第5章LTI系统的频域分析

信号的频域分析LTI系统频域分析学院：班级：姓名：学号：指导教师：目录一．实验目的 (1)二．实验原理与方法 (1)三．实验内容 (4)四．实验结果 (5)五．实验总结 (8)一、 实验目的：1、 掌握信号的MATLAB 表示及其可视化方法.2、 掌握信号基本时域运算的MATLAB 实现方法.3、利用MATLAB 分析常用信号，加深对信号时域特性的理解二、实验原理与方法1、连续周期信号的频谱分析实验原理：如果信号满足狄里赫力条件，就可以展开为傅立叶级数形式，即其中T 0 表示基波周期，w 0 为基波频率。

上式定义为周期信号复指数形式的傅里叶级数，系数c k 称为x(t)的傅里叶系数。

同时，傅里叶级数还可以用三角函数的线性组合来表示，即展开为三角函数形式的傅里叶级数。

可见，任何满足狄里赫力条件的周期信号都可以表示成一组谐波关系的复指数函数或三角函数的叠加。

对于第一题中的周期矩形脉冲信号，其傅里叶级数展开式为：该题目中，当A=1，T=1，=0.5时X(t)=1/2 + 2/(n π)sin(n π/2)cos(2πnt);因此可以将信号的频谱化为各次谐波的幅度和相位来表示，根据该信号傅立叶展开式编写MATLAB 命令如下：（1） 该周期矩形信号的傅立叶级数表示为 ：（2）利用MATLAB 绘出前N 次谐波波形，观察N 变化合成信号的变化规律 >> t=-1.5:0.01:1.5;>> N=7; //绘出前7次谐波合成的信号波形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰∑-∞-∞=T dt e t x T c e c t x t jk k k t jk k 000)(1)(0ωω>> x=zeros(size(t));>> for n= 1:1:Nx=x+2/(n*pi)*sin(n*pi/2)*cos(2*pi*n*t); //计算x的傅里叶级数前N次谐波end>> plot(t,x+0.5); //绘出图形>> title(['N=7']); //设定图形名称>> xlabel('Time(sec)'); //添加坐标轴标注时间单位为秒（3）利用MATLAB汇出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。

信号与系统天津大学电子信息工程学院第五章连续系统的复频域分析一、拉普拉斯变换（LT）（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换z1、从FT到双边LT信号f(t)的傅里叶变换（FT）为z许多函数不满足绝对可积条件，其F( jω)中一般都含有冲激函数。

用衰减因子e-σt乘以f(t)，适当选择σ的值，使f(t)·e-σt绝对可积，从而可求得其FT：如果令s＝σ＋jω——称为f(t)的双边LT3z根据FT-1反变换式，可得：——F(s)的双边拉普拉斯反变换z F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。

z记作：F(s)＝_{f(t) }，f(t)＝_-1{F(s) }，或者简52、收敛域（ROC）使双边LT 的象函数F b (s )存在的s 平面的区域称为双边LT 的收敛域z （1）因果信号z （2）反因果信号z（3）双边函数73、单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉氏逆变换4、单边LT的收敛域——F(s)存在的充分条件对于双边LT，必须认真研究收敛域问题，须由F(s)和收敛域共同确定原函数f(t)9LT的收敛域分为以下三种情况：z①收敛域是整个s平面根据收敛条件：推广：凡时宽有限且幅度有限的信号（满足绝对可11②F (s )在s 平面的部分区域收敛z 一般而言，单边LT 的收敛域是在s 平面上σ>σ0的区域。

z 收敛域的横坐标σ0（＝α）称为收敛坐标，直线σ＝σ0称为收敛轴。

③在整个平面上，F (s )都不收敛，即F (s )不存在z 如：、t t 等函数，其随t 上升而增加的速度超过指数阶函数，F (s )不存在。

2t e 如因果信号f (t )满足：（1）在有限区间a <t <b （）内可积，（2）对于某个有，则对于，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。

