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2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。
2021高考一轮复习 第四讲 函数及其表示一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）若定义在R 的奇函数f(x)在 (−∞,0) 单调递减，且f(2)=0，则满足 xf(x −1)≥0 的x 的取值范围是（ ） A ．[−1,1]∪[3,+∞) B ．[−3,−1]∪[0,1] C ．[−1,0]∪[1,+∞)D ．[−1,0]∪[1,3]2．（5分）已知函数 f(x)={x 3,x ⩾0,−x,x <0.若函数 g(x)=f(x)−|kx 2−2x| (k ∈R) 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−12)∪(2√2,+∞)B ．(−∞,−12)∪(0,2√2)C ．(−∞,0)∪(0,2√2)D ．(−∞,0)∪(2√2,+∞)3．（5分）已知函数 f(x)={lgx,x ≥1−lg(2−x),x <1， g(x)=x 3 ，则方程 f(x)=g(x −1) 所有根的和等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（5分）设函数 y =f(x) 在R 上有意义，对给定实数N ，定义函数 f N (x)={f(x),f(x)≤NN,f(x)>N，则称函数 f N (x) 为 f(x) 的“孪生函数”，若给定函数 f(x)=2−x 2 ， N =−1 ，则 y =f N (x) 的值域为（ ） A ．[1,2]B ．[−1,2]C ．(−∞,1]D ．(−∞,−1]5．（5分）已知函数 f(x)=1−x 2 ， g(x)=msin(π6x)+2−m(m >0) ，若存在 x 1,x 2∈[0,1] ，使得 f(x 1)≥g(x 2) 成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．[1,4)C ．[1,+∞)D ．(0,4)6．（5分）已知函数 f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，则 f[f(14)] 的值是（ ） A ．14B ．4C ．19D ．√37．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x 2−1x−1 与 y =x +1B ．y =1 与 y =x 0C ．y =√x 2−1 与 y =x −1D ．y =x 与 y =log a a x (a >0且a ≠1)8．（5分）已知函数f （x+2）＝x 2，则f （x ）等于（ ）A ．x 2+2B ．x 2-4x+4C ．x 2-2D ．x 2+4x+49．（5分）函数 f(x) 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．f(x)=x 2−12xB ．f(x)=2x (|x|−1)C ．f(x)=|ln|x||D ．f(x)=xe x −110．（5分）设函数 f(x)={x 2−2(x ≥2)log 2x(x <2)，若 f(m)=7 ，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-3D ．311．（5分）下列与函数 y =1√x定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．y =2log 2xB ．y =log 2(12)xC ．y =log 21xD ．y =x 14二、填空题(共7题；共7分)12．（1分）函数 f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 ． 13．（1分）函数f （x ）= √e x −1 的定义域为 。
