最新人教版七年级数学上册：巧解时针与分针夹角问题专题训练及解析.docx

人教版七年级数学上册第四章角复习题五（含答案)上午9点半时，时针与分针的夹角是多少度？【答案】105°【解析】试题分析: 时针与分针的夹角为3个大格，且加上时针多走的30分钟的角度即可求得结论.试题解析：30⨯+⨯=+=.30330901510560点睛：本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．62．计算：（1）''6252139-(3)22°16′×5 （4）+（2）''1329783742°15′÷5【答案】（1）92°6′；（2）40°26′；(3)111°20′；（4）8°27′【解析】试题分析:（1）将度与度、分与分分别进行运算，满60进1，即可得答案；（2）将度与度、分与分分别进行运算，借1作60，相减即可得答案；（2）将度乘以5，分乘以5，满60要进1，即可得答案；（4）将度除以5，分除以5，然后再将小数点后面的度化为分，即可得答案.试题解析：（1）'''''+=+++=+='；13297837137829379166926（2）''''''=；62521396121653940264026-=-+-=+（3）''''221652251651108011120⨯=⨯+⨯=+=；（4）'''''421554251558.4380.4603827827''÷=÷+÷=+=+⨯+=+=。

63．下列图形中有哪些角？请用适当的方法把图中的角表示出来．【答案】∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD ．【解析】试题分析：先找到图中角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可．试题解析：图中所有的角为∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD.点睛：此题考查了角的定义，也考查了角的表示，除用三个大写字母表示外，也可用数字或希腊字母来表示，但需在靠近顶点处加上弧线．64．某人晚上六点多钟离家外出，时针与分针的夹角是110°，回家时发现时间还未到七点，且时针与分针的夹角为110°，请你推算此人外出了多长时间？【答案】此人外出40分钟【解析】试题分析：根据时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，设6点x 分外出，时针从6点整开始走过的角度为0.5x 度，分针走过的角度为6x 度，进而得出180+0.5x-6x=110，求出x ；设6点y 分返回，因为返回时发现时针和分针的夹角又是110°，所以有6y-（180+0.5y）=110，求出y，y-x即为外出了多长时间.解：设6点x分外出，因为手表上的时针和分针的夹角是110°，所以180+0.5x-6x=110，解得x=14011，所以此人6点14011分外出；再设6点y分返回，因为返回时发现时针和分针的夹角又是110°，所以6y-（180+0.5y）=110，解得y=58011，所以此人6点58011分返回，580 11-14011=44011=40（分钟），答：即此人外出共用了40分钟．65．如图，一辆汽车在马路上行驶，∠AOB=40°，∠CO′D=140°，若这辆汽车向右拐，则需拐多大角度的弯？若这辆汽车向左拐，则需拐多少角度的弯？【答案】向右拐需要140°弯，向左拐需要40°弯【解析】试题分析：以汽车正在行驶即图中箭头方向为正前方，则汽车向右拐时，拐过的角为∠AFE，汽车向左拐时，拐过的角为∠CFE.解：如图，汽车向右拐时，拐过的角为∠AFE=140°，即向右拐需要140°弯；汽车向左拐时，拐过的角为∠CFE=40°，即向左拐需要40°弯.66．计算下列各题：（1）77°42′+34°45′（2）108°54′－79°32′（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）【答案】（1）112°27′（2）29°22′（3）180°9′（4）133°25′4″【解析】试题分析：当进行减法计算时，按先秒再分最后度的运算顺序，当不够时向前一位借1；当进行加法和乘法时，度、分、秒分别计算即可；当进行除法时，按先度再分最后秒，每级有余数时，余数移到下一级. 运算最后都要化简，使分和秒小于60.解：（1）77°42′+34°45′=111°87′=112°27′；（2）108°54′－79°32′=29°22′；（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′39″－7°55′+12°38′30″=187°55′9″－7°55′=180°9″；（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）=165°75′80″-32°51′16″=133°24′64″=133°25′4″.67．如图,已知BC平分∠DBE,BA分∠DBE成3∶4两部分,若∠ABC=8°,求∠DBE的度数.【答案】112°【解析】试题分析:根据BA分∠DBE成3:4两部分,可设∠DBA=3x°, 则∠ABE=4x°根据角的倍分关系以及和差关系列出方程进行求解即可.试题解析:设∠DBA=3x°,则∠ABE=4x°,∠DBE=7x°,∵BC平分∠DBE,∴∠DBC=12∠DBE=72x,∴∠ABC=∠DBC－∠DBA=72x－3x=12x,∵∠ABC=8°,∴12x=8,解得x=16,∴∠DBE=7x=7×16°=112°,∴∠DNE的度数是112°.点睛:本题主要考查了角的计算,解决本题的关键要正确设出∠DBA=3x°,根据BA分∠DBE成3:4两部分,列出方程.68．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处.（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=__________（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数．【答案】(1)25°；（2）25°.【解析】试题分析:(1)根据∠MON和∠BOC的度数可以算出∠MOC的度数,(2)根据OC是∠MOB的平分线,可求出∠MOC=65°, ∠BOC=65°,因为∠MON=90°,利用角的和差关系可求出: ∠CON=∠MON－∠MOC=90°－65°=25°, ∠BON=∠BOC－∠CON,即∠BON=65°－25°=40°.试题解析:(1)因为∠MON=90°,∠BOC=65°,所以∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°.故答案为25°.(2)因为∠BOC=65°,OC是∠MOB的平分线,所以∠MOB=2∠BOC=130°,所以∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°,所以∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°.点睛:本题主要考查角的和差关系以及角平分线的定义进行角度的计算,解决本题的关键要学会分析简单的几何图形,弄清角与角之间的和差关系.69．阅读解题过程，回答问题．如图，OC 在AOB ∠内，AOB ∠和COD ∠都是直角，且BOC 30∠=，求AOD ∠的度数．解：过O 点作射线OM ，使点M ，O ，A 在同一直线上．因为MOD BOD 90∠∠+=，BOC BOD 90∠∠+=，所以BOC MOD ∠∠=，所以AOD 180BOC 18030150∠∠=-=-=()1如果BOC 60∠=，那么AOD ∠等于多少度？如果BOC n ∠=，那么AOD ∠等于多少度？ ()2如果AOB DOC x ∠∠==，AOD y ∠=，求BOC ∠的度数．【答案】（1）120°，180°-n °；（2）2x °-y °.【解析】试题分析:(1)根据角的和差关系进行计算可求得:如果∠BOC=60°时,∠AOD=∠COD+∠AOC=∠COD+(90°－∠COB )= 90°+(90°－60°)= 90°+30°=120°,如果∠BOC=n °时,∠AOD=∠COD+∠AOC=∠COD+(90°－∠COB )= 90°+(90°－n °)= 180°－n°,(2)根据角的和差关系进行计算可得:∠BOC=∠AOD－∠DOB－∠AOC =∠AOD－(∠DOC－∠COB)－(∠AOB－∠COB),所以∠BOC=∠AOD－∠DOC+∠COB－∠AOB+∠COB,所以∠BOC=∠DOC+∠AOB－∠AOD,如果∠AOB=∠DOC=x°,∠AOD=y°,所以∠BOC= 2x°－y°.试题解析:(1)如果∠BOC=60°,那么∠AOD=180°-60°=120°,如果∠BOC=n°,那么∠AOD=180°-n°,(2)因为∠AOB=∠DOC=x°,∠AOD=y°,且∠AOD=∠AOB+∠DOC-∠BOC,所以∠BOC=∠AOB+∠DOC-∠AOD=2x°-y°.70．计算:(1)179°-72°18'54″;(2)360°÷7(精确到秒).【答案】（1）106°41'6″;（2）51°25'43″.【解析】试题分析:(1)先根据度,分,秒之间的进率是60进行变形,然后再相减即可,(2)先计算360°÷7,把余数化成分,除以7,最后再把余数化成秒,再除以7即可得出答案.试题解析:(1)179°-72°18'54″,=178°59'60″-72°18'54″,=106°41'6″,(2)360°÷7=51°+180'÷7=51°25'+300″÷7≈51°25'43″.三、填空题。