（教材P214定理）0a b ≤<<∞0σ0lim |()|0,t t f t e σσσ−→∞=>0Re()s σσ=>（二）常用函数的单边LT变换z1、复指数函数13可推出一些函数的LT：15z2、f(t)＝t n·ε(t)，n为正整数17 3、冲激函数δ(t)与冲激偶δ’(t)二、Laplace变换的性质z1、线性性质19 2、尺度变换（比例性）注：a < 0不适用于单边LT213、时移（延时）特性说明：①注意f (t －t 0)·ε(t －t 0) 与f (t －t 0)·ε(t )的区别z②注意延时性与比例性综合应用的情况例123有始周期函数的拉氏变换等于其第一周期的拉氏变换-Ts25z例2（教材P219例5.2－3）试求在t ＝0-时接入的周期性冲激序列的象函数。

上机实验3 连续LTI 系统的频域分析一、 实验目的（1） 掌握连续时间信号傅立叶变换和傅里叶逆变换的实现方法，以及傅里叶变换的时移特性，傅立叶变换的频移特性的实现方法。

（2） 了解傅立叶变换的特点及应用；（3） 掌握函数fourier 和函数ifourier 的调用格式和作用；（4） 掌握傅立叶变换的数值计算方法，以及绘制信号频谱图的方法。

二、实验原理1.系统的频率特性连续的LTI 系统的频率特性又称为频率响应特性，是指系统在正弦信号激励下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，又称系统函数H(w)。

对于一个零状态的线性系统，如图2.3-1所示图 2.3-1 LTI 系统框图其系统函数H(w)=Y(w)/X(w)式中，X(w)为系统信号的傅里叶变换，Y(w)为系统在零状态条件下输出响应信号的傅里叶变换。

系统函数H(w)反映了系统内在的的固有的特性，它取决于系统自身的结构及组成系统元器件的参数，与外部激励无关，是描述系统特性的一个重要参数。

H(w)是w 的复函数，可以表示为：H(w)=|H(w)|e^j ψ(w)其中，|H(w)|随w 的变化而变化的称为系统的幅频特性；ψ(w)随w 变化的规律称为系统的相频特性。

频率特性不仅可以用函数表达式表示，还可以用随频率f 或者w 变化的曲线来描述。

当频率特性曲线采用对数坐标表示时，又称为波特图。

2.连续时间信号的傅里叶变换的数值计算方法∙算法理论依据：F(w)=dt=当f(t)为限时信号时，或可近似看做限时信号时，上式的n可认为是有限的，记为N则可得F(k)=tt式中=2π/(Nt)*k编程中要注意正确生成信号f(t)的N个样本f(Nt)的向量及向量三、涉及的matlab函数∙fourier函数功能：实现信号f(t)的傅里叶变换。

调用格式：F=fourier(f):是符号函数f的傅里叶变换，默认返回函数F是关于w的函数；F=fourier(f,v)：是符号函数f的傅里叶变换，返回函数F是关于v的函数。

实验三 LTI 离散系统的频域分析一、实验目的 1、 利用 Matlab 绘制 LTI 离散系统的零极图；2、 根据离散系统的零极点分布，分析系统单位响应 h(n) 的时域特性；3、 利用 Matlab 求解 LTI 离散系统的幅频特性和相频特性。

二、实验原理 1、离散系统的零极点LTI 离散系统可采用(4-1)所示的线性常系数差分方程来描述，其中y(n)为系统输出信号，x(n)为系统输入信号。

1()()N Mk m k m a y n k b x n m ==-=-∑∑将上式两边进行z 变换得：10111(1)()()()/()()(1)MMjjmj j N Ni kii i q zbzB z H z Y z X z KA z a zp z--==--==-====-∑∏∑∏上式中，A(z)和B(z)均为z 的多项式，可分别进行式因式分解。

c 为常数， q j (j ＝1，2，…，M)为H(z)的M 个零点， p i (i ＝1，2，…，N )为H(z)的N 个极点。

H(z)的零、极点的分布决定了系统的特性，若某离散系统的零、极点已知，则系统函数便可确定。

因此，通过对H(z)零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：离散系统的稳定性；系统单位响应h(n)的时域特性；离散系统的频率特性(幅频响应和相频响应)。

