高考理科数学全国卷函数大题专练

2024届全国高考（统考版）理科数学复习历年好题专项（函数的图像）练习命题范围：简单函数图像及其应用．[基础强化]一、选择题1．[2022ꞏ全国甲卷(理)，5]函数y ＝(3x －3－x )cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2 的图像大致为( )2．为了得到函数y ＝log 2x －1 的图像，可将函数y ＝log 2x 图像上所有点的( ) A ．纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，再向右平移1个单位 B ．纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，再向左平移1个单位 C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位3．[2023ꞏ安徽省滁州市高三质检]函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2sin |x |e x B ．f (x )＝x 2cos |x |e x C ．f (x )＝x 2|sin x |e x D ．f (x )＝x 2|cos x |e x4．[2023ꞏ河南省郑州市高三质量预测]函数f (x )＝3x －3－xx 2＋|x |－2的部分图像大致是( )5．[2023ꞏ江西省九江市二模]已知函数y ＝f (x )的部分图像如图所示，则y ＝f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝sin xe x ＋e－x B ．f (x )＝sin x e x －e －xC ．f (x )＝cos xe x－e－x D ．f (x )＝cos x e －x－e x 6．对于函数f (x )＝x ＋2x ＋1的图像及性质的下列表述，正确的是( ) A ．图像上点的纵坐标不可能为1 B ．图像关于点(1，1)成中心对称 C ．图像与x 轴无交点D ．图像与垂直于x 轴的直线可能有两个交点7．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－|x |)C ．y ＝|f (x )|D ．y ＝－f (|x |)8．[2023ꞏ全国甲卷(理)]函数y ＝f (x )的图象由函数y ＝cos (2x ＋π6 )的图象向左平移π6 个单位长度得到，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝12 x －12 的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像的所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题10．若函数y ＝f (x )的图像经过点(2，3)，则函数y ＝f (－x )＋1的图像必定经过的点的坐标为________．11．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图像如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集为________.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1 的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[能力提升]13．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图像的形状大致是( )14．[2023ꞏ安徽省江南十校一模]函数f (x )＝|x ＋1|＋ax 的图像不可能是( )15．[2023ꞏ江西省南昌市高三二模]已知函数f (x )＝13 x 3＋ax 2＋bx ＋c (a <0，b <0)，则函数f (x )的图像可能是( )16．[2023ꞏ郑州市质检] 已知函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，h (x )＝kx －2k ＋1(k ∈R )，给出下列四个命题，其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)①存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根； ②存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)； ④任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1).参考答案1．A 设函数f (x )＝(3x －3－x )cos x ，则对任意x ∈[－π2 ，π2 ]，都有f (－x )＝(3－x －3x )cos (－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因此排除B ，D 选项．又f (1)＝(3－3－1)cos 1＝83 cos 1＞0，所以排除C 选项．故选A.2．A 把函数y ＝log 2x 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，得到函数y ＝12 log 2x 的图像，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12 log 2(x －1)的图像，即函数y ＝log 2(x －1)12＝log 2x －1 的图像．3．A 对于B 选项，f (π2 )＝0，与题图不符；对于C 选项，当π<x <3π2 时，|sin x |>0，则f (x )＝x 2|sin x |e x >0，与题图不符；对于D 选项，f (π2 )＝0，与题图不符．排除BCD 选项．4．C f (－x )＝3－x －3x（－x ）2＋|－x |－2 ＝3－x －3x x 2＋|x |－2＝－3x －3－xx 2＋|x |－2＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除A 选项；令x 2＋|x |－2＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以f (x )在x ＝1和x ＝－1处没有意义，函数图像存在虚线，当取1.000 001时，f (x )分母为正，分子为正所以函数值为正数，排除B 选项；当x ＝－12 时，f (x )分母为负，分子为负，所以f (x )为正数，排除D 选项；对比图像和函数值知只有C 选项符合题意．5．D 函数f (x )在x ＝0处无定义，排除选项A ，函数f (x )的图像关于原点对称，故f (x )为奇函数，排除选项B ，当0<x <1时，cos x >0，e x >e －x ，故cos x e x －e－x >0，排除选项C.6．A 函数f (x )＝x ＋2x ＋1 ＝1＋1x ＋1 ，∵1x ＋1 ≠0，∴f (x )≠1.故A 正确；显然f (x )的图像关于(－1，1)成中心对称，故B 不正确；∵当x ＝－2时，f (x )＝0，故图像与x 轴有交点，C 不正确；由函数的概念知D 不正确．7．B 图②是由图①y 轴左侧图像保留，左右关于y 轴对称得，故图②对应的答案解析式为y ＝f (－|x |).8．C 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向左平移π6 个单位长度后得到函数f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝－sin 2x 的图象．作出函数f (x )的部分图象和直线y ＝12 x －12 如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.9．D 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1 的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ ＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，因此两图像的交点也一定关于点(1，0)成中心对称， 再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.故选D. 10．(－2，4)答案解析：由题意得f (2)＝3，又y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，∴y ＝f (－x )过点(－2，3)，∴y ＝f (－x )＋1的图像过点(－2，4).11.⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π2 答案解析：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4 时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图像知， 当1<x <π2 时，f （x ）cos x <0. 又函数y ＝f （x ）cos x 为偶函数，∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ， 所以f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π2 . 12．(0，1)∪(1，4)答案解析：根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）.在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．13．A y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52， 画出分段函数的大致图像，如图所示．故选A.14．D 当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1－x －1，x <－1 ，图像为A ； 当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1－1，x <－1 ，图像为C ；当a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥－1－2x －1，x <－1 ，图像为B. 当x ≥－1时f (x )＝x ＋1＋ax ＝(1＋a )x ＋1为常数函数，则1＋a ＝0，解得a ＝－1，显然与B 的图像矛盾，故D 错误．15．B 由题f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b (a <0，b <0)，Δ＝4a 2－4b >0， 导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x 1，x 2， 且x 1＋x 2＝－2a >0，x 1ꞏx 2＝b <0，只有B 图符合． 16．①②④答案解析：画出|f (x )|＝|e x －2|的函数图像，如图：h (x )＝kx －2k ＋1经过定点(2，1)，从图中可以看出存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根；①正确；存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根，②正确；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，只需函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )始终有两个交点，当a ＝1时，g (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12 )2－14 ，开口向上，且最小值为－14 ，此时图像如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＝－[g (x 1)－g (x 2)]，只需f (x )＝e x －2与－g (x )＝－x 2－ax ，无论a 取何值，都有两个交点，其中－g (x )＝－x 2－ax ＝－(x ＋a 2 )2＋a 24 开口向下，且有最大值为a 24 ≥0，且恒过(0，0)，画出两函数图像如下，其中－g (x )＝－x 2－ax ＝－(x ＋a 2 )2＋a 24 为一组抛物线，用虚线表示：无论a 取何值，都有两个交点，④正确．。

函数专题练习【1】1.函数1()x y ex R +=∈的反函数是( )A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(A )(0,1)(B )1(0,)3(C )11[,)73(D )1[,1)73.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有(A )1()f x x=(B )()||f x x = (C )()2xf x =(D )2()f x x =4.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞B . 1(,1)3-C . 11(,)33-D . 1(,)3-∞-6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈D . x 1() ,2y x=∈7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A .4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()xf x e x R =∈B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>)C ．()22()xf x e x R =∈D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， (A )0(B )1 (C )2 (D )3 11、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,，函数f (x )＝max {|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是(A )0 (B )12 (C ) 32(D )3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3 （一） 填空题(4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。

