七年级数学上册人教版课件：小专题8 角的计算

二、方程思想 4 ． 如 图 ， 已 知 ∠ AOE 是 平 角 ， ∠ DOE ＝ 20° ， OB 平 分 ∠ AOC ， 且 ∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．
解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝3x°，∴2x＋3x＋3x＋20＝180，解得x＝20，
解：(1)∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON－∠BOC＝ 90°－65°＝25° (2)∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130° ，∴∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝40°，∴∠CON＝∠BOC－ ∠BON＝65°－40°＝25°
七年级上册数学（人教版）
第四章
几何图形初步
角的计算
专题训练(八)
一、直接计算
1 ． 如 图 ， ∠ AOC ＝ ∠ BOD ， ∠ AOD ＝ 120° ， ∠ BOC ＝ 70° ， 求 ∠AOB的度数．
解：∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC，∠DOC＝∠BOD－∠BOC， 又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB＝∠COD， ∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝∠AOD， 1 1 ∴∠AOB＝2(∠AOD－∠BOC)＝2(120°－70°)＝25°
3．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC 平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE. 试求∠COE 的度数．
1 解：∵∠AOB＝90°，OC 平分∠AOB，∴∠BOC＝2∠AOB＝45°， ∵∠BOD＝∠COD－∠BOC＝90°－45°＝45°，∠BOD＝3∠DOE， ∴∠DOE＝15°，∴∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°
1 (3)设∠AOM＝4x°，则∠NOC＝4∠AOM＝x°. ∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°， ∴4x＋90＋x＋65＝180，解得 x＝5，∴∠NOC＝5°， ∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°

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05
角的证明与推理
2024/1/28
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等量代换法证明角相等
定义法
根据角的定义，通过证明 两个角所对的边或顶点关 系来证明它们相等。
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等量代换法
通过证明两个角分别与第 三个角相等，从而得出这 两个角相等。这种方法常 用于几何图形的证明中。
推理法
结合已知条件和图形性质 ，通过逻辑推理证明两个 角相等。
角的表示方法
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两 边的字母表示角的两条边；也可以用一个大写字母表示，这个字 母就是角的顶点；还可以用一个数字或希腊字母表示。
4
角的度量单位与换算
2024/1/28
角的度量单位
角的度量单位是度，用符号“°” 表示。把一个圆周分成360等份 ，每一份叫做1度，记作1°。
角的换算
1度等于60分，1分等于60秒。因 此，角度可以换算成分和秒。例 如，45°可以换算成45°00'00''。
5
角的基本性质
2024/1/28
• 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小 有关，与边的长短无关。
• 角的平分线性质：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
两个角相加，将它们的度 数相加即可。
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角的减法
两个角相减，将它们的度 数相减即可。
应用
利用角的加减运算进行角 度的计算和证明，解决与 角度相关的问题。
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04
角在生活中的应用
2024/1/28
15
时钟上的角度问题
时钟面上的角度计算
时钟面平均分成了12份，每份对应的角度是30度。可以用这个知识点来解决时 钟上时针和分针之间的角度问题。

4．3 角
4．3.2 角的比较与运算(2课时)
第2课时 角的计算
会进行度、分、秒间的单位互化及角的和、差、倍、分 计算．
重点 角的度分秒之间的换算与计算． 难点 借助几何图形进行角的计算．
一、创设情境，导入新课 练习：比较大小． 1．36.5°与36°28′. 2．0.15°与15′. 3．用度分秒表示30.24°. 学生独立完成，然后同学间交流．
解答略，教师应当关注第2个题，一是问题的分析， 二是解答过程的叙述，不必强求过程叙述的完美，但 至少要让学生叙述清楚．
四、小结与作业 小结：谈谈本节课你的收获． 作业：习题4.3第3，5，10，11题．
在本节课教学中，始终坚持以学生为主体，教师为主导， 致力启发学生已掌握的知识，充分调动学生的学习兴趣和 积极性，使他们最大限度地参与到课堂中，使每个学生都 学有所得，真正实现“人人学有价值的数学，人人都能获得 必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，人人都 得到良好的数学”教育的最终目标．
谢谢观赏
You made my d 教师注意规范的书写过程． 点评：观察图形，发现各角之间的关系是解决问题的关 键． 教师出示例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)? 解：略． 点评：教师要注意方法过程，要详细地把计算过程讲解给 学生，学生刚开始对60进制不太熟练，所以要注意放慢速 度．
三、综合运用 练习：教材练习第2，3题． 补充例题(教师投影展示) 1．如果一个角是另一个角的3倍，且这两个角的和是 90°，求这两个角的度数． 2．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平 分∠BOC，求∠DOE的度数．
二、探索新知 教师出示教材例1. 例 1 ： 如 图 ， O 是 直 线 上 AB 一 点 ， ∠AOC ＝ 53°17′ ， 求 ∠BOC的度数．

