中考数学小题精炼总复习第二章 方程与不等式综合测试题

8－4x ≤0⎩ C ．ac ＞bc D . ＜ A ．m ＞－ B ．m ≤ C ．m ＞ D ．m ≤－ ( ⎩ A . ＝ B . ＝ C . ＝ D . ＝ x x x x 第二章 方程与不等式自我测试一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)⎧⎪x －1＞0， 1．(2014· 衡阳)不等式组⎨ 的解集在数轴上表示为( A ) ⎪2．(2014· 荆门)已知 a 是一元二次方程 x 2－x －1＝0 较大的根，则下面对 a 的估计正确的是( C )A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜1.5C ．1.5＜a ＜2D ．2＜a ＜33．(2013· 永州)实数 a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( B )A ．a －c ＞b －cB ．a ＋c ＜b ＋ca cb b⎧⎪x －2m ＜0， 4．2013· 荆门)若关于 x 的一元一次不等式组⎨ 有解，则 m 的取值范围为( C ) ⎪x ＋m ＞2 2 2 3 3 2 2 33 解析：解不等式 x －2m ＜0 得 x ＜2m ，解不等式 x ＋m ＞2 得 x ＞2－m ，∵不等式组有 解，∴2m ＞2－m ，∴m ＞ 2 35．(2014· 滨州)王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支 0.8 元，笔记本每本 1.2 元，王芳同学花了 10 元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，余下的钱 少于 0.8 元)( B )A ．6B ．7C ．8D ．96．(2014· 临沂)某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知 A 型陶笛比 B 型陶笛的单价低 20 元，用 2700 元购买 A 型陶笛与用 4500 元购买 B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为 x 元，依题意，下面所列方程正确的是( D )2700 4500 2700 4500 x －20 x －202700 4500 2700 4500 x ＋20 x ＋207．(2013· 宜昌)地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到 2050 年，目前的四分 之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝，2012 年底，长江江豚数量仅剩约 1000 头，其数量 年平均下降的百分率在 13%～15%范围内，由此预测，2013 年底剩下的数量可能为( B )A ．970B ．860C ．750D ．720解析：∵2012 年底，长江江豚数量仅剩约 1000 头，其数量年平均下降率为 13%～15%是__k ＜ __． x －2 x ⎪⎩4≥ 3 ， 并把它的解集在数轴上表示出 ( ⎪ ⎩ ⎪ ⎩⎩ ⎪ 范围内，∴2013 年底剩下江豚数量可能为 1000×(1－13%)～1000×(1－15%)，即 850～870之间，∴可能为 860 头，故选 B8．(2013· 泸州)若关于 x 的一元二次方程 kx 2－2x －1＝0 有两个不相等的实数根，则实 数 k 的取值范围是( D )A ．k ＞－1B ．k ＜1 且 k ≠0C ．k ≥－1 且 k ≠0D ．k ＞－1 且 k ≠0二、填空题(每小题 6 分，共 36 分)9．2014· 长沙)已知关于 x 的一元二次方程 2x 2－3kx ＋4＝0 的一个根是 1，则 k ＝__2__．10．(2014· 金华)写出一个解为 x ≥1 的一元一次不等式__2x －1≥1(答案不唯一)__．11．(2014· 常德)一元二次方程 2x 2－3x ＋k ＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围9 812．(2014· 巴中)菱形的两条对角线长分别是方程 x 2－14x ＋48＝0 的两实根，则菱形的 面积为__24__．13．(2013· 江西)某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的 人数是到瑞金的人数的 2 倍多 1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人，⎧x ＋y ＝34 到瑞金的人数为 y 人，请列出满足题意的方程组是__⎨ __．⎪x ＝2y ＋1 14．(2013· 自贡)已知关于 x 的方程 x 2－(a ＋b)x ＋ab －1＝0，x 1，x 2 是此方程的两个实数 根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③x 12＋x 22＜a 2＋b 2，则正确结论的序号是__①②__．(填上你认为正确结论的所有序号)解析：①∵方程 x 2－(a ＋b)x ＋ab －1＝0 中，Δ＝(a ＋b)2－4(ab －1)＝(a －b)2＋4＞0，∴ x 1≠x 2，故①正确，②∵x 1x 2＝ab －1＜ab ，故②正确 ，③∵x 1＋x 2＝a ＋b ，即(x 1＋x 2)2＝(a ＋b)2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(a ＋b)2－2ab ＋2＝a 2＋b 2＋2＞a 2＋b 2，即 x 12＋x 22＞a 2 ＋b 2，故③错误，∴正确结论为①②三、解答题(共 32 分)⎧3x －y ＝7， 15．(6 分)(1)(2014· 滨州)解方程组：⎨ ⎪x ＋3y ＝－1； ⎧3x －y ＝7①， 解：⎨ ①×3＋②得：10x ＝20，即 x ＝2，将 x ＝2 代入①得：y ＝－1， ⎩x ＋3y ＝－1②，⎧⎪x ＝2 则方程组的解为⎨ ⎪y ＝－12 3 (2)(2014· 武汉)解分式方程： ＝ .解：去分母得：2x ＝3x －6，移项合并得 x ＝6，经检验 x ＝6 是原方程的解⎧3（x ＋2）＞x ＋8， 16．(6 分)(2013· 遂宁)解不等式组：⎨x x －1来．43，解得x≤4，∴这个不等式组的解集为1＜x≤4，，⎪⎩x x－1解：3(x＋2)＞x＋8，解得x＞1，≥用数轴表示为：17．(10分)(2014·长沙)为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．(1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？解：(1)设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(400－x)棵，由题意，得200x＋300(400－x)＝90000，解得：x＝300，∴购买乙种树苗400－300＝100棵，答：购买甲种树苗300棵，购买乙种树苗100棵(2)设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(400－a)棵，由题意，得200a≥300(400－a)，解得：a≥240.答：至少应购买甲种树苗240棵18．(10分)(2013·晋江)为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，某市从2013年4月起，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如图，每吨水需另加污水处理费0.80元．已知小张家2013年4月份用水20吨，交水费49元；5月份用水25吨，交水费65.4元．(温馨提示：水费＝水价＋污水处理费)(1)求m，n的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小张计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小张家的月收入为8190元则小张家6月份最多能用水多少吨？解：(1)由题意得⎧20（m＋0.80）＝49，⎧m＝1.65⎨解得⎨⎩49＋（25－20）（n＋0.80）＝65.4，⎪n＝2.48(2)由(1)得m＝1.65，n＝2.48，当用水量为30吨时，水费为49＋(30－20)×(2.48＋0.80)＝81.8(元)，2%×8190＝163.8(元)，∵163.8＞81.8，∴小张家6月份的用水量超过30吨．可设小张家6月份的用水x吨，由题意得81.8＋(2×1.65＋0.80)(x－30)≤163.8，解得x≤50.答：小张家6月份最多能用水50吨。

二次函数与方程（不等式）综合练习题一、单选题1.抛物线2(0)y ax bx c a =++<如图所示，则关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A.2x <B.3x >-C.31x -<<D.3x <-或1x >2.对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点如果二次函数22y x x c =++c 有两个相异的不动点12,x x ，且121x x <<，则c 的取值范围是( ) A.3c <-B.2c <-C.14c <D.1c <3.一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数22y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点，则当23x -≤≤时二次函数22(0)y x x b b =+-≠的最小值为( )A.15B.-15C.-16D.0 4.二次函数21y x bx =+-的图象如图,对称轴为直线1x =.若关于x 的一元二次方程2210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解,则t 的取值范围是( )A.2t ≥B.27t -≤<C.22t -≤<D.27t <<5.“如果二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个公共点,那么一元二次方程2ax bx c ++=有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若,()m n m n <是关于x 的方程1()()0x a x b ---=的两根,且a b <,则,,,a b m n 的大小关系是( )A.m a b n <<<B.a m n b <<<C.a m b n <<<D.m a n b <<<6.如图，抛物线2()0y ax bx c a +≠+=的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <；②方程20ax bx c +=+的两个根是1213x x =-=，； ③30a c +>；④当0y >时，x 的取值范围是13x -≤<； ⑤当0x <时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①0a < ②0b < ③0c > ④420a b c ++= ⑤20b a +=⑥ 042>-ac b 其中正确的个数是( ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,关于x 的方程2(0)ax bx c m m ++=>有两个实数根,()αβαβ<,则下列选项正确的是( )A.31αβ-<<<B.31αβ-<<<C.31αβ<-<<D.3α<-和1β>9.二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是( )A.30x -<<B.3x <-或0x >C.3x <-D.03x <<10.如图，抛物线()211112y x =++与()2243y a x =--交于点3(1)A ,，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B C ,两点，且D E ,分别为顶点则下列结论:①23a =；②AC AE =；③ABD △是等腰直角三角形；④当1x >时，12y y >，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.411.在平面直角坐标系xOy 中，已知点,M N 的坐标分别为()()1,2,2,1-，若抛物线()220y ax x a +-=≠与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．11143a a ≤-≤<或B ．1143a ≤< C ．1143a a ≤>或 D ．114a a ≤-≥或 12.二次函数2y x mx =-+的图象如图，对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A.5t >﹣B.53t -<<C.34t <≤D. 54t -<≤13.在平面直角坐标系中，已知函数2221231,2,4y x ax y x bx y x cx =++=++=++，其中,,a b c 是正实数，且满足2b ac =.设函数123,,y y y 的图象与x 轴的交点个数分别为123M M M ，，，( ) A.若122,2M M ==，则30M = B.若121,0M M ==，则30M = C.若120,2M M ==，则30M =D.若120,0M M ==，则30M =14.二次函数2(2)3y x a x =+-+的图象与一次函数(12)y x x =≤≤的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )A ．3a =±12a -≤<C.3a =+122a -≤< D.3a =-112a -≤<- 二、解答题15.如图，二次函数24y x x m -=+的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点0(1)A ，及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足24kx b x x m -+≥+的x 的取值范围．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使得PA PC +最小，求P 点坐标及最小值．16.如图.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx m =-++与y 轴交于点()0,3A ，与x轴交于点,B C (点B 在点C 左侧). (1)求该抛物线的解析式及点,B C 的坐标;(2)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点2()1,E --，求直线DE 的解析式;(3)在(2)的条件下，已知点(),0P t ，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方.直接写出t 的取值范围.三、填空题17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平 行的直线交抛物线213y x =于点,B C ，则BC 的长为 .18.如图，直线y mx n =+与抛物线2y ax bx c =++交于(1,),(4,)A p B p -两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是___________.19.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为()2,0，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .20.抛物线23(0)y ax bx a =++≠过(4,4),(2,)A B m 两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足01d <≤，则实数m 的取值范围是 .21.如图,抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -.则方程2ax bx c =+的解是 .22.抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过(2,0)A ，(4,0)B -两点.下列四个结论： ①一元二次方程20ax bx c ++=的根为122,4x x ==-； ②若点()()125,,π,C y D y -在该抛物线上，则12y y <； ③对于任意实数t ，总有2at bt a b +-；④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个.其中正确的结论是_________（填写序号）.23.如图，抛物线2y ax bx c =++ (,,a b c 是常数，0a ≠)与x 轴交于A B ，两点，顶点(,)P m n .给出以下结论： ①20a c +<; ②若13(,)2y -，21(,)2y -，31(,)2y 在抛物线上，则123y y y >>； ③关于20ax bx k ++=有实数解，则k c n >-； ④当1n a=-时，ABP △为等腰直角三角形. 其中正确的结论是________ (填写序号）.参考答案1.答案：C解析：∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)∴关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是31x -<<，故选C 2.答案：B解析：由题意知12x x 、是方程22x x c x ++=的两个实数根，且121x x <<，整理得20x x c ++=， 24140110b ac c c ⎧∆=-=->⎨++<⎩，解得2c <-，故选B. 3.答案：C解析：一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数22y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点∴把0y =代入得05ax a =+，解得5x =- ∴交点为(5,0)-代入22y x x b =+-得02510b =--，解得15b =∴二次函数为2215y x x =+-二次函数2215y x x =+-对称轴为2121x =-=-⨯ ∴当23x -≤≤时，1x =-时，min 121516y =--=-，故选C.4.