高中数学必修1 第二章 方程与不等式微专题1

2.1 等式与不等式的性质思维导图考点一 等式性质 【例1】(2019·全国高一课时练习)下列变形中错误的是( ) A ．若x y =，则55x y +=+ B ．若x ya a=，则x y = C ．若33x y -=-，则x y = D ．若x y =，则x ym m=【答案】D【解析】根据等式的性质易知A ，B ，C 正确；对于D ，当0m =时，x y =两边都除以m 无意义，故本选项错误.故选:D. 【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)根据等式的性质判断下列变形正确的是( ) A ．如果23x =，那么23x a a= B ．如果x y =，那么55x y -=- C ．如果162x =，那么3x = D ．如果x y =，那么22x y -=-【答案】D【解析】对于A ，没有0a ≠的条件，等式的两边不能都除以a ，故选项A 不正确；对于B ，等式的左边减去5，等式的右边乘以1-后加上5，等式不成立，故选项B 不正确；对于C ，等式的左边乘以2，等式的右常见考法边除以2，等式不成立，故选项C 不正确；对于D ，等式的两边都乘以2-，等式成立，故选项D 正确.故选:D. 2．(2019·全国高一课时练习)若a b =，则下列变形正确的是( ) A ．33a b =+ B ．22a b-=- C ．55a b -=+ D ．0a b +=【答案】B【解析】对于A ，根据等式的性质，得33a b =，故该选项错误；对于B ，根据等式的性质，得-22a b=-，故该选项正确；对于C ，根据等式的性质，得55a b +=+或55a b -=-，故该选项错误；对于D ，根据等式的性质，得0a b -=，故该选项错误.故选:B.考点二 不等式性质【例2】(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若a b >，则11a b<.其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误； 若0c，则22ac bc =，②错误；若22ac bc >，则20c >，∴a b >，③正确； a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，④错误． 正确的只有1个．故选：C ．【举一反三】1．(2020·上海高一开学考试)下列命题正确的是( )本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C 2．(2020·全国高一开学考试)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c ，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >，另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3．(2020·武汉外国语学校高一月考)下列结论正确的是( ) A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b < C ．若a b >，c d >则a d b c ->- D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误； 对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确； 对于D ，取0c时，22ac bc =，则D 错误；故选：C考点三 比较大小【例3】(2020·全国高一课时练习)已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小. 【答案】3322a b a b ab +≥+ 【解析】∵()()()33223232a b a b abaa b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+； 当ab 时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+. 综上所述，3322a b a b ab +≥+.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)已知，那么,,,a b a b --的大小关系是( ) A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>- D ．a b a b >>->-【答案】C 【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 二．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；2．(2020·浙江高一课时练习)设2,73,62a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为( )．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】47373b =-=+，46262c =-=+，7362+>+，447362∴<++，b c ∴<.又226860a c -=-=->，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .考点四 代数式的取值范围【例4】(1)(2019·广东高考模拟(理))已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(2019·浙江绍兴一中高一月考)已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是( ) A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．(2)令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【举一反三】1．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为( )A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[4,12]【答案】B 【解析】二次函数()y f x =的图像过原点，设二次函数为：2()f x ax bx =+， 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，∴ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.2．(2020·山东济宁.高一月考)若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______________ 【答案】()18,1--【解析】依题意可知2026b -<-<-，由于25a <<，由不等式的性质可知1821a b -<-<-.故填：()18,1--.3．(2019·全国高一课时练习)已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为____________.代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解【答案】24【解析】由题得2256(2)(3)=6424x xy y x y x y -+=--⨯=.故答案为：2考点五 不等式证明【例5】(2020·全国高一课时练习)已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>. 【答案】证明见解析. 【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab， 因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab，即证：c ca b>. 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222a b ab +≥， 所以22222()2a b a b ab +≥++， 所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4，即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，取等号. 2．(2020·全国高一课时练习)如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >. 【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>， 又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >. 3．(2020·全国高一)已知0a b c d >>>>，ad bc =． (Ⅰ)证明：a d b c +>+； (Ⅰ)证明：a b c b c a a b c a b c >． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅰ)见解析【解析】(Ⅰ)由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2，由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．(Ⅰ)a b ca b b c c a b c a a b c a b c a b c---=⋅⋅()()a b b c a b b c --=⋅.因为0a b >>，所以1,0a a b b >->，故()1a b ab ->.同理，()1bc b c->.从而()()1a bb c abbc--⋅>.即a b c b c a a b c a b c >。