人教版七年级数学上册第四章角复习题四（含答案)上午九点半钟时，钟面上的时针与分针的夹角是_________度；【答案】105【解析】【分析】9点30分时，时针在9和10的正中间，分针指着6，根据相邻2个数字间相隔30°计算即可．【详解】9点30分时，时针与分针之间相隔3.5个间隔，所以钟面上的时针和分针的夹角是3.5×30=105°．故答案为：105．【点睛】考查钟面角的相关计算；得到时针与分针之间相隔的准确间隔是解决本题的关键．82．若∠α=38o42'，则∠α的补角等于_____．【答案】141.3o（141o18'）【解析】【分析】本题考查两个角互补的概念：和为180°的两个角互为补角．【详解】根据定义，∠a的补角=180°-38°42′=141°18′．故答案为141°18′．【点睛】此题属于基础题，较简单，主要记住互为补角的两个角的和为180°．83．度、分、秒换算：27.24°=_____°_____′_____″．【答案】27 14 24．【解析】【分析】根据大单位化小单位乘进率，可得答案.【详解】解：27.24°=27° 14′24″，故答案为27，14，24.【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘进率是解题关键.84．若船A在灯塔B的北偏东30°方向上，则灯塔B在船A的_________方向上．【答案】南偏西30°【解析】【分析】本题画出A、B的位置，即分别以A、B为为原点，分别画出A、B的正北、正南、正西、正东方向，标出A与B的关系即可求解.【详解】从图中可以看出，B在A的南偏西30°.故答案为：南偏西30°.【点睛】本题考察一个物体相对于另一物体的位置，注意这类题中“北偏东30°”的含义，是从正北方向开始，向东方向偏，偏角为30°.85．如图．将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____ .【答案】45°【解析】【分析】根据折叠的性质可以得出∠EBD=12∠ABD, ∠FBD=12∠CBD,即可求出∠EBF.【详解】解：将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF得到∠EBD=∠ABE=12∠ABD, ∠FBD=∠CBF=12∠CBD∠∠ABC=90°∠∠EBF=∠EBD+∠FBD=12∠ABD+12∠CBD=12∠ABC=45°故答案为：45°【点睛】本题主要考查了折叠的性质及角度的计算，掌握概念是解题的关键.86．已知：∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOD 的度数_____．【答案】17°或163°．【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD=12∠AOC，再分OB在∠AOC内部时，∠BOD=∠AOB﹣∠AOD，OB在∠AOC外部时，∠BOD=∠AOD+∠AOB分别计算即可得解．【详解】∵∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOC=12×146°=73°，OB在∠AOC内部时，如图1，∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=90°﹣73°=17°，OB在∠AOC外部时，如图2，∠BOD=∠AOD+∠AOB=73°+90°=163°，所以，∠BOD的度数是17°或163°．故答案为17°或163°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．87．计算3800″=____°___′___″. 48°39′+67°41′=___°___′【答案】1 3 20 116 20【解析】【分析】依据度分秒的换算关系进行计算即可．【详解】3800″=1°3′20″48°39′+67°41′=115°80′=116°20′.故答案为：1；3；20；116；20.【点睛】本题考查的知识点是度分秒的换算，解题关键是注意分的结果若满60，则转化为度.88．如果∠A=32°18’，那么∠A的余角等于____.【答案】57°42′；【解析】【分析】根据余角的定义计算．【详解】如果∠A=32°18′，那么∠A的余角等于90°−32°18′=57°42′.故答案填57°42′.【点睛】本题考查了余角与补角的定义，解题的关键是熟练的掌握余角的定义.89．如图所示，将长方形ABCD的一角沿AE折叠，若∠BAD′=30°，那么∠EAD′=_____°．【答案】30【解析】【分析】首先根据矩形的性质得出∠DAD′的度数，再根据翻折变换的性质得出∠DAE=∠EAD′=12∠DAD′即可得出答案．【详解】解：∵∠BAD′=30°，∴∠DAD′=90°-30°=60°，∵将长方形ABCD的一角沿AE折叠，∴∠DAE=∠EAD′=12∠DAD′=30°．故答案为30．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及角的计算，根据已知得出∠DAE=∠EAD′是解题关键．90．一个角的余角是54°26′，则这个角的补角是_____．【答案】144°26′【解析】【分析】根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角互为补角，可得答案．【详解】解：∵一个角的余角是54°26′，∴这个角为：90°﹣54°26′＝35°34′，∴这个角的补角为：180°﹣35°34′＝144°26′．故答案为144°26′．【点睛】本题考查余角和补角，通过它们的定义来解答即可．。