2024届全国高考（统考版）理科数学复习历年好题专项（函数及其表示）练习命题范围：函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域．[基础强化]一、选择题1．已知集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y，2x－y)，在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为()A．(1，3)B．(1，1)C．(3，1)D．(5，5)2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x )2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1ꞏx－1，g(x)＝x2－13．已知函数f(x ＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为() A．f(x)＝x2B．f(x)＝x2＋1(x≥1)C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)D．f(x)＝x2－2x(x≥1)4．[2023ꞏ濮阳模拟]函数y＝－x2＋x＋6＋1x－1的定义域为()A．[－2，3]B．[－2，1)∪(1，3] C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)D ．(－2，1)∪(1，3)5．若函数y ＝f (x )的定义域为[1，2 019]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域为( ) A ．[0，2 018] B ．[0，1)∪(1，2 018]C ．(1，2 018] D.[－1，1)∪(1，2 018]6．[2023ꞏ江西省高三一模]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤11－log 2x ，x >1 则满足f (x )≤2的x 取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)7．如图所表示的函数解析式为( )A ．y ＝32 |x －1|，0≤x ≤2B ．y ＝32 －32 |x －1|，0≤x ≤2C.y ＝32 －|x －1|，0≤x ≤2D ．y ＝1－|x －1|，0≤x ≤28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋2，x ≤0， 若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1C ．1D ．49．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5]二、填空题10．[2023ꞏ吉林省质量监测]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋1，x ≤0f （x －2），x >0 ，则f (3)的值为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1， 且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.12．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．[能力提升]13．[2023ꞏ吉林省高三质量监测] 已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝x ，那么f (21)＝( )A ．210B ．211C ．220D ．22114．[2023ꞏ江西省一模]已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤0，x ，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )＝( )A. 2 B ．2C ．1D ．015．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1（x ≥0），1x （x <0），若f (f (a ))＝－12 ，则实数a ＝________．16．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0， 则f (f (15))的值为________．参考答案1．B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴集合A 中的元素为(1，1). 2．A3．C 设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，∴f (t )＝(t －1)2＋1＝t 2－2t ＋2，∴f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1).4．B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0， 解得－2≤x ＜1或1＜x ≤3. 5．B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0， 得0≤x ≤2 018且x ≠1. 6．D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤121－x ≤2 ，可得0≤x ≤1；或⎩⎪⎨⎪⎧x >11－log 2x ≤2 ，可得x >1； 综上，f (x )≤2的x 取值范围是[0，＋∞).7．B 当x ∈[0，1]时，f (x )＝32 x ；当1≤x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝32，2k ＋b ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝3.∴当x ∈[1，2]时，f (x )＝－32 x ＋3.结合选项知选B.8．A f (1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a >0时，2a ＋2＝0，解得a ＝－1，舍去；当a ≤0时，a ＋2＋2＝0，解得a ＝－4，满足题意．故选A.9．C ∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1，∴要使函数在[m ，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.10.1e ＋1答案解析：f (3)＝f (1)＝f (－1)＝1e ＋1.11．－32答案解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，a ＝7，∴f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32 .12．[0，3)答案解析：由题意得ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即y ＝ax 2＋2ax ＋3与x 轴无交点，当a ＝0时y ＝3符合题意；当a ≠0时，Δ＝4a 2－12a <0，得0<a <3，综上得0≤a <3.13．A 因为f (x ＋2)＝2f (x )，由题意f (21)＝f (19＋2)＝2f (19)＝22f (17)＝…＝210f (1)＝210.14．B 作出函数f (x )的图像，f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增．由f (a －3) ＝f (a ＋2)，若⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0a ＋2>0 ，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2 ，所以a ＝a ＋2 ，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2 ，舍去)， 此时a ＝2满足题意，则f (a )＝2 .若⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0a ＋2≤0 ，此时不存在满足条件的a .15．4或－12答案解析：若f (a )≥0，则f (a )＝1，此时只能是a >0，于是a ＝4；若f (a )<0，则f (a )＝－2，此时只能是a <0，于是a ＝－12 (若a >0，由a 2 －1＝－2，解得a ＝－2不满足题意). 16.22答案解析：由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12 ＝12 ，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12 ＝cos π4 ＝22 .。

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称． (2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称． (3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称． (4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称． 4.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期. 【方法技巧与总结】 1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 1()f x 为减函数； ④若()0f x >且()f x1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称． 【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用 题型二：复合函数单调性的判断 题型三：利用函数单调性求函数最值 题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性 题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 题型十三：函数性质的综合 【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（ ） A ．f (x )在R 上是增函数 B ．f (x )在R 上是减函数 C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（ ）． A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()()2x x f x --=的单调递减区间是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数； 2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e e x xx xf x ---=+；④()11e x f x -=+． 例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-. （1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值． 4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ． 5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ． 题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,xm m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数2axf x a（0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（ ） A ．24y x x =- B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()3log 7b f =， ()30.8c f =-，则（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ． a c b <<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（ ）． A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1y x= B ．ln y x x =-- C ．3y x x =--D ．3=-+y x x 例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（ ）A ．()sin g x x =B ．()22g x x x =+C ．()3g x x x =-D ．()()x x g x e e -=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ) （4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）判断并证明函数()f x 在0,上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性. 题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330xxa a af x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______． 例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为( )A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（ ）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+. (1)求()1f 和()1f -的值； (2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式. 【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lglog 102022f =，则()lglg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113esin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（ ）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___. 【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则 （1）()()2f x f x M -+= （2）max min ()()2f x f x M += 题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称 C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()3ln3e e f f f <<- B ．()()()3e ln3ef f f -<< C ．()()()3e e ln3f f f <-<D ．()()()3ln3e e f f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（ ）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（ ）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ ）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x π-=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x π=≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ， ()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i i i x y =+=∑（ ）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf xa +≤恒成立，则1a ≥ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】 1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()()xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n n g x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1xf x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；xx②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数) (2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数) (3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数) (4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤， 则a 的最小值是（ ）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x x f x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33e x x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3][1,)-∞-+∞B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．)+∞ B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+ B ．(),e -∞- C ．[]e,0- D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】 一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（ ） A ．2x y <B ．2x y >C ．x y >D ．x y <3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（ ）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于( )A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x -=+，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lgf x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于()0,1对称 B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________． 14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ()1212xx f x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥； (3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+- ②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由. （2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇。

三角函数及数列大题训练1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=（1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =,求数列的前n 项和n S2.等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +==1求数列{}n a 的通项公式.2设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.3.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c +--= 1求A 2若2a =,ABC ∆的面积为3；求,b c ;4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝b cos C ＋c sin B .1求B ；2若b ＝2,求△ABC 面积的最大值．5.已知数列{}n a 满足11a =,131n n a a +=+. ⑴证明1{}2n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式；2证明：1231112n a a a ++<…+.6.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1A C B -+=,2a c =,求C ;7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ;已知90,2A C a c b -=+=,求C8.如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB=错误!,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°1若PB=错误!,求PA ；2若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA9.在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++Ⅰ求A 的大小；Ⅱ求sin sin B C +的最大值.10.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8= -10I 求数列{a n }的通项公式；II 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和;11. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ;角A ,B ,C 成等差数列;Ⅰ求cos B 的值；Ⅱ边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值;12．设向量a ＝3sin x ,sin x ,b ＝cos x ,sin x ,x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 1若|a |＝|b |,求x 的值；2设函数fx ＝a ·b ,求fx 的最大值．13．在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,且a ＞c,已知•=2,cosB=,b=3,求：Ⅰa 和c 的值；ⅡcosB ﹣C 的值． AB CP。

