上的权，对十进制数进行转换时，也可以不采用上述规则，基本上可以直接写出来。

例如，(45.625)10＝32＋8＋4＋1＋0.5＋0.125＝(10 1 1 01. 10 1) 2，即(101101.101)2。

(1105)10 = 1024+81 = 1024+ 64+16 + 1= (1000 10 10001) 2，即（10001010001）2。

1.常用的几种数制（1）十进制：十进制的数码用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9来表示（2）二进制：二进制的数码用0和1来表示（3）八进制：八进制的数制用0、1、2、3、4、5、6、7来表示（4）十六进制：十六进制的数码用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ来表示2、数制间的转换（1）二进制数转换成十进制数例1：将二进制（1111.101）2转换成十进制数。

即（1111.101）2=（15.625）10（2）十进制数换成二进制数整数部分：采用“除二取余法”，即将十进制整数反复除以2，每除一次，都取其余数，直到被除数等于零为止。

每次得到的余数的倒排列（先获得的余数为二进制整数的低位，最后获得的余数为二进制整数的高位），就是对应的二进制束整数的各位数。

小数部分：采用“乘2取整法”，即将十进制小数不断乘以2，每乘一次，都把乘积中的整数部分取出，然后用余下的小数继续乘2，一直乘到小数部分为零或满足精度为止。

每次得到的整数的顺排列就是对应的二进制小数的各位数。

例2：将十进制（123.45）10转换成二进制数（将十进制转换成八进制、十六进制类似（辗转相除法））即（123.45）=（1111011.0111）2（3）二进制数与八进制数之间的转换1》八进制数转换成二进制数例3：将八进制数（623.43）8转换成二进制数即（623.43）8=（110010011.100011）22》二进制数转换成八进制数将二进制的整数部分从右向左每三位一组，每一组为一位八进制整数。

最后一组不足三位时应在前面用0补足三位。

将二进制数的小数部分从左向右每三位一组，每一组为八进制小数。

最后一组不足三位数时，应在后面用0补足三位。

例4：将二进制数（10111001110.10101）2转换成八进制数。

即（10111001110.10101）2=（2716.52）8（4）二进制数于十六进制数之间转换1》将十六进制数换成二进制数例5：将十六进制数（B9D）16转换成二进制数即（B9D）16=（101110011101）22》二进制数转换成十六进制数。

计算机常用数制之间的转换计算机常用的数制包括二进制（Binary）、十进制（Decimal）、八进制（Octal）和十六进制（Hexadecimal）。

以下是它们之间的转换方法：1. 二进制转十进制：将二进制数每一位乘以对应位权重（2的幂），然后相加得到十进制数。

例如：二进制数 1011 转为十进制数：(1 × 2^3) + (0 × 2^2) + (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 8 + 2 + 1 = 112. 十进制转二进制：将十进制数连续除以2取余数，直至商为0，将所有余数倒序排列就是二进制数。

例如：十进制数 27 转为二进制数：27 ÷ 2 = 13 余 113 ÷ 2 = 6 余 16 ÷ 2 = 3 余 03 ÷ 2 = 1 余 11 ÷2 = 0 余 1将余数倒序排列得到二进制数 110113. 八进制转二进制：将八进制数每一位转为对应的三位二进制数。

例如：八进制数 753 转为二进制数：7=111，5=101，3=011合并得到二进制数 11110114. 二进制转八进制：将二进制数每三位分组，转为对应的一位八进制数。

例如：二进制数 11011 转为八进制数：11=3，011=3合并得到八进制数 335. 十六进制转二进制：将十六进制数每一位转为对应的四位二进制数。

例如：十六进制数 BA1C 转为二进制数：B=1011，A=1010，1=0001，C=1100合并得到二进制数 10111010000111006. 二进制转十六进制：将二进制数每四位分组，转为对应的一位十六进制数。

例如：二进制数 1011101000011100 转为十六进制数：1011= B，1010= A，0001=1，1100= C合并得到十六进制数 BA1C。

数制的概念及常用数制数制这玩意儿，听起来是不是有点高大上？其实啊，它就像我们日常生活中的小秘密，一旦揭开，那可简单得很呢！咱们先来说说啥是数制。

简单来讲，数制就是计数的方法。

比如说，咱们平时用的十进制，就是因为咱们人类有十个手指头，数起来方便。

这就好像你有十双不同颜色的袜子，每天挑一双穿，十天一轮回，是不是很有规律？那常用的数制都有啥呢？首先就是刚才说的十进制啦。

从 0 到 9 这十个数字，满十就进一位。

这就好比你爬楼梯，每十步一个平台，到了第十步就上一个新平台。

还有二进制，这个在计算机世界里可是超级重要。

二进制只有 0 和1 两个数字，逢二进一。

你想想，这是不是有点像开关，要么开要么关，简单直接。

计算机可不跟咱们人类似，它就喜欢这种简单明了的东西。

八进制呢，就是逢八进一。

这有点像你有八个特别要好的朋友，每次分组活动，八个人一组，多一个就得重新分组。

十六进制就更有意思啦，它用到了 0 到 9 还有 A 到 F 这几个字母。

这就像一个大杂烩，数字和字母一起上阵。

那这些数制有啥用呢？比如说二进制，计算机里的信息都是用二进制来存储和处理的，没有它，咱们的电脑、手机可就没法工作啦。

十进制呢，咱们买东西、算钱可都离不开它。

再想想，要是没有这些数制，世界会变成啥样？那肯定是一团乱麻呀！就好比做饭没有调料，唱歌没有旋律，多糟糕！所以说，数制这东西，虽然看起来有点深奥，但是只要咱们用心去理解，就会发现它其实就在咱们身边，无处不在。

咱们得好好掌握它，才能在数字的世界里畅游无阻，不是吗？总之，数制是咱们理解和运用数字的重要工具，就像钥匙能打开宝箱一样，数制能帮咱们打开数字世界的大门，让咱们看到其中的精彩和奇妙！。