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中考数学复习考点知识讲解与练习 专题11 一次函数-概念与性质在某一个变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果满足这样的关系：y=kx+b(k 为一次项系数且k≠0，b 为任意常数，)，那么我们就说y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量 (又称函数）。
其图象是一条直线，k 的值决定图象的增减性，k 、b 的值决定图象的位置。
本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题主要内容是对一次函数定义、图象的位置、增减性、直线平移、进行巩固练习，为后期综合题训练打下坚实基础。
一、一次函数定义（基本概念、参数取值或取值范围）1．（2022·广西兴宁·南宁三中期末）下列函数中，一次函数是() A ．28y x = B ．18y x -= C ．1y x =+D ．11y x =+ 2．（2022·山东东昌府·期末）下列函数中，y 是x 的一次函数的有（ ） ①y ＝x ﹣6；②y ＝2x 2+3；③y ＝2x；④y ＝8x ；⑤y ＝x 2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．（2022·广西横县·期末）下列函数不是正比例函数的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝﹣4xC ．y ＝﹣6xD ．y ＝﹣6x +54．（2022·四川营山·初二期末）下列函数中，正比例函数是（） A ．2xy =B ．y ＝2x 2C ．2y x=D ．y ＝2x ＋15．（2022·安徽瑶海·合肥38中月考）y=（m-3）x+m 2-9 是正比例函数，则m=_____________6．（2022·山东汶上·初二期末）若25(2)3m y m x -=++是一次函数，则m 的值为（）A ．2B ．－2C ．±2D ．7．（2022·内蒙古科尔沁右翼前旗·初二期末）若函数y=(m-1)x ∣m ∣-5是一次函数，则m 的值为( ) A ．±1B ．-1C ．1D ．28．（2022·山东昌乐·初二期末）已知函数28(3)4m y m x -=++是关于x 的一次函数，则m 的值是（） A ．3m =±B ．3m ≠-C ．3m =-D ．3m =9．（2022·贵州兴仁·初二期末）若函数()232m y m x -=-是正比例函数，则m =_______.二、一次函数图象的位置10．一次函数2y kx =-的图象经过点()1,0-,则该函数的图象不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．一次函数21y x =--的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．如果一次函数y ＝mx+n 的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y ＝nx+m 不经过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．当0b <时，一次函数y x b =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．14．两个一次函数y 1 = mx+n ，y 2 =nx+m ，它们在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．15．一次函数y=3x ﹣6的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．一次函数y=kx+b ，当k ＞0，b ＜0时，它的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．17．直线l 1：y =kx +b 与直线l 2：y =bx +k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．18．一次函数1y ax b 与一次函数2y bx a =-在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．19．直线()32y a x b =-+-在直角坐标系中的图象如图所示，化简||2b a b --______．三、一次函数图象的增减性20．已知一次函数y=kx+b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为() A ．k 1>，b 0<B ．k 1>，b 0>C ．k 0>，b 0>D ．k 0>，b 0<21．一次函数24y x =--的图象上有两点A （﹣3，y 1）、B （1，y 2），则y 1与y 2的大小关系是（） A ．y 1>y 2B ．y 1=y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定22．已知一次函数()371y m x m =--+（m 为整数）的图象与y 轴正半轴相交，y 随x 的增大而减小，当04y <<时，x 的取值范围是（）． A ．10x -<<B ．31x -<<C ．04x <<D ．13x <<23．若点（-3，y 1），（1，y 2）都在直线12y x b =-+上，则y 1、y 2大小关系是（）A ．y 1 < y 2B ．y 1 > y 2C ．y 1 = y 2D ．y 1≥y 224．点()111,P x y ，点()222,P x y 是一次函数43y x =-+图象上的两个点，且120x x <<，则3，1y 与2y 的大小关系是（） A ．213y y <<B ．123y y >>C ．123y y <=D ．123y y =>25．已知点()()()123,,1,3,2,y y -在一次函数5y kx =+的图像上，则12,,3y y 的大小关系正确的是（） A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<26．如图，正比例函数y ＝kx ，y ＝mx ，y ＝nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k ，m ，n 的大小关系是（）A ．n ＜m ＜kB ．m ＜k ＜nC ．k ＜m ＜nD ．k ＜n ＜m27．一个y 关于x 的一次函数同时满足两个条件：①图像经过（1，-1）点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这个函数的解析式为________．28．己知一次函数23y x =-+，当05x ≤≤时，函数y 的最大值是__________． 29．