1
1
= ∠ − ∠
2
2
1
= (∠ − ∠)
2
1
= ∠
2






例题讲解
解： 因为 平分∠ ， 平分∠ ，
1
1
所以∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2
2
所以∠ = ∠ − ∠
1
1
= ∠ − ∠
2
2
1
1
所以∠ = ∠ = × 128° = 64°.
2
2



例题讲解
例3
如图，∠ 是直角，∠ = (0° < < 90°) ，
平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数.
分析
1
1
∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2
2
∠ = ∠ − ∠




()



例题讲解
例1
如图，已知 是∠ 的平分线， 是∠ 的平
分线，若∠ = 25°，求∠ 的度数.
分析
由角平分线的定义可以得



∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
因为∠ = 25°，
所以可以求∠ 的度数.


例题讲解
1
所以∠1 = ∠2 = ∠ ，
2
或者∠ = 2∠1 = 2∠2 .
角的平分线的定义


2

1
图形语言

理解新知
定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的
文字语言
射线，叫做这个角的平分线.
符号语言
1
因为∠1 = ∠2 = ∠ ，

C E
解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB
F
∴∠EOC=
1
2 ∠AOC,
1
A
O
B ∠COF= 2 ∠COB
（角平分线的定义）
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°
（平角的定义）
∴∠EOF=∠EOC+∠COF
= 1 ∠AOC+ 1 ∠COB
2
2
1 = 2 （∠AOC+∠COB) =90°
2.有的同学漠视自己作业和考试中出现的错误，将他们简单的归结为粗心大意。这是很严重的错误想法，我们的错误都有其必然性， 一定要究根问底，找出真正的原因，及时改正，并记住这样的教训。
2、如图（2），已知OB为∠AOC的平分线，
∠AOC=82°，则∠COB=__4__1 °
思考：已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC， OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？
我学会了……
小结：
1、角的大小比较的主要方法：
掌握角平分线的概念及角的等分线，会画角的平分线.
（ 2 ）∠BDC = ∠ADC ∠BDA
度量法、叠合法 ∠COF=
∠COB
∴∠EOC= ∠AOC,
∠AOB
∠BOC
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。
人教版（2011）七年级上册
1） ∠D0B ∠BOC
=
68 °
∠BOC=40°
则∠AOC=_2_8__°
C B
1） ∠D0B ＞ ∠BOC
按图1填空： 2） ∠C0B
＜
∠AOC
3） ∠DOC＋∠COB ＝ ∠B0D
D
4）∠A0B＋∠BOC＝ ∠AOC

第七页，共十五页。
6．如图，已知∠AOB＝12 ∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB， 求∠AOB 和∠COD 的度数．
解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.因为∠AOB ＝12 ∠BOC，所以∠BOC＝2x°.因为∠BOC＋∠COD＋∠AOD＋∠AOB＝ 360°，所以 2x＋3x＋3x＋x＝360.解得 x＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°
(3)在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图②的位置时，(2)中α与β的
数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出α与β的数量
关系．
第十三页，共十五页。
解：(2)因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－α.因为OE平分 (píngfēn)∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝2(90°－α).因为∠AOB＝150°，∠BOD＝β， 所以2(90°－α)＋β＝150°，整理得2α－β＝30° (3)不成立．理由：因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－α.因为 OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝2(90°－α).因为∠AOB＝150°，∠BOD＝β，所以 2(90°－α)－150°＝β，整理得2α＋β＝30°
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
第4章 几何图形初步(chūbù)。解：因为OC平分∠AOD，所以∠1＝∠2.因为∠2∶∠3∶∠4＝ 1∶2∶4，所以设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝2x°，∠4＝4x°.又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以x＋x＋2x＋4x＝180，解得x＝22.5，则∠1的度数是22.5°。(2)在图①中，设∠COE＝α，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∠BOD＝β，请探究α与β之间的数量关系