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结构动力学振动分析的矩阵迭代法

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有限元法与程序-结构振动3

有限元法与程序-结构振动3

（1）标准Lanczos法
设标准特征值问题
K {x} {x}
其中：K为n×n阶矩阵。首先选取适当的初始迭代
向量｛U1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1计算
{U k 1} ( K{U k } k {U k } k {U k 1}) / k 1
1 0
其中，
k {U k }T K{U k }
{ x} 1{ y1 } 2 { y 2 } q { y q } i { y i } Y { }
i 1 q
由Rayleigh商得
{x}T K {x} { }T Y T KY{ } R({x}) T {x} M{x} { }T Y T MY{ }
2. 子空间迭代法 由上节讨论知道，逆迭代法可以使迭代向量向 最低阶特征向量靠近。利用这一点，把逆迭代 法和Rayleigh-Ritz法相结合，交替使用逆迭代 法和Rayleigh-Ritz法，即用逆迭代中的初始向 量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子 空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间 中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新 的Ritz基向量，即迭代向量。不断改善Ritz向 量基，使得Ritz基向量空间不断向原问题的q 阶向量空间靠拢，从而求得越来越精确的解， 这就是子空间迭代法的基本思想 。
令β1=1，作 （1） k {U k }T M{uk }
（2） {wk } {u k } k {U k }
T { w } M{wk } （3） k 1 k
（4） {U k 1} {wk } / k 1
（5） {uk 1} K 1 M{U k 1} k 1{U k }
2({}T M {})K {} 2({}T K {})M {} {0}

结构动力学振动分析的矩阵迭代法

结构动力学振动分析的矩阵迭代法
1.000 0.733 0.400
（2） 1
18.10 12.10 5.80
（2） 1
1.000 0.669 0.320
（3） 1
17.296 11.296 5.287
（3） 1
1.000 0.653 0.306
（4） 1
17.121 11.121 5.182
（4） 1
1.000 0.650 0.303
其中
D2 DS1
（13-31） （13-32） （13-33）
此时，可用下式近似计算频率
式中
22 （（（2211）））mTm2(1)(20)
（1） 2

D
（0）
22
（13-34）
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。
一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
ˆn n2k 1mˆn
（13-2） （13-3）
D k 1m （动力矩阵） （13-4）
ˆn n2Dˆn
（13-5）
先假定试探位移向量（10），使它尽可能接近第一振型的
形状，而振幅是任意的。即：
（1） 1

n2 D（1 0）
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。

或
（1） 1

N

n 1
Dφ
nn2Yn(0)(n1
)2
φ n n2Dφ n
（13-17） （13-18）
将其代入式（13-17）得
（1） 1

第十三章 振动分析的矩阵迭代法

第十三章 振动分析的矩阵迭代法

(13-27)
M1
不包含第一振型的试探形状为
0 0 20 v v 1Y 2 1
(13-28)
§13.4 高阶振型分析 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1
2 v 0 v 0 2 1 11T mv 0 S1v 0 2 2 M1
ˆ ˆ v=n 2Dvn
v1 =Dv1
1 0
(13-5)
(13-5a)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学

1
2 1
1 =v1 v
1 1
(13-6*)
考虑任一点k的位移
1
12
1 vk0 =vk1 1
(13-7*)
2 1
0 v
k1 1 vk1
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.1 3
2s

(13-23)
最终结果可视为
v1
s
1Y1(0) 1 (0) max(1Y1 )
(13-24)
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
(13-32)
D2 =DS1
(13-33)
此时可用下式计算频率
2 2 (1)

(1) T (v 2 ) mv(0) 2 (1) (1) v 2 mv 2
(13-34)
v 2 D 2 v(0) 2
§13.4 高阶振型分析 第三和更高振型的分析
高等结构动力学
净化了的第三振型的形状为
(0) 3 v (0) Y (0) Y (0) v 3 1 1 2 2
N
k
i