已知，函数y ＝3x +b 的图象经过点A （﹣1，y 1），点B （﹣2，y 2），则y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”） 四、一次函数图象的平移 30．将一次函数12y x =的图象向上平移2个单位，平移后，若0y >，则x 的取值范围是（） A ．4x >B ．4x >-C ．2x >D ．2x >-31．一次函数23y x =+的图象可由直线2y x =向上平移得到，则平移的单位长度是________.32．将一次函数3y x =的图象向上平移2个单位的长度，平移后的直线与x 轴的交点坐标为_________． 33．如果将一次函数132y x =+的图像沿y 轴向上平移3个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为__________．34．将直线24y x =-+先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到的直线l 对应的一次函数的表达式为_____．35．将一次函数2y x =的图象向上平移2个单位后，当0y >时，x 的取值范围是_________．36．将直线12y x =-向上平移一个单位长度得到的一次函数的解析式为_______________.37．解答题：如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象． （1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图像与x 轴的交点坐标38．解答题：已知一次函数y kx b =+，y 随x 增大而增大，它的图象经过点()1,0且与x 轴的夹角为45，()1确定这个一次函数的解析式；()2假设已知中的一次函数的图象沿x 轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与y 轴的交点坐标．39．解答题：已知一次函数y ＝kx －4，当x ＝2时，y ＝－3. (1)求一次函数的表达式；(2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x 轴交点的坐标． 40．解答题：一次函数2y x a =+的图象与x 轴交与点()2,0， （1）求出a 的值；（2）将该一次函数的图象向上平移5个单位长度，求平移后的函数解析式．。
八年级数学培优学案（11）-----函数、一次函数一、 函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 练习：1.如下图所示，不可能表示函数的是2.求下列函数的定义域3.(1)f (x )＝x ＋2x －1；(2)f (x )＝4－x 2x －1；(3)f (x )＝x －1＋1－x .3.小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款数y （元）与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式是 。
自变量x 的取值范围是________4.甲、乙两地相距100千米，汽车以每小时40千米的速度由甲地开往乙地，汽车离乙地的路程s （千米）与时间t （小时）之间的函数关系是______________，自变量的取值范围是__________ 。
二、 一次函数1．一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题11 一次函数与矩形【模型讲解】阅读下列两段材料，回答问题：材料一：点11A x y （、），()22,B x y 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭．例如，点15（，），()3,1-的中点坐标为1351,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即22（，） 材料二：如图1，正比例函数11:l y k x =和22l y k x ：=的图象相互垂直，分别在1l 和2l 上取点A 、B 使得AO BO ＝分别过点A B ，作x 轴的垂线，垂足分别为点C D ，．显然，AOC OBD ≌，设OC BD a ==，AC OD b ==，则A a b （，）-，B b a （，）．．于是1b k a =-，2ak b=所以12·k k 的值为一个常数，一般地，一次函数11y k x b ＝＋，22y k x b ＝＋可分别由正比例函数12,l l 平移得到.所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数11y k x b ＝＋，22y k x b ＝＋的图象相互垂直，则12·k k 的值为一个常数.（1）在材料二中，12·k k =______（写出这个常数具体的值） （2）如图2，在矩形OBAC 中42A （，），点D 是OA 中点，用两段材料的结论，求点D 的坐标和OA 的垂直平分线l 的解析式;（3）若点'C 与点C 关于OA 对称，用两段材料的结论，求点'C 的坐标. 【解答】（1）∵1k =-b a ,2k =a b ,∴k 1•k 2=-b a •ab=-1.故答案为-1.（2）∵点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（4，2），点D 是OA 中点，∴点D 的坐标为（2，1）．∵点A 的坐标为（4，2），∴直线OA 的解析式为y=12x ．∵直线l ⊥直线OA ，∴设直线l 的解析式为y=-2x+m ．∵直线l 过点D （2，1）， ∴1=-4+m ，解得：m=5，∴OA 的垂直平分线OA l 的解析式为y=-2x+5．（3）∵点A 的坐标为（4，2），四边形OBAC 为矩形，∴点C 的坐标为（0，2）．设直线CC′的解析式为y=-2x+n ，∵直线CC′过点C （0，2）， ∴n=2，即直线CC′的解析式为y=-2x+2．联立直线CC′和OA 的解析式成方程组，得：2212y x y x -+⎧⎪⎨=⎪⎩＝， 解得：4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为（4,5 25）∵点E 为线段CC′的中点，∴点C′的坐标为（420,5⨯- 2225⨯-），即（8,5-65）.故答案为(1)-1；(2) ()2,1D ， :25OA l y x =-+；（3）86',55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y mx n m =+≠的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，且与正比例函数2y x =的图象交于点()3,6C .（1）求一次函数y mx n =+的解析式；（2）点P 在x 轴上，当PB PC +最小时，求出点P 的坐标；（3）若点E 是直线AC 上一点，点F 是平面内一点，以O 、C 、E 、F 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F 的坐标.2．