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第四章 线性系统的根轨迹法(二)

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第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】

第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】

根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2

夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】

夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】

夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章　线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。

证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。

由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。

MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。

可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。

图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。

解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。

①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。

图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。

③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。

图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。

图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。

第四章根轨迹法4-2

第四章根轨迹法4-2

P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
即 其中
P( s ) Q( s ) P( s ) Q( s )
d [ln P(s)] d [ln Q(s)]
ds
ds
P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等
于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程
求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
i1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
（2）由劳斯判据求临界稳定时的特征根；
9
根之和与 根之积
n
pcj
n
p
j
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j 1
pj
K1
m
i 1
zi
19
例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。
G(s)H(s)
K1
s(s 4)(s 6)
ω4 -36ω2 K0 jω80 - 8ω2 0
ω4 -36ω2 K0 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K0 260
( (4)出射角
极点-p3的出射角 ： 3 180 (2k 1) (2 90 180 2 ) 90
同理不难求得极点-p4处的出射角： 4 90

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法

《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，

自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)

自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)
dK * (4 s 3 24 s 2 72 s 80) 0 ds b1 2 b2, 3 2 j 2.45
p3、p4的连接线上
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm

(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
大连民族学院机电信息工程学院

根轨迹法的基本概念


K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。

自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析


q 0，2， 1 … ， G(S ) H (S ) 180(2q 1), 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根 轨迹上的充要条件。
一、绘制 根轨迹的 条件
• 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。 （1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
jω ∞
如果系统的开环增益K（根轨迹
增益K1）从0向变化时，系统闭环 曲线，如图所示。 这样获得的曲线称为K1从0向变
K=0 × 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
K K=0.25 K=0 × K ∞ σ
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化
参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描
nm
当q=0时，求得的渐进线倾角最小，q增大，倾角值将重 复出现，而独立的渐进线只有（n－m）条．
（2）渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
在计算时，考 虑到共轭复数极点、 零点的虚部总是相 互抵消，只须把开 环零、极点的实部 代入即可．
K1 【例4-3】设系统的开环传递函数为：G(S ) H (S ) S (S 1)(S 2)
幅值条件改写
jω ∞
j )
(s z (s
i 1 j 1 n
m
K
pi )
1 K1
K=0 × -1 K
K=0.25 K=0 ×
σ
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
pi ，即起点是开环极点。∞
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。

第四章 根轨迹分析法 2


4. 牛顿余数定理
（1）求出表达式 Ps D(s)N(s) N(s)D(s)
（2）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴 坐标附件找一个试探点 s1。
（3）用 s s1 去除 Ps ，得出商多项式 Qs 及余数，该余数记
为 R1 ；
（4）再用 s s1 去除商多项式 Qs，得第二个余数，定义为 R2 ；
s2 3
k gp
s1 6-kgp 3
s0 kgp
令 6-kgp 3
0 kgp
6
由辅助方程求交点坐标：
3s2 Hale Waihona Puke 6 0s1,2 2 j
法则10 闭环极点的和与积
若n-m>=2，则有
n
n
(sj ) ( pj ) const
j1
j1
证明：
开环传递函数：
m
根轨迹的入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点出的切线同正 实轴的夹角。
j
[s]
p1 p1 z1
z1
0 z2
z2 p2 p2
m
n
先求出射角： (s zi ) (s pj ) 180o (2k 1)
i 1
j 1
• s1 →-p1则 0, (s1 pa ) a
1802k 1 (180 arctan1) arctan 1 90 71.6
j
2
p4 p3 71.6
7) 根轨迹同虚轴的交点：
-p3
1.1j
p3
j
特征方程 s4 5s3 8s2 6s kg 0
令s j
-p2 s1
-3

4第四章__根轨迹法(2)

3
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )


Kc s2


K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
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K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会 有另外一些根轨迹分支向右移动
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自动控制原理
第四章
绘制根轨迹图的基本法则
求例2中系统主导极点在临界阻尼比时的K*值 解：系统的开环传递函数
K* G( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)
j
临界阻尼比=1，对应系统的 分离点，两重根为-0.42 系统闭环特征方程 1 G(s)H (s) 0
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第四章
根轨迹图绘制举例
实轴上的根轨迹 (-, -2) 分离点坐标d： 1 1 1 d 1 j d 1 j d 2 d = 0.59(舍去) d = 3.41 p1＝-1 +j 的起始角
d
j
135o
z1 -2
p1
j1
-1 p2 -135o
0

p 180o ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180o (1 j ) (2 j ) 180 45 90 135
p 2 =－135
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第四章
根轨迹图绘制举例
结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，
分离点 d=-0.42
-4 -3 -2 -1
2
1Hale Waihona Puke 01-1s 3s 2s K 0
3 2 *
si 3
i 1
3
( si ) K *
i 1
3
分离点处 K*=0.38
s3 2.156
-2
(0.42*2 s3 ) 3
K * 0.422 *2.156 0.38
只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0
时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为
圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆 的一部分。 思考：系统有一对共轭复根所对应的K*值范围？
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第四章
根轨迹图绘制举例
例5 设负反馈系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
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自动控制原理
第四章
根轨迹图绘制举例
实轴上的根轨迹 (-4, 0) 分离点坐标d：
1 1 1 1 0 d d 4 d 24 j d 24 j
求根轨迹与虚轴交点：
系统闭环特征方程
(d 2)(d 2 4d 10) 0
分离点：d 2, d 2 j 6 p3＝-2+4j 的起始角
31
j
0