《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解

《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解

A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI

r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G

i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G

1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin

2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1


ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x

4
代入得

a
2
a2
0 2

a
1
2

a
3 i

a
4 i

a

结构动力学6-2014

结构动力学6-2014

Sm k
1
ˆ Sv
(i )
ˆ v
2
( i 1)
工程抗震研究所 Institute of Earthquake Engineering DUT
刘君 2014-11-16
5
(0) ˆ v
1 1 1
ˆ S v
(0)
大连理工大学土木水利学院 Dalian University of Technology
大连理工大学土木水利学院 Dalian University of Technology
M
1
1 0 0 0 0.5 0 0 0 1
1 0 1 0 0 2 1 0 2 1 S M K 0 0.5 0 1 2 1 0.5 1 0.5 1 2 0 0 1 0 1 2 0
1 0 0 0 2 0 M 0 0 1
2 1 0 1 2 1 K 0 1 2
Dk m
1
ˆ Dv
(i )

1

2
( i 1) ˆ v
9
工程抗震研究所 Institute of Earthquake Engineering DUT
Sm k
1
ˆ Sv
(i )
ˆ v
2
( i 1)
工程抗震研究所 Institute of Earthquake Engineering DUT
刘君 2014-11-16
7
无阻尼自由振动运动方程
ˆ 0 [k m]v
2
大连理工大学土木水利学院 Dalian University of Technology

大型结构振动分析方法

大型结构振动分析方法

对于等截面杆均匀杆，其单元质量矩阵为：
6.1.3 坐标转换
140 0 0 70 0 0
0
156
22l
0
54
13l
Μe
ml 420
0 70
22l 0
4l 2 0 13l 0 140 0
3l 2
0
0 54 13l 0 156 22l
0
13l 3l 2
0
22l
4l 2
单元特性矩阵是在局部坐标系下建立的，但是在考虑节点力的平衡和位移连续
在动力问题中，位移是空间坐标和时间坐标的函数。一般采用在空间中 离散结构的方法。
单元与结点划分： 单元：均质等截面直杆。 结点：杆件两端、断面突变位置、集中质量位置。
基本未知量：结点的位移和转角。 由变形协调条件可知，某结点的位移也就是汇交于此结点处的各
杆的杆端位移。确定了以结点位移为参数来表达杆内任一点位移函数 后，不难进一步写出惯性力、阻尼力、弹性内力等各种量的表达式。 这样通过限单元法便将一个原无限自由度体系动力问题转变成一个以 有限个结点位移为广义坐标的多自由度体系的动力问题。
(1)外荷载作用下的杆端力列阵 FGe
单元两端位移和转角为零。单元 上作用任意分布的外载荷，计算 该外载荷引起的杆端的弯矩。
杆元作用任意载荷，图（a）给出 了杆端力的正向。 另假设一个杆元，没有外载荷作
用，仅在i端发生单位角位移。
功的互等定理：图(a)杆元载荷在图(b)杆元变形上做的功等于图(b)
x l u (l,t) u j (t)
可解出
a0 (t) ui (t)
1 a1(t) l [u j (t) ui (t)]
u
(
x,

结构动力学7

结构动力学7

{ψ } [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = {ψ }T [ M ]{ψ }
T
若假设振型{ψ}接近结构的基本振型，则Rayleigh熵为：
{ψ }T [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = ≈ ω12 {ψ }T [ M ]{ψ }
7.1 Rayleigh法 ——近似的证明
假设振型可表示为结构固有振型的线性组合
{ } = ∑{φ}iYi = [φ ]{Y } ψ
i =1
N
设振型为正交归一化振型，则Rayleigh熵可表示为
{Y }T [φ ]T [K ][φ ]{Y } = N Y 2ω 2 / N Y 2 ρ (ψ ) = T T ∑i i ∑i {Y } [φ ] [M ][φ ]{Y } i =1 i =1
7.2 Rayleigh-Ritz法 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的 近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的 结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。 Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固 有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的 振型。 Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其 Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程 组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振 频率和自振振型。
7.1 Rayleigh法
结构最大动能：
T=
1 2 2 Z ω {ψ }T [ M ]{ψ } cos2 ωt 2
E=
1 2 Z {ψ }T [ K ]{ψ }sin 2 ωt 2
Tmax
：
Emax
1 2 = Z {ψ }T [ K ]{ψ } 2
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学