高考数学复习 课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2019·潍坊市统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( B )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A ，C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( B ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( C )A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，即1x 2＋1∈(0,1]，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.4．(2019·洛阳高三统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.5．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( B )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.6．已知a >0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( D )A ．2 017B ．2 019C ．4 032D ．4 036解析：由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x＋1.∵y ＝2 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a＋1＝4 036. 二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．8．(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f (x )＝sin x (答案不唯一)．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，且函数f (x )在[0,2]上不是增函数即可．如f (x )＝sin x ，答案不唯一．9．若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为a ≥－12.解析：若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立．当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图象的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上单调递增，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图象的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12. 10．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为[－2，－12]．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即[－2，－12]．三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明：f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.13．(2019·湖北八校联考)已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ln x 2＋a ln x ＋b ，x >0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为(12，32]∪[2，＋∞)． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x >0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12<e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为(12，32]∪[2，＋∞)．14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0.故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0.因此f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·河南郑州一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为( A )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (a )>f (b )>f (c )D ．f (a )>f (c )>f (b )解析：∵f (x )是R 上的奇函数，满足f (x ＋2e)＝－f (x )，∴f (x ＋2e)＝f (－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝e 对称，∵f (x )在区间[e,2e]上为减函数，∴f (x )在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c <a <b <e ，∴f (c )<f (a )<f (b )，故选A.16．(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为[－1,3]．解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0,6]，当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 单调递增，得f (x )∈[－2,1]，综上，f (x )∈[－2,6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6，即－1≤a 2－2a ≤3⇒－1≤a ≤3.。