人教版七年级数学上册第四章角复习题三（含答案)钟表上的时间为9点，这时时针和分针之间的夹角（小于平角）的度数是（）A．120°B．105°C．100°D．90°【答案】D【解析】【分析】由于钟表上的时间为9点，即时针指向9，分针指向12，这时时针和分针之间有3大格，根据钟面被分成12大格，每大格为30°即可得到它们的夹角．【详解】∵钟表上的时间为晚上9点，即时针指向9，分针指向12，∴这时时针和分针之间的夹角（小于平角）的度数=（12-9）×30°=90°．故选D．【点睛】本题考查了钟面角的问题：钟面被分成12大格，每大格为30°．12．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB ＋∠DOC的值（）A．小于180°或等于180°B．等于180°C．大于180°D．大于180°或等于180°【解析】【分析】因为两直角直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOC+∠DOB，再根据角的度数进行计算．【详解】∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOB+∠DOC=∠AOD+∠DOC+∠DOB=90°+90°=180°．故选B．【点睛】每副三角板中，都有一个等腰三角板和一个直角三角板，根据角的度数可以进行计算，也可以画出一些特殊度数的角．13．小明从A地向南偏东m°（0＜m＜90）的方向行走到B地，然后向左转30°行走到C地，则下面表述中，正确的个数是（）①B可能在C的北偏西m°方向；②当m＜60时，B在C的北偏西(m＋30)°方向；③B不可能在C的南偏西m°方向；④当m＞60时，B在C的南偏西(150－m)°方向A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时；②当m=60°时；③当60°＜m＜90°时；分别画出图形，根据方位角的知识即可解决问题．【详解】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时，如图1．∵0°＜m＜60°，∴30°＜m+30°＜90°，∴∠MCB= （m＋30）°，∴B在C的北偏西（m＋30）°方向，故②正确；∵m＋30＞m，∴B不可能在C的北偏西m°方向；∴①错误；②当m=60°时，如图2，m+30°=90°，∴∠MCB= 90°，∴B在C 的正西方向；③当60°＜m＜90°时，如图3．∵60°＜m＜90°，∴90°＜m+30°＜120°，∴∠BCN= 180°－（m+30°）=（150－m）°，∴B在C的南偏西（150－m）°方向，故④正确．当150－m= m时，解得：m=75°，∴当m=75°时，B在C的南偏西m°方向，故③错误．故选B．【点睛】本题考查了有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质求角，解答本题的关键是分类讨论．14．时钟在2时40分时，时针与分针所夹的角的度数是（）A．180°B．170°C．160°D．150°【答案】C【解析】【分析】2点时，分针与时针相差两大格，即60°，根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则40分钟后它们的夹角为40×6°-2×30°-40×0.5°．【详解】解：2点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数=40×6°-2×30°-40×0.5°=160°．故选C．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．15．一条船沿北偏东50°方向航行到某地，然后沿原航线返回，返回时正确的航行方向是（）A．南偏西50°B．南偏东50°C．北偏西50°D．北偏东50°【答案】A【解析】【分析】根据方位角的概念画图即可．【详解】解：一条船沿北偏东50°方向航行到某地，然后沿原航线返回，返回时正确的航行方向是南偏西50°．故选：A．【点睛】此题主要考查了方向角的判断，解题的关键是正确画出图形．16．如果一个角的补角是150 ，那么这个角的余角是（）A．30°B．60°C．90°D．180°【答案】B【解析】【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可．【详解】解：180°−150°＝30°，那么这个角的余角是90°−30°＝60°．故选B．【点睛】本题考查互余和互补的概念，和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角．17．轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B处观测到轮船A的方向是（）A．南偏西32°B．东偏南32°C．南偏东58°D．南偏东32°【答案】D【解析】【分析】根据方向角的概念可得答案．【详解】解：轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B 处观测到轮船A的方向是南偏东32°，故选D．【点睛】本题考查了方向角，利用了方向相对的关系．18．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB=（）A．150°B．180°C．90°D．135°【答案】B【解析】由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC+∠BOD=∠COD，根据角之间的和差关系，即可求解．【详解】∠AOC+∠DOB，=∠AOB+∠BOC+∠DOB，=∠AOB+∠COD，=90°+90°，=180°．故选B．【点睛】本题考查了余角和补角的定义；找出∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠DOB是解题的关键．19．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD=100°，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）A．50°B．80°C．80°或150°D．50°或110°【答案】D【解析】【分析】分射线OC、OD在直线AB的两侧两种情况作出图形，在同一侧时，根据平角等于180°列式计算即可得解，在两侧时，先求出∠AOD，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．如图，射线OC、OD在直线AB的同一侧时，∵∠COD=100°，∴∠BOD=180°-100°-∠AOC=180°-100°-30°=50°，射线OC、OD在直线AB的两侧时，∵∠COD=100°，∴∠AOD=100°-∠AOC=100°-30°=70°，∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-70°=110°，综上所述，∠BOD的度数50°或110°．故选D．【点睛】本题考查了余角和补角，难点在于考虑射线OC、OD在直线AB的两侧两种情况，作出图形更形象直观．20．已知∠AOB和∠DEF，如果移动∠DEF使得顶点O与顶点E重合，边ED与边OA叠合，边EF在∠AOB内部，那么∠AOB和∠DEF大小关系是（）A．∠AOB＞∠DEF B．∠AOB＜∠DEF C．∠AOB＝∠DEFD．不能确定【答案】A【解析】依据叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．【详解】如图，由叠合法可得，∠AOB＞∠DEF，故选：A．【点睛】本题主要考查了角的大小的比较，将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置即可．二、填空题。

有关时针分针夹角的计算钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。

如何来计算两针的夹角呢？通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置，两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。

由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。

时针旋转一圈是12时从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度；分针旋转一圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，所以分针1分钟旋转6度。

一、整点两针夹角的计算：例1 、2点整时针分的夹角是多少度？分析：时针从0点旋转到2点，旋转了2×30°=60°；分针没有旋转，从0分到0分，转了0°。

所以两针的夹角为60°-0°=60°。

解：2×30°-0×6°=60°练习1：6点整时，时针分针的夹角是多少度？8点整呢？（提示：当所计算的夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。

）二、非整点两针夹角的计算：例2 、计算3点40分时两针的夹角。

分析：3点40分时，时针以正对0点为始边，以2以到3点40分时为终边，旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°；分针以正对0分为始边，以旋转到40分时为终边，旋转角度为：40×6°=240°。

分针旋转角度大于时针旋转角度，所以两针夹角为240°-110°=130度。

练习2：计算10点过5分时两针的夹角。

归纳总结：时间为m点n分时，时针分针的夹角计算公式是：先算分针走过的角度：6°×n再算时针走过的角度：30°×m＋0.5°×n，然后相减。

新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。

1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。

解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。

又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。

2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。

1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。

2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。

解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。

所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。

因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。

2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。

七年级上册数学钟面问题一、时针与分针的夹角问题。

1. 3点整时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：钟面一圈为360°，钟面被分成12个大格，所以每一个大格的角度为360÷12 = 30^∘。

3点整时，时针指向3，分针指向12，中间有3个大格，所以夹角为3×30 = 90^∘。

2. 4点30分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针走30分钟，转了半圈，即180^∘。

时针每小时走一个大格，即30^∘，那么半小时时针走了30÷2=15^∘。

4点时，时针与分针夹角为4×30 = 120^∘，4点30分时，夹角为180 - (120 + 15)=45^∘。

3. 9点15分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针15分钟转了15×6 = 90^∘（因为分针每分钟转6^∘）。

时针每小时转30^∘，15分钟是(15)/(60)=(1)/(4)小时，时针9点15分转了9×30+(1)/(4)×30 = 270 + 7.5=277.5^∘。

所以夹角为277.5 - 90=187.5^∘。

4. 5点20分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针20分钟转了20×6 = 120^∘。

时针每小时转30^∘，20分钟是(1)/(3)小时，时针5点20分转了5×30+(1)/(3)×30=150 + 10 = 160^∘。

所以夹角为160 - 120 = 40^∘。

5. 2点40分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针40分钟转了40×6 = 240^∘。