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：21y x =-与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，直线2l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点P ，C ，连接AC ，直线1l ，2l 交于点D ．(1)求点D 的坐标，并直接写出不等式12112x x ->-+的解集．(2)求ACD 的面积．(3)若点E 在直线1l 上，F 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝12x ＋m 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，2），直线AC 经过y 轴负半轴上的点C ，且OA ＝OC ． （1）求直线AC 的函数表达式；（2）直线AC 向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB 交于点D ，连结DC ，求△ACD 面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x 轴交于点E ，点M 为直线AB 上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N ，使以点E ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =+的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，将AOB 绕点O 顺时针旋转90°得COD △（点A 与点C 对应，点B 与点D 对应）．(1)直接写出直线CD 的解析式；(2)点E 为线段CD 上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线AB 于点F ，作EG x ∥轴交直线AB 于点G ，当EF EG AD +=时，求点E 的坐标；(3)如图2，若点M 为线段AB 的中点，点N 为直线CD 上一点，点P 为坐标系内一点，且以O ，M ，N ，P 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出其中一种求解点N 坐标的过程． 5．如图，四边形OABC 是菱形，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，射线OC 为x 轴的正半轴，点A 的坐标为(6,8)．(1)菱形OABC 的边长是_______，直线AC 的解析式为__________；(2)若P 为直线AC 上一动点，P 的横坐标为x ，设POA 的面积为(0)S S ≠，求S 与x 之间的函数关系式； (3)点P 在直线AC 上运动过程中，以O 、P 、C 、F 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F 的坐标． 6．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 的函数解析式为2y x b =+，点P 在直线l 上，直线l 与直线AB相交于点1,3C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且(1,0)A -，(3,2)B ．（1）求a 的值及直线l 的解析式；（2）如图1，已知(0,4)D ，若ABP ABD S S =△△，求点P 的坐标；（3）在坐标平面内是否存在一点Q ，使得以P 、A 、Q 、B 为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图1，□ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -、(0,4)B 、(3,2)C 、，点G 是对角线AC 的中点，过点G 的直线分别与边AB 、CD 交于点E 、F ，点P 是直线EF 上的动点． （1）求点D 的坐标和BEFC S 四边形的值；（2）如图2，当直线EF 交x 轴于点(5,0)H ，且PAC BEFC S S =△四边形时，求点P 的坐标；（3）如图3，当直线EF 交x 轴于点(3,0)K 时，在坐标平面内是否存在一点Q ，使得以P 、A 、Q 、C 为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3答案与解析【模型讲解】阅读下列两段材料，回答问题：材料一：点11A x y （、），()22,B x y 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭．例如，点15（，），()3,1-的中点坐标为1351,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即22（，） 材料二：如图1，正比例函数11:l y k x =和22l y k x ：=的图象相互垂直，分别在1l 和2l 上取点A 、B 使得AO BO ＝分别过点A B ，作x 轴的垂线，垂足分别为点C D ，．显然，AOC OBD ≌，设OC BD a ==，AC OD b ==，则A a b （，）-，B b a （，）．．于是1b k a =-，2ak b=所以12·k k 的值为一个常数，一般地，一次函数11y k x b ＝＋，22y k x b ＝＋可分别由正比例函数12,l l 平移得到.所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数11y k x b ＝＋，22y k x b ＝＋的图象相互垂直，则12·k k 的值为一个常数.（1）在材料二中，12·k k =______（写出这个常数具体的值） （2）如图2，在矩形OBAC 中42A （，），点D 是OA 中点，用两段材料的结论，求点D 的坐标和OA 的垂直平分线l 的解析式;（3）若点'C 与点C 关于OA 对称，用两段材料的结论，求点'C 的坐标. 【解答】（1）∵1k =-b a ,2k =a b ,∴k 1•k 2=-b a •ab=-1.故答案为-1.（2）∵点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（4，2），点D 是OA 中点，∴点D 的坐标为（2，1）．∵点A 的坐标为（4，2），∴直线OA 的解析式为y=12x ．∵直线l ⊥直线OA ，∴设直线l 的解析式为y=-2x+m ．∵直线l 过点D （2，1）， ∴1=-4+m ，解得：m=5，∴OA 的垂直平分线OA l 的解析式为y=-2x+5．（3）∵点A 的坐标为（4，2），四边形OBAC 为矩形，∴点C 的坐标为（0，2）．设直线CC′的解析式为y=-2x+n ，∵直线CC′过点C （0，2）， ∴n=2，即直线CC′的解析式为y=-2x+2．