数学高考全国卷必刷题目：函数大题（必修1）一、解答题（共27题）1.设函数()R m m x f x x ∈•-=24)(．（Ⅰ）当1≤m 时，判断函数)(x f 在区间()1,0内的单调性，并用定义加以证明；（Ⅱ）记)(lg )(x f x g =，若)(x g 在区间()1,0上有意义，求实数m 的取值范围．2.某种海洋生物的身长)(t f （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系： 42110)(+-+=t t f ． （设该生物出生时的时刻0=t ） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．3.函数x a k x f •=)(（k ，a 为常数，0>a 且1≠a 的图象经过点)1,0(A 和)8,3(B ，1)(1)()(+-=x f x f x g ． （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）试判断)(x g 的奇偶性；（Ⅲ）记)2(ln g a =、))2(ln(ln g b =、)2(ln g c =，)2(ln 2g d =，试比较a ，b ，c ，d 的大小，并将a ，b ，c ，d 从大到小顺序排列．4. 已知函数22)(12+-=+x x a a x f （0a >，且1a ≠）．（Ⅰ）若41)1(=-f ， 求函数1)(g(x)+=x f 的所有零点； （Ⅱ）若函数)(x f 的最小值为7-，求实数a 的值．5. 设函数x x ka a x f -+=)(（0>a ，且1≠a ）是定义域为R 的奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若23)1(=f ． )(x f 是单调增函数．6. 我们给出如下定义：对函数)(x f y =，D x ∈，若存在常数)(R C C ∈，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 为“和谐函数”，称常数C 为函数()x f 的“和谐数”． （1）判断函数1)(+=x x f ，[]3,1-∈x 是否为“和谐函数”？答： ． （填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”： ．（2）证明：函数x x g lg )(=，[]100,10∈x 为“和谐函数”，23是其“和谐数”； （3）判断函数2)(x x u = ，R x ∈是否为和谐函数，并作出证明．7. 设函数122)(-+=x x a x f （a 为实数） （1）当0=a 时，若函数)(x g y =的图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求函数)(x g y =的解析式；（2）当0<a 时，求关于x 的方程0)(=x f 在实数集R 上的解．8.已知关于x 的不等式06241<+-+k k x x ，（1）若不等式的解集为()3log 12，，求实数k 的值；（2）若不等式对一切()3log 12，∈x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）若不等式的解集为()3log 12，的子集，求实数k 的取值范围．9.现有某种细胞100个，其中有占总数21的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：477.03lg =，301.02lg =）．10.已知函数()c x f x x +-=+139（其中c 是常数）．（1）若当[]1,0∈x 时，恒有0)(<x f 成立，求实数c 的取值范围；（2）若存在[]1,00∈x ，使0)(0<x f 成立，求实数c 的取值范围；（3）若方程x c x f 3)(•=在[]1,0上有唯一实数解，求实数c 的取值范围．11.对定义在[]1,0上，并且同时满足以下两个条件的函数)(x f 称为不等函数．①对任意的[]1,0∈x ，总有0)(≥x f ；②当01≥x ，02≥x ，121≤+x x 时，总有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立．已知函数3)(x x g =与a x h x -=2)(是定义在[]1,0上的函数．（1）试问函数)(x g 是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数)(x h 是不等函数，求实数a 组成的集合．12. 已知函数ba x f x x ++-=-133)( （1）当1==b a 时，求满足x x f 3)(≥的x 的 取值范围；（2）若)(x f y =是定义域为R 的奇函数，求)(x f y =的解析式；（3）若)(x f y =的定义域为R ，判断其在R 上的单调性并加以证明．13.已知函数342)31()(+-=x ax x f ， （1）若1-=a ，求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 有最大值3，求a 的值．（3）若)(x f 的值域是()∞+，0，求a 的取值范围．14.已知函数x x f 2)(=（1）试求函数)2()()(x af x f x F +=，(]0,∞-∈x 的最大值；（2）若存在()0-，∞∈x ，使1)2()(>-x f x af 成立，试求a 的取值范围； （3）当0>a ，且[]15,0∈x 时，不等式[]2)2()1(a x f x f +≤+恒成立，求a 的取值范围．15.已知函数x x f )31()(=，[]1,1-∈x ，函数3)(2)()(2+-=x af x f x g （1）若1=a ，证明：函数)(x g 在区间[]0,1-上为减函数；（2）求)(x g 的最小值)(:)(x g SA AR a h >-，问题转化为02423>•-•x x ，解出即可．16.已知函数)1()(x x m x f +=的图象与)1(41)(xx x h +-=的图象关于y 轴对称． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若)(4)()(R a xa x f x g ∈+=，试讨论函数)(x g 的单调性．17.如图，已知点)0,10(A ，直线)100(<<=t t x 与函数1+=x e y 的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为)(t f ．（Ⅰ）求函数)(t f 的解析式；（Ⅱ）求函数)(t f 的最大值．18.某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k 与a 的值；（2）写出服药后y 与t 之间的函数关系式)(t f y =；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于5.0微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？19.已知函数xa y =（0>a 且1≠a ）在[]2,1上的最大值与最小值之和为20，记2)(+=x xa a x f ． （1）求a 的值；（2）求)1()(x f x f -+的值；（3）求)1(...)2()1(nn f n f n f -+++的值．20.已知函数x x x f m 2)(-=， 且27)4(=f ． （1）求m 的值；（2）判定)(x f 的奇偶性；（3）判断)(x f 在()∞+，0上的单调性，并给予证明．21.已知函数x a b x f •=)(（其中b a ,为常量，且0>a ，1≠a ）的图象经过点)6,1(A ，)24,3(B ． （1）求)(x f ；（2）若不等式0)1()1(≥-+m ba x x 在(]1,∞-∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．22.已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数)(log )(3a x x f +=的图象上．（1）求实数a 的值；（2）解不等式a x f 3log )(<；（3）函数2)2()(-+=x g x h 的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围．23.已知定义域为R 的函数122)(++-=x x a x f 是奇函数 （1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围； （4）设关于x 的函数)2()4()(1+-+-=x x f b f x F 有零点，求实数b 的取值范围．24.已知奇函数)(x f 的定义域为[]1,1-，当[)0,1-∈x 时，()λ)21(-=x f ． （1）求函数)(x f 在[]1,0上的值域；（2）若(]1,0∈x ，1)(2)(412+-x f x f λ的最小值为2-，求实数λ的值．25.已知84=a ，3692==n m ，且b nm =+211， 试比较a 5.1与b 8.0的大小．26.已知函数)1(log )(2+=x x f ．当点),(y x 在函数)(x f y =的图象上运动时，点)2,3(y x 在函数)31)((->=x x g y 的图象上运动． （1）求函数)(x g y =的解析式；（2）求函数)()()(x g x f x F -=的零点．（3）函数)(x F 在)1,0(∈x 上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．27.（2015·湖北）设函数)(x f ，)(x g 的定义域均为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，2)()(e x g x f =+，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求)(x f ，)(x g 的解析式，并证明：当0>x 时，0)(>x f ，1)(>x f ；（Ⅱ）设0≤a ，1≥b ，证明：当0>x 时，)-1()()()1()(b x bg xx f a x ag +<<-+.二.综合题（共21题）28.已知函数 ax x f x ++=)12(log )(22．（1）若)(x f 是定义在R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）在)1(的条件下，若2)()(-=x f x g ，求函数)(x g 的零点．29.已知)1(log )1(log )(22x x x f -++=．（1）求函数)(x f 的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性，并加以说明；（3）求)22(f 的值．30.已知函数)21)(log 2(log )(42--=x x x f（1）当[]4,2∈x 时．求该函数的值域；（2）若x m x f 2log )(≥对于[]16,4∈x 恒成立，求m 的取值范围．31.已知函数12)15()(++-=m x m m x h 为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数)(21)()(x h x h x g -+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 的值域．32.已知函数bx axx f +=)(，且4)2(,1)1(=-=f f ． （1）求b a 、的值；（2）已知定点)0,1(A ，设点),(y x P 是函数)1)((-<=x x f y 图象上的任意一点，求AP 的最小值，并求此时点P 的坐标； （3）当[]2,1∈x 时，不等式mx x mx f -+≤)1(2)(恒成立，求实数m 的取值范围．33.定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，都存在常数0≥M ，有M x f ≤)(，则称)(x f 是区间D 上有界函数，其中M 称为)(x f 上的一个上界，已知函数x axx g --=11log )(21为奇函数． (1)求函数)(x g 在区间]53,31[上的所有上界构成的集合；(2)若0)1()1(2<-+-m g m g ，求m 的取值范围．34.已知函数 ax ax x f a22log )(+-=，)4(log )2(log )(x a a x x g a a -++=，其中0>a ，且1≠a ． (1)求)(x f 的定义域，并判断)(x f 的奇偶性；(2)已知区间]232,12[++=a a D 满足D a ∉3，设函数)()()(x g x f x h +=，)(x h 的定义域为D ，若对任意D x ∈，不等式2)(≤x h 恒成立，求实数a 的取值范围．35.已知R a ∈，当0>x 时，)1(log )(2a xx f +=．(1)若函数)(x f 过点)1,1(，求此时函数)(x f 的解析式；(2)若函数x x f x g 2log 2)()(+=只有一个零点，求实数a 的范围；(3)设0>a ，若对任意实数]1,31[∈t ，函数)(x f 在[]1,+t t 上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a 的取值范围．36.已知t 为实数，函数)22(log 2)(-+=t x x f a ，x x g a log )(=，其中10<<a ． (1)若函数kx a g y x -+=)1(是偶函数，求实数k 的值；(2)当]4,1[∈x 时，)(x f 的图象始终在)(x g 的图象的下方，求t 的取值范围； (3)设4=t ，当],[n m x ∈时，函数)(x f y =的值域为]2,0[，若m n -的最小值为 61，求实数a 的值．37.已知函数)0(1)(≠-+=x xkx x f ，R k ∈． (1)当3=k 时，试判断)(x f 在），（0-∞上的单调性，并用定义证明； (2)若对任意R x ∈，不等式0)2(>x f 恒成立，求实数k 的取值范围； (3)当R k ∈时，试讨论)(x f 的零点个数．38.重庆某重点中学高一新生小王家在县城A 地，现在主城B 地上学．周六小王的父母从早上8点从家出发，驾车3小时到达主城B 地，期间由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s （单位：km ）与离家的时间t （单位：h ）的函数关系为)13(5)(--=t t t s ．达到主城B 地后，小王父母把车停在B 地，在学校陪小王玩到16点，然后开车从B 地以h km /60的速度沿原路返回．(1)求这天小王父母的车所走路程s （单位：km ）与离家时间t （单位：h ）的函数解析式； (2)在距离小王家km 60处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间．39.已知二次函数)(x g y =的导函数的图象与直线x y 2=平行，且)(x g y =在1-=x 处取得最小值)0(1≠-m m ．设xx g x f )()(=． (1)求二次函数)(x g y =的解析式（假设m 为已知常数）；(2)若曲线)(x f y =上的点P 到点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求m 的值； (3))(R k k ∈如何取值时，函数kx x f y -=)(存在零点，并求出零点．40.已知函数 xxa b y 22++=（b a 、是常数且10≠>a a ，）在区间]0,23[-上有3max =y ，25min=y ; (1)试求a 和b 的值．(2)又已知函数)12lg()(2++=x ax x f ①若)(x f 的定义域是R ，求实数a 的取值范围及)(x f 的值域；②若)(x f 的值域是R ，求实数a 的取值范围及)(x f 的定义域．41.已知函数)(1ln 12)(R m x mx x f ∈-+=的两个零点为1x ，)(212x x x <． (1)求实数m 的取值范围； (2)求证：e 22111>⨯+⨯．42.设函数))(lg()(R m m x x f ∈+=；(1)当2=m 时，解不等式 1)1(>xf ；(2)若1)0(=f ，且λλ+=)21()(x f 在闭区间]3,2[上有实数解，求实数λ的范围； (3)如果函数)(x f 的图像过点)2,98(，且不等式2lg )]2[cos(<x f n 对任意N n ∈均成立，求实数x 的取值集合．