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<； 性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈；;性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.*①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. 要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：】24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x#的解有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122b x x a==-无实根不等式()0f x >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭*R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.…四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根122b x x a==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 五、基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. `（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥ ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；-② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.…【典型例题】类型一 不等式性质例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <； （2）若22ac bc >，则a b >； （3）若0a b <<， 则22a ab b >>； （4）若0a b <<， 则a b >； （5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． ~举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c例2、比较下列两代数式的大小：（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；举一反三：—【变式1】比较22x x +与2x +的大小【变式2】已知0a b >>，则2222a b a b -+ _________a ba b-+ （填,,><=）类型二 解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->:举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.;【变式2】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 【变式3】下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)例4． 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集./【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.【变式2】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求x 的不等式210bx ax ++>的解集."【变式3】 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 【变式4】 已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞)答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6x x 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6x x 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6x x 2+3 ，故问题转化为m <6x x 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6x x 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x ，x ∈(0，2]， 对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号， 则g(x)max =2√3=√3， 故m <√3 ，故选：A2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知b a +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，b a +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1 因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b=2−aa+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a=b=1时等号成立；故选：D3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；对于C，如果c<0，那么ac <bc，故错误；对于D，如果c<d，那么−c>−d，由a>b，则a−c>b−d，故正确.故选：D.4、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B5、若不等式ax2+bx−2<0的解集为{x|−2<x<1}，则a+b=（）A．−2B．0C．1D．2答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax2+bx−2<0的解集为{x|−2<x<1}，则方程ax2+bx−2=0根为−2、1，则{−b a =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B7、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围.不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.8、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x 2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．9、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.10、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入”的是（）A．80+20n≥300B．80+20n≤300C．80+20(n−1)≥300D．80+20(n−1)≤300分析：由不等关系求解即可.经过n年之后，方案B的投入为80+20(n−1)，故经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，即80+ 20(n−1)≤300故选：D填空题11、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)12、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.13、已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．分析：根据不等式的解集可得方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．∵不等式x 2+ax +b ≥0解集为{x |x ≤2或x ≥3}， 故方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，由根与系数的关系可得{−a =5b =6 ，∴{a =−5b =6，∴a +b ＝1． 所以答案是：1．解答题14、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根.答案：(1)m <−1(2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1．（2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0 f(0)>02(m−1)−2>0，即{m≤−1或m≥5m>−3m<1.∴−3<m≤−1．②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<−3．③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m=02(m−1)<0，∴m=−3．综上所述，得m≤−1．15、已知实数x>0，y>0.（1）若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x>y，求xy 2x−y +xy+1y2的最小值.答案：（1）最小值为2；（2）最小值为4.分析：（1）由已知结合基本不等式x+y⩾2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t=x−y，t>0，然后把x=t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．解：（1）因为x+y≥2√xy，又因为x+y+xy=3，所以xy+2√xy≤3，解得−3≤√xy≤1，因为0<√xy，所以0<√xy≤1，所以0<xy≤1，所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2xy最大值为2；因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y≥2，所以x+y最小值为2；（2）xy 2x−y +xy+1y2=x2yx−y+1y2，令t=x−y，t>0，所以x=t+y，x2y x−y +1y2=(t+y)2yt+1y2=ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2=4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4;当且仅当ty=y 3t ，且4y2=1y2，即x=√2,y=√22时等号成立，所以xy 2x−y +xy+1y2最小值为4.。

第2章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．教学难点：用作差法比较代数式的大小．【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.(2)如果a＝b，那么ac＝bc或ac＝bc(c≠0)．(3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.知识点二作差比较法(1)□01a－b>0⇔a>b；□02a－b＝0⇔a＝b；□03a－b<0⇔a<b.(2)方法步骤：□04作差；②□05整理；③□06判断符号；④□07下结论．知识点三两个实数大小的比较(1)a>b□01a－b>0；(2)a＝b⇔a－□02＝0；(3)□03a<b⇔a－b<0.知识点四不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么□01a>b，即□02a>b⇔b<a.(2)如果a>b，且b>c，那么□03a>c，即a>b，b>c⇒□04a>c.(3)如果a>b，那么a＋c□05>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac□06>bc；如果a>b，c<0，那么ac□07<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c□08>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac□09>bd；如果a>b>0，c<d<0，那么ac□10<bd.(7)如果a>b>0，那么a n□11>b n(n∈N，n≥2)．(8)□12a>b>0，那么n a>n b(n∈N，n≥2)．【新知拓展】1．关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d.2．