答案：B解析：抛物线的对称轴直线12bx =-=，解得2b =-， 所以抛物线解析式为221y x x =--，则顶点坐标为(1,2)-， 当1x =-时，2212y x x =--=； 当4x =时，2217y x x =--=，而关于x 的一元二次方程2210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解可看作二次函数221y x x =--与直线y t =有交点, 所以27t -≤<. 故选B. 5.答案：A解析：依据题意，画出函数()()y x a x b =--的图象，如图所示.函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为,()a b a b <. 方程1()()0x a x b ---=, 转化为()()1x a x b --=，方程的两根是抛物线()()y x a x b =--与直线1y =的两个交点.<，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n.由m n<;在对称轴右侧，y随x增大由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m a<.而增大，则有b n<<<.综上所述，可知m a b n故选:A.6.答案：B解析：从题图中可知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为直线1x =-与x 轴的一个交点坐标是(1,0)，∴与x 轴的另一 个交点坐标是(3,0)-，∴2ax bx c m ++=的根可以看作二次函 数2y ax bx c =++图象与直线y m =的交点的横坐标，如图，可知3α<-和1β>.9.答案：A解析：根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可． 解：由图可知，30x -<<时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是30x -<<． 故选：A. 10.答案：C解析：抛物线()2243y a x =--过点()1,3A ，393a ∴=-，解得，故①正确；由题意可知3(4)E -,，AE ∴=，点3(1)A ,、C 关于直线4x =对称，3()7C ∴,，6AC ∴=，故AC AE ≠，故②错误； 易得点D 的坐标为(11)-,，由抛物线的对称性可知，AD BD =，()33B -,，又11()D -,，4AB ∴=，AD BD ==，222AD BD AB ∴+=，ABD ∴△是等腰直角三角形，故③正确；两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则()21211x ++()22433x =--，解得11x =，237x =，所以当137x <<时，12y y >.11.答案：A解析：抛物线的解析式为22y ax x =-+．观察图象可知当0a <时，1x =-时，2y ≤时，满足条件，即32a +≤，即1a ≤-； 当0a >时，2x =时，1y ≥，且抛物线与直线MN 有交点，满足条件，14a ∴≥， 直线MN 的解析式为1533y x =-+，由215332y x y ax x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得到，23210ax x -+=，0∆>，13a ∴<， 1143a ∴≤<满足条件， 综上所述，满足条件的a 的值为11143a a ≤-≤<或，故选：A ．12.答案：D 解析：如图，二次函数2y x mx =-+的对称轴为2x =，()221m ∴-=⨯-解得4m =， ∴二次函数解析式为24y x x =-+，∴当1x =时，143y =-+=，当5x =时，2520 5.y =-+=-由图象可知关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，直线y t =在直线5y =-和直线4y =之间，包括直线4y =，所以54t -<≤.故选:D13.答案：B解析：本题考查抛物线与x 轴的交点、一元二次方程的根的判别式.选项A ，因为12M =，22M =，所以224,8a b >>.因为2b ac =，设46a b ==，，则9c =，此时24140c -⨯⨯>，所以32M =，故选项A 不正确；选项B ，因为121,0M M ==，所以224110,4120a b -⨯⨯=-⨯⨯<，所以2a =（舍负），28b <.因为2b ac =，所以212c b =，此时2414144c b -⨯⨯=-()()()4221116648844b b b =-=+-.因为28b <，20b >，所以()()2218804b b +-<，所以241c -⨯⨯340,0M <=，故选项B 正确；选项C ，因为10M =，22M =，所以224,8a b <>.因为2b ac =，设1a =，3b =，则9c =，此时24140c -⨯⨯>，所以32M =，故选项C 不正确；选项D ，因为120,0M M ==，所以224,8a b <<.因为2b ac =，设12a b ==，，则4c =，此时24140c -⨯⨯=，所以31M =，故选项D 不正确，故选B.14.答案：D解析：二次函数2(2)3y x a x =+-+的图象与一次函数(12)y x x =≤≤的图象有且仅有一个交点，可转化为方程2(3)30x a x +-+=在12x ≤≤上有且只有一个解（1）当0∆=时，即2(3)120a --=，所以3a =±①当3a =+230x ++=解得12x x ==②当3a =-时，方程230x -+=解得12x x =（2）当0∆>时，令2(3)3y x a x =+-+令1x =，则1331y a a =+-+=+令2x =，则42(3)321y a a =+-+=+，则(1)(21)0a a ++≤，解得112a -≤≤-①当1a =-时，令2430y x x =-+=，解得121,3x x ==，符合题意. ②当12a =-时，令27302y x x =-+=，解得1232,2x x ==，不符题意，故12a ≠- 所以112a -≤≤-综上所述，当3a =-或112a -≤≤-时满足题意.故选D. 15.答案：(1)抛物线24y x x m =-+经过点0(1)A ,，014m ∴=-+，3m ∴=，∴抛物线解析式为243y x x =-+，∴点C 坐标(0)3,，对称轴2x =，B C ,关于对称轴对称，∴点B 坐标(4)3,，y kx b =+经过点A B ,，043k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为1y x =-；(2)由图象可知，满足24kx b x x m +≥-+的x 的取值范围为：14x ≤≤；(3)存在，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则PA PC +最小值AB =，AB ∴=把2x =代入1y x =-得，1y =，1()2P ∴,，PA PC +最小值=解析：16.答案：(1)抛物线224y mx mx m =-++与y 轴交于点()0,3A ， 4 3.m ∴+=1.m ∴=-∴抛物线的表达式为22 3.y x x =-++.抛物线223y x x =-++与x 轴交于点,B C ， ∴令0y =，即2230.x x -++=解得121, 3.x x =-= 又点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0);(2)2223(1)4y x x x =-++=--+∴抛物线的对称轴为直线1x =.抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1,0).直线y kx b =+经过点(1,0)D 和点(1,2)E --，02.k b k b +=⎧∴⎨-+=-⎩解得11.k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线DE 的表达式为1y x =-;(3)如图，当P 点在,D B 两点之间时，,M N 都在x 轴上方，∴点,M N 至少有一个点在x 轴下方的t 的范围为:1t <或3t >.解析：17.答案：6解析：∵抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ,∴A 点坐标为()0,3. 当3y =时,2133x = ,解得3x =±. ∴B 点坐标为()3,3﹣,C 点坐标为()3,3.(3)36BC ∴-=-=.18.答案：1x <-或4x >解析：由函数图象可知，在点A 的左侧和点B 的右侧，一次函数的函数值都大于二次函数的函数值.(1,),(4,)A p B p -，∴关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是1x <-或4x >.19.答案：122k -<< 解析：由图可知，45AOB ∠=°,∴直线OA 的解析式为y x =，联立212y x y x k =⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得22220,(2)4120x x k k -+=∆=--⨯⨯=，解得12k =，即12k =时，抛物线与OA 有一个交点，该交点的横坐标为 1.点B 的坐标为()2,0,2,AO ∴=∴点A的坐标为，∴交点在线段AO 上;当抛物线经过点(2,0)B 时，合1402k ⨯+=，解得2k =-.∴要使抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是122k -<<. 20.答案：3m ≤或4m ≥解析：把(4,4)A 代入抛物线23y ax bx =++得：16434a b ++=1641a b ∴+=，144a b ∴+= 对称轴2b x a=-，(2,)B m ，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足01d <≤ 02()12b a ∴<--≤，4012a b a+∴<≤，118a ∴≤ 18a ∴≥或18a ≤- 把(2,)B m 代入23y ax bx =++得：423ab m ++=2(2)3a b m ++=12(24)34a a m +-+= 784m a ∴=- 71848m ∴-≥或71848m -≤- 3m ∴≤或4m ≥，故答案为3m ≤或4m ≥.21.答案：122,1x x =-= 解析：抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -，∴方程组2y ax y bx c⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩或2211x y =⎧⎨=⎩， 即关于x 的方程20ax bx c --=的解为122,1x x =-=.22.答案：①③解析：本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系.抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过(2,0),(4,0)A B -两点，∴当0y =时，方程20ax bx c ++=的两个根为122,4x x ==-，故①正确；该抛物线的对称轴为2(4)12x =+-=-，函数图象开口向下，若点()()125,,π,C y D y -在该抛物线上，则12y y >，故②错误；当1x =时，函数取得最大值a b c -+，故对于任意实数t ，总有2at bt a b +-，即对于任意实数t ，总有2at bt a b +-，故③正确；对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则两个根为3-和1或2-和0或1-和1-，故p 的值有三个，故④错误，故正确的结论是①③.23.答案：②④ 解析：①由图像知对称轴122b x a =-<，且开口向上可知0a >，所以a b >-. 当1x =-时，由图像知0y >，所以0a bc -+>，所以0a a c a b c ++>-+>，所以20a c +>，故①错误； ②若13(,)2y -，21(,)2y -，31(,)2y 在抛物线上，由图像可知123y y y >>.故正确； ③若抛物线与直线y t =有交点，即2y ax bx c y t⎧=++⎨=⎩有解，所以2ax bx c t ++=有解， 所以直线y t =一定过点P 或在点P 上方，所以t n ≥.因为关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解，所以2ax bx c c k ++=-有实数解. 即抛物线2y ax bx c =++与直线y c k =-有交点即直线y c k =-一定过点P 或在点P 上方，所以c k n -≥，所以k c n ≤-，故③错误；④如图所示，连接,PA PB ,设对称轴交x 轴于点H2414ac b n a a-==-，244b ac ∴-=即0∆>。

中考数学总复习《方程与不等式》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解一元一次方程 1．解方程：(1)3(x +1)+2(x −4)=10 (2)x +x+35=2−1−x 22．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：2x =2的解为x =1，x +1=1的解为x =0，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x 的一元一次方程x +2m =0与3x −2=−x 是“阳光方程”，则m =______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为x =k ，求k 的值．(3)①已知关于x 的一元一次方程x2023+a =2023x 的解是x =2024，请写出解是y =2023的关于y 的一元一次方程：()2023x +2023=______−a ．（只需要补充含有y 的代数式）． ②若关于x 的一元一次方程12023x −1=0和12023x −5=2x +a 互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程y2023−9−a =2y −22023的解为______．二、解二元一次方程组3．已知y =kx +b ，当x =0时y =1；当x =1时y =4，求k 和b 的值．4．关于x ，y 的二元一次方程组{3x +y =1+3a x +3y =1−a 的解满足不等式x +y >−2，求a 的取值范围．5．已知关于x ，y 的方程组{2x −3y =3ax +2by =4 和{2ax +3by =33x +2y =11的解相同，求(3a +b)2024的值．6．阅读探索：知识累计：解方程组{(a −1)+2(b+2)=62(a −1)+(b+2)=6．解：设a −1=x,b +2=y ，原方程组可变为{x+2y =62x+y =6．解方程组得：{x =2y =2 ，即{a −1=2b+2=2 ，解得{a =3b =0．所以此种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：{(a3−1)+2(b5+2)=42(a3−1)+(b5+2)=5；(2)能力运用：已知关于x，y的方程组{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为{x=5y=3，求出关于m，n的方程组{a1(m+3)+b1(n−2)=c1a2(m+3)+b2(n−2)=c2的解．三、解分式方程7．计算：(1)1x +2x−1=2x2−x；(2)2x+93x−9=4x−7x−3−1．8．关于x的分式方程：mxx2−4−2x−2=3x+2，若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．9．若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，求a的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+bk,ka+b)（其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k之称心点”．例如：P(1,4)的“2之称心点”为P′(1+42,2×1+4)，即P′(3,6)．(1)①点P(−1,−2)的“2之称心点”P′的坐标为________；②若点P的“k之称心点” P′的坐标为(3,3)，请写出一个符合条件的点P的坐标______；(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为______；(3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程2x+5x−3+2−mx3−x=k无解，求m的值．11．关于x的方程：x+−1x =c+−1c的解为x=c,x=−1c；x+1x =c+1c的解为x=c或x=1c；x+2x =c+2c的解为x=c,x=2c；x+3x =c+3c的解为x=c,x=3c；…根据材料解决下列问题：(1)方程x+1x =52的解是___________；(2)猜想方程x+mx =c+mc(m≠0)的解，并将所得的解代入方程中检验；(3)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程：x+2x−1=a+2a−1．四、解一元二次方程12．解下列一元二次方程：(1)−2x2+6x−3=0(2)(2x+3)2=(3x+2)2．13．关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2−2=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−(2k−1)x+k2−2=0有一个相同的根，求此时m的值．14．关于x的一元二次方程a(1−x2)−2√2bx+c(1+x2)=0中a b c是Rt△ABC 的三条边其中∠C=90°．(1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是x1x2且x12+x22=12求a:b:c．15．已知关于x的一元二次方程x2+(m−4)x=4m．(1)证明：无论m取何值此方程必有实数根；(2)若Rt△ABC的两直角边AC BC的长恰好是该方程的两个实数根且斜边AB的长为5 求m的值；(3)若等腰三角形ABC的一边AB长为6 另两边长BC,AC恰好是这个方程的两个根求△ABC的周长．