函数单调性和奇偶性

函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性是数学中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和分析函数的特征和行为。

本文将介绍函数的奇偶性和单调性的基本概念，并探讨二者之间的关系。

一、函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性是指函数在对称轴上的性质。

一个函数可以是奇函数或偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数。

1. 奇函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

简单来说，奇函数的特点是关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

奇函数的典型例子是正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等：- sin(-x) = -sin(x)- tan(-x) = -tan(x)2. 偶函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

简单来说，偶函数的特点是关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

偶函数的典型例子是余弦函数cos(x)和双曲余弦函数cosh(x)等：- cos(-x) = cos(x)- cosh(-x) = cosh(x)3. 既不是奇函数也不是偶函数对于一些函数，既不满足奇函数的特性，也不满足偶函数的特性，此时我们称该函数为既不是奇函数也不是偶函数。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值变化趋势。

一个函数可以是单调递增的、单调递减的，或者既不是单调递增也不是单调递减。

1. 单调递增如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递增的。

单调递增函数的典型例子是线性函数y = kx (k > 0)和指数函数y = a^x (a > 1)等。

2. 单调递减如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递减的。

单调递减函数的典型例子是线性函数y = kx (k < 0)和指数函数y = a^x (0 < a < 1)等。

函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

具体地说，一个函数被称为是递增的（或非递减的），如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足f(x1) <= f(x2)；一个函数被称为是递减的（或非递增的），如果对于任意的 x1 和x2（x1 < x2）都满足 f(x1) >= f(x2)；一个函数被称为是严格递增的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) < f(x2)；一个函数被称为是严格递减的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) > f(x2)。

函数的单调性对于函数图像的形状有着重要的影响。

当一个函数递增时，其图像会从左下方向右上方倾斜；当一个函数递减时，其图像会从左上方向右下方倾斜。

严格递增和严格递减是指函数图像不会出现水平的平行线段。

2. 函数的奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。

具体地说，一个函数被称为是奇函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = -f(x)；一个函数被称为是偶函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = f(x)。

此外，如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则被称为是既非奇也非偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上；偶函数的图像关于 y 轴对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, y) 也在函数图像上。

既非奇也非偶函数的图像不具备对称性。

3. 函数单调性与奇偶性的关系对于一个函数而言，其单调性与奇偶性有一定的关系。

如果一个函数是奇函数，则它可能是严格递增的或严格递减的；如果一个函数是偶函数，则它可能是递增的或递减的。

但需要注意的是，一个函数的单调性并不决定它的奇偶性，也就是说，递增（或递减）函数可以是奇函数、偶函数或既非奇也非偶函数。

函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。

()()()(),x D f x f x f x f x ∈-=-=-任意则为偶函数；若，则为奇函数。

变式：()()()()()()0;10f x f x f x f x f x --±==±=的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)()()()()()12121212,,,x x D x x f x fx f x D f x fx D ∈<<>任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。

()()()()1212121200f x f x fx f x D D x x x x --><--变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。

y f x ±±⨯⨯⨯±=注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：()()()()()()(),,y fx y g x y g x y f x yf g x y fx y g x =====⎡⎤⎣⎦==的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。

内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。

内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。

(3)函数的凹凸性(局部性质)：()[]()()()[]()[]()121212,,,,,,22,f x f x x x y f x x a b x x f y f x a b a b ++⎛⎫=∈≠<= ⎪⎝⎭若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。

函数的单调性知识要点1、函数单调性定义：如果对于任意的 x 1、x 2∈（a,b)，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间(a,b)上是增函数（或减函数）,(a,b)叫这个函数的单调递增（或递减）区间，说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性。

2、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一部分；要说函数是增函数则必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如正切函数，y = -1/x 等；3、复合函数单调性：同增异减4、判断函数单调性的方法：①定义法，即比较法；②图象法；③复合函数单调性判断法则；6、一些常用的结论：①在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数②函数(0)k y x k x=+>是奇函数，在(,-∞和)+∞上递增；在)⎡⎣和(0上是递减，进而可确定k y ax x =+型函数的的单调区间。

题型归类题型一：判断或证明函数的单调性例1 利用单调性的定义证明函数3()1f x x =-+在（-∞，+∞）上是减函数。

变式训练：讨论函数y =x +a x，（a >0)的单调性。

题型二：利用单调性求参数的值或取值范围例2（2004湖南）若f (x )= -x 2+2ax 与1)(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是题型三：函数单调性的应用例3 已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞。

当1>x 时，,0)(>x f 且).()()(y f x f xy f +=（1） 求)1(f ；（2）证明)(x f 在定义域上是增函数；（3）如果1)31(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围。

函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。

那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是单调减函数；若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。

理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。

分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。

今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。

注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。

(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。

比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。

我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。

若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。

如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。

若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。

例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。

分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。

证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，则，∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。

函数的单调性与奇偶性①增函数的定义：如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2（a,b ）,当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递增。

即函数f(x)在区间（a,b ）上是增函数。

函数f(x)在区间（a,b ）上严格递增，其图像是上升的。

②减函数的定义：如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2（a,b ）,当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减。

即函数f(x)在区间（a,b ）上是减函数。

函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减，其图像是下降的。

注意：（1）函数的单调性离不开区间。

（2）单调函数是指在定义域上单调递增或单调递减的函数例1、用函数单调性的定义证明（1）在上是增函数。

（2）在上是减函数。

【课堂练习】1、证明在上是增函数。

∈∈32)(2++-=x x x f )41,(-∞1)(3+-=x x f ,0)(-∞x x xf 4)(+=),2(+∞2、证明在上是减函数。

例2、指出下列函数的单调区间（先考虑函数的定义域，再确定要研究的区间）（1） （2）例3、求复合函数的单调性（1） （2）X k b 1 . c o m注意某些判断函数单调性的逆向思维例4：已知函数在上是减函数，求实数的取值范围。

问题：如果该函数的递增区间是，怎样求解。

4)(2-=x xx f ,2)2(-11+=x y 123+-=x x y 245x x y --=1||-=x y 122--=ax x y )41,(-∞a )41,(-∞例5、求对勾函数)0k (>+=x k x y 的单调区间，画这些函数的图象。

问题：已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。

奇函数、偶函数的定义： 奇函数：如果函数f(x)对于定义域内的任意x 的值，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。

函数的奇偶性与单调性1.函数的奇偶性的定义： 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, (1)都有f(-x)= ,那么称函数f(x)为奇函数;{或f(-x)+f(x)=0} (2)都有f(-x)= ,那么称函数f(x)为偶函数.{或f(-x)-f(x)=0}2.函数的奇偶性的性质：(1)奇、偶函数的定义域关于 对称; (2)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)= (3)奇函数的图象关于 对称; (4)偶函数的图象关于 对称. 3.函数单调性的定义：如果函数f(x)对区间D 内的任意,,当<时, (1)都有f()<f(),则称f(x)是区间D 上的 函数; (2)都有f()>f(),则称f(x)是区间D 上的 函数.1、下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D.2、下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增的是（ ）A. B. C. D.3、下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2x (0,)+∞1y x =+21y x =-+||1y x =+12xy =-4、 函数的递减区间是__________．5、 函数，设，则有（ ） A. B. C.D. 6、已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A.B. C. D.7、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）=+2x ，若f （）＞f （a ），则实数a 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B. （﹣2，1）C. （﹣1，2）D. （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）8当 时，，则的取值范围是（ ）9且满足对任意的实数成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.10、 函数 在上是增函数，则的范围是_____．2x 22a -12x x ≠a 12x x ≠a ()48，[)48，()1+∞，()18，。