时针每小时转30^∘，40分钟是(2)/(3)小时，时针2点40分转了2×30+(2)/(3)×30 = 60+20 = 80^∘。

所以夹角为240 - 80 = 160^∘。

二、时针与分针重合问题。

6. 时针与分针在12点整重合，下一次重合是什么时间？- 解析：分针每分钟转6^∘，时针每分钟转0.5^∘。

角一. 选择题1．钟表在1点30分时，它的时针和分针所成的角度是（）A．135° B．125° C．145° D．115°【答案】A【分析】根据钟表上的指针确定出所求角度数即可，时针每分钟走0.5°，钟面每小格的角度为6°．【详解】根据题意得：钟表在1点30分时，它的时针和分针所成的角度是135°，故选：A．2． 12点15分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为A．B．C．D．【答案】C【分析】时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，所以钟表上12小时15分，求出时针与分针的夹角即可．【详解】12点15分时，时钟的时针与分针的夹角是6°×15−0.25×30°＝82.5度．故选：C．【名师点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动6°，时针每小时转动30°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．3．已知，，则与的大小关系是A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】分析：一度等于60′，知道分与度之间的转化，统一单位后比较大小即可求解．详解：∵∠α=21′,∠β=0.35°=21′，∴∠α=∠β.故选：A.4．如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠AOC也可以用∠O表示C．∠β＝∠BOC D．图中有三个角【答案】B【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．【详解】A、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；B、∠AOC也可用∠O来表示，说法错误；C、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；D、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；故选：B．5．如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是 ( ）A．4个B．8个C．9个D．10个【答案】D【分析】先以OA为角的一边，最大角为∠AOB，依次得到以OD、OC、OE、OB为另一边的五个角；然后利用同样的方法得到其他角，最后计算所有角的和即可求解.【详解】点O出发的五条射线，可以组成的小于平角的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE.故答案选D.6．钟表4点30分时，时针与分针所成的角的度数为( )A．45°B．30°C．60°D．75°【答案】A【分析】钟表上按小时算分12个格，每个格对应的是30度，分针走一圈时针走一格，30分钟走半格，4点30分时针和分针的夹角是45度。

专题6 角一、单选题1．（新人教版数学七年级上册第四章几何图形初步4.3.2《角的比较与运算》课时练习）如图所示，从点O出发的5条射线，可以组成的角的个数是（）．A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D2．北京时间上午8：30时，时钟上时针和分针之间的夹角(小于平角)是（）A. 85°B. 75°C. 70°D. 60°【答案】B【解析】在钟面上，被12小时划分为12大格，每1大格对应的度数是30度，上午8:30的时候，时针指向8时和9时的中间位置，分针指向6时，两针之间刚好间隔2.5格，∴8:30时，时针和分针之间的夹角为：30° 2.5=75°.3．如图，下列说法错误的是（）A. OA的方向是北偏东40°B. OB的方向是北偏西75°C. OC的方向是西南方向D. OD的方向是南偏东40°【答案】A【解析】A选项中，由图可知“OA的方向是北偏东50°”，所以本选项说法错误；B选项中，由图可知：“OB的方向是北偏西75°”是正确的；C选项中，由图可知；“OC的方向是西南方向”是正确的；D选项中，由图可知：“OD的方向是南偏东40°”是正确的；故选A.4．下列说法正确的是（）A. A在B的南偏东30°的方向上，则B也在A的南偏东30°的方向上；B. A在B的南偏东30°的方向上，则B在A的南偏东60°的方向上；C. A在B的南偏东30°的方向上，则B在A的北偏西30°的方向上；D. A在B的南偏东30°的方向上，则B在A的北偏西60°的方向上【答案】C5．（北师大版数学七年级上册第四章基本平面图形4.3角同步测试题）一个角是70°18′，则这个角等于（）A. 70.18° B. 70.3° C. 70.018° D. 70.03°【答案】B【解析】70°18′=70°+18′ 60=70°+0.3°=70.3°.故选B.6．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是()A. ∠AOB<∠AODB. ∠BOC<∠AOBC. ∠COD>∠AODD. ∠AOB>∠AOC【答案】C【解析】观察图形可知：A.∠AOB＜∠AOD正确；B.∠BOC＜∠AOB正确；C.∠COD＞∠AOD错误；D.∠AOB＞∠AOC正确.故选C.7．（新人教版数学七年级上册第四章几何图形初步4.3.2《角的比较与运算》课时练）下列语句中，正确的是（）．A. 比直角大的角钝角; B. 比平角小的角是钝角C. 钝角的平分线把钝角分为两个锐角;D. 钝角与锐角的差是锐角【答案】C8．（新人教版数学七年级上册第四章几何图形初步4.3.1《角》课时练习）已知α 、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四个同学的计算16（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，则得到正确结果的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四个同学的计算16（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，那么这四个同学计算α+β的结果依次为168°、288°、360°、528°，又因为两个钝角的和应大于180°且小于360°，所以只有乙同学的计算正确，故选B.9．（山东省东昌府区梁水镇中心中学2016-2017学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，如果∠AOC=∠BOD，则∠AOB与∠DOC的大小关系是（）A. ∠AOB>∠DOCB. ∠AOB<∠DOCC. ∠AOB=∠DOCD. 无法比较【答案】C【解析】∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，∴∠AOB=∠DOC.故选C.10．如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为( )。

角一. 选择题.1．钟表在1点30分时,它的时针和分针所成的角度是（）.A．135° B．125° C．145° D．115°【答案】A【分析】根据钟表上的指针确定出所求角度数即可,时针每分钟走0.5°,钟面每小格的角度为6°．【详解】根据题意得：钟表在1点30分时,它的时针和分针所成的角度是135°,故选：A．2． 12点15分,钟表上时针与分针所成的夹角的度数为.A．B．C．D．【答案】C【分析】:时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,所以钟表上12小时15分,求出时针与分针的夹角即可．【详解】12点15分时,时钟的时针与分针的夹角是6°×15−0.25×30°＝82.5度．故选：C．【名师点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中,常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动6°,时针每小时转动30°,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．3．已知,,则与的大小关系是A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】:分析：一度等于60′,知道分与度之间的转化,统一单位后比较大小即可求解．详解：∵∠α=21′,∠β=0.35°=21′,∴∠α=∠β.故选：A.4．如图,下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠AOC也可以用∠O表示C．∠β＝∠BOC D．图中有三个角【答案】B【分析】:根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示,也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间,唯有在顶点处只有一个角的情况,才可用顶点处的一个字母来记这个角,否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α,∠β,∠γ、…）表示,或用阿拉伯数字（∠1,∠2…）表示进行分析即可．【详解】A、∠1与∠AOB是同一个角,说法正确；B、∠AOC也可用∠O来表示,说法错误；C、∠β与∠BOC是同一个角,说法正确；D、图中共有三个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC,说法正确；故选：B．5．如图所示,从O点出发的五条射线,可以组成小于平角的角的个数是 ( ）A．4个B．8个C．9个D．10个【答案】D【分析】:先以OA为角的一边,最大角为∠AOB,依次得到以OD、OC、OE、OB为另一边的五个角；然后利用同样的方法得到其他角,最后计算所有角的和即可求解.【详解】点O出发的五条射线,可以组成的小于平角的角有：∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE.故答案选D.6．钟表4点30分时,时针与分针所成的角的度数为( )A．45°B．30°C．60°D．75°【答案】A【分析】钟表上按小时算分12个格,每个格对应的是30度,分针走一圈时针走一格,30分钟走半格,4点30分时针和分针的夹角是45度。