常用的结论(1)a>b，ab>0⇒1a<1 b；(2)b<0<a⇒1a>1 b；(3)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc；(4)若a>b>0，m>0，则ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)；ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．3．比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．4．利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小：(1)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2； (2)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x ；(3)已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，比较m 与n 的大小．[解] (1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2) ＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )．∵a >0，b >0且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0， ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34. ∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x . (3)∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).又x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．金版点睛作差比较法的四个步骤题型二 不等式的性质及应用 例2 下列命题正确的是________． ①c a <cb 且c >0⇒a >b ； ②a >b 且c >d ⇒ac >bd ； ③a >b >0且c >d >0⇒ ad >b c ；④a c 2>bc 2⇒a >b .[解析] ①⎩⎪⎨⎪⎧c a <c b ，c >0⇒1a <1b ；当a <0，b >0时，满足已知条件，但推不出a >b ，∴①错误．②当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立．∴②错误． ③⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0⇒a d >bc >0⇒ ad > bc 成立．∴③正确．④显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴④正确．[答案] ③④ 金版点睛解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.题型三 利用不等式的性质证明不等式 例3 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ；(2)已知a >b >0，c <d <0，求证：b a －c <ab －d ；(3)已知bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd . [证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc . ∴－ac <－bc .∵f <e ，∴f －ac <e －bc . (2)∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴0<1a －c <1b －d .再由0<b <a ，∴b a －c <a b －d .(3)∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，又∵bd >0， ∴a b ≤c d .∴a b ＋1≤cd ＋1.∴a ＋b b ≤c ＋d d . 金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．题型四 利用不等式的性质求取值范围 例4 (1)已知2<a ≤5,3≤b <10，求a －b ，ab 的取值范围； (2)已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β3的取值范围． [解] (1)∵3≤b <10，∴－10<－b ≤－3. 又2<a ≤5，∴－8<a －b ≤2. 又110＜1b ≤13，∴15<a b ≤53. (2)∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 两式相加得－π2<α＋β2<π2.∵－π6≤α3<π6，－π6<β3≤π6，－π6≤－β3<π6，两式相加得－π3≤α－β3<π3.又α<β，∴α－β3<0，∴－π3≤α－β3<0.[变式探究]将本例(1)中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．解由2<a≤5,3≤b＜10得2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10，即5<a＋b<15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝52(x＋y)－12(x－y)，所以需分别求出52(x＋y)，－12(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．2.2 基本不等式课程标准：1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：基本不等式条件的创设．【知识导学】知识点一基本不等式如果a>0，b>0，则□01ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式．知识点二 算术平均数与几何平均数及相关结论 在基本不等式中，□01a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，□02ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：□03两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点三 基本不等式与最大(小)值 当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝S (S 为定值)，则当且仅当□01x ＝y 时，xy 取得最□02大值□03S 24；(简记：和定积有最大值)(2)若xy ＝P (P 为定值)，则当且仅当□04x ＝y 时，x ＋y □05小值□062P .(简记：积定和有最小值)知识点四 基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把□01要求最大值或最小值的变量定为因变量．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为□02函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出□03函数的最大值或最小值． (4)根据实际意义写出正确的答案．【新知拓展】1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 同号)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．3．利用基本不等式的解题技巧与易错点(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后再用基本不等式．(2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值；③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到；④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．题型一对基本不等式的理解例1给出下面三个推导过程：①因为a>0，b>0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以xy＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－xy＋⎝⎛⎭⎪⎫－yx≤－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－xy⎝⎛⎭⎪⎫－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．②D．①③[解析]从基本不等式成立的条件考虑．①因为a>0，b>0，所以ba>0，ab>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以4a＋a≥24a·a＝4是错误的；③由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋yx 看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案] D 金版点睛基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是正实数． (2)“当且仅当”的含义：①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .题型二 利用基本不等式比较大小 例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( )A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1B.a ＜a ＋12＜2aa ＋1C.2aa ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2aa ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 均为正数时，有2aba ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12. 又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，应选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m ＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围．解 当m >0时，由基本不等式，得 4m ＋2m ≥24m ·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.金版点睛利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三利用基本不等式求函数的最值例3(1)求函数y＝1x－3＋x(x>3)的最小值；(2)已知0<x<13，求y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．