联立直线CC′和OA 的解析式成方程组，得：2212y x y x -+⎧⎪⎨=⎪⎩＝， 解得：4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为（4,5 25）∵点E 为线段CC′的中点，∴点C′的坐标为（420,5⨯- 2225⨯-），即（8,5-65）.故答案为(1)-1；(2) ()2,1D ， :25OA l y x =-+；（3）86',55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y mx n m =+≠的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，且与正比例函数2y x =的图象交于点()3,6C .（1）求一次函数y mx n =+的解析式；（2）点P 在x 轴上，当PB PC +最小时，求出点P 的坐标；（3）若点E 是直线AC 上一点，点F 是平面内一点，以O 、C 、E 、F 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F 的坐标. 【答案】（1）3yx ；（2）()1,0P ；（3）()1,7F 或（92，92）.【分析】（1）由A 、C 坐标，利用待定系数法可求得答案；（2）由一次函数解析式可求得B 点坐标，可求得B 点关于x 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与x 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标；（3）分两种情形分别讨论：①当OC 为边时，四边形OCFE 是矩形，此时EO ⊥OC ；②当OC 为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC ；分别求出E 和E’的坐标，然后根据矩形的性质和坐标间的位置关系即可得到点F的坐标.【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象经过点A（−3，0），点C（3，6），∴3036m nm n-+=⎧⎨+=⎩，解得13mn=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x＋3；（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB＋PC的值最小．∵B（0，3），C（3，6）∴B′（0，-3），设直线CB′的解析式为y=kx+b（k≠0），则363k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：33kb=⎧⎨=-⎩，∴直线CB′的解析式为y＝3x−3，令y＝0，得x＝1，∴P（1，0）；（3）如图，①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC，∵直线OC 的解析式为y ＝2x ， ∴直线OE 的解析式为y ＝12-x ，联立312y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩， ∴E （−2，1）， ∵EO ＝CF ，OE ∥CF ，根据坐标之间的位置关系易得：F （1，7）；②当OC 为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC ， ∴直线OE′的解析式为y ＝−x ， 由3y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴E′（32-，32），∵OE′＝CF′，OE′∥CF′，根据坐标之间的位置关系易得：F′（92，92），综上所述，满足条件的点F 的坐标为（1，7）或（92，92）．【点评】本题考查一次函数综合题、轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短路径问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：21y x =-与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，直线2l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点P ，C ，连接AC ，直线1l ，2l 交于点D ．(1)求点D 的坐标，并直接写出不等式12112x x ->-+的解集．(2)求ACD 的面积．(3)若点E 在直线1l 上，F 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．ACDBCDABCSSS=-即可求解；为边和对角线两种情况讨论，结合图象即可求解． ACDBCDABCSSS=-12BC =）存在，F 的坐标为()11-，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，-， ①当BC 为矩形的边时，如图，四边形BCEF 是矩形，则CE BC ⊥CE x ∴∥轴，BF x ∥轴()0,1C ，()0,1B -设(),1E m ，E 点在直线1l ：21y x =-上，211m ∴-= 解得1m =1F x ∴=()1,1F ∴-；②如图，当BC 为矩形的对角线时，1OB OC ==，O 是对角线的交点，()()430,1,,,0,155C D B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 2222432543452,1,1555555BC CD BD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+-==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222416455CD BD BC ∴+=+==，BCD ∴△是直角三角形，且90ADC ∠=︒∴当BC 为矩形BECF 的对角线时，,D E 两点重合，O ∴也是DF 的中点，由中心对称可得43,55F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭综上所述，F 的坐标为()11-，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，-． 【点评】本题考查了两直线交点问题，直线与坐标轴交点问题，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，综合运用以上知识是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝12x ＋m 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，2），直线AC 经过y 轴负半轴上的点C ，且OA ＝OC ．