2023-2024学年人教版七年级数学上学期4.3角一．选择题（共7小题）1．如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．2．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．3．上午9点30分，时钟的时针和分针成的较小的角为（）A．105°B．90°C．100°D．120°4．已知A、B两地的位置如图所示，且∠BAC＝60°，那么下列语句正确的是（）A．A地在B地的北偏东60°方向B．A地在B地的北偏东30°方向C．B地在A地的北偏东60°方向D．B地在A地的北偏东30°方向5．用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（）A．B．C．D．6．150′＝（）A．25°B．15°C．2.5°D．1.5°7．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）8．图中共有个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有个．9．如图，点O在直线DB上，已知∠1＝15°，∠AOC＝90°，则∠2的度数为．10．如图，∠AOB的度数是°．2023-2024学年人教版七年级数学上学期4.3角参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．故选：D．2．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是A中的图，B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，故选：A．3．上午9点30分，时钟的时针和分针成的较小的角为（）A．105°B．90°C．100°D．120°【解答】解：上午9点30分，时针与分针相距3.5份，上午9点30分，时钟的时针和分针成的锐角为30°×3.5＝105°，故选：A．4．已知A、B两地的位置如图所示，且∠BAC＝60°，那么下列语句正确的是（）A．A地在B地的北偏东60°方向B．A地在B地的北偏东30°方向C．B地在A地的北偏东60°方向D．B地在A地的北偏东30°方向【解答】解：∵∠BAC＝60°，∴B地在A地的北偏东30°方向．故选：D．5．用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．6．150′＝（）A．25°B．15°C．2.5°D．1.5°【解答】解：150′＝（150÷60）°＝2.5°，故选：C．7．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；故选：A．二．填空题（共3小题）8．图中共有7个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有2个．【解答】解：共有7个小于平角的角，分别为：∠BAD，∠DAC，∠BAC，∠B，∠ADB，∠ADC，∠C，其中可用一个大写字母表示的角有2个．故答案为：7，2．9．如图，点O在直线DB上，已知∠1＝15°，∠AOC＝90°，则∠2的度数为105°．【解答】解：∵∠1＝15°，∠AOC＝90°，∴∠COB＝75°，∴∠2＝180°﹣∠COB＝105°．故答案为：105°．10．如图，∠AOB的度数是60°．【解答】解：由题可得，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60．。

时针分针夹角问题练习题钟表是我们日常生活中常见的工具，而针对钟表上的时针和分针之间的夹角问题也是数学中的一个经典习题。

在这里，我们将通过几个练习题来加深我们对时针和分针夹角问题的理解。

1. 假设现在是上午11点15分，请问时针和分针之间的夹角是多少度？解答：首先，我们需要明确一个知识点，即时针每小时转动30度，每分钟转动0.5度；而分针每分钟转动6度。

现在时针已经指向11点，即转动了11个小时，所以时针指向的位置是330度（11 * 30度）。

而分针已经指向了15分钟，即转动了15 * 0.5度 = 7.5度。

因此，时针和分针之间的夹角是330度 - 7.5度 = 322.5度。

2. 假设现在是下午2点40分，请问时针和分针之间的夹角是多少度？解答：时针已经转动到了2点，即转动了2 * 30度 = 60度；而分针已经指向了40 * 0.5度 = 20度。

因此，时针和分针之间的夹角是60度 - 20度 = 40度。

3. 假设现在是早上8点20分，请问时针和分针之间的夹角是多少度？解答：时针已经转动到了8点，即转动了240度；而分针已经指向了20 * 0.5度 = 10度。

因此，时针和分针之间的夹角是240度 - 10度 = 230度。

通过以上的练习题，我们可以发现时针和分针之间的夹角是会随着时间的流逝而变化的。

在整个钟面上，时针和分针之间的夹角范围是0度到360度。

此外，我们还可以进一步探讨其他类似的问题。

比如，时针、分针和秒针之间的夹角是多少度？同样按照上述方法进行计算后，我们可以得出这个问题的答案。

总结起来，时针和分针夹角问题是一个有趣又实用的数学概念。

通过这些练习题的训练，我们可以更好地理解钟表的运作原理，提高数学计算能力，锻炼思维能力，从而更好地应用于日常生活中的实际问题中。

希望通过这些练习题的讨论，我们对于时针和分针夹角问题有了更深入的了解，并能够在实践中灵活运用。

钟表不仅仅是我们生活中的一种工具，也是我们数学学习中的一个有趣而重要的知识点。

人教版七年级数学上册第四章角复习题四（含答案)上午8点35分时，钟表的时针与分针的夹角为__________°．【答案】47.5°【解析】【分析】钟表被分成12格，时针每小时转过1格，时针每小时旋转30°，同理可求出时针和分针每分钟转过的角度；接下来分别求出所给时刻时针和分针相对于12:00时转过的角度，求差即可.【详解】时针每小时旋转30°，每分钟旋转（12）°.而分针每分钟旋转6°，设时针与分针所夹角为α，则α=30°×8+（12）°×35-6°×35=47.5°∴时针与分针所夹角度为47.5°.故答案为47.5°.【点睛】本题考查的知识点是钟面角，解题的关键是熟练的掌握钟面角. 72．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=115°，则∠BOC=______．【答案】65°【解析】【分析】根据图形可得∠AOC=∠AOD-∠DOC，由此求得∠AOC的度数，再∠BOC =∠AOB-∠AOC求得∠BOC的度数即可．【详解】∵∠COD=90°，∠AOD=115°，∴∠AOC=∠AOD-∠DOC=115°-90°=25°，∴∠BOC=∠AOB-AOC=90°-25°=65°．故答案为：65°．【点睛】本题考查了角的计算，根据图形得到∠AOC=∠AOD-∠DOC和∠BOC=∠AOB-AOC是解决问题的关键.73．度数为82°30′16″的角的补角的度数为______．【答案】97°29′44″【解析】【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角．根据已知条件直接求出补角的度数．【详解】解：度数为82°30′16″的角的补角的度数为：180°-82°30′16″=97°29′44″．故答案为97°29′44″．【点睛】本题考查补角的定义，解题关键是牢记定义是关键．74．小英利用量角器作∠AOB=80°，以OB为始边作∠BOC=20°，OD平分∠AOB，则∠COD的度数为_________.【答案】20°或60°【解析】【分析】OC的位置有在∠AOB内和外两种情况，按两种情况分别计算.【详解】解：当OC的位置有在∠AOB内时，∠COD=1∠AOB-∠BOC=40°-20°=20°，2当OC的位置有在∠AOB外时，∠COD=1∠AOB+∠BOC=40°+20°=60°，2故答案为：20°或60°.【点睛】本题关键是理解OC的位置有两种情况.75．在里约奥运会跳水比赛时，跳水运动员在10米台跳水比赛时，在空中翻转3周半，3周半相当于__________个平角.【答案】7【解析】【分析】周角=360°，平角=180°.【详解】解：一周=2个平角，半周=1个平角，则3周半为7个平角.故答案为7.【点睛】本题考查了周角和平角的概念.76．如图，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝36°24′，则∠BOD的度数是_______．【答案】53°36′【解析】【分析】先求得∠BOC的度数，然后再依据∠BOD=∠BOC-∠COD求解即可．【详解】∠O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的平分线，∠∠BOC=90°.∠∠BOD=∠BOC−∠COD=90°−36°24′=53°36′.故答案为53°36′.【点睛】本题考查的知识点是角平分线的定义，度分秒的换算，解题的关键是熟练的掌握角平分线的定义，度分秒的换算.77．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝20°，则∠BOD＝_____．【答案】20°．【解析】【分析】根据∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角可得∠BOD的值.【详解】解：由图可知, ∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角, 根据同角的余角相等可得∠BOD=∠AOC=20o.故本题正确答案为20o.【点睛】本题主要考查余角和直角三角形的性质.78．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠COD＝34°20′，则∠AOD＝_____．【答案】55°40′．【解析】【分析】根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠AOC的度数, 再进一步求得∠AOD的度数.【详解】解:OC平分∠AOB,∠AOC=∠BOC=90°∴∠COD=34°20'∴∠AOD=55°40' .故答案为55°40'.【点睛】此题主要是考查了角的平分线的定义和一个角的余角的计算方法.79．如果∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则下列表示∠β的余角的式子中：①90∘−∠β;②∠α−90∘;③180∘−∠α;④12(∠α−∠β).正确的是：___. 【答案】①②④【解析】【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β=180°-∠α，∠α=180°-∠β，求出∠β的余角是90°-∠β，90°-∠β表示∠β的余角；∠α-90°=90°-∠β，即可判断②；180°-∠α=∠β，根据余角的定义即可判断③；求出()1902αββ∠-∠=︒-∠， 即可判断④．【详解】∵∠α与∠β互补，∴180,180，βααβ∠=-∠∠=-∠∴90β-∠ 表示∠β的余角，∴①正确；901809090αββ∠-=-∠-=-∠， ∴②正确；180αβ-∠=∠， ∴③错误； 11()(180)9022αββββ∠-∠=-∠-∠=-∠， ∴④正确； 故答案为①②④.【点睛】考查余角与补角的关系，掌握余角与补角的定义是解题的关键.80．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB等于______．【答案】100°【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠AOC=2∠COD，∠AOB=2∠AOC，代入求出即可．【详解】∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，∴∠AOC=2∠COD=50°，∠AOB=2∠AOC=100°，故答案为100°．【点睛】本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．。