[解](1)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又x>3，∴x－3>0，1x－3>0，∴y≥21x－3·(x－3)＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.(2)∵0<x<13，∴1－3x>0，y＝x(1－3x)＝13·3x·(1－3x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋(1－3x)22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，取等号，∴当x＝16时，函数取得最大值112.(3)∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝x2＋3x＋4x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋2x＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1 ≥22＋1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1时， 即x ＝2－1时，函数y 的最小值为22＋1.金版点睛利用基本不等式求函数的最值(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．题型四 利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3.[证明] b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 都是正数，∴b a ＋a b ≥2 b a ·ab ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c ≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6. ∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ＞3.金版点睛利用基本不等式证明不等式(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握基本不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件．题型五 利用基本不等式求代数式的最值例5 (1)已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值；(3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值．[解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(2)∵2x ＋y ＋6＝xy ，∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x (2x ＋6)x －1＝2(x 2＋3x )x －1＝2[x 2－1＋3(x －1)＋4]x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18. 当且仅当x ＝3时，等号成立．(3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43， 即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时，等号成立，x ＋y 的最大值为233.[结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值． 解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy ＝6xy ，又因为1x ＋9y ＝1，所以6xy≤1，xy ≥6，xy ≥36， 当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立．所以(xy )min ＝36.金版点睛利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型六 利用基本不等式解决实际问题 例6 某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为y 1＝18－180x ＋10，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为y 2＝x 5(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？[解] (1)其中x 万元资金投入A 产品，则剩余的(100－x )万元资金投入B 产品，利润总和y ＝18－180x ＋10＋100－x 5＝38－x 5－180x ＋10(x ∈[0,100])． (2)∵y ＝40－x ＋105－180x ＋10，x ∈[0,100]， ∴由基本不等式，得y ≤40－236＝28，当且仅当x ＋105＝180x ＋10，即x ＝20时，等号成立．答：分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．金版点睛利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有□01一个未知数，并且未知数的□02最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c□01零点．知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的□01集合叫做这个一元二次不等式的□02解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)□01字母表示题中的□02未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出□03关于未知数的不等式(组)；(3)□04求解所列出的不等式(组)；(4)□05实际意义确定答案．【新知拓展】1．解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．(2)含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.2．利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．题型一不含参数的一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0；(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－814≥0；(5)－12x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)根据图象写出不等式的解集．题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )：(1)2x 2＋ax ＋2>0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[解] (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．(2)若a ＝0，原不等式为－x ＋1<0，解得x >1；若a <0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1； 若a >0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*) 其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故①当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅；②当a >1时，由(*)式可得1a <x <1；③当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．题型三 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．[解] 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋4＝－b a ，－3×4＝c a ，即⎩⎨⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0， 即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0，故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：题型四利用一元二次不等式判断车速例4某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝120x＋1180x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h，28521≈168.88)[解]设这辆汽车刹车前的车速为x km/h，根据题意，得120x＋1180x2＞39.5.移项整理，得x2＋9x－7110＞0.显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x＞79.94}．在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.金版点睛一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.题型五利用一元二次不等式解决利润问题例5某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解] (1)依题意，得y ＝[1.2(1＋0.75x )－(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)．∴所求关系式为y ＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)(0＜x ＜1)．(2)依题意，得1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)＞(1.2－1)×1000.化简，得3x 2－x ＜0.解得0＜x ＜13.∴投入成本增加的比例x 的范围是0<x <13.金版点睛解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)；④回归到实际问题.【扩展】(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，x)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n )()(x g x f )()(x g x f )()(x g x f )()(x g x f（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. ⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f c b ax <+)0(>>+c c b ax。