正弦定理1

正弦定理的19种证明一、正弦定理正弦定理是一个数学定理，说明每一个三角形的内角与临边之间的关系，为了方便研究，其通常使用三大正弦的另外三个隐函数的缩写形式的等式形式表示，即：sin A/a = sin B/b = sin C/c二、正弦定理的19种证明1、积分技巧。

积分是比较常见的证明正弦定理的方法，它涉及解决三角形的三角函数内角A和B之间关系的非线性微分方程，以及三元正弦定理的性质，例如通过解决变量θ的积分，以获得正弦定理的证明。

2、几何图形对比。

通过对比几何形状来证明正弦定理，即A与C有同样的形状，C与B也有相同的形状。

显然，相应两个角度之间的正弦值不变，因此就有了正弦定理。

3、证明三角形三条边的关系。

正弦定理证明三角形三条边有特定的关系，具体来说，通过三条边之间的一个三角几何关系，基于一对对比几何象限将三条边映射到三个内角，然后进一步推出正弦定理。

4、斜率技巧。

斜率技巧也是证明正弦定理的常用手段。

可以把三个内角中的两个角的Wrangel公式（斜率相等为例）结合起来，然后将此结果用三角函数表示出来，并用它们三个内角之间的正弦值对比实现等式证明。

5、角平分线公式。

角平分线公式也是常用的证明正弦定理的方法，即证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，并用此结论建立正弦和余弦的三角函数，由此将正弦定理证明出来。

6、椭圆公式。

椭圆公式也是证明正弦定理的手段之一。

它依赖于椭圆的对称性，将椭圆抽象为三角形的形式，从而推进正弦定理的证明。

7、按照等式技术。

这种证明方法最常见，首先用角平分线技术证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，然后将结论进行三角函数表示，建立正弦和余弦的三角函数，最后用斜率技术将等式推进，从而证明正弦定理的真实性。

8、解三角形的相交技巧。

使用相交技巧作为证明正弦定理的方法，首先从三角形的基本定义出发，将三角形中所有的点都定义一次，三角形中角A、B、C所在直线两边各定义一次，最后证明三角形中角A、B、C所在直线相交，并用此结论来证明正弦定理。

§1．1．1正弦定理（第一课时）教材：人教A版一、教学目标a、知识与技能1、掌握正弦定理的内容，及推证正弦定理的过程；2、简单运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．b、过程与方法1、在已有知识的基础上通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养的创新意识和观察与逻辑思维能力；2、通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的知识的应用能力、协作能力和数学交流能力．c、情感态度价值观1、面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生自主探索、合作交流，调动学生的主动性和积极性，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣；2、培养合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过平面几何、三角形函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一;3、利用几何画板软件演示正弦定理，用观察到的事实说话，从而受到辩证唯物主义观的教育，培养学生的学习数学的兴趣．二、教学重难点教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用．教学难点：正弦定理的探索及猜想提出过程．三、教辅手段板书、运用多媒体辅助教学．四、教学模式采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生探索学习．五、 教学过程一、创设情境[PPT 展示]问题一：人人都知道，世界上最高的山峰是喜玛拉雅山脉的珠穆朗玛峰，也被称为神女峰，被测得是8848米?科学家们是怎样测出来的呢？设计意图：众所周知兴趣是最好的老师，如果一节课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半，因此我设计一个学生比较感兴趣的问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！问题二：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[师] 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具．设计意图：我通过从学生日常生活中的实际问题引入，与问题一形成对照，思维既有延续性又产生在强烈的意识冲突，造成学生用已有知识不能解决的问题冲突，激发学生思维，激发了解决问题的迫切愿望，激发学生的求知欲二、发现定理[师] 初中时我们已经学过解直角三角形，那么现在请同学回忆一下直角三角行的边角关系．[生]如图在Rt ABC ∆中有222a b c +=，sin a c A =，sin b c B =，90A B ︒∠+∠=．[师]对！那也就是说利用直角三角形中的这些边角关系对任意的直角三角形A B C cb a的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边和其他角．[师]在直角三角形中，你能用其他的边和角表示斜边吗？[生]能．在Rt ABC ∆中，因为sin a c A =，sin b c B =，所以sin a c A =，sin bc B =．[师]我们观察这两个式子可知c 边能用a 边与其所对角的正弦的比值来表示，也可以用b 边与其所对角的正弦的比值来表示，那么c 边能否用c 边与其所对角的正弦的比值来表示呢？[生]能．因为sin sin901C ︒==，所以sin c c C =．[师]那么由上面的三个式子我们就可以得出sin sin sin a b c c A B C ===． 从而在Rt ABC ∆中，有sin sin sin a b c c A B C ===．思考：那么对于任意的三角形，以上的关系式是否仍然成立？设计意图：爱因斯坦说过发现问题比解决问题更重要，这样设计是为了让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的直角三角形的的边角关系的知识内容入手，观察发现转化到一般的三角形，然后产生猜想，进而完成一般性证明，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力．[师]请同学们和老师一起看看用几何画板是怎样演示这一般的三角形的边角关系，看看任意的三角形是否有sin sin sin a b c c A B C ===成立呢？[师]同学们观察到了什么？[生] ,,sin sin sin a b c c c c A B C ≠≠≠，但是sin sin sin a b c A B C==． 设计意图：通过几何画板就可以让学生从直观上进一步猜测正弦定理，并且可以看到在一一般的三角形中ｃ不等于边比对角的正弦值，用观察到的事实说话，从而是学生受到辩证唯物主义观的教育，也明白现代科技的重要性．三、证明定理[师] 我们虽然有了多媒体技术的支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明sin sin sin a b c A B C==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论． [师]（引导）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图所示，当ABC ∆是锐角三角形时，作AB 上的高是CD,根椐三角形的定义,得到sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin b c B C =，从而sin sin sin a b c A B C ==．类似的可推出，当ABC ∆是钝角三角形时，以上的关系式仍然成立．（证明过程由学生课后自己推导） （法二片段教学中省略）法二：当ABC ∆为钝角三角形时，过A 作单位向量垂直于， +=AB 两边同乘以单位向量，j ⋅ (+)=j ⋅则：⋅+⋅=⋅，∴|j |⋅||cos90 +|j |⋅||cos(90)C -= |j |⋅||cos(90)A - ， ∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c A C =，同理：若过C 作j 垂直于CB 得：sin sin b c B C = ∴sin sin sin a b c A B C ==，当ABC ∆为钝角三角形时， 设90A ∠> ，过A 作单位向量j 垂直于向量，同样可证得：A C B j A C Bjsin sin sin a b c A B C ==．从上面的研究探讨过程，可得以下定理：解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程四、及时体验（PPT 展示）例：在ABC ∆中，，解三角形． 解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+ 066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．[师]小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习，[师]现在我们来回答一下上课前老师提问的问题：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[生]可以．如图所示，利用正弦定理可得到 0032.0,81.8,42.9A B a cm ===bsin βAB =sin(α+β)设计意图：利用正弦定理，让学生体会用新的知识，新的定理，可以解决之前不能解决的问题，激发学生不断探索新知识的欲望．五、归纳提升 正弦定理： sin sin sin a b c A B C ==主要应用：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生在一次对把所学内容进行当堂总结，有利于学生将新知识内化成自己的知识．六、课后探究（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）知道三角形的两个条边和任何一角，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素吗？（3）sin sin sin a b c kA B C ===那么这个k 值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗? 设计意图：通过（１）让学生对正弦定理进行再深入的探究，让学生从多角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识；通过（2）ABC αβb c让学生更深入的研究正弦定理；通过（3）可以让学生将正弦定理和所学的圆的知识联系在一起，培养学生用联系的观点看问题．七、作业设计作业：第10页[习题1．1]A 组第1、2题．提高作业：(1)在ABC ∆中，已知a =b =45A =︒，解三角形．(2)b =b =b =并解三角形，观察解的情况．设计意图：人的发发展不可能整齐划一的，我们必须承认差异、尊重差异，不同的人在数学上得到不同的发展，所以请所有同学完成书面作业，每个学生都需要掌握，提高作业留给学有余力的学生，让学生的此基础上提升自我．。

