n
1
K * (s z j )
j 1
(s
i 1
n
0
pi )
* s p K s z j 0 i i 1 j 1
m
zj : 开环零点 pi : 开环极点
s n a1 s n1 a2 s n 2
n
an1 s an 0
si : 闭环极点
注意: n-m2时， sn-1前的系数 a1与根轨迹增益K*及 n 开环零点zj均无关，由 s pi 展开产生
因此
pi a1
i 1 n
i 1
考虑到 si a1
i 1 n
n
s
i 1
n
s p
i 1 i i 1
n
i
当n-m 2时
i
是固定不变的，与K* 无关的常数
31
j
0
起始于坐标原点的两条根轨迹在虚轴上，系统临界稳定
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
（4）b<a时，附加一个比(3)更接 近于虚轴的开环零点 sb * G( s) H ( s) K 2 s ( s a) 2条渐近线交点
a ( b) b a a 0 31 2
j
-1
s pi s s 1 s 2 s 0.42 0.38
i 1
-2
思考：系统主导极点在阻尼比=0.707时的K*值？
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第四章
根轨迹图绘制举例
例4 设负反馈系统的开环传递函数为
K * (0.5s 1) G( s) H ( s) 0.5s 2 s 1
1 3 6 K* 3 K*
劳斯表 s 3
s
2
2 K* 0
1行系数全为0 令劳斯表中 s * 6 K 即 K* =6 0
s1 s0
3
劳斯表s2行元素构成辅助方程 3s 2 K * 3s 2 6 0 根轨迹与虚轴的交点为 j 2 sj 2 临界稳定的根轨迹增益K*=6 2 临界稳定的开环增益K=3
si 0
i 1
n
s s 0
s s s
i 1 i
n i 1
n
n
( si ) s
i 1
n i 1
i 1
i
n
n 1
n
si a1 ;
( s ) a
i
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
一定要写 成零极点 表达式
试绘制出系统的根轨迹。
* * K ( s 2) K ( s 2) 解：G( s) H ( s) 2 s 2s 2 ( s 1 j )( s 1 j )
开环极点：p1=-1+j，p2= -1-j 开环零点：z1=-2 2条根轨迹，一条沿负实轴趋于无穷远处
*
j
2条渐近线交点
a a a 0 20 2
实轴上的根轨迹 (-a，0) 分离点坐标d：
1 1 0 d d a
a d 2
-a
-a/2
0
系统为没有开环零点的二阶系统，系统稳定
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（3）b=a时，附加一个比(2)更接近 于虚轴的开环零点 sb * * 1 G( s) H (s) K 2 K 2 s ( s a) s P=-a和z=-b恰好构成开环偶极子 2条渐近线 b=-a 渐近线交角：a = 90, -90
交点： a a (b) 0
P1,2=0的起始角90
j
2
1
K* G( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-2
K*=2K
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
K* 解： 闭环特征方程: 1 G(s) H (s) 1 0 s(s 1)(s 2)
即：
s(s 1)(s 2) K * s3 3s 2 2s K * 0
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第四章
1 绘制根轨迹图的基本法则
法则7 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交 闭环特征方程有纯虚根，若 其它特征根均位于左半S平面,则系统处于临界稳定 交点的两种求法 (1)劳斯判据法：用劳斯判据求纯虚根和相应的根轨 迹增益K* (2)代数法：s j 代入特征方程，得 1 G( j ) H ( j ) 0
p 4＝90
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
在控制系统设计中，有时为改善系统的性能而附 加开环实零点，由此给根轨迹带来明显的改变 例6 设单位负反馈系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) 2 , (a 0常数) s ( s a)
分析附加一个实数开环零点-b (b0)时系统根轨迹 的变化 （1）b→∞；（2）b>a； （3）b=a ； （4）b<a; （5）b=0 K* 解：（1） G( s) H ( s) 2 s ( s a) 开环极点：p1=0, p2= 0，p3=-a 开环零点：无
K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会 有另外一些根轨迹分支向右移动
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
求例2中系统主导极点在临界阻尼比时的K*值 解：系统的开环传递函数
K* G( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)
j
临界阻尼比=1，对应系统的 分离点，两重根为-0.42 系统闭环特征方程 1 G(s)H (s) 0
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
3条根轨迹沿3条渐近线趋于无穷 渐近线交角：a = 60, 180 交点： a a a
30 3
j
实轴上的根轨迹 (-∞, -a) 相当于有一个无穷远的实数零点,即b→∞ a/3 P1,2=0的起始角 2 p1 180o (2k 1) ( p1 p3 ), k 0,1 a p 90 , p 270
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第四章
根轨迹图绘制举例
实轴上的根轨迹 (-, -2) 分离点坐标d： 1 1 1 d 1 j d 1 j d 2 d = 0.59(舍去) d = 3.41 p1＝-1 +j 的起始角
d
j
135o
z1 -2
p1