（1）求直线AC 的函数表达式；（2）直线AC 向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB 交于点D ，连结DC ，求△ACD 面积；（3）在（2）的条件下，平移后的直线与x 轴交于点E ，点M 为直线AB 上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N ，使以点E ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4y x =--；（2）18；（3）193,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(11,12)． 【分析】（1）根据点B 在直线12y x m =+上，可求得直线AB 的解析式，进而可求得点A 的坐标；由OA =OC ，可得点C 的坐标，用待定系数法则可求得直线AC 的表达式；（2）根据题意，可求得直线AC 向上平移9个单位后的直线解析式，联立此解析式与直线AB 解析式，可求得点D 的坐标；过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，则根据ACD ABC DBC S S S =+△△△，即可求得结果；（3）分三种情况讨论：分别以ED 、EM 、EN 为矩形的对角线这三种情况；利用两直线垂直，函数解析式中一次项系数之积为-1，以及矩形对角线互相平分的性质，可得方程组，可求得点N 的坐标．1BC OA BC DF+214+62⨯⨯⨯2=18（3）令+50y x =-=，得x =5∴E (5，0)∵点M 在直线122y x =+上 ∴设点M 的坐标为1,22t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ①当点E 、D 、M 、N 是以ED 为对角线的矩形时，则ME ⊥MD∴1ME MD k k =-即：1120+2322152t t t t +--⨯=--- 解得：2t =或165t = ∵矩形的对角线相互平分故有：E D M N ED M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴ 5210322N N t x t y +=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩当t =2时，点M 坐标为(2，3)，故点M 与点D 重合，不合题意当165t =时，195N x =，35N y =- 即点N 的坐标为193,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ ②当点E 、D 、M 、N 是以EM 为对角线的矩形时，则DE ⊥DM则1DE MD k k =-即113021252t t --⨯=--- 解得t =2，即点M 与点D 重合，不合题意③当点D 、E 、M 、N 是以EN 为对角线的矩形时，则ME ⊥ED则1ME ED k k =-即1+203021255t t --⨯=--- 解得：t =14∴M (14，9)∵矩形的对角线相互平分∴E N M D E N M D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩即5142093N N x y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴11N x =，12N y =即点N 的坐标为(11，12)综上所述，满足条件的点N 的坐标为193,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(11,12) 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，平面直角坐标系中求图形的面积，求两直线交点坐标，矩形的性质等知识，涉及分类讨论，数形结合等数学思想，其中第（3）小题比较难，探索以四点为顶点的矩形的存在问题，是中考常考的压轴题型．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =+的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，将AOB 绕点O 顺时针旋转90°得COD △（点A 与点C 对应，点B 与点D 对应）．(1)直接写出直线CD 的解析式；(2)点E 为线段CD 上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线AB 于点F ，作EG x ∥轴交直线AB 于点G ，当EF EG AD+=时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．将∥轴，EG x∴点G的纵坐标为将122y a =-+代入一次函数24y x =+得：12422x a +=-+， 114x a ∴=--，即点G 的横坐标为114a --， 1524(2)222EF a a a ∴=+--+=+，15(1)144EG a a a =---=+， (2,0)A -，(4,0)D ，6AD ∴=，EF EG AD +=，∴5521624a a +++=，45a ∴=， ∴点E 的坐标为4(5，8)5；（3）解：①OM 为矩形的边时，如图，分别过点O 、M 作ON OM ⊥交直线CD 于N ，作MN OM '⊥交直线CD 于N '，在分别过点N 、N '作NP ON ⊥交直线MN '于P ，作N P MN ''⊥'交直线ON 于P '，则四边形MONP 、四边形MN P O ''均为矩形，(2,0)A -，(0,4)B ，点M 为线段AB 的中点，(1,2)M ∴-，12OM AM BM AB ===， 将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒得COD ∆，AOB COD ∴∆≅∆，2OA OC ，OAB OCD ∠=∠，AB CD =，ON OM ⊥，90MON ∴∠=︒，90AOB ∠=︒，(0,2)C ，(2,1)N ∴设直线ON 12m ∴=，MN OM '⊥MN '∴∥∴可设直线将(1,M -(1,2)M-，(0,2)C，MC y∴⊥轴，四边形MNOP为矩形，MN y∴⊥轴，∴点N与点C重合，(0,2)N∴．综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为(2,1)或1(4，9)4或(0,2)．【点评】本题是一次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度．5．如图，四边形OABC是菱形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，射线OC为x轴的正半轴，点A 的坐标为(6,8)．