正弦定理定理公式正弦定理（Sine Law）是三角形中常用的一个定理，它揭示了三角形的边与角之间的关系。

正弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题，在实际生活中有着广泛的应用。

正弦定理的表述如下：在任意三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC通过正弦定理我们可以得出以下三个推论：推论1：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c推论2：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（其中R为三角形ABC外接圆的半径）推论3：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：sin(A-B) = sinC正弦定理的应用非常广泛，下面我们来看几个实际问题的例子。

例题1：已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8cm，求边BC的长度。

解：根据正弦定理，我们可以得到以下等式：BC/sinB = AC/sinABC/sin45° = 8cm/sin60°BC/（√2/2） = 8cm/（√3/2）BC = 8cm * (√2/2) * 2/√3BC = 8√2/√3 cm所以边BC的长度约为9.24cm。

例题2：已知三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=10cm，求边BC的长度。

解：同样根据正弦定理，我们可以得到以下等式：BC/sinB = AC/sinABC/sin60° = 10cm/sin30°BC/（√3/2） = 10cm/（1/2）BC = 10cm * (√3/2) * 2BC = 10√3 cm所以边BC的长度约为17.32cm。

数学公式知识：正弦定理及其应用正弦定理是三角函数的基本知识之一，也是高中数学中的常见知识点。

正弦定理的应用范围非常广泛，通过正弦定理可以求解各种三角形的不同长度，并且可以通过正弦定理推导出其他的三角形定理。

本文将深入讲解正弦定理及其应用。

一、正弦定理的基本概念正弦定理是用于求解三角形任意一边或角的定理。

在任意三角形ABC中，三角形ABC的三边分别为a、b、c（如图1所示），则正弦定理的表述如下：c/sin C = b/sin B = a/sin A其中，sin A、sin B、sin C分别为三角形ABC中的角A、B、C的正弦值，a、b、c分别为三角形ABC的对应边长。

这个公式可以通过对三角形ABC的边和角的关系进行推导得到。

二、正弦定理的应用1.解决三角形长度知道任意两个角和对应的一个边长，我们可以通过正弦定理计算出另外两个边长。

例如，我们知道三角形ABC中∠A=45°, ∠C=30°，已知c=10，则可以利用正弦定理得到：a/sin A = c/sin C，即a/sin 45°=10/sin 30°通过简单的计算可以得到a的值为：a=10(sin 45°/sin 30°)=10(√2/1/2)=10√2同样地，我们可以通过正弦定理计算出b的值为：b/sin B = c/sin C，即b/sin 180°-A-B = 10/sin 30°通过简单的计算可以得到b的值为：b=10(sin 150°/sin 30°)=10(√3/2/1/2)=5√32.求解三角形的角度知道三角形的两条边和对应的夹角，同样可以通过正弦定理计算出第三条边的长度。

例如，我们知道三角形ABC中已知a=5, b=8，且∠A=60°，则可以利用正弦定理计算c的长度为：c/sin C = a/sin A，即c/sin 180°-A-B = 5/sin 60°通过简单的计算可以得到c的值为：c=5(sin 120°/sin 60°)=5(√3/2/3/2)=5√3知道三个边的长度，我们还可以用反正弦函数求解三角形各角的大小。