j1
-1 p2 -135o
0
只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0
时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为
圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆 的一部分。 思考：系统有一对共轭复根所对应的K*值范围？
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根轨迹图绘制举例
例5 设负反馈系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
j
(ba)/2 b 00
a
实轴上的根轨迹 (-a, -b) P1,2=0的起始角90 根轨迹与虚轴无交点 起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位 于左半s平面，系统稳定
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附加开环零点对根轨迹的影响
(5)b=0,附加一个位于原点的开环零点
sb 1 * G( s) H ( s) K 2 K s ( s a) s(s a)
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绘制根轨迹图的基本法则
方法2： 闭环特征方程 s3 3s 2 2s K * 0
K s 3s 2s
* 3 2
s 0.42
0.38
j
方法3：由模值条件
K＝
3
*
2
s p sz
j 1 i 1 m
n
1
i
-4 -3 -2 -1 0 1
分离点 d=-0.42
-4 -3 -2 -1
2
1
0
1
-1
s 3s 2s K 0
3 2 *
si 3
i 1
3
( si ) K *
i 1
3
分离点处 K*=0.38
s3 2.156
-2
(0.42*2 s3 ) 3
K * 0.422 *2.156 0.38
p3 180o ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 )
180 ( 2 4 j ) (2 4 j ) (8 j ) 180 ( arctg 2 180 ) arctg 2 90 90
K * 3 2＝0
2 ＝0
3
思考：系统稳定 的开环增益和根 轨迹增益范围？
2 根轨迹与虚轴的交点为 j 2 临界稳定的根轨迹增益 K* =6 * K 6 临界稳定的开环增益K=3
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6 绘制根轨迹图的基本法则
法则8 闭环极点(特征根)的和与积 m 系统闭环特征 方程(n>m时) 即：
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4 绘制根轨迹图的基本法则
j
2
j 2
1
临界稳定 K*=6， K=3
1
-4
-3
-2
-1
0
j 2
-2
-1
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绘制根轨迹图的基本法则
代数法求解：
s j 代入系统闭环特征方程 s3 3s2 2s K * 0
( j )3 3( j )2 2( j ) K * 0 ( K * 3 2 ) j (2 3 ) 0
sb G( s) H ( s) K 2 s ( s a)
*
j
(ba)/2 a 0 0
b
实轴上的根轨迹 (-b, -a) P1,2=0的起始角90 根轨迹与虚轴无交点 起始于坐标原点的两条根轨迹的渐 近线位于右半s平面，系统不稳定
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附加开环零点对根轨迹的影响
p 180o ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180o (1 j ) (2 j ) 180 45 90 135
p 2 =－135
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根轨迹图绘制举例
结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，
1 2
0
根轨迹与虚轴无交点 起始于坐标原点的两条根轨迹始终位于 右半s平面，系统不稳定
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附加开环零点对根轨迹的影响
（ 2 ） b >a 时 开环极点：p1=0, p2= 0，p3=-a 开环零点-来自百度文库 2条渐近线 渐近线交角：a = 90, -90
a ( b) b a a 0 交点： 31 2
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第四章
根轨迹图绘制举例
实轴上的根轨迹 (-4, 0) 分离点坐标d：
1 1 1 1 0 d d 4 d 24 j d 24 j
求根轨迹与虚轴交点：
系统闭环特征方程
(d 2)(d 2 4d 10) 0
分离点：d 2, d 2 j 6 p3＝-2+4j 的起始角
p3 j
试绘制出系统的根轨迹。 解：开环极点：p1=0, p2= -4， p2 p3=-2+4j，p4= =-2-4j 开环零点：无 -4 4条根轨迹沿4条渐近线趋于无穷 渐近线交角： a = 45, 135 4 交点：
a
j1
-2
-1 0 p1
p
i 1
i
0
40
2
p4
Re1 G( j ) H ( j ) 0 联立求解 根轨迹与虚轴的交点处ω值 Im1 G( j ) H ( j ) 0 和相应的临界K* 值。
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
求例2中根轨迹与虚轴的交点及临界稳定的开环增益。
系统的开环传递函数 K G( s ) H ( s ) s( s 1)(0.5 s 1) 零极点标准形式
s 8s 36s 80s K 0
4 3 2 *
令
s j
( j )4 8( j )3 36( j )2 8( j ) K * 0 ( 4 36 2 K * ) j(8 3 80 ) 0
K* =260 s = j3.16