2、离散系统的因果稳定性离散系统因果稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点均位于z 平面的单位圆内。

对于三阶以下的低阶系统，利用求根公式可方便地求出离散系统的极点位置，判断系统的因果稳定性。

对于高阶系统，手工求解极点位置则非常困难，这时可利用MATLAB 来实现。

3、离散系统的频率响应()j ωH e()()[()]()|()j j j j z e H e DTFT h n H z H e eωϕωωω====()j ωH e 称为离散系统的幅频响应，决定了输出序列与输入序列的幅度之比； ()ϕω称为离散系统的相频响应，决定了输出序列和输入序列的相位之差；()j H e ω随ω而变化的曲线称为系统的幅频特性曲线，()ϕω随ω而变化的曲线称为系统的相频特性曲线。

连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、 掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、 掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应 特性的滤波器对信号的滤波作用；3、 学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、 掌握用MATLA 爵言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 苗述方法，深刻理 LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利 用MATLAB 十算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法1连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应(Frequency response ),是指 系统在正弦信号 激励下的稳态响应随 频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况 和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

连续时间LTI 系统的时域及频域分析图上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号， h(t)是系统的单位冲激响。

它们三者之间的关系为：y(t) =x(t)*h(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：Y(j ) =X(j )H(j )3.1或者：H (j ，)二 Y(j -3.2X(浮)H(j )为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即Q0H (代)=Jh(t)e j<s dt3.3由于H(j ■)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果 h(t)是收敛的，或者 说是绝对可积(Absolutly integrabel)的话，那么 H(j •‘)一定存在，而且 H(j •‘)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。

在研究系统的频率响应时，更多的是把x(t)X (f .)y(t)Y(? ■)它表示成极坐标形式：H j)= Hj)e% 3.4上式中，H(jco)称为幅度频率相应(Magnitude response ),反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，申(①)称为相位特性(Phase response )，反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。

实用文档之"一，实验目的"针对LTI系统频率响应，加深了对于基本概念的掌握和理解，学习并掌握了关于LTI系统频率特性的分析方法。

二，实验原理1.连续时间系统的频率响应调用函数freqs:[h,w]:freqs(b,a)计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w中。

h=freqs(b,a，w)b，a分别为表示H(jw）的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w为频率取样点，返回值h就是频率响应在频率取样点上的数值向量。

[h,w]:freqs(b,a,n)计算默认频率范围内n个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。

freqs(b,a,…)这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的频率响应和相频响应。

2.离散时间系统的频率响应调用函数freqz:[H,w]:freqz(b,a，‘whole’)计算0~2πn个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。

H=freqz(b,a，n)b，a分别为有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，返回值H就是频率响应在0到pi范围内n个频率等分点上的数值向量，w包含了这n个频率响应。

[H,w]:freqz(b,a,w) w为频率取样点，计算这些频率点上的频率响应的取样值。

freqz(b,a,…)这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是直接绘出系统的频率响应和相频响应。

三，实验内容（1）已知一个RLC电路构造的二阶高通滤波器如图，其中①计算该电路系统的频率响应及高通截止频率。

答：②利用MATLAB绘制幅度响应和相位响应曲线，比较系统的频率特性与理论计算的结果是否一致。

MATLAB程序如下：b=[0.04 0 0]a=[0.04 0.4 2][H,w]=freqs(b,a)subplot(211)plot(w,abs(H))set(gca,'xtick')set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1])xlabel('\omega(rad/s)')ylabel('Magnitude')title('|H(j\omega)|')grid onsubplot(212)plot(w,angle(H))set(gca,'xtick')xlabel('\omega(rad/s)')ylabel('Phase')title('\phi(\omega)')grid on（2）已知一个RC系统电路如图。