(同济大学)结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法

(同济大学)结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法

（2） 求解位移向量： [K ]{x}t+θ∆t = {R}t+∆t
{x}t+∆t = a4 ({x}t+θ∆t − {x}t ) + a5{x}t + a6{
（3） 求解加速度、速度、位移向量：{x}t+∆t = {x}t + a7 ({x}t+∆t + {x}t ) {x}t+∆t = {x}t + ∆t{x}t + a8 ({x}t+∆t + 2{x}
（{Q}t+θ∆t = {Q}t +θ ({Q}t+∆t −{Q}t )） 以位移 {x}t+θ∆t 为未知量建立求解方程，即：
[K ]{x}t+θ∆t = {R}t+θ∆t
式中，
[K ] = [K ] + 1 [M ] + 3 [C]
(θ∆t ) 2
θ∆t
{R }t +θ∆t
= {Q}t
+ θ ({Q}t+∆t
x
xt+∆
t + ∆t
用同样方法处理位移
泰勒展开：{x}t+∆t
= {x}t
+ {x}t ∆t +
1 {~x}∆t 2 2
类似地设 t → t + ∆t 时间间隔内：{x} = {x}t + 2δ ({x}t+∆t − {x}t )
(0 ≤ δ ≤ 0.5)
{x}t+∆t = {x}t + {x}t ∆t + (0.5 − δ ){x}t ∆t 2 + δ {x}t+∆t ∆t 2
与原矩阵a相关联的矩阵设矩阵a的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量仍为非奇异则的逆矩阵存在为其特征值相似即有可逆矩阵存在使的特征值也为特征向量为特征值的和与积设矩阵的特征值为则有供校核用特征向量规范化设矩阵的特征向量为的特征向量

第五章 结构动力学中常用的数值解法1

第五章 结构动力学中常用的数值解法1

第五章结构动力学中常用的数值解法§5.1概述数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。

工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析标准特征值问题和广义特征值问题1 雅可比方法（Jacobi）、2.Rayleigh-Ritz3.子空间迭代法4. 行列式搜索法行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。

它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。

因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。

此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。

nczos法Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。

响应数值分析：1.中心差分法2.Wilson -θ法3.Newmark 法响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。

综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析对于载荷，一般分为波传导载荷与惯性载荷。

对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。

对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。

对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法§ 5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法1.邓柯利法：是邓柯利首先通过实验方法建立起来的一个计算公式，后来才得到完整的数学证明。

[]M []δ设质量矩阵，柔度矩阵为则有{}[][]{}0x M x δ+=1894年邓柯利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）设系统作j 阶主振动,则有：2()2{}{}sin {}j j j j x A t x ωωω=-=-代入得特征方程：21([][][]){}0jM I x δω-=有111112*********2222222112221101n njn njn n n n nn nn jm m m m m m m m m δδδωδδδωδδδω--=-假设质量矩阵为对角阵，展开得：1111222222(1)11()nn nn n n jjm m m δδδωω--++++=根据多项式的根与系数之间的关系21jω211ω22211nωω的n 个根，之和为1111222222212111nn nnnm m m δδδωωω+++=+++由于二阶频率往往比基频高得多22221111n ωωω111122222111nnn nn ii ii i m m m m δδδδω==+++=∑22211n ωω得忽略111nii iii mωδ==∑ii ii m ω表示仅有质量单独存在时（原多自由度系统变成单自由度系统）的固有频率1ii ii ii ii iik m m ωδ==设2222111221111nnωωωω=+++如例题1m 2m 3m 3331122339169768768768l l l EI EI EI δδδ===22113331117689EI m l m ωωδ===⨯222322176816EI m l m ωδ==⨯333211921634768768768l m l m l mEI EI EIω⨯=+=134.752EImlω=134.933EImlω=精确解2.雅可比（Jacobi ）法求特征方程[]A 设为对称阵，[]{}{}A x x λ=12[][][][](,,)Tn S A S D diag d d d ==即可断定[D]的n 个对角元素就是[A]的n 个特征值，而[S]的第i 列就是[D]中第i 个对角元素所对应的特征向量，[S]为坐标变换矩阵。