43.函数)10)(3(log )(≠>-=a a ax x f a ， (1)当3=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若)3(log )()(ax x f x g a +-=，请判定)(x g 的奇偶性；(3)是否存在实数a ，使函数)(x f 在]3,2[递增，并且最大值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．44.已知幂函数)()()1)(2(Z k x x f k k ∈=+-，且)(x f 在），（∞+0上单调递增． (1)求实数k 的值，并写出相应的函数)(x f 的解析式；(2)试判断是否存在正数q ，使函数x q x qf x g )12()(1)(-+-=在区间]2,1[-上的值域为]178,4[-．若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由．45.已知幂函数352)1()(----=m x m m x f 在），（∞+0上是增函数，又)1(11log )(>--=a x mxx g a ． (1)求函数)(x g 的解析式；(2)当),(a t x ∈时，)(x g 的值域为），（∞+1，试求a 与t 的值．46.已知x x f 21log )(=，当点),(y x M 在)(x f y =的图象上运动时，点),2(my x N -在函数)(x g y n =的图象上运动)(*N n ∈．(1)求)(x g y n =的表达式；(2)若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围； (3)设 )(2)(x g n Q x H =，函数)0)(()()(11b x a x g x H x F ≤≤<+=的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22log ,22log 4252a b ，求实数a ，b 的值．47.已知22log )(-+=x mxx f a是奇函数（其中1>a ） (1)求m 的值；(2)判断)(x f 在()∞+，2上的单调性并证明； (3)当()2,-∈a r x 时，)(x f 的取值范围恰为()∞+，1，求a 与r 的值．48.如图，在半径为3，圆心角为︒60的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ，θ=∠POB ．(1)将y 表示成θ的函数关系式，并写出定义域； (2)求矩形PNMQ 的面积取得最大值时 ON OP •的值； (3)求矩形PNMQ 的面积236-≥y 的概率．答案解析部分一.解答题1.【答案】解：（Ⅰ）当m≤1时，函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数．设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=-m·﹣（-m·）=（-）﹣m（-）=（-）（+﹣m）．由于0＜x1＜x2＜1，则1＜＜＜2，又m≤1，则+﹣m＞0，则（-）（+﹣m）＜0，即有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数；（Ⅱ）由于g（x）在区间（0，1）上有意义，则f（x）＞0，即4x﹣m•2x＞0在（0，1）上恒成立，即m＜2x在（0，1）上恒成立，由于2x∈（1，2），则有m≤1．【考点】函数单调性的性质，指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（Ⅰ）当m≤1时，函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（Ⅱ）由于g（x）在区间（0，1）上有意义，则f（x）＞0，即4x﹣m•2x＞0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和指数函数的单调性求出值域，即可得到m的范围．2.【答案】解：（1）设f（t）=≥8，即，解得t≥6，即该生物6年后身长可超过8米．（2）由于f（3）﹣f（2）=-=，f（4）﹣f（3）=-=，∴第3年长了米，第4年长了米，∴>，∴第4年长得快．【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（1）根据函数表达式直接解不等式即可，（2）计算f（2）和f（3）的值，然后比较大小即可．3.【答案】解：（Ⅰ）代入A（0，1）和B（3，8）中得k•a0=1，且k•a3=8，解得k=1，a=2，即有f（x）=2x；（Ⅱ）∵g（x）=，∴g(-x)==-g(x)，又2x+1≠0，x∈R，∴g（x）是定义在R上的奇函数．（Ⅲ）∵g(x)==1-∴g（x）是定义在R上的增函数，又∵ln<ln2<lne，∴<ln2<1，ln2<<ln2，又ln（ln2）＜0，∴ln2>>ln>ln(ln2)．g(ln2)>g()>g(ln)>g(ln(ln2))，即a＞d＞c＞b．【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数奇偶性的判断，指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（Ⅰ）将A，B的坐标代入f（x），解方程可得a，k，进而得到函数f（x）的解析式；（Ⅱ）运用奇偶性的定义，求出定义域，求得g（﹣x）是否等于±g（x），进而判断g（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断g（x）是定义在R上的增函数，运用对数函数的单调性，即可得到a，b，c，d的大小．4.【答案】解：（1）∵f（﹣1）=a﹣2﹣2a0+2=，∴a﹣2=，解得a=2，所以，f（x）=22x﹣4•2x+2，令g（x）=f（x）+1=22x﹣4•2x+3=0，解得，2x=1或2x=3，所以，x=0或x=log23，即g（x）的零点为：x=0或x=log23；（2）f（x）=a2x﹣2a•a x+2=（a x﹣a）2+2﹣a2，当a x=a时，即x=1，函数f（x）取得最小值，f（x）min=f（1）=2﹣a2=﹣7，即a2=9，解得a=±3，由于a＞0且a≠1，所以，a=3．【考点】指数型复合函数的性质及应用，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）先根据f（﹣1）=求出a，再求g（x）=f（x）+1的零点；（2）先将函数配方为f（x）=a2x﹣2a•a x+2=（a x﹣a）2+2﹣a2，再根据二次函数性质求最小值．5.【答案】解：（1）∵函数f（x）=a x+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=a﹣x+ka x+a x+ka﹣x=（k+1）（a x+a﹣x）=0对于任意实数都成立．∴k=﹣1．（2）由（1）可知：f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣a﹣1=，又a＞0，解得a=2．∴f（x）=2x﹣2﹣x．任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）=（-）（1+），∵x 1＜x2，∴＜，又＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）是单调增函数【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（1）由于函数f（x）=a x+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，得f（﹣x）+f （x）=0对于任意实数都成立．即可得出k．（2）由（1）可知：f（x）=a x﹣a﹣x，利用f（1）=a﹣a﹣1=．又a＞0，解得a=2，可得f（x）=2x﹣2﹣x．任取实数x1＜x2，只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可6.【答案】解：（1）∵对任意x1∈[﹣1，3]，令=2 ，得x2=2﹣x1，∴x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2 ，故正确答案为是； 2（2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令，即，得．∵x1∈[10，100]，∴∈[10,100]．即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的∈[10,100] ，使得．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为．参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；②对任意x1∈（1，3），令，即，得，．∵x1∈（1，3），∴∈（2,8），∈（1,3）．即对任意x1∈（1，3），存在唯一的∈（1,3），使得．∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”（3）解：函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得==C成立，所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；②若C＞0，则对于，由=得，x22=﹣2C＜0，即不存在x2∈R，使=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x1∈[﹣1，3]，令=2，得x2=2﹣x1，而x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2 ，即可得正确结果（2）参照上述证明过程，对任意x1∈（1，3），令，得，∈（1,3）∈（1，3），即可证明函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”（3）分c＜0和c≥0两种情况讨论，对任意的x1∈R，不存在唯一的x2∈R，使=C成立，所以函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”7.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=2x﹣1设y=g（x）图象上任意一点P（x、y），则P关于x=1的对称点为P′（2﹣x，y）由题意P′（2﹣x，y）在f（x）图象上，∴y=22﹣x﹣1，即g（x）=22﹣x﹣1；（2）f（x）=0，即2x+﹣1=0 ，整理，得：（2x）2﹣2x+a=0∴，又a＜0，所以＞1∴，从而．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）利用函数关于直线对称，通过点的对称关系求y=g（x）的解析式．（2）由f（x）=0，解指数方程即可．8.【答案】解：（1）关于x的不等式k4x﹣2x+1+6k＜0可以化为k（2x）2﹣2×2x+6k＜0，令2x=t，∵1＜x＜log23，∴2＜t＜3，则不等式可化为kt2﹣2t+6k＜0，∵关于x的不等式k4x﹣2x+1+6k＜0的解集为（1，log23），∴（2，3）是不等式kt2﹣2t+6k＜0的解集，∴2，3是方程kt2﹣2t+6k=0的两个实数根，且k＜0．解得k=；（2）∵不等式对一切x∈（1，log23）都成立，由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt2﹣2t+6k＜0恒成立，等价于：k<[]min，t∈（2，3）．令g(t)=，t∈（2，3）．则，令g′（t）=0，解得t=，当2<t<时，g′（t）＞0，函数g（t）在(2,)上单调递增；当时<t<3，g′（t）＜0，函数g（t）在(,3)上单调递减；而函数g（t）在t=2，3处有意义，且g（2）=，g（3）=．故k≤；（3）因为不等式的解集为（1，log23）的子集，由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt2﹣2t+6k＜0的解集A⊆（2，3），令f（t）=kt2﹣2t+6k，△=4﹣24k2，则，或解得k≥或≤k<，即k≥．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）通过换元，利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；（2）把此问题可以转化为恒成立问题解决即可；（3）把问题转化为利用二次函数的图象与性质研究一元二次不等式的解集即可解决．9.【答案】解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为+=；2小时后，细胞总数为+=；3小时后，细胞总数为+=；4小时后，细胞总数为+=；可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×，x∈N*由100×＞1010，得>108，两边取以10为底的对数，得xlg＞8，∴x＞，∵=，∴x＞45.45．答：经过46小时，细胞总数超过1010个．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】由细胞开始时为100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×，x∈N*，再建立不等式求解即可．10.【答案】解：（1）f（x）=9x﹣3x+1+c=（3x）2﹣3•3x+c，令3x=t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]．问题转化为当t∈[1，3]时，g（t）=t2﹣3•t+c＜0恒成立．于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，即9﹣9+c＜0，解得c＜0．∴实数c的取值范围是（﹣∞，0）；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t2﹣3•t+c＜0．于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值g（）=（）2﹣3•+c＜0，解得c＜；∴实数c的取值范围是（﹣∞，）；（3）若方程f（x）=c•3x在[0，1]上有唯一实数解，则方程t2﹣（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一实数解．因△=（3+c）2﹣4c＞0，故t2﹣（3+c）t+c=0在[1，3]上不可能有两个相等的实数解．令h（t）=t2﹣（3+c）t+c．因h（1）=﹣2＜0，故只需h（3）=﹣2c≥0，解得c≤0．∴实数c的取值范围是（﹣∞，0]．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）换元法化为当t∈[1，3]时，g（t）=t2﹣3•t+c＜0恒成立，再化恒成立问题为最值问题；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t2﹣3•t+c＜0．从而化为最值问题；（3）若方程f（x）=c•3x在[0，1]上有唯一实数解，则方程t2﹣（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一实数解．从而由单调性及零点判定定理判断．11.【答案】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3•x2+3x1•≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x）=2x﹣a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣a≥0，所以a≤1．由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得﹣a≥﹣a+﹣a，即a≥+﹣=1﹣（﹣1）（﹣1）．因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，所以0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1与x2不同时等于1，所以0≤（﹣1）（﹣1）＜1，所以0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1．