16．已知关于x的方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0．(1)若这个方程有实数根求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1 求k的值；(3)若以方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=mx的图象上求满足条件的m的最小值．五、解不等式与不等式组17．解不等式x+13−x−16≥x−12并在数轴上表示其解集．18．解不等式组{4x−3<2(x+2)①52x+3≤72x+6②并把解集在数轴上表示出来．19．已知关于x,y 的方程组{x −2y =m 2x +3y =2m +4的解满足不等式组{3x +y ≤0x +5y >0 求满足条件的m 的整数值．20．先阅读下面是的解题过程 然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：|3x |=1．解：分情况讨论：①当x ≥0时原方程可化为3x =1 解得x =13； ②当x <0时原方程可化为−3x =1 解得x =−13．所以原方程的解为x =13或x =−13．根据材料 解下列绝对值方程： (1)理解应用：|2x +1|=3；(2)拓展应用：不等式|x −1|>4的解集为______．参考答案1．（1）解：3(x +1)+2(x −4)=10 去括号得：3x +3+2x −8=10 移项得：3x +2x =10+8−3 合并同类项得：5x =15 系数化为1得：x =3； （2）解；x +x+35=2−1−x 2去分母得：10x +2(x +3)=20−5(1−x ) 去括号得：10x +2x +6=20−5+5x 移项得：10x +2x −5x =20−5−6 合并同类项得；7x =9 系数化为1得：x =97．2．（1）解x +2m =0 得x =−2m ； 解3x −2=−x 得x =12；∵关于x 的一元一次方程x +2m =0与3x −2=−x 是“阳光方程”∵−2m +12=1解得m =−14；（2）∵“阳光方程”的一个解为x =k 则另一个解为1−k ∵这两个“阳光方程”的解的差为5 则k −(1−k )=5或(1−k )−k =5 解得k =3或k =−2． 故k 的值为3或−2；（3）①∵关于x 的一元一次方程x 2023+a =2023x 的解是x =2024∵x2023+2023×(−x )=−a 的解是x =2024∵y =2023 则y +1=2024=x则y+12023+2023×[−(y +1)]=−a 的解是y =2023 即：y+12023+2023×(−y −1)=−a 的解是y =2023故答案为：y +1 −y −1； ②方程12023x −1=0的解为：x =2023∵关于x 方程12023x −1=0与12023x −5=2x +a 互为“阳光方程”∵方程12023x −5=2x +a 的解为：x =1−2023=−2022．∵关于y 的方程y2023−9−a =2y −22023就是：y+22023−5=2(y +2)+a∵y +2=−2022 ∵y =−2024． ∵关于y 的方程y 2023−9−a =2y −22023的解为：y =−2024．故答案为：y =−2024．3．解：∵在y =kx +b 当x =0时y =1；当x =1时y =4 ∵{k +b =4b =1∵{k =3b =1． 4．解：将两方程相加可得4x +4y ＝2+2a∴x +y =a+12由x +y >−2可得a+12>−2解得a >−5所以a 的取值范围为：a >−5．5．解：由题意可得：方程组{2x −3y =33x +2y =11 和方程组{ax +2by =42ax +3by =3的解相同解方程组{2x −3y =33x +2y =11可得：{x =3y =1将{x =3y =1 代入{ax +2by =42ax +3by =3 可得：{3a +2b =46a +3b =3解得：{a =−2b =5将{a =−2b =5 代入(3a +b )2024可得 原式=(−6+5)2024=1即(3a +b )2024的值1．6．（1）解：设a3−1=x b5+2=y 原方程组可变为：{x +2y =42x +y =5解得：{x =2y =1；即{a 3−1=2b5+2=1解得：{a =9b =−5；（2）设{m +3=x n −2=y由题意 得{m +3=5n −2=3解得：{m =2n =5．7．（1）解：1x +2x−1=2x 2−xx −1+2x =2解得：x =1检验：当x =1 x −1=0 则x =1是原方程的增根 所以原方程无解．（2）解：2x+93x−9=4x−7x−3−12x+9=3(4x−7)−(3x−9)解得：x=3检验：当x=3x−3=0则x=3是原方程的增根所以原方程无解．8．解：mxx2−4−2x−2=3x+2方程两边同时乘以(x+2)(x−2)去分母得去括号得移项得合并同类项得(m−5)x=−2∵关于x的分式方程会产生增根即(x+2)(x−2)=0∵x=±2当x=−2时−2(m−5)=−2解得m=6；当x=2时2(m−5)=−2解得m=4；综上所述m的值为6或4．9．解：x+2x−1−ax−1=3去分母得：x+2−a=3(x−1)即x−3x=a−2−3解得：x=5−a2∵关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数∴5−a2≥0且5−a2≠1解得：a≤5且a≠3．10．（1）解：①当a=−1b=−2k=2时−1+−22=−22×(−1)+(−2)=−4∴点P(−1,−2)的“2之称心点”P′的坐标为(−2,−4)故答案为：(−2,−4)；②∵点P的“k之称心点”P′的坐标为(3,3)∴a+bk=3ka+b=3解得k=1a+b=3当a=1时b=2∴符合条件的点P的坐标可以是(1,2)故答案为：(1,2)；（2）解：∵点P在y轴的正半轴上∴a=0b>0．∴点P的坐标为(0,b)∵点P的“k之称心点”为P′点∴点P′的坐标为(bk，b)∴PP′⊥OP ∵△OPP′为等腰直角三角形∴OP=PP′∴bk=±b∵b>0∴k=±1．故答案为：±1；（3）解：当k=1时去分母整理得：(m+1)x=−6∵原方程无解∴①m+1=0即m=−1②x−3=0即x=3则m=−3；当k=−1时去分母整理得：(m+3)x=0∵原方程无解∴①m=−3②x=3则m=−3；综上所述m=−1或m=−3．11．（1）解：由x+1x =52可得x+1x=2+12∵该方程的解为：x=2或x=12；（2）方程x+mx =c+mc(m≠0)的解为：x=c或x=mc检验：当x=c时左边=c+mc=右边故x=c是方程的解当x=mc 时左边=mc+m mc=mc+c=右边故x=mc也是方程的解；（3）原方程x+2x−1=a+2a−1可化为：x−1+2x−1=a−1+2a−1所以x−1=a−1或x−1=2a−1解得：x=a或x=a+1a−1经检验x=a或x=a+1a−1是原方程的解故答案为：x=a或x=a+1a−1．12．（1）解：∵−2x2+6x−3=0∵a=−2，b=6，c=−3∵Δ=62−4×(−2)×(−3)=12>0∵x=−b±√b2−4ac2a =−6±2√3−4解得x1=3+√32，x2=3−√32；（2）解：∵(2x+3)2=(3x+2)2∵(2x+3)2−(3x+2)2=0∵(2x+3+3x+2)(2x+3−3x−2)=0即(5x+5)(1−x)=0∵5x+5=0或1−x=0解得x1=−1，x2=1．13．（1）解：由题意可得Δ=[−(2k−1)]2−4×1×(k2−2)=−4k+9≥0∵k≤94；（2）解：∵k≤94k是符合条件的最大整数∵k=2∵方程x2−(2k−1)x+k2−2=0为x2−3x+2=0解得x1=1x2=2∵一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−(2k−1)x+k2−2=0有一个相同的根当x=1时m−1+1+m−3=0解得m=32；当x=2时4(m−1)+2+m−3=0解得m=1∵m−1≠0∵m≠1∵m=1舍去；∵m=32．14．（1）证明：化简一元二次方程得(c−a)x2−2√2bx+a+c=0Δ=(−2√2b)2−4(c−a)(a+c)=4(2b2+a2−c2)∵a b c是Rt△ABC的三条边∴c2=a2+b2b>0∴Δ=4[(2b2+a2−(a2+b2)]=4b2>0∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个根是x1x2∴x1+x2=2√2bc−a x1x2=a+cc−a∵x12+x22=12∴(x1+x2)2−2x1x2=12即(2√2bc−a )2−2(a+c)c−a=12∴8b2(c−a)2−2(a+c)c−a=12∵b2=c2−a2∴8(c2−a2)(c−a)2−2(a+c)c−a=12化简得c=3a∴b2=(3a)2−a2=8a2∴b=2√2a∴a:b:c=1:2√2:3．15．（1）证明：x2+(m−4)x−4m=0a=1b=m−4c=−4mΔ=b2−4ac=(m−4)2−4×1×(−4m)=(m−4)2+16m=m2−8m+16+16m=m2+8m+16=(m+4)2≥0∵方程必有实数根．（2）解：设AC=x1BC=x2由根与系数的关系得：x1+x2=−ba =4−m x1x2=ca=−4m．由Rt△ABC斜边AB的长为5 结合勾股定理得：x12+x22=52∵x12+x22=(x1+x2)−2x1x2=(4−m)2−2×(−4m)=16−8m+m2+8m=m2+16=25∵m2=9∵m1=3m2=−3．当m=3时x1=4x2=−3；当m=−3时x1=3x2=4．∵x1>0x2>0∵m=−3．（3）解：①若AB为底边则BC=AC即方程由两个相等的实数根即Δ=(m+4)2=0解得：m=−4把m=−4代入方程得：x2−8x+16=0解得：x1=x2=4即BC=AC=4．∵C△ABC=AB+BC+AC=6+4+4=14．②若AB为腰则BC=6或AC=6把x=6代入方程得：36+6(m−4)=4m解得：m=−6当m=−6时方程为：x2−10x+24=0解得：x1=4x2=6．∵C△ABC=AB+BC+AC=6+6+4=16．综上：△ABC的周长为14或16．16．（1）解：由题意得：Δ=[−2(k−3)]2−4×(k2−4k−1)≥0化简得：−2k+10≥0解得：k≤5；（2）解：将x=1代入方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0得：1−2(k−3)+k2−4k−1=0整理得：k2−6k+6=0解得：k1=3−√3,k2=3+√3；（3）解：设方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0的两个根为x1,x2∴x1x2=k2−4k−1∵以x1,x2为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=mx的图象上∴x1x2=m∴m=k2−4k−1=(k−2)2−5∴当k=2时m取得最小值−5．17．解：x+13−x−16≥x−12解：去分母得：2(x+1)−(x−1)≥3(x−1)去括号得：2x+2−x+1≥3x−3移项合并同类项得：−2x≥−6同时除以−2得：x≤3．故而求得此不等式的解集为：x≤3．在数轴上表示此解集如下图：18．解：{4x−3<2(x+2)①52x+3≤72x+6②解①得x<72解②得x≥−3∵−3≤x<72．如图19．解：解方程组{x −2y =m,①2x +3y =2m +4,② ①+② 得3x +y =3m +4． ②-① 得x +5y =m +4． 由{3x +y ≤0,x +5y >0, 得{3m +4≤0,m +4>0,解不等式组 得−4<m ≤−43 ∴满足条件的m 的整数值为−3,−2．20．（1）解：分情况讨论：①当2x +1≥0时原方程可化为2x +1=3 解得x =1； ②当2x +1<0时原方程可化为：−2x −1=3解得：x =−2所以原方程的解为x =1或x =−2；（2）解：分情况讨论：①当x −1>4时解得：x >5；②当x −1<−4时解得：x <−3所以不等式解集为x >5或x <−3．。

单元测试(二) 方程与不等式(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．方程3x ＋2(1－x)＝4的解是( C )A ．x ＝25B ．x ＝65C ．x ＝2D ．x ＝1 2．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，2x ＋y ＝0的解是( A ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1 3．一元一次不等式2(x ＋2)≥6的解在数轴上表示为( A )4．下列方程有两个相等的实数根的是( C )A ．x 2＋x ＋1＝0B ．4x 2＋x ＋1＝0C ．x 2＋12x ＋36＝0D ．x 2＋x －2＝05．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( B )A ．5B ．7C ．5或7D ．106．若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( C ) A ．m ＞－23 B ．m ≤23 C ．m ＞23 D ．m ≤－237．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2 700元购买A 型陶笛与用4 500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是( D )A.2 700x －20＝4 500x B.2 700x ＝4 500x －20 C.2 700x ＋20＝4 500x D.2 700x ＝4 500x ＋208．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600时．设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( A )A ．x(x －60)＝1 600B ．x(x ＋60)＝1 600C ．60(x ＋60)＝1 600D ．60(x －60)＝1 600二、填空题(每小题3分，共18分)9．满足不等式2(x ＋1)＞1－x 的最小整数解是0．10．若方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为3．11．分式方程2x ＝5x ＋3的解是x ＝2． 12．一元二次方程2x 2－3x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是k ＜98． 13．某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元增长到800万元，则平均每年增长的百分数是100%．14．如果实数x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－12，2x ＋2y ＝5，那么x 2－y 2的值为－54． 三、解答题(共50分)15．(6分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11.② 解：由①，得y ＝3－2x.③把③代入②，得3x －5(3－2x)＝11.解得x ＝2.将x ＝2代入③，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.16．(6分)解方程：1x －3＝1－x 3－x－2. 解：方程两边同乘(x －3)，得1＝x －1－2(x －3)．解得x ＝4.检验：当x ＝4时，x －3≠0，∴x ＝4是原分式方程的解．17．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞－2，2x －13≤1，并把解在数轴上表示出来． 解：由1＋x ＞－2，得x ＞－3.由2x －13≤1，得x≤2. ∴不等式组的解集为－3＜x≤2.解集在数轴上表示如下：18．(8分)先化简，再求值：(x 2－2x ＋4x －1＋2－x)÷x 2＋4x ＋41－x，其中x 满足x 2－4x ＋3＝0.解：原式＝x 2－2x ＋4＋（2－x ）（x －1）x －1÷（x ＋2）21－x＝x ＋2x －1·1－x （x ＋2）2 ＝－1x ＋2. 解方程x 2－4x ＋3＝0，得(x －1)(x －3)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3.当x ＝1时，原分式无意义；当x ＝3时，原式＝－13＋2＝－15.19．(10分)2016年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1 000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等．(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷；(2)如果这批帐篷有1 490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？解：(1)设乙种货车每辆车可装x 件帐篷，由题意，得1 000x ＋20＝800x.解得x ＝80. 经检验，x ＝80是原方程的解，且符合实际情况．答：甲种货车每辆车可装100件帐篷，乙种货车每辆车可装80件帐篷．(2)设甲、乙两种货车分别有a 辆、b 辆，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝16，100a ＋（b －1）80＋50＝1 490.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝4. 答：甲、乙两种货车分别有12辆，4辆．20．(12分)某物流公司承接A 、B 两种货物的运输业务，已知5月份A 货物运费单价为50元/吨，B 货物运费单价为30元/吨，共收运费9 500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A 货物70元/吨，B 货物40元/吨．该物流公司6月份承接的A 种货物和B 种货物数量与5月份相同，6月份共收取运费13 000元．问：(1)该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物共330吨，且A 货物的数量不大于B 货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收取多少运输费？解：(1)设该物流公司5月份运输A 、B 两种货物各x 吨、y 吨，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋30y ＝9 500，70x ＋40y ＝13 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝150.答：该物流公司5月份运输A 种货物100吨，运输B 种货物150吨．(2)设物流公司7月份运输A 种货物a 吨，收取w 元运输费，则依题意，有a ≤2(330－a)．则a≤220.∴a 最大为220.w ＝70a ＋40(330－a)＝30a ＋13 200.∵k ＝30>0，w 随a 的增大而增大．∴当a＝220时，w最大＝30×220＋13 200＝19 800(元)．答：该物流公司7月份最多将收取运输费19 800元．。