起始于坐标原点的两条根轨迹在虚轴上，系统临界稳定
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
（4）b<a时，附加一个比(3)更接 近于虚轴的开环零点 sb * G( s) H ( s) K 2 s ( s a) 2条渐近线交点
a ( b) b a a 0 31 2
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
方法2： 闭环特征方程 s3 3s 2 2s K * 0
K s 3s 2s
* 3 2
s 0.42
0.38
j
方法3：由模值条件
K＝
3
*
2
s p sz
j 1 i 1 m
n
1
i
-4 -3 -2 -1 0 1
p 4＝90
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
在控制系统设计中，有时为改善系统的性能而附 加开环实零点，由此给根轨迹带来明显的改变 例6 设单位负反馈系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) 2 , (a 0常数) s ( s a)
分析附加一个实数开环零点-b (b0)时系统根轨迹 的变化 （1）b→∞；（2）b>a； （3）b=a ； （4）b<a; （5）b=0 K* 解：（1） G( s) H ( s) 2 s ( s a) 开环极点：p1=0, p2= 0，p3=-a 开环零点：无
si 0
i 1
n
s s 0
s s s
i 1 i
n i 1
n
n
( si ) s
i 1
n i 1
i 1
i
n
n 1
n
si a1 ;
( s ) a
i
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
（3）b=a时，附加一个比(2)更接近 于虚轴的开环零点 sb * * 1 G( s) H (s) K 2 K 2 s ( s a) s P=-a和z=-b恰好构成开环偶极子 2条渐近线 b=-a 渐近线交角：a = 90, -90
交点： a a (b) 0
P1,2=0的起始角90
j
(ba)/2 b 00
a

实轴上的根轨迹 (-a, -b) P1,2=0的起始角90 根轨迹与虚轴无交点 起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位 于左半s平面，系统稳定
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
(5)b=0,附加一个位于原点的开环零点
sb 1 * G( s) H ( s) K 2 K s ( s a) s(s a)
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第四章
4 绘制根轨迹图的基本法则
j
2
j 2
1
临界稳定 K*=6， K=3
1
-4
-3
-2
-1
0
j 2
-2
-1
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
代数法求解：
s j 代入系统闭环特征方程 s3 3s2 2s K * 0
( j )3 3( j )2 2( j ) K * 0 ( K * 3 2 ) j (2 3 ) 0
一定要写 成零极点 表达式
试绘制出系统的根轨迹。
* * K ( s 2) K ( s 2) 解：G( s) H ( s) 2 s 2s 2 ( s 1 j )( s 1 j )
开环极点：p1=-1+j，p2= -1-j 开环零点：z1=-2 2条根轨迹，一条沿负实轴趋于无穷远处
j
2
1
K* G( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-2
K*=2K
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自动控制原理
第四章
绘制根轨迹图的基本法则
K* 解： 闭环特征方程: 1 G(s) H (s) 1 0 s(s 1)(s 2)
即：
s(s 1)(s 2) K * s3 3s 2 2s K * 0
j
-1
s pi s s 1 s 2 s 0.42 0.38
i 1
-2
思考：系统主导极点在阻尼比=0.707时的K*值？
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第四章
根轨迹图绘制举例
例4 设负反馈系统的开环传递函数为
K * (0.5s 1) G( s) H ( s) 0.5s 2 s 1
K * 3 2＝0
2 ＝0
3
思考：系统稳定 的开环增益和根 轨迹增益范围？
2 根轨迹与虚轴的交点为 j 2 临界稳定的根轨迹增益 K* =6 * K 6 临界稳定的开环增益K=3
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6 绘制根轨迹图的基本法则
法则8 闭环极点(特征根)的和与积 m 系统闭环特征 方程(n>m时) 即：
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1 绘制根轨迹图的基本法则
法则7 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交 闭环特征方程有纯虚根，若 其它特征根均位于左半S平面,则系统处于临界稳定 交点的两种求法 (1)劳斯判据法：用劳斯判据求纯虚根和相应的根轨 迹增益K* (2)代数法：s j 代入特征方程，得 1 G( j ) H ( j ) 0
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
3条根轨迹沿3条渐近线趋于无穷 渐近线交角：a = 60, 180 交点： a a a
30 3
j
实轴上的根轨迹 (-∞, -a) 相当于有一个无穷远的实数零点,即b→∞ a/3 P1,2=0的起始角 2 p1 180o (2k 1) ( p1 p3 ), k 0,1 a p 90 , p 270
Re1 G( j ) H ( j ) 0 联立求解 根轨迹与虚轴的交点处ω值 Im1 G( j ) H ( j ) 0 和相应的临界K* 值。
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绘制根轨迹图的基本法则
求例2中根轨迹与虚轴的交点及临界稳定的开环增益。
系统的开环传递函数 K G( s ) H ( s ) s( s 1)(0.5 s 1) 零极点标准形式
s 8s 36s 80s K 0
4 3 2 *
令
s j
( j )4 8( j )3 36( j )2 8( j ) K * 0 ( 4 36 2 K * ) j(8 3 80 ) 0