第七章 结构振动的有限元分析

第七章 结构振动的有限元分析
Байду номын сангаас
7.1.1 结构振动分析的基本方程 描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与前面的静 力问题类似，但增加了惯性力项和阻尼力项，且所有的 变量都将随时间而变化 结构振动的三大类变量 位移 应变 应力 是坐标位置ξ(x,y,z)和时间t的函数。
结构振动的三大类方程及边界/初始条件 结构振动的三大类方程及边界 初始条件 平衡方程(考虑惯性力和阻尼力)
第7章 结构振动的有限元分析 章 7.1 结构振动分析的基本原理 结构的振动分析将涉及到 模态分析(modal analysis)、 瞬态动力学分析(transient dynamics analysis)、 简谐响应分析(harmonic response analysis)、 随机谱分析(spectrum analysis)等方面， 其中结构的模态分析(固有频率与振型)将是所有振动分析的 基础，下面将就结构的模态分析进行阐述。
杆单元的质量矩阵 质量矩阵分为两种，即一致质量矩阵和集中质量矩阵。 (1)一致质量矩阵 对于二节点杆单元，在局部坐标内有节点位移列阵和形状 函数矩阵
相应的质量矩阵为
所谓一致质量矩阵（consistent mass matrix）是指推导质量 矩阵时与推导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一 致”。
7.1.3 常用单元的质量矩阵
结构振动分析将涉及到结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼 矩阵，由(7-17)式可知，动力学问题中的刚度矩阵与静力 问题的刚度矩阵完全相同，而质量矩阵则通过(7-15)式来 进行计算，对于一种单元，只要得到它的形状函数矩阵， 就可以容易地计算出质量矩阵；由阻尼矩阵的计算公式 (7-16)可知，它的计算与质量矩阵相同，只是有关的系数 不同而已。下面给出常见单元的质量矩阵。

刚度矩阵

刚度矩阵
RXY ( t1 , t 2 ) xypXY ( x , t1 ; y, t 2 )dx

(2)
2-2）自相关函数 当X(t2)=Y(t2)时,上式结果称相关函数,记作RX(t1,t2).
6.1.3 随机过程的数字特征
3）方差函数
E{[ X (t1 ) m X (t1 )][Y (t 2 ) mY (t 2 )]} C XY (t1 , t 2 ) (3)
5.2 迭代法求频率、振型
5.2.4 求高阶振型和频率 从 {A}0=aiin{X}i (b) 可以看到，如果a1=0（初始向量不包含第一振型时） 像上小节证明，迭代将收敛于第二振型。如果a1=0、 a2=0，则将收敛于第三振型，其余可类推。 教材上利用振型正交性具体推导了滤去低阶振型的 过滤矩阵求法，限于学时，这里不再细说，仅给出过 滤矩阵和动力矩阵的一般公式 过滤矩阵 [Sj]=[Sj-1]-{Aj}{Aj}T[M] (14) 动力矩阵 [Dj+1]=[D][Sj] (15) 利用改造后的动力矩阵，进行迭代即可得到高阶频 率和振型。Vibra程序中包含这种解法。
6.1.4 随机过程按统计特征分类
如果随机过程X(t)的均值为常数，且相关函数只与 时间差=t2-t1有关，则称此过程为弱平稳随机过程。 若随机过程X(t)的任意阶分布函数当时间参数平移 时都保持不变，则称此过程为强平稳随机过程。 一般只讨论弱平稳随机过程。
6.1.5 随机过程的时域特征
补充讲义里还介绍了五点特征，其主要的特征可用 下图示意。(P.3~4)
5.1 能量法求基本频率
5.1.1 单自由度求频率 单自由度无阻尼自由振动解答为Asin(t+)， 当t+=n时位移等于零，因此势能为零，速度为 A，动能为m(A)2/2。 当t+=(n+1)/2时，速度为零、动能等于零，位 移为A，势能为kA2/2。 由无阻尼、能量守恒可得 Tmax=m(A)2/2=kA2/2=EP,max 设=1时最大动能为Tmax，由此即可得 =(EP,max/Tmax)1/2 (1)