(1)菱形OABC的边长是_______，直线AC的解析式为__________；(2)若P为直线AC上一动点，P的横坐标为x，设POA的面积为(0)S S≠，求S与x之间的函数关系式；(3)点P在直线AC上运动过程中，以O、P、C、F为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F的坐标．【答案】(1)10；220y x =-+(2)S =1060(6)1060(6)x x x x -+<⎧⎨+>⎩(3)点F 的坐标为(10,20)或(2,4)-【分析】（1）先求出OA 的长，再根据菱形的性质可得OC 的长，设直线AC 的解析式：y =kx +b （k ≠0），待定系数法求解析式即可；（2）根据题意，先表示出点P 纵坐标，当x ＜6时，S =S △COP -S △COA ，当6＜x ≤10时，S =S △AOC -S △COP ，当x ＞10时，S =S △AOC +S △COP ，即可表示出S 与x 的函数关系式；（3）分情况讨论：①当∠OP 1C =90°时，②当∠P 2OC =90°时，③当∠OCP =90°时，分别先求出点P 坐标，根据矩形的性质即可求出点F 坐标．（1）解：∵点A 坐标为（6，8），∴OA =2268+=10，∴菱形OABC 的边长为10，在菱形OABC 中，OA =OC ，∴OC =10，∵射线OC 为x 轴的正半轴，∴C 点坐标为（10，0），设直线AC 的解析式：y =kx +b （k ≠0），将点A （6，8），点C （10，0）代入解析式，得68100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得:220k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式：y =-2x +20，故答案为：10，y =-2x +20；（2）解：∵P 为直线AC 上一动点，P 的横坐标为x ，∴点P 的纵坐标为-2x +20，∵S ≠0，∴x ≠6，当x ＜6时，S =S △COP -S △COA =12×10(−2x +20)-12×10×8=-10x +60，当6＜x ≤10时，S =S △AOC -S △COP =12×10×8−12×10(−2x +20)=10x -60，当x ＞10时，S =S △AOC +S △COP =12×10×8+12×10×(2x −20)=10x -60，综上，S =1060(6)1060(6)x x x x -+<⎧⎨+>⎩； （3）解：以O 、P 、C 、F 为顶点的四边形是矩形，分情况讨论，如下图所示：①当∠OP 1C =90°时，∵OA =OC ，∴P 1为AC 的中点，∵A （6，8），C （10，0），∴P 1坐标为（8，4），∵四边形OP 1CF 1为矩形，∴点F 1坐标为（2，-4）；②当∠P 2OC =90°时，此时点P 2坐标为（0，20），∵四边形OP 2F 2C 是矩形，∴点F 2坐标为（10，20），③当∠OCP =90°时，不存在满足条件的点F ，综上，点F 坐标为（2，-4）或（10，20）．【点评】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数求解析式，菱形的性质，矩形的性质，分段函数等，熟练掌握以上性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．6．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 的函数解析式为2y x b =+，点P 在直线l 上，直线l 与直线AB相交于点1,3C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且(1,0)A -，(3,2)B ．（1）求a 的值及直线l 的解析式；（2）如图1，已知(0,4)D ，若ABP ABD S S =△△，求点P 的坐标；（3）在坐标平面内是否存在一点Q ，使得以P 、A 、Q 、B 为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）53-，23y x =+；（2）213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)--；（3）存在，115,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1)-，167,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先用待定系数法求出直线AB 的解析式，再求出C 点坐标，把C 点坐标代入直线l 的函数解析式求出b 的值；（2）先用水平宽乘铅垂高除以2的方法求出ABD △的面积，再设P 点为(,23)p p +，用同样的方法表示出ABP 的面积，列式求出p 的值得到点P 坐标；（3）根据题意分析出以P ，A ，B 为顶点的三角形是直角三角形，然后分三种情况进行讨论，利用两直线垂直，一次项系数乘积为-1，列式求出点P 的坐标，再根据矩形的性质对角线互相平分求出点Q 的坐标．【解答】解：（1）设AB 直线为y kx b =+，把(1,0)A -，(3,2)B 代入得023k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 为：1122y x =+， 把13y =-代入AB 解析式，解得53x =-， 53a ∴=-，∴C 为51,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 把51,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入2y x b =+，得3b =， ∴l 解析式为23y x =+；（2）记直线AB 与y 轴交于点E ，由AB 为1122y x =+可知E 为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()1114(31)7222ABD B A S DE x x ⎛⎫∴=⋅-=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭， 设P 点为(,23)p p +，过点P 作PM ⊥x 轴，交AB 于M 点，则M 为11,22p p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则()1111(23)(31)2222ABP B A S PM x x p p ⎛⎫=⋅-=⨯+-+⨯+ ⎪⎝⎭|35|p =+， |35|7p ∴+=，解得23p =或-4， 则P 点为213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)--； （3）以P ，A ，Q ，B 为顶点的四边形为矩形，即以P ，A ，B 为顶点的三角形是直角三角形， 设P 点为(,23)p p +，()1,0A -，()3,2B ，()()222212351410AP p p p p =+++=++，()()22223215210BP