专训2巧解时针与分针的夹角问题名师点金：时钟时针、分针转动角度的问题，要注意时针转动一大格，转动角度为周角的十二分之一，即30°.每一个大格之间又分为5个小格，每个小格的角度是6°.注意时针与分针转动角度的速度比是1∶12，时针转动30°，分针转动360°.分针与秒针转动角度的速度之比是1∶60，分针转动6°(一个小格)，秒针转动360°.利用时间求角度类型1按固定时间求角度1．观察常用时钟，回答下列问题：(1)早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？(2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？(3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？类型2按动态时间求角度2．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题，他想和大家一起来讨论相关问题．(1)分针每分钟转6度，时针每分钟转________度；(2)如图①的钟面角为________度，如图②的钟面角为________度．(第2题)(3)12：00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？【导学号：11972077】利用角度求时间(方程思想)3．如图，观察时钟，解答下列问题．(1)在2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角？(2)小明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°，下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为90°，那么小明外出了多长时间？(第3题)4．同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识．(第4题)(1)如图①，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于________；(2)请在图②中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；(3)“元旦”这一天，某地区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟表，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多长时间吗？通过计算加以说明．答案1．解：(1)早晨7时整，时针和分针中间相差5个大格．因为每个大格为30°，所以早晨7时整，分针和时针的夹角是5×30°＝150°，即早晨7时整，时针和分针构成150°的角．(2)由时钟可知时针12小时转一圈，一圈是360°，所以360°÷12＝30°.答：时针12小时转一圈，它转动的速度是每小时30°.(3)(360°÷60)×40＝240°，答：分针转动了240°.2．解：(1)0.5 (2)30；22.5(3)设至少经过x 分钟会再次出现时针与分针重合的现象，则6x －0.5x ＝360，解得x ＝72011， 即至少经过72011分钟会再次出现时针与分针重合的现象． 72011×0.5°＝⎝⎛⎭⎫36011° 72011×6°＝(4 32011)° 即时针转了⎝⎛⎭⎫36011°，分针转了⎝⎛⎭⎫4 32011°.3．解：(1)设从2时经过x 分，分针与时针的夹角为直角，依题意，有(x －10－112x)×6°＝90°，解得x ＝30011. 答：在2时30011分时，时针和分针的夹角为直角． (2)设小明外出了y 分钟，则时针走了0.5y 度，分针走了6y 度．根据题意，列方程为6y ＝90＋0.5y ＋90，解得y ＝36011.答：小明外出了36011分钟． 点拨：在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系．4．解：(1)120°；(2)画图略.120°；10°；(3)设上午8点x 分出发，下午2点y 分回到学校，则(12－1)×x 60×30°＝8×30°， 解得x ＝48011， (12－1)×y 60×30°－2×30°＝180°， 解得y ＝48011， 所以，共用了6小时．初中数学试卷桑水出品。

专题4.3 角典例体系（39页）一、知识点1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。

终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

2.角的表示：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD ，∠BAE ，∠CAE 等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 4.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n 度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’，1’=60” 5.角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。

6.角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

7.余角和补角①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。

用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。

钟面上时针与分针之间夹角的计算公式与应用(初一)钟面上时针与分针之间夹角的计算在新课标教材七年级数学习题中常常出现。

我们在教学过程中按探究性教学模式进行教学设计，将钟面角计算转化为钟表行程问题，让同学们通过类似于科学研究的方式“做数学”得到了计算钟面角的公式，使这一问题的解决方法更具一般性和更易于操作。

下面是我们关于《钟面角计算》的探究性教学过程：教材背景：学习了角的画法，会画一个角等于已知角，会画角的和、差、倍。

创设情景1：如图1，时钟在12点20分时分针、时针成多少度的角？图1 图2分析引导：从图1中抽象出几何图形如图2，时钟在12点时分针与时针重合，设为射线OA ，分针、时针绕O 点旋转，时钟在12点20分时，时针旋转到OB ，分针旋转到OC ，此时分针与时针的夹角：∠COB = ∠COA －∠BOA 。

时针的速度V 时针 = 0.5°／分，分针的速度V 分针 = 6°／分，时间t 时针= t 分针=20分，而路程=速度×时间，所以若将分针与时针之间的夹角看作是分针与时针的距离，则：∠COA = V 分针×t 分针 ∠BOA = V 时针 ×t 时针∠COB = V 分针×t 分针 － V 时针 ×t 时针 解：设12点20分时分针、时针所成角为αα = V 分针× t 分针 － V 时针 × t 时针= 6°／分×20分－0.5°／分×20分= 5.5°创设情景2：如图3，时钟在4点10分时分针、时针成多少度的角？图3 图4同学们很快就画出了图4，找到等量关系：∠COB = ∠BOA －∠COA 解：时钟在4点10分时分针、时针所成角为αα = V 时针 × t 时针－V 分针× t 分针= 0.5°／分×（4×60分＋10分）－6°／分×10分= 65°创设情景3：时钟在m点n分时分针、时针成多少度的角？经过同学们的热烈讨论，找到了计算时钟在m点n分时分针、时针夹角α的公式：α =∣V时针×t时针－V分针×t分针∣=∣0.5°／分×（m×60分＋n分）－6°／分×n分∣=∣30°×m ＋0.5°×n－6°×n∣=∣30°×m －5.5°×n∣同学们探究得到这一公式后，所有钟面角计算问题就变的十分容易了。