5-结构动力学(有限元计算)解读

5-结构动力学(有限元计算)解读

结构运动方程
结构运动方程是描述外部动力作用与结构体 系动力变形关系的数学物理方程，又称动力平衡 方程。运动方程可就不同角度分类，例如，离散 体系运动方程和连续体系运动方程，单自由度体 系运动方程和多自由度体系运动方程，弹性体系 运动方程和非线性体系运动方程，时域运动方程 和频域运动方程等。运动方程有时域波动方程、 差分方程、一阶微分方程、二阶微分方程、积分 方程和频域方程等不同的数学表述方式。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由 度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函 数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5） 为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时 域反应。
置的空间坐标； k ( x, ) 为体系的位移影响系数，即作用于 处的单位力在 x 处
m( ) 为杆的单位长度质量； 引起的位移；p( , t ) 为随位置和时间变化的外荷载；
为杆的长度； e 为自然对数的底， i 1 ， 为复阻尼系数。 具有积分微分方程形式的运动方程概念清晰，但位移影响系数的计算量
因为 u 不等于零，故可得与式 3.2.1.1-4 相同的方程。
哈密尔顿原理
哈密尔顿积分变分原理可表示为

t2
t1
δ(T V )dt δWnc dt 0
t1
t2
3.2.1.3-1
式中： 包括应变能及任何保守外力 （如 T 为体系的总动能； V 为体系的位能， 重力）的势能； Wnc 为作用于体系的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载） 所作的功；δ 为在指定时间区间内所取的变分。哈密尔顿原理表明在任何时 间区间 t1 ~ t 2 内，动能和位能的变分与非保守力所作的功的变分之和必须等 于零。应用此原理可直接导出任何给定体系的运动方程。 在虚功分析中， 尽管功本身是标量， 但被用来计算功的力和位移都是矢 量。利用哈密尔顿原理建立运动方程时，不直接使用惯性力和弹性力，而代 之以动能和位能的变分项，平衡关系只与纯粹的标量（能量）有关，这是此 法与虚位移原理方法的区别。

结构动力学中的常用数值方法(精)

结构动力学中的常用数值方法(精)

第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。

但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。

此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。

所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。

（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。

（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。

（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t =∆，202a a = （4） 计算...00101122tx x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷201()()t t t t t Q Q Ka M x a Ma C x--∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t LDL x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=- ..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。

纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C （2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。

（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。

振动分析矩阵迭代法

振动分析矩阵迭代法

1 2
2


333Y3(0)

1 3
2

...

这些惯性力产生的挠度是
v (1) 1

~ff
( I
0)

~f
*
m

112Y1(
0)


223Y2(
0)

1 2
2

2

333Y3(0)

1 3

...
(4) 1
1.000 17.121
0.320 5.287
v v (4)
(5)
1
1
1.000 17.082
0.653 11.121 0.650 11.082
0.306 5.182 0.303 5.159
12

max(v1(s1) )
(s)
max(v1 )

v(4) 11
v(5) 11
210.77
缺点：柔度矩阵是满阵，与窄带刚度矩阵相 比的运算相比会使计算效率降低。
补充：基于刚度矩阵的动力矩阵： E m1K 由于收敛于最高阶阵型，所以实际应用不大。
逆迭代法
基本思路:逆迭代法是利用是利用刚度矩阵窄 带性质的首选方法，因为其是使用刚度矩 阵的逆矩阵，所以此法向最低阵型收敛。 为保证刚度矩阵K的窄带性质，不形成动力 矩阵E，而是把假定的位移向量和质量举证 结合，然后求解基于刚度的平衡联立方程 组得到改进的位移向量，解方程组是常采 用LU分解法。
用迭代法反复进行迭代，就可以得到体系 的最低频率和相应的阵型。
迭代收敛性的证明：
Stodola法和Holzer法 Stodola法是先假定初始振型并不断迭代调整