当x1=x2=0时，[1﹣（﹣1）（﹣1）]max=1，所以a≥1．综合上述，a∈{1}．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．12.【答案】解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【考点】函数奇偶性的性质，指数函数综合题【解析】【分析】（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．13.【答案】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，而y=t在R上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值﹣1，因此=﹣1，解得a=1．即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，因此只能有a=0．因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．故a的取值范围是{0}．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值﹣1，进而可得a 的值．（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．14.【答案】解：（1）F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]=2x+a•4x，令2x=t，（0＜t≤1），即有F（x）=at2+t，a=0，即有最大值为1；a≠0时，对称轴为t=﹣，讨论对称轴和区间的关系，即可得到，（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1即存在t∈（0，1）使得a<或a>∴a＜0或a＞2；（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立∴设m（x）=-2x+令=t,则x=-1,t∈[1,4]∴m(t)=-2(-1)+t=-2(t-)2+所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．15.【答案】解：（1）a=1时，g（x）=﹣2•（）x+3，设x1，x2∈[﹣1，0]，且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=﹣2•+3﹣+2•﹣3，=（+）（﹣）﹣2（﹣），=（﹣）（+﹣2），∵x1，x2∈[﹣1，0]，且x1＜x2，∴﹣＞0，+﹣2＞0∴g（x1）﹣g（x2）＞0，∴g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在区间[﹣1，0]上为减函数；（2）∵g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3，且函数f（x）=,x∈[-1,1] ，∴g（x）=﹣2a•（）x+3=[（）x﹣a]2+3﹣a2，∵f（x）定义域为[﹣1，1]，∴g（x）定义域也为[﹣1，1]，令t=（）x，由﹣1≤x≤1，∴≤t≤3，∴g（x）=ϕ（t）=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a，①当a≥3时，函数ϕ（t），在[，3]上是单调递减函数，∴当t=3时，函数ϕ（t）取得最小值为ϕ（3）=12﹣6a，∴h（a）=12﹣6a；②当a≤时，函数ϕ（t）在[，3]上是单调递增函数，∴当t=时，函数ϕ（t）取得最小值为ϕ（）=﹣，∴h（a）=﹣；③当＜a＜3时，函数ϕ（t）在对称轴t=a处取得最小值为ϕ（a）=3﹣a2，∴h（a）=3﹣a2．综上所述，h（a）=【考点】指数函数的图像与性质【解析】【分析】（1）根据指数函数的性质，利用单调性的定义即可证明．（2）根据g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3，得到函数g（x）的解析式以及定义域，利用换元法将函数转化为二次函数求最值，利用二次函数的性质，分类讨论即可求得g（x）的最小值h（a）．16.【答案】解：（I）函数h（x）=（x+）的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=（-x+）=（x+）故m=1（II）由（I）中f（x）=（x+）故g（x）=f（x）+=（x+）+=+∴g′（x）=﹣=当a+1≤0，即a≤﹣1时，g′（x）≥0恒成立此时g（x）在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为增函数；当a+1＞0，即a＞﹣1时，若x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，g′（x）＞0；若x∈（﹣，）时，g′（x）＜0；此时g（x）在区间（﹣∞，﹣）和（，+∞）上为增函数；在区间（﹣，）上为减函数；【考点】指数函数的图像变换【解析】【分析】（I）根据函数对称变换法则，求出函数h（x）=（x+）的图象关于y轴对称的图象对应的解析式，进而可得m的值；（II）根据（I）中函数的解析式可得函数g（x）=f（x）+的解析式，求出其导函数，分类讨论可得函数的单调性．17.【答案】解：（I）由已知AH=10﹣t，PH=e t+1所以△APH的面积为f（t）=（10-t）,0<t<10．（II）解：，令f'（t）=0，解得得t=5，函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况下表：所以当t=5时，函数f（t）取得最大值t=．【考点】指数函数的图像变换【解析】【分析】（I）由题意设点P坐标，来表示AH，PH的大小，计算出△APH的面积f（t）=•AH•PH；（II）求f（t）的导函数f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范围，从而求得f（t）的最大值．18.【答案】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k=4，其解析式为y=4t，0≤t≤1；当t≥1时，函数的解析式为y=，此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=，解得a=3；（2）由（1）知，f（t）=；（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即∴．答：（1）k=4，a=3；（2）函数关系式为f（t）=；（3）服药一次治疗有效的时间范围为．【考点】指数函数的实际应用【解析】【分析】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．（3）构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．19.【答案】解：（1）∵函数y=a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=a x单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知f（x）=，∴f（x）+f（1-x）=+=+=+=+=1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，f（）+f（）+…+f（）=×1=；n为偶数时，f（）+f（）+…+f（）=×1+f（）=+=；综上，，f（）+f（）+…+f（）=．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【分析】（1）由y=a x单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求.20.【答案】解：（1）因为f（4）=，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．【考点】函数单调性的判断与证明，指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【分析】（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．21.【答案】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得结合a＞0且a≠1，解得：∴f（x）=3•2x．（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．∴只需m≤即可．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数单调性的应用【解析】【分析】（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．22.【答案】解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，当x﹣2=0时，即x=2，y=2，∴A点的坐标为（2，2），又A点在f（x）上，∴f（2）==a，解得a=1，（2）f（x）＜，∴＜=0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴不等式的解集为（﹣1，0），（3）由（1）知g（x）=g（x）=2x﹣2+1，∴h（x）=|g（x+2）﹣2|=|2x﹣1|=2b，分别画出y=h（x）与y=2b的图象，如图所示：由图象可知：0＜2b＜1，故b的取值范围为(0,)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】（1）运用a0=1，令x﹣2=0，则x=2，求得g（2）=2，代入f（x），即可求得a=1；（2）运用对数函数的单调性，当a＞1时，f（x）在x＞0上递增，解不等式即可得到；（3）求出h（x），分别画出y=h（x）与y=2b的图象，由图象可知：0＜2b＜1，即可求出b的范围．23.【答案】解：（1）由题设，需f(0)==0，∴a=1，∴f(x)=，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x 1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得k<即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．24.【答案】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t=f（x），则＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．【考点】函数的值域，二次函数在闭区间上的最值，指数函数单调性的应用【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．25.【答案】解：∵4a=8∴22a=23，又∵f（x）=2x为单调递增的函数∵a=，∵2m=9n=36，∴m=log236，n=log936又∵，∴∵y=1.5x在R上单调递增，y=0.8x在R上单调递减，∴,即1.5a＞0.8b【考点】指数函数单调性的应用，指数式与对数式的互化【解析】【分析】4a=8转化为22a=23，由f（x）=2x为单调递增的函数，可得a=，由2m=9n=36，可解得m=log236，n=log936代入，解得b，然后通过y=1.5x在R上单调递增，y=0.8x在R上单调递减，可知，从而得到结论．26.【答案】解：（1）由点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，得y=log2（x+1），由点（x3，y2）在函数y=g（x）（x>-13）的图象上运动，得y2=gx3，∴gx3=12log2（x+1），令t=x3，∴x=3t，∴g（t）=12log23t+1，即g（x）=12log23x+1；（2）函数F（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣12log23x+1，令F（x）=0，有log2（x+1）=12log23x+1=log23x+1，∴x+1>03x+1>0x+1=3x+1，解得x=0或x=1，∴函数F（x）的零点是x=0或x=1；（3）函数F（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣12log23x+1=log2x+13x+1=12log2x+123x+1，设t=x+123x+1=19·3x+323x+1=19·3x+12+43x+1+43x+1=193x+1+43x+1+4，设m=3x+1，由x∈（0，1）得m∈（1，4），函数m+4π在（1，2]上递减，在[2，4）上递增，当m=2时m+4π有最小值4，无最大值，∴t有最小值89，无最大值．∴函数F（x）在x∈（0，1）内有最小值12log289，无最大值．【考点】复合函数的单调性，对数函数图象与性质的综合应用【解析】【分析】（1）把两动点坐标分别代入两函数解析式，然后利用换元法可求得g（x）；（2）表示出F（x），问题转化为求方程F（x）=0的根，注意函数定义域；（3）可化为F（x）=log2x+13x+1=12log2x+123x+1 ，设t=x+123x+1，变形后进行换元，然后利用基本不等式可求得t的最值，从而可得F（x）的最值情况；27.【答案】见解答【考点】函数单调性的性质，幂函数的单调性、奇偶性及其应用，正弦函数的奇偶性，余弦函数的奇偶性，正切函数的奇偶性与对称性【解析】【解答】（Ⅰ）由，的奇偶性及，①得：②联立①②解得，.证明：当时，，，故③又由基本不等式，有，即④（Ⅱ）由（Ⅰ）得⑥当时，等价于⑦等价于⑧于是设函数，由⑤⑥，有.当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得.【分析】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.二.综合题28.【答案】（1）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数．∴f（﹣1）=f（1），即，故．函数f（x）= ，f（﹣x）= = =f（x）．所以a=1满足题意（2）解：依题意= ．则由22x+1=2x+2，得（2x）2﹣4（2x）+1=0，令2x=t（t＞0），则t2﹣4t+1=0，解得．即．∴函数g（x）有两个零点，分别为和【考点】根的存在性及根的个数判断，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可求出 a =− 1，进而得到f（x）的解析式。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 函数y = 2^x在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增3. 函数y = |x| + 1的图像是（）A. V形B. U形C. 两条射线D. 一条射线4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 + 6x5. 函数y = (x - 1)^2 + 1的图像的对称轴为（）A. x = 0B. x = 1C. y = 0D. y = 16. 函数y = log2(x + 1)的定义域为（）A. (-∞, -1)B. (-1, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0)7. 函数y = 3^x在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(x)的图像是（）A. 顶点在y轴上B. 顶点在x轴上C. 顶点在第一象限D. 顶点在第四象限9. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 函数y = arctan(x)的值域为（）A. (-π/2, π/2)B. (0, π)C. (-π, π)D. (-∞, +∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