方程与不等式(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题3分，共24分)1.(滚动考察相反数概念)|-3|相反数是( )A.3B.-3C.±3D.2.一元二次方程x2-x+=0根为( )1=，x2=-1=x2=-1=2，x21=x2=3.(滚动考察整式运算)以下各运算中，正确是( )A.3a+2a＝5a2B.(-3a3)2＝9a66÷a2＝a3 D.(a+2)2＝a2+44.分式方程-=0根是( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-25.在平面直角坐标系中，假设点P(m-3，m+1)在第二象限，那么m取值范围为( )A.-1＜m＜3B.m＞3C.m＜-1D.m＞-16.某种商品进价为800元，标价为1 200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为20%，那么可打( )7.假设不等式组有实数解，那么实数m取值范围是( )≤ B.m＜ C.m＞≥8.邱教师打算购置气球装扮学校“六一〞儿童节活动会场，气球种类有笑脸与爱心两种，两种气球价格不同，但同一种气球价格一样，由于会场布置需要，购置时以一束(4个气球)为单位，第一、二束气球价格如下图，那么第三束气球价格为( )A.19元B.18元C.16元二、填空题(每题4分，共16分)9.(滚动考察绝对值与二次根式性质)假设a,b为实数，且|a+1|+=0，那么(ab)2 015值是 .10.关于x方程2x+a-9=0解是x=2，那么a值为 .11.关于x、y方程组解满足不等式x+y<3，那么a取值范围为 .12.(2021·兰州)如图，在一块长为22米、宽为17米矩形地面上，要修建同样宽两条互相垂直道路(两条道路各与矩形一条边平行)，剩余局部种上草坪，使草坪面积为300平方米.假设设道路宽为x米，那么根据题意可列出方程为 .三、解答题(共60分)13.(6分)(滚动考察实数运算)计算：(sin30°)-2+()0-|3-|+83×(-0.125)3.14.(12分)解方程(组)：(1)(2)+1=；(3)x2+4x-2=0.15.(6分)解不等式组：并写出它所有整数解.16.(8分)(兼顾考察分式运算与一元二次方程解法)先化简，再求值：÷(a-1-),其中a是方程x2-x=6根.17.(8分)(兼顾考察实数运算与不等式解法)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a-b)+1，等式右边是通常加法、减法及乘法运算，比方：2⊕5＝2×(2-5)+1＝2×(-3)+1＝-6+1＝-5.(1)求(-2)⊕3值；(2)假设3⊕x值小于13，求x取值范围，并在如下图数轴上表示出来.18.(10分)某学校后勤人员到一家文具店给九年级同学购置考试用文具包，文具店规定一次购置400个以上，可享受8折优惠.假设给九年级学生每人购置一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；假设多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元.请问该学校九年级学生有多少人？19.(10分〕为了进一步建立秀美、宜居生态环境，某村欲购置甲、乙、丙三种树美化村庄，甲、乙、丙三种树每棵价格之比是2∶2∶3，甲种树每棵200元，现方案用210 000元，购置这三种树共1 000棵.(1)求乙、丙两种树每棵各多少元？(2)假设购置甲种树棵数是乙种树2倍，且恰好用完方案资金，求三种树各购置多少棵？(3)假设又增加了10 120元购树款，在购置总棵数不变情况下，求丙种树最多可以购置多少棵？参考答案1.B2.D3.B4.D5.A6.B7.A8.C9.-1 10.5 11.a<1 12.(22-x)(17-x)=300 13.原式=()-2+1-(3-3)+［8×(-)］3=4+1-3+3-1=7-3.14.(1)由①+②得x=1,把x=1代入①得y=1.∴方程组解为(2)5+x-2=1-x,x=-1.经检验，x=-1是原方程解.(3)(x+2)2=6.x1=-2+,x2=-2-.15.由①得x≥1.由②得x＜4.∴原不等式组解集是1≤x＜4，∴原不等式组所有整数解是1、2、3.16.原式=÷∵a是方程x2-x=6根，∴a2-a=6,∴原式=.17.(1)(-2)⊕3=-2×(-2-3)+1=11.(2)∵3⊕x＜13，∴3(3-x)+1＜13.∴x＞-1.在数轴上表示如下图.18.设九年级学生有x人，根据题意，得×0.8=.解得x=352.经检验x=352是原方程解，且符合题意.答：这个学校九年级学生有352人.19.(1)∵甲、乙、丙三种树每棵价格之比是2∶2∶3，甲种树每棵200元，∴乙种树每棵价格200元，丙种树每棵价格200×=300(元).(2)设购置乙种树x棵，那么购置甲种树2x棵，购置丙种树(1 000-3x)棵，依题意得200×2x+200×x+300(1 000-3x)=210 000.解得x=300.∴购置甲种树600棵，购置乙种树300棵，购置丙种树100棵.(3)设假设购置丙种树y棵，那么购置甲、乙两种树共(1 000-y)棵，依题意得200(1 000-y)+300y≤210 000+10 120.解得y≤201.2.∵y为正整数，∴y=201.∴丙种树最多可以购置201棵.。

中考数学《方程与不等式》专题测试卷（含答案）(时间：120分钟 总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.一元二次方程3x 2－x －2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是( A )A.－1B.－2C.1D.02.已知关于x 的方程x 2－kx ＋6＝0有两个实数根，则k 的值不可能是( D )A.5B.－8C.8D.43.下列各组数中，是二元一次方程5x －y ＝4的一个解的是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝6 4.对于任何的a 值，关于x ，y 的方程ax －(a －1)y ＝a ＋1都有一个与a 无关的解，这个解是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1 5.方程1x －1＝2x －2的解为( D ) A.3 B.2 C.1 D.06.“桃花流水窅然去，别有天地非人间”桃花源景点2017年共接待游客a 万人，2018年比2017年旅游人数增加5%，已知2017年至2019年欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年比2018年游客人数增加b%，则可列方程为( B )A.a(1＋5%)(1＋b%)＝a(1＋8%×2)B.a(1＋5%)(1＋b%)＝a(1＋8%)2C.a(1＋5%)(1＋8%)＝a(1＋8%×2)D.a(1＋5%)(1＋8%)＝2a(1＋b%)7.把不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，－2x －6＞－4 的解集在数轴上表示出来，正确的为( B )A. B. C. D.8.为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是( A )A.360x ＝480140－x B.360140－x ＝480x C.360x ＋480x ＝140 D.360x －140＝480x9.若分式方程1x －3＋1＝a －x x －3有增根，则a 的值是( A ) A.4 B.3 C.2 D.110.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＜4（x －1），x ＜m 无解，则m 的取值范围是( A )A.m≤3B.m＞3C.m ＜3D.m≥3二、填空题(每小题4分，共24分)11.若m ＋1与－2互为相反数，则m 的值为 1 .12.2x 与1的差是非负数，用不等式表示为 2x －1≥0 .13.方程6x ＋1＝x ＋5x(x ＋1)的解是 x ＝1 . 14.若x ＝3是关于x 的方程x 2－43x ＋m ＝0的一个根，则方程的另一个根是 3 3 .15.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＜0，7－2x≤1 的整数解共有3个，则m 的取值范围是 5＜m≤6 .16.某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学种树的数目都达不到100棵.这样原来预定男同学种树 104 棵；女同学种树 96 棵.三、解答题(共66分)17.(6分)计算：(1)3x 2－1＝2x ＋2； (2)2x ＋1－2x 1－x 2＝1x －1. 解：(1)3x 2－2x －3＝0，Δ＝(－2)2－4×3×(－3)＝40，x ＝2±2102×3＝1±103， 所以x 1＝1＋103，x 2＝1－103； (2)去分母得：2x －2＋2x ＝x ＋1，解得：x ＝1，经检验x ＝1是增根，分式方程无解.18. (8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞8，2x ＋1＜3x －1， 并把解集在数轴上表示出来． 解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞8①，2x ＋1＜3x －1② ∵解不等式①得：x ＞4，解不等式②得：x ＞2，∴不等式组的解集是x ＞4.在数轴上表示为：.19.(8分)已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，求k 的值.解：(1)k≤94； (2)k ＝1.20.(10分)为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七(1)班学生去商场购买了A 品牌足球1个、B 品牌足球2个，共花费400元，七(2)班学生购买了A 品牌足球3个、B 品牌足球1个，共花费450元.(1)求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？(2)为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进A ，B 两种品牌的足球，学校提供专项经费850元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？解：(1)设购买一个A 品牌足球需要x 元，购买一个B 品牌足球需要y 元，依题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝400，3x ＋y ＝450， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝150.答：购买一个A 品牌足球需要100元，购买一个B 品牌足球需要150元．(2)设可以购买m 个A 品牌足球，n 个B 品牌足球，依题意，得：100m ＋150n ＝850，∴n ＝17－2m 3 .∵m ，n 均为非负整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝1，n 1＝5， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝4，n 2＝3， ⎩⎪⎨⎪⎧m 3＝7，n 3＝1， ∴m ＋n ＝6或m ＋n ＝7或m ＋n ＝8.答：学校这次最多能购买8个足球．21.(10分)2019国际马拉松于5月26日上午在市体育中心鸣枪开跑.某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同.(1)求平均每年增加的百分率；(2)假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量.解：(1)设平均每年增加的百分率为x ，依题意，得：5000(1＋x)2＝7200，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去).答：平均每年增加的百分率为20%.(2)7200×(1＋20%)＝8640(瓶).答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶.22.(12分)已知关于x 的方程(2m －1)x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0.(1)求证：不论m 为何值，方程必有实数根.(2)当m 为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m 的值：若没有，请说明理由.解：(1)证明：①当2m －1＝0即m ＝12时，此时方程是一元一次方程，其根为x ＝12，符合题意；②当2m －1≠0即m≠12时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4(2m －1)＝(2m －1)2＋4＞0，∴当m≠12时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m 为何值，方程必有实数根.(2)当m 为整数时，关于x 的方程(2m －1)x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0没有有理根.理由如下：①当m 为整数时，假设关于x 的方程(2m －1)x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0有有理根，则要Δ＝b2－4ac 为完全平方数，而Δ＝(2m ＋1)2－4(2m －1)＝4m 2－4m ＋5＝(2m －1)2＋4，设Δ＝n 2(n为整数)，即(2m －1)2＋4＝n 2(n 为整数)，所以有(2m －1－n)(2m －1＋n)＝－4，∵2m －1与n 的奇偶性相同，并且m ，n 都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1－n ＝2，2m －1＋n ＝－2 或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1－n ＝－2，2m －1＋n ＝2 ，解得m＝12 ；②2m －1＝0时，m ＝12(不合题意舍去). 所以当m 为整数时，关于x 的方程(2m －1)x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0没有有理根．23.(12分)每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.(1)求甲、乙两种型号设备的价格；(2)该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；(3)在(2)的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.解：(1)设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝16，2x ＋6＝3y ， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；(2)设购买甲型设备m 台，乙型设备(10－m)台，则：12m ＋10(10－m)≤110，∴m≤5，∵m 取非负整数∴m＝0,1,2,3,4,5，∴有6种购买方案；(3)由题意：240m ＋180(10－m)≥2040，∴m≥4∴m 为4或5.当m ＝4时，购买资金为：12×4＋10×6＝108(万元)，当m ＝5时，购买资金为：12×5＋10×5＝110(万元)，则最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台.。