jacobi迭代法求复矩阵特征值和特征向量

jacobi迭代法求复矩阵特征值和特征向量

jacobi迭代法求复矩阵特征值和特征向量Jacobi迭代法是一种经典的求解复矩阵特征值和特征向量的方法。

在数值分析领域，特征值和特征向量的求解是一个十分重要且常见的问题。

它不仅在理论上有重要意义，还在实际应用中有着广泛的应用，比如在物理、工程、金融等领域。

Jacobi迭代法的提出，极大地简化了这个复杂问题的求解过程，为研究人员和工程师提供了一个高效、可靠的数值计算工具。

我们需要了解什么是特征值和特征向量。

对于一个n阶方阵A，如果存在数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的求解十分重要，因为它们包含了矩阵A的重要特性和信息，对于矩阵的对角化、矩阵的稳定性、矩阵的特征分解等问题有着重要的作用。

接下来，让我们来介绍Jacobi迭代法的基本思想和步骤。

Jacobi迭代法的核心思想是通过一系列相似变换，将原始矩阵对角化，从而得到其特征值和特征向量。

具体步骤如下：1. 我们选择一个n阶方阵A，将其初始化为对角矩阵D，将初始的特征向量矩阵初始化为单位矩阵I。

2. 我们选择两个不同的下标i和j(1≤i，j≤n，i≠j)，使得矩阵A的元素aij为非零元素，即aij≠0。

这两个下标表示我们要进行的相似变换的维度。

3. 我们构造一个旋转矩阵P，使得通过P的相似变换，可以将aij对应的元素变为0。

这一步是Jacobi迭代法的核心步骤，旋转矩阵P的构造涉及到对称双射矩阵的变换和特征值的迭代计算。

4. 我们通过P的相似变换，更新矩阵A和特征向量矩阵I，得到新的对角矩阵D和新的特征向量矩阵。

5. 我们检查新得到的对角矩阵D的非对角线元素是否足够小，如果满足要求，则停止迭代，否则继续进行第2步的操作。

通过这样一系列的迭代操作，我们可以逐步地将矩阵A对角化，并得到其特征值和特征向量。

Jacobi迭代法以其简洁、直观的特点，在复矩阵特征值和特征向量的求解中得到了广泛的应用。

有限元第五章 有限元动力学基本原理

有限元第五章 有限元动力学基本原理

第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
停止迭代 此时为低阶特性

2
1
（ i 1）
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
& & & M C K P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力

K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程

e T N N dV V
于是，令e T V来自m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。

《结构动力学》教学日志知识资料b

《结构动力学》教学日志知识资料b
年月日
第
24
次
总结复习
知识点串讲
年月日
学生考核成绩记录
序号
项目
出勤
作业
学号
姓名
/
/
/
/
/
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/
/
成
绩
/
/
/
/
/
/
/
/
成
绩
1
5
杨金银
2
2
甄一帆
3
4
周叙霖
4
1
史宝红
5
2
李明聪
6
3
桑胜涛
7
4
崔亚歌
8
5
贾世宁
9
6
连娜
10
7
周文丽
11
8
熊治凯
12
9
薛涛
13
0
周翱翔
14
1
赵锦涛
15
2
田里
16
3
孙可锋
17
4
王浩
教研室主任主管教学院（部）长
年月日年月日
教学计划内容
授课实施记录
课内
课外作业、实验
第
1
次
第1章绪论和概述
1.1结构动力分析主要目的
1.2荷载的分类(持时和来源)
1.3动力问题的基本特性
重点：结构动力分析意义及基本概念。
难点：动力问题与静力问题区别与联系。
寻找1-2本国外结构动力学相关的教材，供学习参考。
（自愿上交）
年月日
第
2
次
第1章绪论和概述
1.4离散化主意
1.5运动方程的建立

机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法.

机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法.

