第四章数值积分

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a b ——(4.17)
§4.5 龙贝(Romberg)方法
复化的柯特斯公式，结构简单，易于上机实现，但 收敛速度慢，为节约计算工作量，产生龙贝方法。
Romberg算法是在积分区间逐次分半的过程中，对 用复化梯形法产生的近似值进行加权平均，以获得 准确程度较高的近似值的一种方法。 优点：公式简练，使用方便，结果可靠。
§4.3 自动选取积分步长
复化求积方法对提高精度是行之有效的，但是使用 复化求积公式之前必须给出合适的步长，步长取的 太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增 加。而事先给出一个恰当的步长是困难的。 实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长 逐次折半（或称步长二分）的过程中，反复利用复 化的求积公式进行计算，直到二分前后两次积分近 似值相当符合为止。 下面以梯形公式为例，探求变步长的计算规律。
ab 1 若除a、c 、b三点外，再增加点d a (b a)与 2 4 3 e a (b a)，类似前面的方法，可构造四次插值多项 4 式，从而求出下列牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）公式。
ba 1 ab C [7 f (a ) 32 f (a (b a )) 12 f ( ) 90 4 2 3 32 f (a (b a )) 7 f (b)] ——(4.4) 4
x b xa P f (a) f (b) 1 ( x) a b ba
并计算
T P ( x)dx 作为积分值的近似值，得 1 a
ba T [ f (a ) f (b)] 2
b
——(4.2)
即梯形求积公式
二、辛卜生求积公式：
ab 取a、c 、b作二次插值，得 2
( x c)( x b) ( x a)( x b) ( x a)( x c) P2 ( x) f (a) f (c ) f (b) (a c)(a b) (c a)(c b) (b a)(b c)
（1）


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1
xdx ，4等分积分区间；
x e （2 ） 0 sin xdx，8等分积分区间 ；
（3 ） 0 x cos xdx ，6等分积分区间。

答案：
（ 1） （ 2） （ 3）
§4.4
求积公式的误差
一、梯形公式：
1、若设f ( x)在[a, b]上连续，可以证明梯形公式的截断误差为
一、基本原理：
1、基本公式（求T）：
将[a, b]n等分，由上节的误差估计式 (4.11)
baba I Tn f (1 ) 12 n
由公式 (4.11),
2
2
ba 再把步长h 二分， n
baba 有I T2n f (2 ) 12 2n
2、复化辛卜生公式(4.6)截断误差：
h5 I Sn [ f (4) (1 ) f (4) (n )] —— (4.14) 2880 ba 4 若 max f (4) ( x) m1，则： I Sn h m1 ——(4.15) a x b 2880
二、复化梯形求积公式：
由梯形公式，在第i个小区间上
h Ii P ( x)dx [ f ( xi ) f ( xi 1 )] xi 1 1 2 n n 1 h Ii [ f (a) f (b) 2 f ( xi )] 2 i 1 i 1
xi
n 1 h 记Tn [ f (a) f (b) 2 f ( xi )] 2 i 1
2
h h 2 [ f ( x ) f ( x )] 2 [ f ( x ) f ( x )] 其积分值为： 1 1 i 1 i i i 2 2 2 2 h [ f ( xi 1 ) 2 f ( xi 1 ) f ( xi )] 2 4 h n h n 故T2 n [ f ( xi 1 ) f ( xi )] f ( xi 1 ) ——(4.8) 2 4 i 1 2 i 1 n 1 h 注意到Tn [ f (a) f (b) 2 f ( xi )] 2 i 1 n 1 h 代入上式得：T2 n Tn f ( xi 1 ) ——(4.9) 2 2 2 i 1 计算T2n，只需调用n次f ，使计算量节约了一半。
——(4.6)
四、复化牛顿－柯特斯公式：
将( xi 1 , xi )四等分，依次记为xi 3，xi 1，xi 1
4 2 4
则有复化牛顿－柯特斯公式：
n n h Cn [7 f (a) 32 f ( xi 3 ) 12 f ( xi 1 ) 4 2 90 i 1 i 1
(b a)3 I T f ( ) 12 a b
——(4.10)
证明：由第二章余项公式，有：
1 b I T f ( )( x a )( x b)dx 2 a a b
由f ( x)连续，( x) ( x a)( x b)在[a, b]上不变号，
由第二积分中值定理知，在[a, b]内必存在一点，使

