第11讲多元函数微分学_一_09
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z
零点定理：设 Ω ⊆ R 是连通域, f ∈ C (Ω) .若存在两点, P, Q ∈ Ω ,
n
使得 f (P ) ⋅ f (Q ) ≤ 0 , 则存在 Pξ ∈ Ω , f ( Pξ ) = 0 ; 特别是，当 Ω 为凸集( 即： ∀P, Q ∈ Ω ⇒ PQ ⊂ Ω )时，则存在
【解】
显然有：当 ( x, y ) 沿 x 轴或者 y 轴趋向于原点 (0,0)
时, f ( x, y ) 趋向于零,而且当 ( x, y ) 沿从原点出发的任意一条射线趋 向于原点时, 都有 f ( x, y ) 趋向于零. 即
∀a, b ∈ R, lim f (a t , b t ) = 0
t →0
【解】沿 y = kx 趋于零，
xy kx 2 k = lim = ; y = kx , x →0 x 2 + y 2 x → 0 (1 + k 2 ) x 2 1+ k 2 lim lim xy kx 4 k == lim = 2 2 2 4 x → 0 (1 + k ) x , x→0 x + y 1+ k 2
但是, 当 ( x, y ) 沿抛物线 y = x ( x > 0) 从原点趋向于原点时，
2
有
lim f ( x, x 2 ) = lim1 = 1 ≠ 0 ,证明了极限 lim f ( x, y ) 不存在.
x →0 x →0 x →0 y →0
得多.必须要考察动点 ( x, y ) 以各种不同方式趋向于定点 ( x 0 , y 0 ) 时, 函数的变化趋势. z
当 x 沿两条不同的路径趋于 x0 时，函数有两个不同的极限，则函 数的极限不存在
G
G
z
y → y 0 x → x0
ka
累次极限 lim lim f ( x, y ) = lim ϕ ( y ) 与重极限 lim f ( x, y )
y → y0 x →0 y →0
例11.7
1 1 ⎛ ⎜ x sin + y sin , x ⋅ y ≠ 0 y x f ( x, y ) = ⎜ ⎜ 0, x⋅ y = 0 ⎝
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多样性: 自变量变化趋势的多样性，引起多元极限问题的多样性
11.4-3 极限计算：三类极限
例11.1 求 lim
x →0 y →0
( y − x) x x2 + y2
2 2 2
所以 0 ≤| f ( x, y ) − 0 |=
因此由极限定义得到 lim f ( x, y ) = 0 .
x →0 y →0
例11.5
xy x2 y (不存在)； lim (不存在) ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 2 + y 2 ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 4 + y 2 lim
⎧ x = x(u , v) ⎪ 参数式: ⎨ y = y (u , v ) , 表示函数 z = z ( x, y ) . ⎪ z = z ( x, y ) ⎩
三元函数： u = f ( x, y, z )
ww w.
{
ka
例如, D = ( x, y ) a, x < b, c < y < d 是 R 上的开区域；
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11.5 多元函数的连续性： 11.5-1 定义：
lim 连续定义： f ( x) 在 x0 点连续 ⇔ G G f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
G
G
G
z
G G G G G G f ( x ) 在 x0 点连续 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) + o(1), 当x → x0
f (u , v) 在区域 Ω 1 上连续,并且当 ( x, y ) ∈ Ω 时有 (u ( x, y ), v( x, y )) ∈Ω1 ,
则复合函数 f (u ( x, y ), v( x, y )) 也在区域 Ω 上连续. z
多元初等函数在它们的定义区域内部是处处连续的。
例11.9
若 x0 = 0 , lim f ( x, y ) = lim
≤ 2 x ⇒ lim
x →0 y →0
【解】
( y − x) x
x +y
2 2
( y − x) x x2 + y2
= 0.
⎛ xy 例11.2 求 lim ⎜ x → +∞ ⎜ x 2 + y 2 y → +∞⎝
【解】
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
x2
【解】
对于任意的 ( x, y ) ≠ (0,0) ,有 0 < x + y ≤ (| x | + | y |) .
y = kx 2
ww w.
ka
x2+ y2 ≤| x | + | y |≤ 0 |x|+| y|
os
例11.4
设 f ( x, y ) =
x2+y 2 ,研究极限 lim f ( x, y ) 的存在性. x →0 |x|+| y| y →0
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hi
3
⎛ 1⎞ 【解】 lim⎜1 + ⎟ x →∞ x⎠ y →a ⎝
x → x0 x → x0 x → x0
ww w.
G
G
hi
G
G G
2
11.4 多元函数的极限和连续的概念
无穷小： G ; lim G α ( x ) = 0 ⇔ α ( x ) = o(1)
x → x0
G
G
G G ⎧α ( x ) = o(1), β ( x ) = o(1) G G ⇔ α ( x ) = o( β ( x )) G ⎨ G ⎩α ( x ) / β ( x ) = o(1) G G ： f ( x ) = A + o(1) . lim G G f (x) = A
x →0 y →0
一般条件下重极限与累次极限没有关系.
os
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
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4
st ar
z
上面的例子说明,多元函数的极限问题要比一元函数的情形复杂
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x → x0
G GG G ∃δ > 0 ，使得 ∀x ∈ D ,且 0 < d ( x , x 0 ) < δ , 都有 | f ( x ) − a |< ε .
11.4-2 基本性质：
z z z 唯一性：多元函数的极限如果存在，则是唯一的。 线性性： G lim α f ( x ) + β g ( x )] = α G lim lim G [ G f (x) + β G G g (x )
2
{
}
os
}
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1
st ar
其中 x = ( x1 , x2 ,", xn )T ∈ Ω 是自变量， Ω 是这个函数的定义域.
G
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定义11.2 区域的定义, 闭区域的定义。
开区域：非空连通开集。 闭区域：开区域的闭包。
Ω = ( x, y, z ) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 是 R 3 上的闭区域。
11.1-2 多元函数的表示
显式： z = f ( x, y ) ；
隐函数：用方程 F ( x, y, z ) = 0 表示的函数 z = z ( x, y ) ；
x2
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不同的 k 值，即限不同，故极限不存在。 例11.6
2 ⎧ ⎪1, if y = x ,研究 lim f ( x, y ) 的存在性. 设 f ( x, y ) = ⎨ 2 x →0 ⎪ 0 , if y x ≠ ⎩ y →0
n P∈Ω P∈Ω
ww w.
ka
【解】 在 ( x 0 , y 0 ) 点, 若 x0 ≠ 0 , 函数连续;
sin( xy ) ⋅ y = y0 ; x →0 xy
当 y 0 = 0 时, 连续
是有界闭区域, f ∈ C (Ω) ，则 f Ω 上有界.
os
⎧ sin( xy ) ⎪ 考察函数 f ( x, y ) = ⎨ x ⎪ ⎩ 0
11.1-3 常见多元函数的几何意义
z = f ( x, y ) ： R 3 中的曲面的显函数表示；
⎧ x = x(u , v) ⎪ R 中的曲面的参数表示： ⎨ y = y (u , v) ； ⎪ z = z ( x, y ) ⎩
3
⎧ x = x(t ) ⎪ R 中的曲线的参数表示： ⎨ y = y (t ) 。 ⎪ z = z (t ) ⎩
x → x0
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⎧ x = R cos ϕ ⎪ 空间螺旋线参数表示 ⎨ y = R sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π . ⎪ z = aϕ ⎩