p p p p =-++=-+，()22231220AB =++=①当A 为直角顶点，即1P A AB ⊥，222AP AB BP +=，即2251410205210p p p p +++=-+，解得：54p =-，151,42P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 根据A ，Q 中点即为1P ，B 中点，依据中点坐标公式可写出Q 为115,42⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当B 为直角顶点，即2P B AB ⊥，222BP AB AP +=，即2252102051410p p p p -++=++，解得：54p =，2511,42P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 同理写出Q 为117,42⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③当P 为直角顶点，即PA PB ⊥，222BP AP AB +=，即2252105141020p p p p -++++=，解得：0p =或65-， 当3P 为(0,3)时，Q 为(2,1)-，当4P 为63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭时，Q 为167,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点为115,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1)-，167,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质以及解析式的求法，掌握解一元二次方程的方法，还需要结合三角形面积、矩形的性质等几何定理，运用数形结合的思想进行求解． 7．如图1，□ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -、(0,4)B 、(3,2)C 、，点G 是对角线AC 的中点，过点G 的直线分别与边AB 、CD 交于点E 、F ，点P 是直线EF 上的动点．（1）求点D 的坐标和BEFC S 四边形的值；（2）如图2，当直线EF 交x 轴于点(5,0)H ，且PAC BEFC S S =△四边形时，求点P 的坐标；（3）如图3，当直线EF交x轴于点(3,0)K时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2图3【答案】（1）（2，−2），7；（2）点P的坐标为（173，−16）或（−113，136）；（3）点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（133，−23）或（−73，83）．【分析】（1）根据平行线的性质可求点D的坐标，根据重心的定义可得S四边形BEFC＝12S▱ABCD从而求解；（2）分两种情况：①点P在AC左边，②点P在AC右边，进行讨论即可求解；（3）先作出图形，再根据矩形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（−1，0）、B（0，4）、C（3，2），∴点D的坐标为（2，−2），∴S▱ABCD＝6×4−12×1×4−12×3×2−12×1×4−12×3×2＝14，∵点G是对角线AC的中点，∴S四边形BEFC＝12S▱ABCD＝7；（2）∵点G是对角线AC的中点，∴G（1，1），设直线GH的解析式为y＝kx＋b，则1{50k bk b++＝＝，解得1454kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线GH的解析式为y＝−14x＋54；①点P在AC右边，S△ACH＝12×6×2＝6，∵S△PAC＝S四边形BEFC，1＋4×76＝173，当x＝173时，y＝−14×173＋54＝−16，∴P（173，−16）；②点P在AC左边，由中点坐标公式可得P（−113，136）；综上所述，点P的坐标为（173，−16）或（−113，136）；（3）如图，设直线GK的解析式为y＝kx＋b，则1{30k bk b++＝＝，解得1232kb⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝＝，则直线GK的解析式为y＝−12x＋32，CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）；CP⊥AC时，直线AC的解析式为y＝12x＋12，直线CP的解析式为y＝−2x＋8，故点P的坐标为（133，−23）；AP⊥AC时，同理可得点P的坐标为（−73，83）；综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（133，−23）或（−73，83）．【点评】本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2019-2020年中考数学培优复习第11讲一次函数
一：【知识梳理】
1. 一次函数的意义及其图象和性质
（1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是
因变量〕特别地，当b 时，称y是x的正比例函数．（2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经
过点( ， ),( ，）的一条直线，正
比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条
直线，如右表所示．
（3）一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而；当k＜0时，y的值随x值的增大而．（4）直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．
①直线经过第象限（直线不经过第象限）；
②直线经过第象限（直线不经过第象限）；
③直线经过第象限（直线不经过第象限）；
④直线经过第象限（直线不经过第象限）；
2.一次函数表达式的求法
（1）待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解析式的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。
（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：①；②得到关于待定系数的方程或方程组；③从而写
出函数的表达式。
（3）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。
二、【典型例题】
【例1】已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.
