比较锐角三角形函数值大小的方法

1.1 锐角三角函数第2课时教学目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.教学重难点【教学重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 【教学难点】用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习方法探索——交流法.教学过程一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______.DB ACBA C2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt △ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135 B ．1312 C ．125 D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos β D. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,cos ∠ACD 和tan ∠ACD.14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45.求：s△ABD：s△BCD§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程：BDAC一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 236、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33（C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22 ⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒︒15020米30米⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。

30、 45、 60角的正弦值、余弦值、正切值的记忆法
1.口诀法：可用“一二三、三二一、三九二十七”来帮助记忆，如下表：
2.数形定义法：如右图，在含 30角的直角三角形中，三边的比为1︰3︰2，即 30角的对边（或 60角的邻边）为“1”，
60角的对边（或 30角的邻边）为“3”，斜边为“2”；再利用锐角三角函数的定义得到,213030sin ==斜边角的对边 ,233030cos ==斜边角的邻边
30tan =角的邻边角的对边 3030=33，同样可得 60角的三角函数值。

在等腰直角三角形中，三边的比为1︰1︰2，即 45角的对边或邻边都是“1”， 斜边是“
2”； 再由锐角三角函数的定义得,222
14545sin ===斜边角的对边 ,22214545cos ===斜边角的邻边 1454545tan ==角的邻边角的邻边 。

60 ︒
45 ︒ 45 ︒ 30 ︒ 2
1 1
2
3 1。

锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。

锐角三角函数值的求解攻略浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题模式的把握都有非常重要的指导意义.［关键词］三角函数；锐角；求解［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02一、定义法［例1］如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，垂足为E，求sin∠CAD的值.分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CDAD.因此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，以简便表示相关线段长度.解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=CDAD=14.点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，勾股定理在解题中起了关键作用.二、参数法［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，sin A=25，求sin B的值.分析：根据已知条件中的sin A=25，可以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.解：因为∠C=90°，sin A=25，根据此比值可设CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数中正弦的定义可知，sin B=ACAB=21x5x=点评：熟练掌握锐角三角函数中正弦的定义是解决本题的关键所在，若已知条件中给出具体角的比值，通常的做法是引入一个大于0的参数，根据比值设出相应边的长度，然后根据勾股定理求解.三、构造法1.三角形中的构造［例3］如图3，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得DC=12BD，连接AC，若tan B=53，求tan∠CAD的值.分析：本题要求tan∠CAD，但由于∠CAD不在图中已知的直角三角形中，需要另外构造直角三角形，使得∠CAD置于其中.可以过点D作边AD的垂线，构造出直角三角形ADH来解决.解：过点D作边AD的垂线DH交AC于H，垂足为D，如图4所示，根据△BAD为直角三角形可知，∠BAD=∠ADH=90°，所以AB∥DH，易证得△CDH∽△CBA，进而得到DH AB=CD CB，因为已知条件中有DC=12BD，则DH AB=CD CB=13，又在Rt△BAD中，tan B=53，不妨设AD=5k，AB=3k，这样DH=k，故在Rt△ADH中，有tan∠CAD=DHAD=k5k=15.点评：如果在三角形中求相关角的三角函数值时，所求角并不在已知直角三角形中，这时我们就需要通过作垂线段来构造直角三角形，从而将所求角置于直角三角形中，再结合三角函数值的定义求解.本题还运用了相似三角形的相关性质.此外，本题亦可图1图2图3图4［基金项目］本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“核心素养视角下的中学数学命题模式研究”（批准号：DHA17035）成果.数学·解题研究过点C 作直线AD 的垂线，通过构造出两个相似的直角三角形，利用相似比计算出相应的边长求解.2.圆中的构造［例4］如图5，在半径为3的圆O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，求tan D 的值.分析：题中已知条件提及直径AB ，又要求角D 的正切值，自然联想到这里应该是要借助“直径AB 所对的圆周角为直角”这一性质来构造直角三角形，然后将角D 置于其中求解.解：连接BC ，如图6所示，因为AB 为直径，则∠ACB =90°，这样在直角三角形ACB 中，有tan A =BCAC，根据圆周角的性质，不难发现∠A =∠D ，故tan D =BCAC，又圆O 的半径为3，AC =2，那么BC =AB 2-AC 2=36-4=42，所以tan D =BCAC=422=22.点评：在圆中求锐角三角函数值时，利用直径来构造直角三角形是最常用的构造方法，一般还会利用“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”这一性质，将目标角进行等量转化.3.网格中的构造［例5］如图7所示，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为.图7图8分析：因为网格中无直角三角形，所以需要借助网格格点构造直角三角形，不妨通过点B 来构造，连接格点B 、D ，如图8所示，易知△ABD 为直角三角形.解：如图8所示，连接格点B 、D ，根据正方形的对角线的特征，易知△ABD 为直角三角形，可设小正方形的边长为1，则AB =10，AD =22，所以cos A =AD AB =2210=255.点评：在网格中求锐角三角函数值，一般都是借助网格中的格点去构造直角三角形，通常构造的方法也不是唯一的，本题也可以通过补网格，利用格点C 来构造直角三角形.四、等量转化法1.网格中的转化［例6］如图9，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P，则tan∠APD 的值为.图9图10分析：本题可将∠APD 转化为∠BPC ，然后通过小正方形的对角线构造直角三角形解决.解析：连接格点B 、Q ，交DC 于点H ，如图10所示，则BH ⊥DC ，所以tan∠APD =tan∠BPH =BHPH ，若设小正方形的边长为1，那么BH=易知△BDP ∽△ACP ，则DP PC =BD AC =13，所以DP =14DC=那么PH =DH -DP 故tan∠APD =BH PH =22=2.点评：在网格中，若对所求角直接构造直角三角形较困难，可以进行适当的等量转化.本题将∠APD 等量转化为∠BPC 是解题的关键.2.折叠中的转化［例7］如图11，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin∠BFD =.分析：根据折叠的性质，∠A =∠EDF =45°，注意到∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF .这样将∠BFD 等量转化成∠CDE ，再在Rt△CDE 中求解.解析：由题意知，∠A =∠EDF =∠B =45°，在△BFD 中，∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，又因为∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF ，所以∠BFD =∠CDE ，易知CE =1，DE =3，故sin∠BFD =sin∠CDE =CE DE =13.点评：折叠问题中，要紧扣相关角、边之间的等量关系.将∠BFD 等量转化成∠CDE 是成功解决本题的关键一步.锐角三角函数值的求解是中考数学的必考题型，其涉及的题目类型多变，可采用的解题策略也较多，在平时的教学过程中，教师要注意归纳、小结各种解题方法，以便学生在解题时可以信手拈来.（责任编辑黄桂坚）图5图6图11数学·解题研究。