b
a
f ( )( x a)( x b)dx f ( ) ( x a)( x b)dx
a
b
(b a)3 f ( ) 12
于是(4.10)成立。
2、复化梯形求积公式 (4.5)截断误差：
ba 2 I Tn h f ( ) 12
§4.2
复化求积公式
当积分区间[a，b]较大时，直接使用上述公式所得近似 值的精度很低，实际应用中往往采用复合求积的方法。
一、定义：将积分区间分成几个小区间，在每个小
区间上用上述公式计算积分的近似值，即为复化求积。
一般将[a, b] n等分，记分点为xi a ih，（i 0,1, n), ba 其中h 称为步长。 n
1 即I T2 n (T2 n Tn ) 3
——(4.18)
按估计式(4.18)，
1 积分近似值T2 n的误差大约为 (T2 n Tn )，因此，如果用 3 这个误差值作为T2 n的一种补偿，可以期望，所得到的
1 4 1 T T2 n (T2 n Tn ) T2 n Tn ——(4.19) 3 3 3
可能是更好的结果。
［例］计算： 0
1
4 1 x2
dx （§4.2 例题）
解法一：利用复化梯形公式变步长的方法，
1 h n T2 n Tn f ( xi 1 ) 2 2 2 i 1
先在[0,1]上使用梯形公式得：
Tn：将(a, b) n等分，共n 1个点，f 调用n 1次。
T2 n：（对每一Tn再平分），共2n 1个点，f 调用2n 1次。
注：T2n中有n 1个点是Tn的，另外n个点是新的， 故实际只需调用f n次。
为了避免重复计算的浪费， 下面探讨T2n与Tn之间的关系：
将( xi 1 , xi )二分，增加xi - 1 后，用复化梯形公式，
——(4.5)
称为复化梯形公式
三、复化辛卜生公式
记( xi 1，xi )的中点为xi 1，则有复化辛卜生求积公式：
2
xi xi 1 Sn [ f ( xi 1 ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi )] 2 6 i 1
n
n n 1 h 即Sn [ f (a) f (b) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi )] 2 6 i 1 i 1
1 4 1 (b a ) f (a ) (b a ) f (c) (b a ) f (b) 6 6 6 (b a ) ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] ——(4.3) 6 2
(4.3)称为辛卜生(Simpson)公式（或抛物线求积公式）。
三、牛顿－柯特斯公式：
第四章 数值积分
§4.1 梯形求积公式、Simpson求积公 式和Newton-Cotes公式 §4.2 复化求积公式 §4.3 自动选取积分步长 §4.4 求积公式的误差 §4.5 龙贝(Romberg)方法
引

b b
言
工程上经常用到积分运算，但用牛顿－莱布 尼兹公式计算定积分时常遇到如下情况：
a
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
a
（） 1 f ( x)的结构复杂，求原函数困难；
（2）f ( x)的原函数不能用初等函数表示；
（3）f ( x)的精确表达式不知道，只给出了 一张由实验提供的数据表。
因此要求建立积分的近似计算方法。
※常用插值多项式来构造数值求积公式
32 f ( xi 1 ) 14 f ( xi ) 7 f (b)]
i 1
4
n
n 1 i 1
——(4.7)
［例］计算：
= 3.138988494
4 2 1 x 0
1
dx
k 8
7 1 T f (0) 2 f ( x ) f (1) 解： 8 i 16 i 1
从而求得求积公式
S
b a b ( x a )( x b) b ( x a )( x c ) ( x c)( x b) f (a)dx f (c)dx f (b)dx a a (a c)(a b) (c a)(c b) (b a)(b c)
a x b
a b ——(4.11)
若 max | f ( x) | m，则上式有
ba 2 I Tn hm 12
——(4.12)
二、辛卜生公式：
1、辛卜生公式(4.3)截断误差：
(b a)5 (4) I S f ( ) 2880