把答案填在题中的横线上。

）11. 函数f(x) = 2x - 3的图像与x轴的交点坐标为______。

12. 函数y = x^2 - 4x + 3的图像的顶点坐标为______。

13. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上的截距为______。

14. 函数y = sin(x)的一个周期为______。

全国卷近五年高考函数真题1.已知函数f(x)的定义域为(-1.)，求函数f(2x+1)的定义域。

答案：(-1/2.)2.若函数f(x)=x^2+ax+b是增函数，则a的取值范围是？答案：[0.3]3.若函数f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为多少？答案：9/44.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，下列结论中错误的是？答案：若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞。

x)单调递减。

5.曲线y=xex^-1在点(1,1)处切线的斜率等于多少？答案：26.设函数f(x)和g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是？答案：|f(x)•g(x)|是奇函数。

7.已知函数f(x)=ax^3-3x^2+1，若f(x)存在唯一的零点x，且x>0，则实数a的取值范围是？答案：(1.+∞)8.设曲线y=ax^-ln(x+1)在点(1,2)处的切线方程为y=2x，则a=多少？答案：19.已知偶函数f(x)在[0.+∞)单调递减，f(2)=0，若f(x-1)>0，则x的取值范围是多少？答案：(1.2]10.设函数f(x)=e^x(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x使得f(x)<0，则a的取值范围是？答案：(ln2-1.ln2)11.若函数f(x)=xln(x+1)为偶函数，则a=多少？答案：1/212.设函数f(x)=3^x，则f(-2)+f(log2 12)等于多少？答案：913.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)0成立的x的取值范围是？答案：(-1.0)已知函数 $f(x)=ax^2-ax-x\ln{x}$，且 $f(x)\geq0$。

首先，我们需要找到 $f(x)$ 的零点。

高三数学函数专题训练题（附详解）第1卷（选择题）一、单选题1. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f '(x) < f(x)，且f(-x) = f(2+x)，f(2)=1，则不等式f(x)< e x 的解集为（ ） A.（-∞，2） B.（2，+∞） C.（1，+∞） D.（0，+∞）2. 函数y=sinx+2|sinx|，x ∈[0，2x]的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为（ ）A. k ∈ [0，3]B. k ∈ [1，3]C. k ∈（1，3）D. k ∈（0，3） 3. 已知sina 1+cosa= 2，则 tana =（ ）A. - 43B. - 34C. 43D. 24. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4) = f(x)，当x ∈(0，2)时，f(x)=3x -1，则f(2022)+f(2023)=（ ）A. -2023B. -1C. 1D. 32022 5. 设a=log 20.3，b=0.2，c=（12）0.2，则a,b,c 三者的大小关系为（ ） A. a<b<c B. c<a<b C. b<c<a D. a<c<b6. 设函数f(x)(x ∈R)的导函数为f '(x)，满足f '(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与e a f(0)的大小关系为（ ）A. f(a)>e a f(0)B. f(a)<e a f(0)C. f(a)=e a f(0)D. 不能确定7. 已知f(x)=2x2x +1+ax+cos2x ，若f (π3)=2，则f(-π3)等于（ ）A. -2B. -1C. 0D. 18. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)，A （13，0）为f(x)图像的对称中心，B 、C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的对称轴方程为x=43+4k(k ∈Z)B. 若函数f(x )在区间(0，m)内有5个零点，则在此区间内f(x )有且只有2个极小值点C. 函数f(x )在区间(0，2)上单调递增D. f(x -π3)的图象关于y 轴对称9. 已知函数f(x)={|x|x+4√x 36−x，−4<x<2，2≤x<6,若方程f(x)+αx 2=0有5个不等实根，则实数α的取值范围是（ ）A. (-∞，- √24) ∪ {- 13}B. [- 13，- 14] C. [13，√24] D. ( √24，+∞)∪ { 13} 10. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点，直线l 过点F 2，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AF 1F 2、△BF 1F 2的内切圆的圆心分别为O 1，O 2，则△OO 1O 2面积的取值范围是（ ） A. (1，2√33) B. [1，2√33)C. [1，2√33] D. (1，2√33] 11. 设定义在R 上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f '(x)和g'(x)，若g(x)-f(3-x)=2，f '(x)=g'(x-1)，且g(x+2)为奇函数，g(1)=1。

函数高考专项1、已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．2、设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2＋a 3x (a i ∈R ，i ＝0，1，2，3 )，当x ＝－22时，f (x )取得极大值23，并且函数y ＝f ' (x )的图象关于y 轴对称。

（1）求f (x )的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x )－f (cos x ) | ≤ 223(x ∈R )．3、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）、设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。

4、已知函数()21log 0,2a f x x a a ⎛⎫=>≠⎪⎝⎭， （1）若()()()()2221220081220088,f x x x f x f x f x =+++ 求的值.（2）当()()()1,010,x x f x ∈-=+>时，g 求a 的取值范围.(3)若()()1,g x f x =+当动点(),p x y 在()y g x =的图象上运动时，点,32x y M ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y H x =的图象上运动，求()y H x =的解析式.5、已知函数.21)1()())((=-+∈=x f x f R x x f y 满足 （Ⅰ）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （Ⅱ）若数列)1()1()2()1()0(}{f nn f n f n f f a a n n +-++++= 满足，求列数}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足1433221,41+++++==n n n n n b b b b b b b b S b a ，则实数k 为何值时，不等式n n b kS <2恒成立.6、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.7、已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x f 的表达式；(2)在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值 范围；(3)设0m n ⋅<，0,m n +>0a >且()f x 为偶函数，判断()F m ＋()F n 能否大于零.8、已知二次函数221(),:8直线f x ax bx c l y t t =++=-+,其中(02≤≤，t t 为常数）； 2: 2.l x =若直线l 1、l 2与函数f (x )的图象以及l 1，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）根据图象求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S(t )的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ， 使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m 的值； 若不存在，说明理由．9、若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。