采用矩阵迭代法，基频：
k 1 0.37308 m
第一阶模态：
u(1) w4 ＝ (0.4626 0.8608 1)T
采用常规方法，基频：
第一阶模态：
u (1) 0.4626 0 . 8608 1
13
1 0.3730 k / m
基频误差为0.2%。模态在精确到四位小数时，完全一致。
2019年2月21日 《振动力学》
从迭代过程看出，获得模态（收敛）的速度取决于 (r / 1 ) k
(r 2,, n) 趋于零的速度。 主要体现在两个方面：
一是，λ1比λ2大多少，相差越大，收敛越快，迭代次数越少；
二是，假设模态选取的准确性，w越接近于第一阶模态u1 ，
收敛速度越快，迭代次数越少。
归一化：
w4 ＝ (0.4626 0.8608 1)T
1 1 2 0.4626 3.3234 第五次迭代： m m Dw 4 ＝ 1 2 4 0.8608 6.1842 k k 1 2 5 1 7.1842
归一化： w5 ＝ (0.4626 0.8608 1)T w4
n n
上式再左乘一次D矩阵： n j ( 1 ) ( j) 2 Du D( Dw) D w 1 C1 Du C j 1 j 2
2019年2月21日 《振动力学》 3
w C1u(1) C2u(2) ＋Cn u(n)
n j ( 1 ) ( j) 2 Du D( Dw) D w 1 C1 Du C j 1 j 2 2 2 n n j ( j) j ( j) 2 (1) (1) u 1 C11u C j u 1 C1u C j 1 1 j 2 j 2 k次左乘D矩阵（相当于k次迭代）后：
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（13-34）
式中

（1） 2
D
（0） 2 2
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。 一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
克拉夫书P210 例题E13-2
1
或

（1） 1
1 2 D φ nnY n ( ) n 1 n
N
2 (0 )
2 φ n n Dφ n
（13-17）
（13-18）
将其代入式（13-17）得

（1） 1
1 2 φ nY n ( ) n 1 n
N
(0 )
（13-19）
(1) (1) max( ) 用最大的基准元素 去除 1 ，使之规格化， 1 (1) 1 从而得到最后改进的第一次迭代循环的形状 ，因此
2015200049
学院：土木工程学院 班级：学硕结构一班 姓名：张桂斌 学号：2015200049
振动分析的矩阵迭代法 （克拉夫书-第13章）
1.引言 结构动力学求解实际问题的数学模型，从几个自 由度的体系，到几百甚至几千个自由度的有限元模 型，其中可能多达五十到一百个振型对反应有不可 忽略的影响。为有效地处理这些实际问题，需要较 行列式求解方法更有效的振动分析方法。 问题—如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假设初始振型并迭 代调整至实际振型的适当近似，再由运动方程确定 震动频率。
将式（13-29）代入式（13-31），得到
（13-31）
1 （1） （0） （0） DS D ~ 1 2 2 2 2 2 2
其中
（13-32）
D2 用下式近似计算频率
（ ）m m
2 2
（1） T (0 ) 2 2 （1） (1) 2 2

（0） 1

(0 )
φY
（0） 1 1
φ Y
（0） 2 2
φ Y
（0） 3 3
（13-14）
第一振动频率的振动形状所对应的惯性力为
(0 ) 2 f(0) 12m1 1 m(0)
2 2 2 ( / ) 记 1 ，展开得 n 1 n
（13-15）
四次迭代以后，形状已收敛到足够的精度。
按式（13-13）求第一振型频率：
max （ ） 1.000 210 .77 max （ ） 1 / 3600 17.082 1 14.52 rad / s
2 1 （4） 1 （5） 1
3.收敛性的证明
最初假定的形状可用正规坐标表示为
ˆ ˆ n n D n
（0）
（13-5）
先假定试探位移向量 1 ，使它尽可能接近第一振型的 形状，而振幅是任意的。即：