第二章《方程与不等式》自我测试[时间：90分钟 分值：100分]一、选择题(每小题3分，满分30分)1．(2019·兰州)下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋21x＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝02．(2019·益阳)不等式2x ＋1>－3 的解集在数轴上表示正确的是( )3．(2010·南通)关于x 的方程mx －1＝2x 的解为正实数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜2 4．(2019·湘潭)一元二次方程(x －3)(x －5)＝0的两根分别为( )A ．3，－5B ．－3，－5C ．－3,5D ．3,55．(2019·泉州)已知一元二次方程x 2－4x ＋3＝0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2＝( )A ．4B ．3C ．－4D ．－36．(2019·菏泽)某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打( ) A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折7．(2019·绵阳)灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15 人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15 包．请问这次采购派男女村民各多少人？( ) A ．男村民3人，女村民12人 B ．男村民5人，女村民10人 C ．男村民6人，女村民9人 D ．男村民7人，女村民8人8．(2019·滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是( )A ．289()1－x 2＝256B ．256()1－x 2＝289C ．289(1－2x )＝256D ．256(1－2x )＝2899．(2019·潍坊)关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( )A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10．(2010·泰安)若关于x 的不等式{0127 m x x -≤-的整数解共有4个，则m 的取值范围是( )A ．6<m <7B ．6≤m <7C ．6≤m ≤7D ．6<m ≤7二、填空题(每小题3分，满分30分)11．(2019·泉州)已知方程x ＝2，那么方程的解是____________.12．(2010·宁波)请你写出一个满足不等式2x －1<6的正整数x 的值________．13．(2019·芜湖)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，x －3y ＝8的解是________．14．(2019·株洲)孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为________．15．(2019·大理)不等式2x ＋6＜0的解集是________．16．(2019·上海)如果关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0(m 为常数)有两个相等实数根，那么m ＝________.17．(2019·益阳)分式方程1x ＝3x －2的解为________．18．(2019·鸡西)某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案． 19．(2010·绵阳)在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大速度为_________．20．(2019·重庆)某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了___________朵．三、解答题(21～22题各9分，23题6分，24～25题各8分，满分40分)21．(1)(2019·中山)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 2－xy －6＝0.22．(1)(2010·湘潭)解不等式：2(x －1)<x ＋1，并求它的非负整数解．(2)(2010·毕节)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－x －，①3x －22<x ＋12，②并把解集在数轴上表示出来．(3)(2010·荆门)试确定实数a 的取值范围，使不等式组⎩⎨⎧x 2＋x ＋13>0，x ＋5a ＋43>43x ＋＋a恰有两个整数解．23．(2019·舟山)目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了半小时回到舟山． (1)求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； (2)两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥大桥长度 48千米 36千米 过桥费100元80元我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y (元)的计算方法为：y ＝ax ＋b ＋5，其中a (元/千米)为高速公路里程费，x (千米)为高速公路里程(不包括跨海大桥长)，b (元)为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a .24．(2019·永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？25．(2019·湖州)我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：养殖种类成本(万元/亩)销售额(万元/亩)甲鱼 2.4 3桂鱼2 2.5(1)2010年，王大爷养殖甲鱼20亩、桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？(收益＝销售额－成本)(2)2019年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg.根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次载装饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?四、选做题26．(2019·乐山)已知关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝0的两根为x 1、x 2，且满足x 1x 2－3x 1－3x 2－2＝0.求(1＋4a 2－4)·a ＋2a 的值．参考答案一、选择题(每小题3分，满分30分)1．(2019·兰州)下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋21x＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 答案 C解析 (x －1)(x ＋2)＝1，是整式方程，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次． 2．(2019·益阳)不等式2x ＋1>－3 的解集在数轴上表示正确的是( )答案 C解析 2x ＋1>－3,2x >－4，x >－2，而A 选项表示x ≥－2，B 选项表示x <－2，D 选项表示x >－1，故选C.3．(2010·南通)关于x 的方程mx －1＝2x 的解为正实数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜2 答案 C解析 mx －1＝2x ，mx －2x ＝1，(m －2)x ＝1，x ＝1m －2>0，m －2>0，m >2，故选C.4．(2019·湘潭)一元二次方程(x －3)(x －5)＝0的两根分别为( )A ．3，－5B ．－3，－5C ．－3,5D ．3,5 答案 D解析 (x －3)(x －5)＝0，x －3＝0或x －5＝0，x ＝3或x ＝5.5．(2019·泉州)已知一元二次方程x 2－4x ＋3＝0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2＝( )A ．4B ．3C ．－4D ．－3 答案 B解析 方程x 2－4x ＋3＝0，(x －1)(x －3)＝0，x 1＝1，x 2＝3，所以x 1·x 2＝3.6．(2019·菏泽)某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打( ) A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折 答案 B解析 设折扣率为x,1200x －800≥800×5%，x ≥0.7，最多7折 .7．(2019·绵阳)灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15 人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15 包．请问这次采购派男女村民各多少人？( ) A ．男村民3人，女村民12人 B ．男村民5人，女村民10人 C ．男村民6人，女村民9人 D ．男村民7人，女村民8人 答案 B解析 设派男村民x 人，女村民y 人，⎩⎨⎧=+=+1515212y x y x 解之，得{510==x y8．(2019·滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是( ) A ．289()1－x 2＝256 B ．256()1－x 2＝289 C ．289(1－2x )＝256 D ．256(1－2x )＝289 答案 A解析 第一次降价后售价为289－289x ＝289(1－x )元，第二次降价后售价为289(1－x )－289(1－x )x ＝289(1－x )2元，故选A. 9．(2019·潍坊)关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( )A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种答案 B解析 x 2＋2kx ＋k －1＝0，b 2－4ac ＝(2k )2－4(k －1)＝4k 2－4k ＋4＝(4k 2－4k ＋1)＋3＝(2k －1)2＋3≥3>0，方程有两个不相等的实数根．10．(2010·泰安)若关于x 的不等式{0127 m x x -≤-的整数解共有4个，则m 的取值范围是( )A ．6<m <7B ．6≤m <7C ．6≤m ≤7D ．6<m ≤7 答案 D解析 由{0127 m x x -≤-得{mx x 3≥所以3≤x ＜m ，其整数的解有4个，为3、4、5、6，所以6<m ≤7.二、填空题(每小题3分，满分30分)11．(2019·泉州)已知方程x ＝2，那么方程的解是____________.答案 x 1＝2，x 2＝－2解析 |x |＝2，绝对值等于2的数有两个，是±2.12．(2010·宁波)请你写出一个满足不等式2x －1<6的正整数x 的值________．答案 1,2,3，任一个即可．解析 2x －1<6,2x <7，x <3.5，正整数x ＝1或2或3.13．(2019·芜湖)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，x －3y ＝8的解是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，①x －3y ＝8，②①＋②，得3x ＝15，x ＝5，把x ＝5代入①，得10＋3y ＝7，y ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1.14．(2019·株洲)孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为________． 答案 2解析 把x ＝1代入方程，1－3＋c ＝0，c ＝2. 15．(2019·大理)不等式2x ＋6＜0的解集是________．答案 x ＜－3解析 2x ＋6<0,2x <－6，x <－3.16．(2019·上海)如果关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0(m 为常数)有两个相等实数根，那么m ＝________. 答案 1解析 因为方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根， 所以b 2－4ac ＝0，(－2)2－4m ＝0，m ＝1. 17．(2019·益阳)分式方程1x ＝3x －2的解为________．答案 x ＝－1 解析1x ＝3x －2，3x ＝x －2,2x ＝－2，x ＝－1，经检验，x ＝－1是方程的根． 18．(2019·鸡西)某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案． 答案 2解析 设购买甲种运动服x 套，乙种运动服y 套，20x ＋35y ＝365,4x ＋7y ＝73，x ＝73－7y4，当y ＝3时，x ＝13；当y ＝7时，x ＝6，所以正整数的解有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝7，共两个，故有2种购买方案．19．(2010·绵阳)在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大速度为_________． 答案 40千米∕时解析 设该冲锋舟在静水中的速度是x 千米/时，2x ＋10＝ 1.2x －10，解之，得x ＝40.经检验：x ＝40是所列方程的根．20．(2019·重庆)某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了___________朵． 答案 4380解析 设甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x 、y 、z 盆，则⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋10y ＋10z ＝2900，①25x ＋25z ＝3750，②②÷5＋①，得20x ＋10y ＋15z ＝3650,4x ＋2y ＋3z ＝730.所以，黄花一共用24x ＋12y ＋18z ＝6(4x ＋2y ＋3z )＝730×6＝4380(朵)． 三、解答题(21～22题各9分，23题6分，24～25题各8分，满分40分)21．(1)(2019·中山)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 2－xy －6＝0.解 把①代入②，得x 2－x (x －3)－6＝0， 解得，x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝－1.所以，原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.(2)(2019·无锡)解方程：x 2＋4x －2＝0. 解 (1)方法一：由原方程，得(x ＋2)2＝6， x ＋2＝±6，∴x ＝－2 ±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 方法二：△＝b 2－4ac ＝24，x ＝－4±242，∴x ＝－2 ±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. (3)(2019·潼南)解分式方程：x x ＋1－1x －1＝1. 解 方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，得 x (x －1)－(x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)， 化简，得－2x －1＝－1，解得 x ＝0. 检验：当x ＝0时(x ＋1)(x －1)≠0， ∴x ＝0是原分式方程的解．22．(1)(2010·湘潭)解不等式：2(x －1)<x ＋1，并求它的非负整数解．解 2x －2<x ＋1, 2x －x <1＋2, x <3. 它的非负整数解为0,1,2.(2)(2010·毕节)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－x －1，①3x －22<x ＋12，②并把解集在数轴上表示出来． 解 解不等式①，得x ≥－1. 解不等式②，得x <3. 在数轴上表示如下：∴原不等式组的解集为－1≤x <3.(3)(2010·荆门)试确定实数a 的取值范围，使不等式组 ⎩⎨⎧x 2＋x ＋13>0，x ＋5a ＋43>43x ＋＋a恰有两个整数解．解 由x 2＋x ＋13＞0，两边同乘以6，得3x ＋2(x ＋1)＞0，解得x ＞－25.由x ＋5a ＋43＞43(x ＋1)＋a ，两边同乘以3，得3x ＋5a ＋4＞4(x ＋1)＋3a ，解得x ＜2a .∴原不等式组的解为－25＜x ＜2a .又∵原不等式组恰有2个整数解，∴x ＝0,1. ∴1＜2a ≤2， ∴12＜a ≤1.23．(2019·舟山)目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了半小时回到舟山． (1)求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； (2)两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥大桥长度 48千米 36千米 过桥费100元80元我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y (元)的计算方法为：y ＝ax ＋b ＋5，其中a (元/千米)为高速公路里程费，x (千米)为高速公路里程(不包括跨海大桥长)，b (元)为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a .解 (1)设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s 千米， 由题意得s 4－s4.5＝10.解得s ＝360.答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米．(2)将x ＝360－48－36＝276，b ＝100＋80＝180，y ＝295.4，代入y ＝ax ＋b ＋5，得295.4＝276a ＋180＋5，解得a ＝0.4，答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米．24．(2019·永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？解 (1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x 元，于是，得8x ＋3x ＋2x ＝130，解得x ＝10.所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．(2)设购买篮球的数量为y 个，则购买羽毛球拍的数量为4y 副，购买乒乓球拍的数量为(80－y －4y )副，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80y ＋30×4y ＋－y －4y ≤3000，①80－y －4y ≤15， ②由不等式①，得y ≤14；由不等式②，得y ≥13， ∴不等式组的解集为13≤y ≤14.因为y 取整数，所以y 只能取13或14.因此，一共有两个方案：方案一，当y ＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副； 方案二，当y ＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副． 