⑴求这个一次函数的解析式.
⑵试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.
⑶求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
例2某农户种植一种经济作物，总用水量（米）与种植时间（天）
之间的函数关系式如图所示．
⑴ 第天的总用水量为多少米？ ⑵ 当时，求与之间的函数关系式．
⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米？
三、当堂检测
1．(xx·重庆)已知正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则这个正比例函数的解析式为( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝－2x
C ．y ＝12x
D ．y ＝－12
x
2．在下列一次函数中， y 随x 的增大而减小的是( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝3x －1 C ．y ＝0.1x ＋3 D ．y ＝3－x
3．(xx·资阳)一次函数y ＝－2x ＋1的图象不经过下列哪个象限( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．(xx·徐州)将函数y ＝－3x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为( )
A ．y ＝－3x ＋2
B ．y ＝－3x －2
C ．y ＝－3(x ＋2)
D ．y ＝－3(x －2)
5．(xx·汕尾)汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的函数关系的大致图象是( )
6．(xx·孝感)如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x 的不等式－x ＋m ＞nx ＋4n ＞0的整数解为( )
A ．－1
B ．－5
C ．－4
D ．－3
7．(xx·云南)写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数y ＝kx(k≠0)的解析式(关系式)__ __．
8．(xx·贺州)已知P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)是正比例函数y ＝x 的图象上的两点，则y 1__ __y 2.(填“＞”或“＜”或“＝”)
9．(xx·烟台)如图，已知函数y ＝2x ＋b 与函数y ＝kx －3的图象交于点P ，则不等式kx －3＞2x ＋b 的解集是__ __．
10．(xx·济南)如图，直线y ＝－
3
3
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿着直线AB 翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是__ __．
,第10题图) ,第11题图)
11．一辆汽车在行驶过程中，路程y (km)与时间x (h)之间的函数关系如图所示，当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y ＝60x ，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为__ _．
12．(xx·自贡)一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x≤4时，3≤y ≤6，则b
k 的值是__ __．
13．已知直线l 1∶y ＝－4x ＋5和直线l 2∶y ＝1
2x －4，求两条直线l 1和l 2的交点坐标，
并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限内．
14．如图，直线l 1∶y ＝x ＋1与直线l 2∶y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值；
(2)不解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，
y ＝mx ＋n ，
请你直接写出它的解；
(3)直线l 3∶y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．
15．(xx·上海)已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm )之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻
度线及其对应水银柱的长度．
水银柱的 长度x(cm ) 4.2 … 8.2 9.8 体温计的 读数y(℃)
35.0
…
40.0
42.0
(1)求y 关于x (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm ，求此时体温计的读数．
16．(xx·苏州)如图，已知函数y ＝－1
2x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与
函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点P(a ，0)(其中a ＞2)，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y ＝－1
2
x ＋b 和y ＝x 的图象于点C ，D.
(1)求点A 的坐标；
(2)若OB ＝CD ，求a 的值．
17．(xx·湖州)已知某市xx 年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图．
(1)当x≥50时，求y 关于x 的函数关系式；
(2)若某企业xx 年10月份的水费为620元，求该企业xx 年10月份的用水量； (3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自xx 年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按xx 年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x
20元．若某企业xx 年3月份的水费和污
水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
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