专题训练（一）巧解时钟问题1.同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：(1)三点整时，时针与分针所夹的角是______度；(2)7 点 25 分时，时针与分针所夹的角是______度；(3) 一昼夜 (0 点到 24 点 ) 时针与分针互相垂直的次数有多少次？5 [ 解析 ] (1) 看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°， 3× 30°＝ 90°； (2) 方法同 (1) ， 212× 30°＝ 72.5 °； (3) 时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分钟就能垂直一次，再看24 小时里有几个得到的分钟数即可．解： (1)90(2)72.5(3) 设一次垂直到下一次垂直经过x 分钟，则3606x－0.5x ＝ 2× 90， 5.5x ＝ 180， x＝11 .36024×60÷1111＝24× 60×360＝44( 次 ) ．答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44 次．2.在下午 2 点到 3 点之间，时钟的时针和分针何时重叠？[ 解析 ] 2 点时，分针在时针后60°，一段时间后分针追上了时针( 重叠 ) ，即在相同的时间内，分针比时针多跑 60° ( 如图 4－T－ 14) ．这道题可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝开始时两者的距离 (60 ° ) ．图4－T－ 14解：设 2 点 x 分时，时钟的时针和分针重叠，x 分钟内，时针转过0.5x °，分针转过6x° .则6x－ 0.5x ＝ 60，120解得 x＝11 .120答： 2 点11分时，时钟的时针和分针重叠．3.在某地大地震后，许许多多志愿者到灾区投入抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门她看到钟表上的时针与分针正好是重合的，下午两点多她拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．问小方是几点钟去为灾民服务的？几点钟回到家的？共用了多长时间？1 [ 解析 ]在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°，时针转动12 °.依据这一关系列出方程，可以求出．1480480解：设 8 点 x 分时，时针与分针重合，则x－12x＝ 40，解得 x＝11 . 即 8 点11分时出门．1480480设 2 点 y 分时，时针与分针方向相反，则y－12y＝ 10＋ 30，解得 y＝11，即下午 2 点11分时回家．48048014 点分与8点分相差6小时．1111答：共用了 6 个小时．4. 纪璇同学晚上 6 点多钟开始做作业时，她发现钟表上时针和分针的夹角为120°，做完作业后，她发现钟表上时针和分针的夹角还是120°，但这时已近晚上7 点了．问纪璇同学做作业用了多长时间？( 精确到分 )[ 解析 ] 6 点整时，时针和分针在一条直线上，它们的夹角为180°，开始做作业时，分针在时针后120°，做完作业后，分针追到时针前120°，即在相同的时间内，分针比时针多跑240° ( 如图 4－T－ 15) ．这道题也可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝240° .图4－T－ 15解：设她做作业用了x 分钟，由题意得4806x－0.5x ＝ 240. 解得 x＝11≈ 44( 分 ) ．答：她做作业用了约44 分钟．这种解时钟问题的方法你掌握了吗？不妨给自己出道题试试看．5.某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α 内装有多少只小彩灯？[ 解析 ] 先求出晚上9 时 35 分 20秒时，时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60 小格，每一大格所对角的度数为 30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上 9 时 35 分 20秒时，时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9 时 35 分20 秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．解：晚上 9 时 35 分 20 秒时，时针与分针所夹的角为29×30°＋ 35× 0.5 °＋ 20÷ 60× 0.5 °－ (7 × 30°＋ 20÷ 60×6° ) ＝ 75 3°，275 3÷ 6≈ 12.6( 个 ) ．故时针与分针所夹的角α内装有 12 只小彩灯．专题训练 ( 二 ) ——正方体的展开图类型之一识别正方体的展开图1．下列图形是正方体的展开图的是( )图6－ZT－ 1[ 解析 ] C A图中四个相连的正方形可围成正方体的侧面，另两个正方形无法围成正方体相对的底面，所以排除选项A.因为 B 图中含有“凹”字，D图中含有“田”字，所以均被排除．C图属于“一四一型” ，故选C.2．一个长方体的展开图如图6－ZT－ 2 所示，其表面积是________，体积是 ________．图6－ZT－ 2[ 答案 ] 4ab ＋2b2 ab 2[ 解析 ]由展开图可知，这个长方体的 6 个表面中有 2 个面是边长为 b 的正方形，有 4 个面是长为a，宽为 b 的长方形．3．将如图6－ZT－ 3 所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去________( 填序号 ) ．图 6－ZT－ 3[ 答案 ] 1或 2 或6[ 解析 ]根据有“田”字形结构的展开图都不是正方体的展开图，可知应剪去 1 或2 或6.4．[ 菏泽中考 ]过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图6－ZT－ 4 的几何体，其展开图正确的为( )图6－ZT－ 4图6－ZT－ 5[ 解析 ] B选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合，故选择B.类型之二根据展开图识别正方体的相对面和相邻面图6－ZT－ 65．[ 贵港中考 ]如图6－ZT－6是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“共”字一面相对的面上的字是( )A．美B．丽C．家D．园[ 解析 ] D 构成相对面的是“共”与“园”，“建”与“丽” ，“美”与“家” ，所以选D.6．一个正方体的展开图如图6－ZT－ 7 所示，每个面上都标注了字母，若从正方体的右面看是面D，面 C 在后面，则正方体的上面是( )图 6－ZT－ 7A．面E B．面FC．面A D．面B[ 答案 ]A7．[ 恩施州中考 ] 正方体的六个面上分别标有 1， 2， 3， 4，5， 6 六个数字，如图 6－ZT－ 8 是其三种不同的放置方式，与数字“ 6”相对的面上的数字是 ( )图6－ZT－ 8A．1B．5C．4D．3[ 答案 ]B8．如图 6－ZT－ 9 是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是________．图6－ZT－ 9[ 答案 ] 6[ 解析 ]相对面上的数字分别是 1 与 5， 2 与 6， 3 与 4，它们的和分别是6， 8， 7，其最小值是 6.9．一个正方体相对的两个面上的点数和都等于7，在图 6－ZT－ 10 所示的两个展开图的各空白面分别画上适当的点数．图6－ZT－ 10解：如图 6－ZT－ 11 所示．图6－ZT－ 1110．立方体的六个面上标着连续的整数，它的展开图如图6－ZT－ 12 所示，若相对的两个面上所标数的和相等，求这六个数的和．图 6－ZT－ 12解：由图可知，六个连续的整数必定包括4， 5， 6， 7，因此六个连续的整数可能是2， 3， 4，5， 6， 7或 3， 4， 5， 6，7， 8 或 4， 5， 6， 7， 8， 9. 由于相对面上的数字之和相等，且4，5， 7 是相邻面，所以六个数只可能是以上第三种，此时相对面是 4 与 9， 5 与 8，6 与 7. 它们的和为13× 3＝39.专题训练 ( 三 ) ——线段或角的计算类型之一线段的和差倍分计算1．如图 7－ZT－ 1，C 是线段 AB上的一点， M是线段 AC的中点，若 AB＝ 8 cm，BC＝ 2 cm，则 MC的长是 ()图7－ZT－ 1A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．6 cm1B 由图可知AC＝AB－BC＝8－2＝6( cm)．∵点M是AC的中点，∴MC＝AC＝3( cm)．22．将一把刻度尺如图7－ZT－ 2 所示放在数轴上( 数轴的单位长度是 1 cm) ，刻度尺上的“0 cm”和“ 8 cm”分别对应数轴上的－ 3.6 和 x，则 x 的值为 ()图7－ZT－ 2A．4.2B．4.3C．4.4D．4.5[ 解析 ] C 由图可知x＝8－3.6＝4.4.3．如图 7－－3 所示， C， D 是线段 AB上的两点，已知11，则 DC的长为BC＝ AB， AD＝ AB，AB＝ 12ZT43cm________．图7－ZT－ 3[ 答案 ] 5cm11[ 解析 ]因为BC＝12×4＝3，AD＝12× 3＝4，所以 DC＝ 12－ (4 ＋ 3) ＝ 5( cm) ．4．已知线段AB＝ 8 cm，在直线 AB上画线段BC，使 BC＝ 3 cm，则线段AC＝ ____________．[ 答案 ] 5cm或11 cm[ 解析 ] (1)如图7－ZT－4①，当点 C 在线段 AB上时， AC＝AB－ CB＝ 8－ 3＝ 5( cm) ；图 7－ZT－ 4(2)如图 6－ZT－ 1②，当点 C 在线段 AB的延长线上时， AC＝ AB＋ BC＝8＋ 3＝ 11( cm) ．所以 AC＝ 5 cm或 11 cm.115．已知：如图7－ZT－ 5， B， C为线段 AB上的两点，且AB＝ BC＝ CD， AD＝18.23(1)求 BC的长；(2)图中共有多少条线段？求所有线段的长度的和．图 7－ZT－ 5解： (1)设AB＝x，则BC＝2x，CD＝3x.于是 x＋ 2x＋3x＝ 18，解得 x＝3. 所以 BC＝ 2x＝ 6.(2)图中共有 6 条线段，它们是 AB， AC，AD， BC，BD， CD，这些线段的长度的和为 3AD＋ BC＝ 3× 18＋6＝ 60.类型之二角的和差倍分计算6．已知∠ AOB＝ 90°， OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于 ()A．30°或60°B．45°或60°C．30°D．45°[ 解析 ]A一个角的三等分线共有 2 条．7．若一个角的余角比它的补角的1少 20°，则这个角为 () 2．30°．40° ． 60°． 75°A B C DB 1[ 解析 ]设这个角为 x°，则依题意可列方程90－ x＝2(180 － x) －20，解得 x＝ 40. 所以选B.8. 在直线 AB 上任取一点O，过点 O作射线 OC，OD，使∠ COD＝ 90°，当∠ AOC＝ 30°时，∠ BOD的度数是 ()A．60°B．120°．60°或 90°．60°或120°C D[ 解析 ]D 如图 7－－ 6(1) 所示，∠ BOD＝ 180°－∠ AOC－∠ COD＝180°－ 30°－ 90°＝ 60°；如图 7 ZT－ZT－6(2)所示，∠AOD＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°，∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.故选 D.图7－ZT－ 69．一副三角板如图7－ZT－ 7 所示放置，则∠AOB＝ ________．图7－ZT－ 7[ 答案 ] 105 °10．如图 7－ZT－ 8，∠1∶∠ 2∶∠ 3＝ 1∶ 2∶ 3，∠ AOD＝ 120° . 则∠ BOD＝ ________°，∠AOC＝ ________° .图7－ZT－ 8[ 答案 ] 10060[ 解析 ]55∠ BOD＝∠ AOD＝× 120°＝ 100°，6 61 1∠AOC＝2∠ AOD＝2× 120°＝ 60° .11．如图 7－ZT－ 9，∠ AOB＝ 90°， OD平分∠ BOC，∠ AOC＝ 2∠ 1，则∠ 1＝ ________度．图7－ZT－ 9[ 答案 ] 67.5[ 解析 ]∵ OD平分∠ BOC，∴∠ BOC＝ 2∠1.∵∠ AOC＝ 2∠1，11∴∠ BOC＝∠ AOC＝2×(360 °－∠ AOB)＝2× (360 °－ 90° ) ＝135°，1∴∠ 1＝2∠ BOC＝ 67.5 ° .12．如图 7－ZT－10，点 O 在直线BC 上，∠ 1 与∠ 2 互余， OE平分∠ AOC，∠ 1＝ 27° 20′ . 求∠ 2，∠ 3的度数．图 7－ZT－ 10解：因为∠ 1 与∠ 2 互余，所以∠ 2＝ 90°－∠ 1＝90°－ 27° 20′＝ 62° 40′.因为 OE平分∠ AOC，11所以∠ 3＝ 2(180 °－∠ 1) ＝ 2×(180 °－ 27° 20′) ＝ 76° 20′ .。