25．(2019·湖州)我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：养殖种类 成本(万元/亩)销售额(万元/亩)甲鱼 2.4 3 桂鱼22.5(1)2010年，王大爷养殖甲鱼20亩、桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？ (收益＝销售额－成本)(2)2019年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg ，桂鱼每亩需要饲料700kg.根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次载装饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?解 (1)2019年王大爷的收益为：20×(3－2.4)＋10×(2.5－2)＝17(万元)． (2)设养殖甲鱼x 亩，则养殖桂鱼(30－x )亩． 由题意得2.4x ＋2(30－x )≤70，解得x ≤25.设王大爷可获得收益为y 万元，则y ＝0.6x ＋0.5(30－x )，即y ＝110x ＋15.∵函数值y 随x 的增大而增大，∴当x ＝25，可获得最大收益，30－x ＝5. 答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，养殖桂鱼5亩．(3)设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a (kg)，由(2)得，共需饲料为500×25＋700×5＝16000(kg)，根据题意，得16000a －160002a＝2，解得a ＝4000(kg)． 答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000 kg. 四、选做题26．(2019·乐山)已知关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝0的两根为x 1、x 2，且满足x 1x 2－3x 1－3x 2－2＝0.求(1＋4a 2－4)·a ＋2a的值．解 ∵关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝0有两根x 1、x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝a 2－7a －4，△＝4()1－a 2－4()a 2－7a －4≥0，即：a ≥－1.∵x 1x 2－3x 1－3x 2－2＝0，即x 1x 2－3()x 1＋x 2－2＝0， ∴(a 2－7a －4)－3()2－2a －2＝0，a 2－a －12＝0. 解得a 1＝－3，a 2＝4.∵a ≥－1，舍去a ＝－3，∴a ＝4.化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a 2－4·a ＋2a ＝a ＋2a ＋4a a －＝a 2－4aa －＋4aa －＝a 2a a －＝a a －2.当a ＝4时，原式＝4a －2＝42＝2.。

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析—第⼆章：⽅程与不等式（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）⼀．选择题（共10⼩题，满分30分，每⼩题3分）1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三⽉底是6.2元/升，五⽉底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个⽉平均每⽉的增长率为x ，根据题意列出⽅程，正确的是（ ）A ．26.2(1)8.9xB ．28.9(1) 6.2xC ．26.2(1)8.9xD ．26.2(1) 6.2(1)8.9x x【答案】A【分析】设该地92号汽油价格这两个⽉平均每⽉的增长率为x ，根据三⽉底和五⽉底92号汽油价格，得出关于x 的⼀元⼆次⽅程即可．【详解】解：依题意，得26.2(1)8.9x．故选：A ．【点睛】本题主要考查了⼀元⼆次⽅程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出⼀元⼆次⽅程式解题关键．2．某体育⽐赛的门票分A 票和B 票两种，A 票每张x 元，B 票每张y 元．已知10张A 票的总价与19张B 票的总价相差320元，则（ ）A ．1032019x y B ．1032019yx C ．1019320x y D ．1910320x y 【答案】C【分析】根据题中数量关系列出⽅程即可解题；【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知，1019320x y或1910320y x，∴1019320x y，故选：C．【点睛】本题主要考查⼆元⼀次⽅程的应⽤，解题的关键在于能根据实际情况对题⽬全⾯分析．3．为了增强学⽣的安全防范意识，某校初三（1）班班委举⾏了⼀次安全知识抢答赛，抢答题⼀共20个，记分规则如下：每答对⼀个得5分，每答错或不答⼀个扣1分．⼩红⼀共得70分，则⼩红答对的个数为（）A．14B．15C．16D．17【答案】B【分析】设⼩红答对的个数为x个，根据抢答题⼀共20个，记分规则如下：每答对⼀个得5分，每答错或不答⼀个扣1分，列出⽅程求解即可．【详解】解：设⼩红答对的个数为x个，由题意得52070x x，解得15x ，故选B．【点睛】本题主要考查了⼀元⼀次⽅程的应⽤，正确理解题意是列出⽅程求解是解题的关键．4．上学期某班的学⽣都是双⼈同桌，其中14男⽣与⼥⽣同桌，这些⼥⽣占全班⼥⽣的15，本学期该班新转⼊4个男⽣后，男⼥⽣刚好⼀样多，设上学期该班有男⽣x⼈，⼥⽣y⼈，根据题意可得⽅程组为（）A ．445x y x yB ．454x y x yC ．445x yx yD ．454x yx y【答案】A【分析】设上学期该班有男⽣x ⼈，⼥⽣y ⼈，则本学期男⽣有（x +4）⼈，根据题意，列出⽅程组，即可求解．【详解】解：设上学期该班有男⽣x ⼈，⼥⽣y ⼈，则本学期男⽣有（x +4）⼈，根据题意得：445x y x y．故选：A【点睛】本题主要考查了⼆元⼀次⽅程组的应⽤，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5．【原创题】在解⼀元⼆次⽅程x 2+px +q ＝0时，⼩红看错了常数项q ，得到⽅程的两个根是﹣3，1．⼩明看错了⼀次项A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出⼀元⼆次⽅程，再舍去错误信息，从⽽可得正确答案.【详解】解：Q ⼩红看错了常数项q ，得到⽅程的两个根是﹣3，1，所以此时⽅程为：310,x x 即：2230,x xQ ⼩明看错了⼀次项系数P ，得到⽅程的两个根是5，﹣4，所以此时⽅程为：540,x x 即：2200,x x从⽽正确的⽅程是：22200,x x故选：.B 【点睛】本题考查的是根据⼀元⼆次⽅程的根构建⼀元⼆次⽅程，掌握利⽤⼀元⼆次⽅程的根构建⽅程的⽅法是解题的关键.6．满⾜1m 的整数m 的值可能是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A11的范围，再确定m 的范围即可确定答案．【详解】34Q ，213 ，11，1m ，3m ，故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值的化简，⽆理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．7．定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q，有 ,,m p q n mn pq ※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：  2,34,5253422 ※．若关于x 的⽅程 21,52,0x x k k ※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k且0k B ．54kC ．54k且0k D ．54k【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，从⼆次项系数和判别式两个⽅⾯⼊⼿，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴21520k x k x ．整理得，2520kx k x k ．∵⽅程有两个实数根，∴判别式0V 且0k ．由0 V 得， 225240k k ，解得，54k．∴k 的取值范围是54k且0k ．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、⼀元⼆次⽅程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知⼀元⼆次⽅程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题⽬容易忽略之处在于⼆次项系数不能为零的条件限制，要引起⾼度重视．8．若关于x 的分式⽅程2121m x x有正数解，求m 的取值范围．甲解得的答案是：4m，⼄解得的答案是：2m，则正确的是（ ）A ．只有甲答案对B ．只有⼄答案对C ．甲、⼄答案合在⼀起才正确D ．甲、⼄答案合在⼀起也不正确【答案】D【分析】先解分式⽅程，得出24m x m ，根据关于x 的分式⽅程2121mx x 有正数解，得出2042142142mm mm m m，解不等式组即可得出答案．【详解】解：2121mx x，去分母得：42x mx m，移项，合并同类项得：42m x m ，解得：24m x m，∵关于x 的分式⽅程2121mx x有正数解，∴2042142142mm mm m m，解得：4m或2m ，且0m ，∴甲、⼄答案合在⼀起也不正确，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式⽅程，解不等式组，解题的关键是根据关于x 的分式⽅程2121mx x有正数解，列出关于m 的不等式组．9．【原创题】设a 、b 、c 为实数，22,3x a b 22,3y b c 22,3z c a则x 、y 、z 中⾄少有⼀个值（ ）A ．⼤于0B ．等于0C ．不⼤于0D ．⼩于0【答案】A【分析】先计算x +y +z ，再利⽤配⽅法得到x +y +z ＝ 2221113a b c ，根据⾮负数的性质和 ＞3得到x +y +z ＞0，根据有理数的性质得到x 、y 、z 中⾄少有⼀个正数．【详解】解：x +y +z ＝222222333a b b c c a222222a a b b c c＝ 2221113a b c ，∵ 21a ≥0， 21b ≥0， 21c ≥0，3 ＞0，∴x +y +z ＞0，∴x 、y 、z 中⾄少有⼀个⼤于0．故选：A ．【点睛】本题考查了配⽅法的应⽤，熟练掌握配⽅法是解题的关键．10．【创新题】已知多项式2232M x x，多项式23N x ax ．①若0M，则代数式21331x x x 的值为263；②当3a，4x 时，代数式M N 的最⼩值为14 ；③当0a时，若0M N ，则关于x 的⽅程有两个实数根；④当3a 时，若2221513M N M N ，则x 的取值范围是723x ．以上结论正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】①把0M代⼊解⽅程即可求解；②把3a 代⼊，再配⽅求最⼩值即可；③把0a 代⼊解⽅程即可求解；④根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：①若0M，则22320M x x ，解得2x ，或12x，∴21331x x x 的值为263；故①错误；②当3a时，2223233M N x x x x 265x x2314x ，∴当4x时，代数式M N 的最⼩值为13 ；故②错误；③由题意得，2223230MN x x x ，∴22320x x或230x ，解22320x x得2x ，或12x；解230x，即230x ，没有实数解，∴关于x 的⽅程有两个实数根，故③正确；④当3a时，|22||215|M N M N 2222|(232)2(33)2||(232)2(33)15|x x x x x x x x |36||37|13x x ∴370360x x ，解得723x ；故④错误；综上，只有③正确；故选：B ．【点睛】本题考查了配⽅法的应⽤，解⼀元⼆次⽅程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和⼀元⼆次⽅程的解法是解题的关键．⼆．填空题（共6⼩题，满分18分，每⼩题3分）11．【原创题】已知关于x 的⼀元⼀次⽅程12024x +3=2x +b 的解为x =2，则关于y 的⼀元⼀次⽅程12024y +1=2y −1+b 的解为 ．【答案】y =1【分析】本题主要考查⼀元⼀次⽅程的解，熟练掌握⼀元⼀次⽅程的解是解题的关键；所以由题意易得12024y +1+3=2y +1+b ，然后可得y +1=2，进⽽求解即可．【详解】解：由⽅程12024y +1=2y −1+b 可变形为12024y +1+3=2y +1+b ，因为关于x 的⼀元⼀次⽅程12024x +3=2x +b 的解为x =2，所以把y +1看作⼀个整体，则⽅程12024y +1+3=2y +1+b 的解为y +1=2，解得：y =1，故答案为y =1．12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．先化简，再求值：314xx ，其中x解：原式3(4)(4)4x x x x 34x x 1【答案】5【分析】根据题意得到⽅程3114xx ，解⽅程即可求解．【详解】解：依题意得：3114x x ，即3204x x ，去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是⽅程的解，故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式⽅程，⼀定要注意解分式⽅程必须检验．13．关于x 的⽅程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为 ．【答案】32/1.5/112【分析】根据⽅程根的定义得到223am bm，223an bn ，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利⽤整体代⼊，得到关于a 的⼀元⼆次⽅程，解⽅程后去掉不合题意的解即可．【详解】解：∵关于x 的⽅程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，∴2230am bm，2230an bn ∴223am bm，223an bn ∵(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，∴[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54∴2(3)(92)54a a解得0a或32a ∵ab ≠0∴a ，b 均为⾮零实数，∴32a故答案为：32【点睛】本题考查了⼀元⼆次⽅程根的定义和整体代⼊的⽅法，熟练掌握整体代⼊的⽅法是解题的关键．14．点Q 的横坐标为⼀元⼀次⽅程37322x x的解，纵坐标为a b 的值，其中a ，b 满⾜⼆元⼀次⽅程组2428a b a b，则点Q 关于y 轴对称点Q 的坐标为 ．【答案】5,4 【分析】先分别解⼀元⼀次⽅程37322x x 和⼆元⼀次⽅程组2428a b a b，求得点Q 的坐标，再根据直⾓坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x，移项合并同类项得，525x，系数化为1得，5x，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b ①②，由2 ①②得，3=12b ，解得：4b，把4b代⼊①得，24=4a ，解得：0a ，∴=04=4a b，∴点Q 的纵坐标为4 ，∴点Q 的坐标为 5,4 ，∴点Q 关于y 轴对称点Q 的坐标为5,4 ，故答案为： 5,4 ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解⼀元⼀次⽅程和解⼆元⼀次⽅程组、代数值求值、直⾓坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解⼀元⼀次⽅程和解⼆元⼀次⽅程组的⽅法求得点Q 的坐标是解题的关键．【新考法】 信息题15．我国古代天⽂学和数学著作《周髀算经》中提到：⼀年有⼆⼗四个节⽓，每个节⽓的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照⽇影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影⼦的长度），⼆⼗四节⽓如图所⽰．从冬⾄到夏⾄晷长逐渐变⼩，从夏⾄到冬⾄晷长逐渐变⼤，相邻两个节⽓晷长减少或增加的量均相同，周⽽复始．若冬⾄的晷长为13.5尺，夏⾄的晷长为1.5尺，则相邻两个节⽓晷长减少或增加的量为 尺，⽴夏的晷长为 尺．【答案】 1 4.5【分析】设相邻两个节⽓晷长减少的量为x 尺，由题意知，13.512 1.5x，计算求出相邻两个节⽓晷长减少或增加的量；根据⽴夏到夏⾄的减少量求解⽴夏的晷长即可．【详解】解：设相邻两个节⽓晷长减少的量为x 尺，由题意知，13.512 1.5x，解得，1x，∴相邻两个节⽓晷长减少或增加的量为1尺；∵1.531 4.5，∴⽴夏的晷长为4.5尺；故答案为：1；4.5．【点睛】本题考查了⼀元⼀次⽅程的应⽤．解题的关键在于根据题意列⽅程．【新考法】 与⼀元⼆次⽅程有关的新定义问题16．将两个关于x 的⼀元⼆次⽅程整理成 20a x h k ＝（0a，a 、h 、k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个⽅程为“同源⼆次⽅程”．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程20ax bx c （0a ）与⽅程 2120x 是“同源⼆次⽅程”，且⽅程20ax bx c （0a ）有两个根为1x 、2x ，则b －2c ＝ ，1122ax x x ax的最⼤值是 ．