第53讲 双曲线(解析版)

第53讲 双曲线一、课程标准1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 二、基础知识回顾 1、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 2 、双曲线的标准方程和几何性质三、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .四、自主热身、归纳总结1、 双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A. 5B. 5C. 2 5D. 1 【答案】 C【解析】 由题意得c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线的焦距为2 5. 2、以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A. x 2－y 23＝1B. x 23－y 2＝1 C. x 2－y 22＝1 D. x 24－y 23＝1 【答案】 A【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．由题意得双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 3、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A . x 28－y 210＝1B . x 24－y 25＝1C . x 25－y 24＝1D . x 24－y 23＝1【答案】B【解析】双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，在椭圆中：a 2＝12，b 2＝3，∴c 2＝9，c＝3，故双曲线C 的焦点坐标为(±3，0)，∴双曲线中的方程组：b a ＝52，c ＝3，c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B .4、设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B ．2C. 3D.2 【答案】C【解析】不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－ac，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.5、(多选)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点 【答案】AC【解析】设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，根据条件可知b a ＝33，所以方程可化为x 23b 2－y 2b 2＝1，将点(3，2)代入得b 2＝1，所以a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，故A 对；离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 3＋13＝233，故B 错；双曲线C 的焦点为(2,0)，(－2,0)，将x ＝2代入得y ＝e 0－1＝0，所以C 对；联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，x －2y －1＝0整理得y 2－22y ＋2＝0，则Δ＝8－8＝0，故只有一个公共点，故D 错．故选A 、C.6、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________． 【答案】x 28－y 28＝1【解析】由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－－2a ＝42a＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22， 所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.7、(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________． 【答案】5＋12【解析】将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a ，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝ca，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍)． 五、例题选讲 考点一、双曲线的定义例1 (1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝____． (2)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心(角平分线交于一点)，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为____．【答案】（1）5－2 2 （2）10【解析】 (1)如图所示，∵AF 1－AF 2＝2a ，BF 1－BF 2＝2a ，BF 1＝AF 2＋BF 2，∴AF 2＝2a ，AF 1＝4a.∴BF 1＝22a ，∴BF 2＝22a －2a.∵F 1F 22＝BF 21＋BF 22，∴(2c)2＝(22a)2＋(22a －2a)2，∴e 2＝5－2 2.(2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5，∵S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，∴12PF 1·R ＝12PF 2·R ＋8，∴12(PF 1－PF 2)R ＝8，即aR ＝8，∴R ＝2，∴S △MF 1F 2＝12·2c·R ＝10.变式1、（华东师范大学附中2019届模拟）(1)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48(2)设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________． 【答案】(1)C (2)10【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，所以|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24. (2)由双曲线的标准方程x 24－y 22＝1得a ＝2，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当直线l 过点F 1，且垂直于x 轴时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b 2a ＋8＝10.变式2、已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____． 【答案】126【解析】 设左焦点为F 1，PF －PF 1＝2a ＝2，∴PF ＝2＋PF 1，△APF 的周长为AF ＋AP ＋PF ＝AF ＋AP ＋2＋PF 1，△APF 周长最小即为AP ＋PF 1最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立为|PF 1|·|PF 2|的关系．(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．考点二、双曲线的标准方程例2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线的标准方程为___．【答案】（1） x 28－y 28＝1 （2）x 294－y 24＝1【解析】 (1)由题意得a ＝b ，4－00－（－c ）＝1，∴c ＝4，∴a ＝b ＝22，∴所求双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)(方法1)由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由题意，得⎩⎨⎧b a ＝43，（－3）2a 2－（23）2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4. ∴双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.(方法2)设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为4x 29－y 24＝1.变式1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2b ＝12，e ＝c a ＝54，所以b＝6，c ＝10，a ＝8.所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.所以双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 变式2、（1）焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．（2）过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________________．【答案】（1）x 25－y 220＝1 （2）x 24－y 212＝1【解析】：（1）设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.（2）因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点 A (a ，b )，c ＝4且4－a2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.方法总结:求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 考点三、 双曲线的性质例3、(2020·福建厦门一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x【答案】B【解析】设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形，∴S △ABF ＝S △ABF ′，即bc ＝8， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2c ，则|MN |＝2b 2c ＝2，即b 2＝c ，∴b ＝2，c ＝4， ∴a ＝c 2－b 2＝2 3， ∴C 的渐近线方程为y ＝±33x ， 故选B.变式1、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且双曲线C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】 5【解析】 由双曲线的定义可得2a ＝|PF 2→|－|PF 1→|＝1，所以a ＝12.因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝5.变式2、 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则双曲线的离心率e 的最大值为________． 【答案】 53【解析】 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝4PF 2，得⎩⎨⎧PF 1＝83a ，PF 2＝23a.由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，即－1≤178－98e 2<1.又e>1，所以1<e≤53，所以离心率e 的最大值为53.变式3、 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________． 【答案】3＋1【解析】 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以PF 2－PF 1＝2a.因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.方法总结：双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．考点四、直线与双曲线的位置关系例4、一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于点R ，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程．【解析】因为e ＝3，所以b 2＝2a 2，所以双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，所以Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0，所以直线l 一定与双曲线相交．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.因为PR →＝3RQ →，x R ＝x 1＋3x 24＝0，所以x 1＝－3x 2，所以x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2，消去x 2，得m 2＝a 2.又OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )·(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3，所以m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2.直线l 的方程为y ＝x ±1，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.变式、若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.① 因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞1，Δ＝2k2－41－k 2×－2＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)．(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（1＋k 2）（2－k 2）（k 2－1）2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，所以k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，所以k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，因为点C 是双曲线上一点，所以80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14，故k ＝52，m ＝±14.方法总结：解有关直线与双曲线的位置关系的方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．五、优化提升与真题演练1、（2020年高考天津）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．2、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A 【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．3、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩， 故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩， 故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△， 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．4、(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为（ ）A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 【答案】C【解析】因为直线AB 经过双曲线的右焦点且垂直于x 轴，所以不妨取A (c ，b 2a )，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b 2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，即a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. 5、（2019年全国Ⅱ卷）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．6、(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是__________． 【答案】2【解析】一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，由题知bc a 2＋b 2＝32c ，所以b c ＝32，即c 2－a 2c 2＝34，即⎝⎛⎭⎫a c 2＝14，所以e 2＝4，所以e ＝2.。