高考数学复习 课时作业10 函数的图象一、选择题1．函数y ＝－e x的图象( D ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析：由点(x ，y )关于原点的对称点是(－x ，－y )，可知D 正确． 2．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( C ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图．观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．3．(2019·重庆六校联考)函数f (x )＝sinπxx2的大致图象为( D )解析：易知函数f (x )＝sinπx x2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足，故选D.4．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( B )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：解法1：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.解法2：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，故选B.5．(2019·福建晋江检测)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( D )解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)．显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.6．下图是1953～2018年我国年平均气温变化图．根据上图，下列结论正确的是( D )A．1953年以来，我国年平均气温逐年增高B．1953年以来，我国年平均气温在2018年再创新高C．2002年以来，我国年平均气温都高于1983～2012年的平均值D．2002年以来，我国年平均气温的平均值高于1983～2012年的平均值解析：由1953～2018年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所以选项A不正确；2018年的年平均气温不是最高的，所以选项B不正确；2014年的年平均气温低于1983～2012年的平均值，所以选项C不正确；2002年以来，只有2012年的年平均气温低于1983～2012年的平均值，所以2002年以来，我国年平均气温的平均值高于1983～2012年的平均值，故选项D正确，故选D.7．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是( D )A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)解析：作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，如图所示，观察图象可知，当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．二、填空题8．(2019·长沙模拟)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14x －22－1，x ∈0，＋∞.解析：当x ∈[－1,0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1；当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1，由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝14，所以y ＝14(x －2)2－1.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14x －22－1，x ∈0，＋∞.9．(2019·内蒙古包头调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．10．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝0.解析：方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11．(2019·河南濮阳一模)设x 1，x 2，x 3均为实数，且π－x 1＝log 2(x 1＋1)，π－x 2＝log 3x 2，π－x 3＝log 2x 3，则( A )A ．x 1<x 3<x 2B ．x 3<x 2<x 1C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 1<x 3解析：画出函数y ＝π－x，y ＝log 2(x ＋1)，y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图象，如图．∵π－x 1＝log 2(x 1＋1)，π－x 2＝log 3x 2，π－x 3＝log 2x 3，∴由图象可得x 1<x 3<x 2，故选A.12．(2019·河南信阳高三一模)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1，2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为1_008.解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4x －2＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用13．(2019·湖北重点高中联考)已知a ＝(－cos x ，sin x ＋f (x ))，b ＝(1，－sin x )，且a ∥b ，则函数f (x )在[－π，π]上的大致图象为( A )解析：解法1：因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝sin x ＋f (x )，所以f (x )＝sin x cos x －sin x ＝sin x (cos x －1)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2(cos π2－1)＝－1<0，所以排除B ，C ，D.解法2：因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝sin x ＋f (x )，所以f (x )＝sin x cos x －sin x ＝sin x (cos x －1)．当x ∈(－π，0)时，sin x <0，cos x －1<0，所以sin x (cos x －1)>0，所以排除B ，C ，D.14．直线y ＝m (m >0)与函数y ＝|log 2x |的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，下列结论正确的是①②④(填序号)．。

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（函数及其性质）练习一、单选题1．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．14．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+ B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 5．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-6．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =8．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知函数21(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =10．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x =11．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．5312．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32- C ．74 D ．52 13．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++14．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数15．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞16．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．18．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞19．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃20．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．21．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称22．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减23．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减24．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x =B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=25．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件26．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭27．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．28．（2019ꞏ浙江ꞏ高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．29．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+30．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦31．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦32．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+33．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．34．（2018ꞏ浙江ꞏ高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．35．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，36．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、多选题37．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=三、填空题38．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数1()f x x=+的定义域是_________． 39．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．40．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________.41．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.42．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．43．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．44．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）函数y =_____.45．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.46．（2019ꞏ浙江ꞏ高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 47．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a __________.48．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．49．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2xx f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．50．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）函数()f x =________． 51．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数())ln 1f x x =-+，()4f a =，则()f a -=________．52．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．四、解答题53．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．54．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.55．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题） 设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．五、双空题56．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________． 57．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．58．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．59．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．参考答案1．D【要点分析】要点分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【答案详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D. 2．A【要点分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【答案详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 3．A【要点分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.4．A【要点分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【答案详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.5．D【要点分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解. 【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ， ()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-. 因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-. 所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.6．B【要点分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【答案详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.7．B【要点分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.8．A【要点分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【答案详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件， 故选：A.9．D【要点分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【答案详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.10．D【要点分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，故选：D.11．C【要点分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点睛】关键点名师点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.12．D【要点分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．13．B【要点分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.14．C【要点分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C15．B【要点分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B16．B【要点分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【答案详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0∞-上递增. 注意到01a =， 所以B 选项符合. 故选：B17．A【要点分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【答案详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．18．D【要点分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【答案详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【名师点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 19．D【要点分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 20．A【要点分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【答案详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 21．D【要点分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错； 1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本要点分析判断能力，属中档题. 22．A【要点分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x-==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减， 所以函数()331f x x x=-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 23．D【要点分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.【要点分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【答案详解】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 25．C【要点分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【答案详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 26．C【解析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【答案详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．【要点分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【答案详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 28．D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【答案详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【名师点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 29．D【要点分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【答案详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 30．B【要点分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，要点分析出临界点位置，精准运算得到解决．【答案详解】(0,1]x ∈ 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【名师点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 31．D【要点分析】画出()f x 图象及直线14y x a =-+，借助图象要点分析．【答案详解】如图，当直线14y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方， 或者直线14y x a =-+与曲线1y x =相切在第一象限时符合要求． 即1124a ≤-+≤，即5944a ≤≤，或者2114x -=-，得2x =，12y =，即11224a =-⨯+，得1a =， 所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【名师点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 32．B【答案详解】要点分析：确定函数y lnx =过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．答案详解：函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点． 故选项B 正确名师点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 33．D【答案详解】要点分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.答案详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 名师点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.34．D【答案详解】要点分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.答案详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.名师点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 35．D【要点分析】要点分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.答案详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .名师点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 【答案详解】 36．C【答案详解】要点分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.答案详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.名师点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 37．BC【要点分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x fx ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC. [方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．38．()(],00,1-∞⋃【要点分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃39．()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【要点分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .。

2023高考数学函数专项练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$，则$f(-2)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 不存在2. 已知函数$f(x) = a^x$，其中$a>0$，当$x=2$时，$f(x) = 8$，则$a$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 83. 设函数$f(x) = \sin(x+\frac{\pi}{4})$，则$f(\frac{\pi}{4}) = $（）A. 0B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. 14. 函数$f(x) = \log_2(x+3)$的定义域为（）A. $(-\infty, -3)$B. $(-3, +\infty)$C. $(-3, +\infty)$D. $[3, +\infty)$5. 已知函数$f(x)$为偶函数，且$f(x) = (x+1)^2-9$，则$f(-4)$的值为（）A. -28B. -12C. 0D. 20二、填空题1. 若$f(x)$为奇函数，且$f(1) = 4$，则$f(-1)$的值为\underline{\hspace{1cm}}。

2. 设函数$f(x) = a\log_2(x-3)$，其中$a\neq 0$，则$f(\frac{1}{2}) = $\underline{\hspace{1cm}}。

3. 若$f(x)$为周期为$2\pi$的偶函数，且$f(\frac{\pi}{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$f(\frac{\pi}{2}) = $\underline{\hspace{1cm}}。

4. 若函数$f(x)$满足$f(x+3) = f(x)$，且$f(1) = 5$，则$f(-2) =$\underline{\hspace{1cm}}。

5. 设函数$f(x) = \sqrt{x-1}$，则$x$的取值范围为\underline{\hspace{1cm}}。