高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.1 1
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2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
高中数学必修4 三角函数(1)
高中数学必修4 三角函数（1）一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ；与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y x =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角 ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于o90的角”= ；（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；周长公式 二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，x y O x y O则=αsin ；=αcos ；=αtan如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：ααπ⇒+k 2： ， ， ；ααπ⇒+： ，， ；αα⇒-： ， ， ；ααπ⇒-： ， ， ；ααπ⇒-2：， ， ；ααπ⇒-2： ， ， ；ααπ⇒+2：， ， ；ααπ⇒-23： ， ， ；ααπ⇒+23： ， ， ；诱导公式可用概括为：奇变偶不变，符号看象限（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
36
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线
,������∈Z
=
������
������
=
������π
+
3π 4
,������∈Z
, 如图.
题型一 题型二 题型三
题型二
解简单的三角不等式
【例 2】 解不等式 sin α≥− 12.
解:如图,作直线
y=−
1 2
交单位圆于A,B
两点,则∠xOA=
76π,∠
xOB=− π6.
又
sin
α≥−
1 2
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知 cos α≥12 , 试求出角������的集合. 解:
如图,在平面直角坐标系内作直线
x=
1 2
交单位圆于A,B
两点,当
α
的
终边落在阴影部分时,cos α≥12 , 所以角α 的集合为
������
2�����≤
2������π
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交 点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反 向延长线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正 方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号; 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
x+ 3 > 0,
即
cos
x≥−
1 2
,
且sin
x>
−
23.
由
cos
x≥−
1 2
,
高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)
1.4.1
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
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4.象限角的集合表示
α终边所在 角α的集合 {α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z} _________________________________ {α|k· 360°＋90°<α<k· 360°＋180°，k∈Z} _________________________________________ {α|k· 360°＋180°<α<k· 360°＋270°， __________________________________________
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规律方法
解答此类题目应先在 0°～360°上写出角的集合，
再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集
合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界 的差异.
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【训练3】 如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝
－x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内， 求角α的集合.
类型 正角 负角 零角 定义 逆时针方向旋转 形成的角 按_______________ 图示
顺时针方向旋转 形成的角 按________________
没有作任何旋转 ，称它形 一条射线 _______________ 成了一个零角
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2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几 ____ 象限角 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任 ______. 何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S α＋k· 360°，k∈Z ，即任一与角α终边相同的角， ＝{β|β＝__________________} 整数个周角 的和. 都可以表示成角α与_____________
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解答本题关键是找到 0°～360°范围内，终边落
在直线 y＝x 的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关 系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
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【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k· 360°，k∈Z}∪{α|α＝k· 360°＋180° ，k∈Z} ＝{α|α＝2k· 180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)· 180°，k∈Z} ＝{α |α＝n· 180°，n∈Z}.
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类型三 区域角的表示(互动探究) 【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
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[思路探究] 探究点一 提示 终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？
可分为 x 轴上方部分和 x 轴下方部分. 终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？
探究点二 提示
终边落在同一条直线上的角相差 180°的整数倍. 边界为实线与虚线有区别吗？
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(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，
与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
(3) 因为－ 950 ° 15′ ＝－ 3×360 °＋ 129 ° 45 ′ ，所以在 0 °～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角， 它是第二象限角.
(3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.( × )
(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.( × ) 提示 (1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如
α＝－330°角不一定是锐角，故错. (2)负角小于90°，但不是锐角，故错. (3)α＋β＝k· 180°，k∈Z，故错. (4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
目标定位 1. 认识角的扩充的必要性，了解任意角的
概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能 用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的
角.
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自 主 预 习
1.角的概念 一条射线 绕着______ 端点 从一 (1)角的概念：角可以看成平面内_________ 旋转 到另一个位置所成的图形. 个位置______ (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
解
(1)用 2 010°除以 360°商为 5，余数为 210°.
∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又 β＝210°是第三象限角. ∴α 为第三象限角. (2)与 2 010°终边相同的角：θ ＝k· 360°＋2 010°(k∈Z)， 令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)， 7 7 解得－612≤k<－312(k∈Z)，所以 k＝－6，－5，－4. 将 k 的值代入 k· 360°＋2 010°中得： 角 θ 的值为－150°，210°，570°.
限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和 30°角不相等，但终边相同；故 A、B、C 均不正确.对于 D， 由终边相同的角的概念可知正确.
答案 D
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3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____.
解析 由于直线 y＝－x 是第二、四象限的角平分线，
在 0°～360°间所对应的两个角分别是 135°和 315°， 从而 S＝{α|α＝k· 360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k· 360° ＋315°， k∈Z}＝{α|α＝2k· 180°＋135°， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)· 180 ° ＋ 135 ° ， k ∈ Z} ＝ {α|α ＝ n· 180 ° ＋ 135°，n∈Z}.
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答案 D
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类型二 终边相同的角
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适 合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45°， 在 0°～360°范围内， 终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边 在直线 y＝x 上的角的集合：
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2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为(
A.60°
解析
)
B.－60°
C.30°
D.－30°
由于时针是顺时针旋转， 故时针转过的角度为负
2 数，12×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°.
答案 B
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3.下列各角中与330°角终边相同的角是(
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求在 0°～360°范围内与已知角终边相同的角，
并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成 α＋k· 360° (k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式 求三角函数的值打基础.
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【训练1】 给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；
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[课堂小结]
1. 本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，
定义了正角、负角、零角(按旋转方向)； 2. 按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角； 3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.
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1.－361°的终边落在(
A.第一象限
)
B.第二象限
C.第三象限
答案 四
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类型一 象限角的判定
【例1】 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的
角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210° ，所以在 0°～360° 范
围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限 角.
答案 {α|α＝n· 180°＋135°，n∈Z}
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4.已知角α＝2 010°.
(1)把 α 改写成 k· 360°＋β(k∈Z，0°≤β <360°)的形式，并 指出它是第几象限角； (2)求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且－360°≤θ <720°.
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)
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
解析 与 330°终边相同的角可表示为 α＝330°＋k· 360° (k∈Z)，令 k＝－2，则 α＝－390°.
答案 D
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4.－60°是第象限角.
解析 －60°是顺时针旋转 60°(以 x 轴的非负半轴的为
始边)所得角，故－60°为第四象限角.
探究点三 提示
有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
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解
设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部分组成.
①{α |k·360°＋30°≤α <k·360°＋105°，k∈Z}. ②{α |k·360°＋210°≤α <k·360°＋285°，k∈Z}. ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集： {α |k·360°＋30°≤α <k·360°＋105°，k∈Z} ∪{α |k·360°＋210°≤α <k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k· 180°＋30°≤α <2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{α |(2k＋1)180°＋30°≤α <(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k· 180°＋30°≤α <2k·180°＋105°或(2k＋1)· 180°＋ 30°≤α <(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n· 180°＋30°≤α <n·180°＋105°，n∈Z}.