七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)类型1利用角度的和、差关系找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．1．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.又因为∠BOD＝75°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．解：(1)因为∠BAD＋∠DA C＝90°，∠DAC＝4∠B AD，所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.所以∠DAC＝4×18°＝72°.因为∠DAE＝90°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.解得∠BCD＝15°.所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.类型2利用角平分线的性质角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图所示，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB 的度数．解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．(1)如图1所示，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；(2)如图2所示，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝25°.类型3 利用方程思想求解在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．5．一个角的余角比它的补角的23还少40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x °，根据题意，得90－x ＝23(180－x)－40. 解得x ＝30.所以这个角的度数是30°.6．如图所示，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °.因为OB 平分∠AOC，所以∠AOB＝3x °.所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.7．如图所示，已知∠AOB＝12∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °.因为∠AOB＝12∠BOC， 所以∠BOC＝2x °.所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360.解得x ＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.类型4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小． 解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB， 所以∠AOC＝23×75°＝50°.因为O D 平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝25°.如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°；如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.9．已知：如图所示，OC 是∠AOB 的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC＝12∠AOB. 因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.(3)90°＋α2 或90°－α2.专题训练 整式的加减运算计算：(1)(钦南期末)a 2b ＋3ab 2－a 2b ；解：原式＝3ab 2.(2)2(a －1)－(2a －3)＋3；解：原式＝4.(3)2(2a 2＋9b)＋3(－5a 2－4b)；解：原式＝－11a 2＋6b.(4)3(x 3＋2x 2－1)－(3x 3＋4x 2－2)；解：原式＝2x 2－1.(5)(钦南期末)(2x 2－12＋3x)－4(x －x 2＋12)； 解：原式＝2x 2－12＋3x －4x ＋4x 2－2 ＝6x 2－x －52.(6)3(x2－x2y－2x2y2)－2(－x2＋2x2y－3)；解：原式＝3x2－3x2y－6x2y2＋2x2－4x2y＋6＝5x2－7x2y－6x2y2＋6.(7)－(2x2＋3xy－1)＋(3x2－3xy＋x－3)；解：原式＝－2x2－3xy＋1＋3x2－3xy＋x－3＝x2－6xy＋x－2.(8)(4ab－b2)－2(a2＋2ab－b2)；解：原式＝4ab－b2－2a2－4ab＋2b2＝－2a2＋b2.(9)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)；解：原式＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24＝－2x2＋7xy－24.(10)(钦州期中)2a2－[－5ab＋(ab－a2)]－2ab. 解：原式＝2a2＋5ab－ab＋a2－2ab＝3a2＋2ab.。