（ 1） 1
n D
2
（0） 1
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。
振型幅值依赖于未知频率，但在迭代过程中只需 要振型形状，省去频率后的改进形状表示为：
φ m
T 1
（0） 2
φ mφ Y
T 1
T 1
（0） 1 1
φ mφ Y
T 1
（0） 2 2
（13-26）
由于振型的正交特性，第一振型分量幅值为
Y
（0） 1
φ m M1
（0） 2
（13-27）
不包含第一振型的试探形状为
（0） （0） (0) φ Y ~2 2 1 1
(0)
（13-21）
按此方式继续进行，经过s次循环后得到结果
(s ) （0） （13-22） 1 （0） 1 2s （s） 1 1 φ Y φ 2Y 2 ( ) (s ) (s ) 1 1 2 max（ 1 ） max（ 1 ）
1 1 2
（13-10）
把质量分布作为一个加权系数，取平均值 求频率的近似值。
2 1
m m
(1) T 1 （1） T 1
(0 ) 1 (1) 1
（13-11）
当迭代过程收敛，s 次循环后的频率为：
max （ max （
2 1
（s 1） 1 （s） 1
） 1 （13-13） （s） ） max （ 1 ）
18 .10 12 .10 5.80
1.000 0.669 0.320
17 .296 11 .296 5.287
3） （ 1
4） （ 1
4） （ 1
5） （ 1
1.000 0.653 0.306
17 .121 11 .121 5.182
1.000 0.650 0.303
17 .082 11 .082 5.159
该结构柔度矩阵为：
~ k 1 f 11 5 2 1 5 5 2 in / kips 3600 2 2 2
动力矩阵为：
11 7.5 4 2 1 ~m D f 5 7.5 4 s 3600 2 3 4
用如下所示的表格形式表示迭代过程：
(1) 1） 1 （ 1 (1) max （ 1 ）
n 1
φ nY n(0)(
N
1 2 ) n
max （ ）
(1) 1
（13-20）
用同样的方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的 形状 N
1 4 φ nY n ( ) (2) n 1 1 n （2） 1 (2) max （ 1 ） max （ 1(2)）
2s
1 3
（s） 1
2s

（13-23）
最终结果可视为

φY φ1 (0 ) max（φ 1Y1 ）
(0 ) 1 1
（13-24） 证毕！
4.高阶振型分析
第二振型分析
假设任意第二振型

T 前乘φ 1 m ，导得
（0） 2

（0）
（13-25）
克拉夫书P205 例题E13-1 通过计算图E11-1的三层建筑框架的第一振型和频率来说 明矩阵迭代法。虽然用例题E11-1中导得的刚度矩阵求逆可以很容易 求得该结构的柔度矩阵，但是为了说明柔度矩阵的求法，这里对每 一个自由度相继施加单位荷载进行推导。根据定义，由这些单位荷 载所产生的位移表示柔度影响系数。
D
0） （ 1 1） （ 1
11 1 5 3600 2
1） （ 1
7.5 7.5 3
2） （ 1
4 4 4
1 22 .50 1 16 .50 1 9.00
2） （ 1 3） （ 1
1.000 0.733 0.400
(0 )
（13-9）
一般来说，所得的 1 和 1 是不一样的，在这种情 形下，真正的第一振型频率介于式（13-9）求得的最大 值与最小值之间：
0) (0) ( k1 2 k 1 (1) (1) 1 k 1 min k 1 max
（13-28）
在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是应用滤型 矩阵 S1
~
其中
（0） 2

（0） 2
1 T (0 ) (0 ) - φ1 φ 1 m 2 S1 2 M1
（13-29）
1 T S1 Ι - φ 1φ 1 m M1
（13-30）
在这种情况下，式（13-5）可以写成
1 （1） （0） D ~ ~2 2 2 2
f
(0 )
（0） 1 2 2 （0） 2 （0） 1 2 m φ 11Y1 φ 22Y 2 ( ) φ 3Y3 ( ) （13-16） 2 3
由这些惯性力产生的挠度为

（1） 1
k f
1 ( 0 )
（0） 1 2 2 （0） 2 （0） 1 2 k m φ 11Y1 φ 22Y 2 ( ) φ 3Y3 ( ) 2 3
2.基本（第一）振型分析
这个方法列式的起点是无阻尼自由振动方程（11-33）：
2 k ˆ ˆ n n m n
fn n m ˆ n
2
（13-1）
ˆ n k f n
1
（13-2）
ˆ ˆ n n k m n
2 1
（13-3）
D k m
2
1
（动力矩阵） （13-4）

（ 1） 1
D
（0） 1
（13-7）
（ 1） 来进行规格 1
该向量除以向量中最大的元素max（ 化，得到改进的迭代向量：
）

（1） 1


max （ ）
（1） 1 （1） 1
（13-8）
设 k 为向量中任一自由度，频率近似值为：

2 1
(1)
(0 ) k1 (1) k1