【答案】 4； -3【分析】利⽤20ax bx c （0a ）与⽅程 2120x 是“同源⼆次⽅程”得出2b a ，2c a ，即可求出2b c ；利⽤⼀元⼆次⽅程根与系数的关系可得122x x，122a x x a ，进⽽得出1122121ax x x ax a a ，设1a t a （0t），得210a t a  ，根据⽅程210a t a  有正数解可知240t，求出t 的取值范围即可求出1122ax x x ax 的最⼤值．【详解】解：根据新的定义可知，⽅程20ax bx c（0a ）可变形为 2120a x ，∴ 2212a x ax bx c ，展开，2222ax ax a ax bx c ，可得2b a，2c a ，∴ 22224b c a a ；∵122x x，122a x x a ，∴1122121221221a ax x x ax a x x x x a a a a ，∵⽅程20ax bx c（0a ）有两个根为1x 、2x ，∴ 22424280b ac a a a a ，且0a ，∴0a，设1a t a （0t），得210a t a  ，∵⽅程210a t a 有正数解，∴240t，解得2t ，即12a a ≥，∴11221213ax x x ax a a ．故答案为：4，-3．【点睛】本题考查新定义、⼀元⼆次⽅程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到1122121ax x x ax a a 是解题的关键．三．解答题（共9⼩题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．由⼯业和信息化部⼈才交流中⼼和RoboCom 国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器⼈开发者⼤赛 RAICOM ，2023年1⽉6⽇在线上召开2023赛季启动⼤会.为备战机器⼈⼤赛，某校对机器⼈进⾏50⽶⽐赛，“冲锋”和“东风”两个机器⼈进⼊了决赛.⽐赛中，“冲锋”先出发8秒后，“东风”从同⼀起始位置出发，结果“东风”迟到2秒到达终点.已知“东风”是“冲锋”的平均速度的2.5倍，求“冲锋”的平均速度．【答案】“冲锋”的平均速度5⽶/秒【分析】设“冲锋”的平均速度为x ⽶/秒，则“东风”的平均速度的2.5x ⽶/秒，根据“冲锋”从起点出发8秒后，“东风”才从起点出发，结果“东风”迟到2秒到达终点，可得⽅程，解出即可．【详解】解：设“冲锋”的平均速度为x ⽶/秒，则“东风”的平均速度的2.5x ⽶/秒，由题意得5050282.5x x ，解得：5x，经检验5x是原⽅程的解．答：“冲锋”的平均速度5⽶/秒．【点睛】本题考查了分式⽅程的应⽤，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系18．已知⼀元⼆次⽅程□210x x，其中系数“□”印刷不清．(1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解⽅程2210x x；(2)淇淇说：“我看答案该⽅程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是⼏？【答案】(1)112x ，21x (2)14【分析】本题考查⼀元⼆次⽅程的解法、⼀元⼆次⽅程的根的判别式，解题的关键是公式法解⼀元⼆次⽅程．（1）利⽤公式法解⼀元⼆次⽅程即可；（2）根据⽅程有两个相同的根可得Ä0 ，代⼊计算解题即可．【详解】（1）解：2210x x211a b c ，，，241890b ac ，⽅程有两个不相等的实数根，∴134x ，解得：112x ，21x ；（2）设“□”⾥的数为m ，∵该⽅程有两个相同的根，∴Ä0 ，即 1410m  ,解得：14m ，∴“□”⾥的数为14．19．整式133m 的值为P ．(1)当m ＝2时，求P 的值；(2)若P 的取值范围如图所⽰，求m 的负整数值．【答案】(1)5(2)2,1【分析】（1）将m ＝2代⼊代数式求解即可，（2）根据题意7P，根据不等式，然后求不等式的负整数解．【详解】（1）解：∵133m P 当2m 时，1323P 533=5 ；（2）Q133m P ，由数轴可知7P ，即1373m ，1733m ，解得2m， m 的负整数值为2,1 ．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．20．下⾯是⼩辉和⼩莹两位同学解⽅程组31,237x y x y的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：令31237x y x y①②⼩辉：由②得，372y x．③…………第⼀步将③代⼊①得，721x x ．……第⼆步整理得，721x x ．………………第三步解得6x．…………………………第四步将6x 代⼊③，解得193y ．………第五步∴原⽅程组的解为6,19.3x y ……………第六步⼩莹： ①②得，36x ．………………第⼀步解得2x ，…………………………第⼆步将0x代⼊①得，231y ．…………第三步整理得，312y ．………………第四步解得13y …………………………第五步∴原⽅程组的解为2,1.3x y …………第六步任务⼀：请你从中选择⼀位同学的解题过程并解答下列问题．①我选择___________同学的解题过程，该同学第⼀步变形的依据是___________；②该同学从第___________开始出现错误，这⼀步错误的原因是___________；任务⼆：直接写出该⽅程组的正确解；任务三：除以上两位同学的⽅法，请你再写出⼀种⽅法（不⽤求解）．【答案】①⼩辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同⼀个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“-”号，去年括号后未给 括号内的第⼆项进⾏变号；任务⼆：21x y；任务三：2②①【详解】任务⼀：①⼩辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同⼀个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“-”号，去年括号后未给 括号内的第⼆项进⾏变号；或①⼩莹；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同⼀个代数式，所得结果仍是等式）；②四；移项未变号； 任务⼆：令31237x y x y①② ①②得，36x 解得：2x 将2x 代⼊①得，231y解得：1y正确的解为21x y任务三：2 ②①．得99y解得：1y，代⼊①得31x ，x解得：2【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘⽅以及特殊⾓的三⾓函数值，解⼆元⼀次⽅程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．【新考法】数学与规律探究——图形规律规律21．为美化市容，某⼴场要在⼈⾏⾬道上⽤10×20的灰、⽩两⾊的⼴场砖铺设图案，设计⼈员画出的⼀些备选图案如图所⽰．[观察思考]图1灰砖有1块，⽩砖有8块；图2灰砖有4块，⽩砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，⽩砖有______块；图n灰砖有______块时，⽩砖有______块；(2)[问题解决]是否存在⽩砖数恰好⽐灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．【答案】(1)16，20；2n，4n＋4(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3⽩砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4⽩砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n⽩砖和灰砖的数量；（2）假设存在图n⽩砖数恰好⽐灰砖数少1的情形，根据⽩砖和灰砖的数量建⽴⽅程，⽅程有解证明假设成⽴．【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的⽩砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16图4的⽩砖应⽐图3上下各多⼀⾏得图4⽩砖的数量为：16+4=20图1灰砖的数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图n 灰砖的数量为2n 图1⽩砖的数量为8=414图2⽩砖的数量为12=424图3⽩砖的数量为16=434图4⽩砖的数量为20=444得图n ⽩砖的数量为44n故答案为：16，20；2n ，4n ＋4．（2）假设存在，设图n ⽩砖数恰好⽐灰砖数少1∴⽩砖数量为44n，灰砖数量为2n ∴44n=21n ∴2450n n ∴5+10n n ∴5n，或1n （舍去）故当5n时，⽩砖的数量为24，灰砖的数量为25，⽩砖⽐灰砖少1故答案为：存在．【点睛】本题考查数字规律和⼀元⼆次⽅程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析⽅法和⼀元⼆次⽅程的性质．22．某⽔果经营户从⽔果批发市场批发⽔果进⾏零售，部分⽔果批发价格与零售价格如下表：⽔果品种梨⼦菠萝苹果车厘⼦批发价格（元/kg ）45640零售价格（元/kg ）56850请解答下列问题：(1)第⼀天，该经营户⽤1700元批发了菠萝和苹果共300kg ，当⽇全部售出，求这两种⽔果获得的总利润？(2)第⼆天，该经营户依然⽤1700元批发了菠萝和苹果，当⽇销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种⽔果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg ，这两种⽔果已全部售出且总利润⾼于第⼀天这两种⽔果的总利润，请通过计算说明该经营户第⼆天批发这两种⽔果可能的⽅案有哪些？【答案】(1)500元；(2)⽅案⼀购进88kg 菠萝，210kg 苹果；⽅案⼆购进94kg 菠萝，205kg 苹果．【分析】（1）设第⼀天，该经营户批发了菠萝xkg ，苹果ykg ，根据该经营户⽤1700元批发了菠萝和苹果共300kg ，即可得出关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程组，解之即可得出x ，y 的值，再利⽤总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；（2）设购进菠萝mkg ，则购进苹果17005kg 6m ，根据“菠梦的进货量不低于88kg ，且这两种⽔果已全部售出且总利润⾼于第⼀天这两种⽔果的总利润”，即可得出关于m 的⼀元⼀次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m ，170056m均为正整数，即可得出各进货⽅案．【详解】（1）解：设第⼀天，该经营户批发菠萝xkg ，苹果ykg ，根据题意得：300561700x y x y，解得：100200x y，∴(65)(86)(65)100(86)200500x y元，答：这两种⽔果获得的总利润为500元；（2）解：设购进菠萝mkg ，则购进苹果17005kg 6m ，根据题意：8817005(65)(86)5006m m m ，解得：88100m，∵m ，170056m均为正整数，∴m 取88，94，∴该经营户第⼆天共有2种批发⽔果的⽅案，⽅案⼀购进88kg 菠萝，210kg 苹果；⽅案⼆购进94kg 菠萝，205kg 苹果．【点睛】本题考查了⼆元⼀次⽅程组的应⽤以及⼀元⼀次不等式组的应⽤，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出⼆元⼀次⽅程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出⼀元⼀次不等式组．23．某公司⽣产的⼀种营养品信息如下表．已知甲⾷材每千克的进价是⼄⾷材的2倍，⽤80元购买的甲⾷材⽐⽤20元购买的⼄⾷材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲⾷材50毫克配料表⼄⾷材10毫克规格每包⾷材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、⼄两种⾷材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每⽇⽤18000元购进甲、⼄两种⾷材并恰好全部⽤完．①问每⽇购进甲、⼄两种⾷材各多少千克？②已知每⽇其他费⽤为2000元，且⽣产的营养品当⽇全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每⽇所获总利润最⼤？最⼤总利润为多少元？【答案】（1）甲、⼄两种⾷材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每⽇购进甲⾷材400千克，⼄⾷材100千克；②当A为400包时，总利润最⼤．最⼤总利润为2800元【分析】（1）设⼄⾷材每千克进价为a元，根据⽤80元购买的甲⾷材⽐⽤20元购买的⼄⾷材多1千克列分式⽅程即可求解；（2）①设每⽇购进甲⾷材x千克，⼄⾷材y千克．根据每⽇⽤18000元购进甲、⼄两种⾷材并恰好全部⽤完，利⽤进货总⾦额为180000元，含铁量⼀定列出⼆元⼀次⽅程组即可求解；②设A为m包，根据题意，可以得到每⽇所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从⽽可以求得总利润的最⼤值．【详解】解：（1）设⼄⾷材每千克进价为a元，则甲⾷材每千克进价为2a元，由题意得802012a a，解得20a ．经检验，20a 是所列⽅程的根，且符合题意．240a （元）．答：甲、⼄两种⾷材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每⽇购进甲⾷材x 千克，⼄⾷材y 千克．由题意得 402018000501042x y x y x y ，解得400100x y答：每⽇购进甲⾷材400千克，⼄⾷材100千克．②设A 为m 包，则B 为 500200040.25m m 包．记总利润为W 元，则45122000418000200034000W m m m ．Q A 的数量不低于B 的数量， 20004m m，400m ．Q 30k， W 随m 的增⼤⽽减⼩。

单元检测二　方程(组)与不等式(组)(时间:90分钟　满分:120分)一、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)1.若关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0是一元一次方程,则其解为　.2.分式方程2x-1―1x+1=11-x的解是 .3.已知关于x +x+13>0,+5a+43>43(x+1)+a恰有两个整数解,则实数a的取值范围是 .4.《九章算术》是我国古代一部著名的算书,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中卷八方程[七]中记载:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛、羊各直金几何?”题目大意是:5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两?设1头牛值金x两,1只羊值金y两,则可列方程组为 .5.已知关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足1x1+1x2=3,则k的值是 .6.一个两位数,十位数字与个位数字的平方和为100,若将该数数位上的数对调换,所得新数比原数大18,则该两位数是 .二、选择题(本大题共10小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共40分)7.不等式组的解集在数轴上表示如图,则该不等式组可能为( )A.x>-1,x≤2BC.x≥-1,x≤2D .x<-1, x≥28.分式方程1x+2=1的解是( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-29.阅读材料:设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则两个根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=-ba ,x1·x2=ca.已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根,则x2x1+x1x2的值为( )A.4B.6C.8D.1010.若关于x ,y 的方程组3x -y =m ,x +my =n 的解是x =1,y =1,则|m-n|的值是( )A.5B.3C.2D.111.已知关于x 的方程kx 2+(1-k )x-1=0,下列说法正确的是( )A.当k=0时,方程无解B.当k=1时,方程有一个实数解C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解D.当k ≠0时,方程总有两个不相等的实数解12.若关于x 的方程x +m x -3+3m3-x =3的解为正数,则m 的取值范围是( )A.m<92B.m<92,且m ≠32C.m>-94D.m>-94,且m ≠-13.为庆祝“六一”国际儿童节,某小学组织师生共360人参加公园游园活动,有A,B 两种型号客车可供租用,两种客车载客量分别为45人、30人,要求每辆车必须满载,则师生一次性全部到达公园的租车方案有( )A.3种B.4种C.5种D.6种14.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是25 km,但交通比较拥堵,路线二的全程是30 km,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10 min 到达.若设走路线一时的平均速度为x km/h,根据题意,得( )A .25x ―30(1+80%)x =1060B .25x ―30(1+80%)x =10C .30(1+80%)x ―25x =1060D .30(1+80%)x ―25x=1015.已知等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2-12x+k=0的两个根,则k 的值是( )A.27B.36C.27或36D.1816.