一、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时：1.正弦值随着角度的增大而增大；2.余弦值随着角度的增大而减小；3.正切值随着角度的增大而增大。

4.锐角三角函数值都是正值.5.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；6.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；7.正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

8.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。

二、锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。

所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。

初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。

正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

三、锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1tanα)sin(3α)=3sinα4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°α)cos(3α)=4cos3α3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°α)tan(3α)=(3tanαtan3α)/(13tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3α)和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2] cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2] sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α－β）] sinαsinβ=[1][cos（α+β）cos（αβ）]/2 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（αβ）]/2 sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（αβ）]/2 cosαsinβ=[sin（α+β）sin（αβ）]/2。

用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α； （3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。

解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。

数学篇数苑纵横在求解锐角三角函数问题时，有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清，或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件，或在解题时考虑问题不全面，忽视了要进行分类讨论，从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误，现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.一、对锐角三角函数概念理解不清锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值(数值)，它的值与角的大小有关，与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻，误把“无关”当“有关”.例1在Rt△ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（）.A.都扩大3倍B.都扩大4倍C.不能确定D.没有变化错解：A.错因分析：三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边，直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.正解：D.点拨：锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，当一个锐角大小不变时，其函数值是固定的.二、忽视运用锐角三角函数定义的前提解决任何问题都必须具备一定的条件背景，解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯，直接运用三角函数的定义解题就会出错.例2在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5.试证明sin A +sin B =75．错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ，则sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．错因分析：本题中没有说明∠C =90∘，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明△ABC 为直角三角形，且∠C =90∘后才能用定义解题．正解：设a =3k ，b =4k ，c =5k (k >0)，因为a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，所以△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.所以sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．例3在等腰三角形ABC 中，AB =AC =5，BC =6.求sin B 、cos B 、tan B .错解:∵a =6，b =5，c =5，∴sin B =b c =55=1，cos B =a c =65，tan B =b a =56.错因分析：错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，显然△ABC 不是直角三角形，故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.正解：如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，则解答锐角三角函数问题容易犯的错误江西高安夏宇23数学篇数苑纵横BD =3，∵AB =5，∴AD =AB 2-BD 2=4,∴sin B =AD AB =45，cos B =BD AB =35，tan B =AD BD =43.点拨：锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关，而与锐角作为内角所在的三角形无关，因此必须先构造直角三角形，再求值.三、考虑问题不全面导致漏解锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系，因此，我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确，存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法，以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致，思维不严谨，就会出现漏解的情况.例4在ΔABC 中，AB =122，AC =13，cos ∠B，则BC 边长为（）.A.7 B.17 C.8或17D.7或17错解：作AD ⊥BC 于点D ，如图2，∵cos ∠B 2，∴∠B =45°，∵AB =122，∴AD =BD =12，又∵AC =13，∴CD =5，∴BC =BD +CD =12+5=17，故选B.图2错因分析：错解认为高AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形，应分两种情况:(1)高AD 在△ABC 内部；(2)高AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.正解：∵cos ∠B ，∴∠B =45°，当ΔABC 为钝角三角形时，如图3，∵AB =122，∠B =45°，∴AD =BD =12，∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5，∴BC =BD -CD =12-5=7；当ΔABC 为锐角三角形时，如图2，BC =BD +CD =12+5=17，故选D ．例5Rt△ABC 的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.错解：因为6和8是直角三角形的两边，所以斜边是10，所以最小角的正弦值是610，也就是35.错因分析：已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：（1）6和8是两条直角边，（2）6是直角边，8是斜边.错解忽视了第二种情况.正解：当6和8是直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值35；当6是直角边，8是斜边时，另一直角边是82-62=2727，所以最小角的正弦值为=.综上可知，最小角的正弦值为35或.点拨：对于没有明确三角形高的位置的问题，要注意对高的位置进行分类讨论；在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下，要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外，可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念，把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多种情况，避免出现解题错误.图1图324。