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图,请你根据图中的信息,若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时,它的高度约是( )A.106 cmB.110 cmC.114 cmD.116 cm三、解答题(本大题共6小题,共56分)17.(每小题4分,共12分)解下列方程(组):(1)(x+3)(x+1)=1;(2)x x -1-1=3(x -1)(x +2);(3)2x +y =3,3x -5y =11. ①②18.(本小题满分6分)解不等式组:2x +5≤3(x +2),2x -1+3x 2<1,把不等式组的解集在数轴上表示出来.19.(本小题满分8分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得等式1x1+1x2=k-2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.20.(本小题满分8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8 m,BC=6 m,点M、点N同时由A,C两点出发分别沿AB,CB方向向点B匀速移动,它们的速度都是1 m/s.(1)几秒后,△MBN的面积为Rt△ABC的面积的13?(2)△MBN的面积能否为25 m2?为什么?21.(本小题满分10分)(2021四川成都中考)为改善城市人居环境,《成都市生活垃圾管理条例》(以下简称《条例》)于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨,刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数;(2)由于《条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾,同时由于市民环保意识增强,该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个,试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾?22.(本小题满分12分)某城镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天;(2)若甲工程队单独做a天后,再由甲、乙两工程队合作 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5 万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?参考答案一、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)1. -3或-2或22. x=-224.5x+2y=10,2x+5y=85. 26. 68二、选择题(本大题共10小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共40分)7.A8.B9..D10.D11.C12.B13.C14.A15.B16.A三、解答题(本大题共6小题,共56分)17 .(1)去括号,得x2+4x+3=1,移项、合并同类项,得x2+4x+2=0.∵a=1,b=4,c=2,=-2±∴x=-b±b2-4ac2a∴x1=-2+2,x2=-2-2.(2)去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,化简,得x+2=3,移项、合并同类项,得x=1.经检验x=1不是原方程的解.故原方程无解.(3)①×5+②,得13x=26,解得x=2.把x=2代入①,得4+y=3,解得y=-1.∴y =-1.18x +5≤3(x +2), ①x -1+3x 2<1,②由①得x ≥-1,由②得x<3,∴不等式组的解集是-1≤x<3.在数轴上表示为19.(1)∵一元二次方程有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4(k+2)≥0,解得k ≤-1.(2)由一元二次方程根与系数关系得,x 1+x 2=2,x 1x 2=k+2.∵1x 1+1x 2=k-2,∴x 1+x 2x 1x 2=2k +2=k-2,即(k+2)(k-2)=2,解得k=±6.又由(1)知k ≤-1,∴k=-6.20.(1)设t s 后,△MBN 的面积为Rt △ABC 的面积的13,则BM=(8-t )m,BN=(6-t )m .由S △MBN =13S △ABC ,得12(8-t )(6-t )=13×12×8×6,解得t 1=7-17,t 2=7+17(不符合题意,舍去).所以(7-17)s 后,△MBN 的面积为Rt △ABC 的面积的13.(2)不能.理由:因为S △ABC =12×8×6=24(m 2),而当S △MBN =25m 2时,S △MBN >S △ABC ,故△MBN 的面积不能为25m 2.21.(1)设每个B 型点位每天处理生活垃圾的吨数为x ,则12(x+7)+10x=920,22x=920-84,x=38.答:每个B 型点位每天处理生活垃圾的吨数为38.(2)设增设x 个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾,则(12+x )(38+7-8)+(10+5-x )(38-8)≥920-10,x ≥167,即至少需要增设3个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾.22.(1)设乙独做x 天完成此项工程,则甲独做(x+30)天完成此项工程.由题意,得20(1x +1x +30)=1,解得x 1=30,x 2=-20.经检验x 1=30,x 2=-20都是原方程的解,但x 2=-20不符合题意,舍去.x+30=60.答:甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天、30天.(2)20-)≤64.(3)由题意,得1×a+(1+2.5)(20-a3解得a≥36.答:甲工程队至少要单独施工36天后,再由甲、乙两队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.。

方程与不等式一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，解为x ＝2的方程是(B )A. 3x －2＝3B. －x ＋6＝2xC. 4－2(x －1)＝1D. 3x ＋1＝02．下列各项中，是二元一次方程的是(B )A. y ＋12x B. x ＋y 3－2y ＝0 C. x ＝2y ＋1 D. x 2＋y ＝03．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，x ＋3y ＝5，则x ＋y 的值为(D ) A. －1B. 0C. 2D. 3 4．分式方程 x x －2－1x＝0的根是(D ) A. x ＝1 B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝－2 5．分式方程x 2x －1＋x1－x ＝0的解为(C ) A. x ＝1 B. x ＝－1C. x ＝0D. x ＝0或x ＝16．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15 min.他骑自行车的平均速度是250 m/min ，步行的平均速度是80 m/min.他家离学校的距离是2900 m ．如果他骑车和步行的时间分别为x (min)，y (min)，列出的方程是(D )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，250x ＋80y ＝2900B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，80x ＋250y ＝2900C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，80x ＋250y ＝2900D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，250x ＋80y ＝2900 7．若不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a －1>0，2x －a －1<0的解集为0＜x ＜1，则a 的值为(A ) A. 1B. 2C. 3D. 48．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是(A ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三角限D. 第四象限解：解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5.∴点(1.5，0.5)在第一象限． 9．关于x 的分式方程ax ＋3＝1，下列说法正确的是(B )A. 方程的解是x ＝a －3B. 当a ＞3时，方程的解是正数C. 当a ＜3时，方程的解为负数D. 以上答案都正确10．小华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x(0＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿小华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是(C )(第10题图)A. 2B. 1C. 6D. 10解：∵x ＞0，∴x 2＋9x ＝x ＋9x ≥2x ·9x ＝6， 则原式的最小值为6.二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知关于x 的一元二次方程x 2－23x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__3__．12．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有__22__只，兔有__11__只．13．如图，将一条长为60 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1∶2∶3，则折痕对应的刻度有__4__种可能．(第13题图)14．已知a ＝6，且(5tan 45°－b )2＋2b －5－c ＝0，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于__12__．15．若分式3x ＋5x －1无意义，当53m －2x －12m －x ＝0时，m ＝__37__． 16．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题8分)解下列方程(组)．(1)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1. 解：去分母，得x (x －1)－4＝x 2－1.去括号，得x 2－x －4＝x 2－1.解得x ＝－3.经检验，x ＝－3是分式方程的解．(2)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，x 2－y 3＝1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，①3x －2y ＝6.② ②－①，得3y ＝3，∴y ＝1.将y ＝1代入①，得x ＝83. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝1.18．(本题6分)解方程：16x －2＝12－21－3x . 设13x －1＝y ，则原方程化为12y ＝12＋2y ，解方程求得y 的值，再代入13x －1＝y 求值即可．结果需检验．请按此思路完成解答． 解：设13x －1＝y ，则原方程化为12y ＝12＋2y ， 解得y ＝－13.当y ＝－13时，有13x －1＝－13，解得x ＝－23. 经检验，x ＝－23是原方程的根． ∴原方程的根是x ＝－23. 19．(本题8分)设m 是满足1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程(x －2)2＋(a －m )2＝2mx＋a 2－2am 的两根都是正整数，求m 的值．解：将方程整理，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4＝0，∴x ＝2（m ＋2）±4m 2＝2＋m ±2m . ∵x ，m 均是正整数且1≤m ≤50，2＋m ±2m ＝(m ±1)2＋1＞0，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1，4，9，16，25，36，49.20．(本题8分)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5都是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的解． (1)求k ，b 的值．(2)若不等式3＋2x ＞m ＋3x 的最大整数解是k ，求m 的取值范围．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5代入y ＝kx ＋b ，得 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝－5 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1.∴k 的值是2，b 的值是－1.(2)∵3＋2x ＞m ＋3x ，∴x ＜3－m .∵不等式3＋2x ＞m ＋3x 的最大整数解是k ＝2，∴2<3－m ≤3，∴0≤m <1，即m 的取值范围是0≤m <1.21．(本题8分)解方程：|x －1|＋|x ＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x ＝2或x ＝－3.(第21题图)参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x ＋3|＝4的解为x ＝1或x ＝－7．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9.(3)若|x －3|－|x ＋4|≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．解：(1)x ＝1或x ＝－7.(2)∵3和－4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点在3与－4的两侧．当x 在3的右边时，如解图，易知x ≥4.当x 在－4的左边时，如解图，易知x ≤－5.∴原不等式的解为x ≥4或x ≤－5.(第21题图解)(3)原问题转化为： a 大于或等于|x －3|－|x ＋4|的最大值．当x ≥3时，|x －3|－|x ＋4|＝－7≤0；当－4<x <3时，|x －3|－|x ＋4|＝－2x －1随x 的增大而减小；当x ≤－4时，|x －3|－|x ＋4|＝7，即|x －3|－|x ＋4|的最大值为7.故a ≥7.22．(本题8分)如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：(第22题图)(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？(2)这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？解：(1)设工厂从A 地购买了x (t)原料，制成运往B 地的产品y (t)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5（10x ＋20y ）＝15000，1.2（120x ＋110y ）＝97200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝300. 答：工厂从A 地购买了400 t 原料，制成运往B 地的产品为300 t.(2)300×8000－400×1000－15000－97200＝1887800(元)．答：这批产品的销售额比原料费与运输费的和多1887800元．23．(本题10分)兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．(1)第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？(2)老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出 45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元(利润＝售价－进价)?解：(1)设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得4500x ＝4950x ＋9， 解得x ＝90.经检验，x ＝90是分式方程的解且符合题意．答：第一批T 恤衫每件的进价是90元．(2)设剩余的T 恤衫每件售价y 元．由(1)知，第二批购进495099＝50(件)． 由题意，得120×50×45＋y ×50×15－4950≥650， 解得y ≥80.答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元．24．(本题10分)2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．(1)求甲、乙两种货车每辆车各可装多少件帐蓬．(2)如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种货车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆．解：(1)设甲种货车每辆车可装x 件帐蓬，则乙种货车每辆车可装(x －20)件帐蓬．由题意，得1000x ＝800x -20，解得x ＝100. 经检验，x ＝100是原方程组的解且符合题意．∴x －20＝100－20＝80.答：甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬．(2)设甲种货车有z 辆，乙种货车有(16－z )辆．由题意，得100z ＋80(16－z －1)＋50＝1490，解得z ＝12，∴16－z ＝16－12＝4.答：甲种货车有12辆，乙种货车有4辆．。