《正、余弦定理应用举例》课件

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又又∠∠DDBBCC＝＝∠∠DDBBAA＋＋∠∠AABBCC＝＝3300°＋°＋(9(09°0－°－606°0)°＝)＝606°0, °B,CB＝C＝20203 ∠时里C＝DDD)D3)B．B6，×2点＝A＝0C又在∴故在∴故在∴故又在∴故∴°＋12需3,B又在∴故＝∠△C救△C救0B△C救需∠△C救∠D要0D∠△C救DDC9DDD援＋2D援D援要DD援AD＝＋0＝＝＝DD援＝1BBBB0＝BB船1船的船船BB小BCC3，C3船C32CC320CC3到0C＝00到0时到＝0到中＝时0(中到中＝((中(2海中0(海海海达－∠海间达达3－达,．∠3达∠,,,,里0C里(里C里C2里DCC°2海DDDDtDDBDD＋D＝D×D)DB)))B)，BD，2点，里，2，点＝2点A2点＝2＝＝点A(＝＝3＝3＝1A＝＝·9∴＋B∴00∴0需)需∴需∴30＋33B需需，B＝33CBB0°00需需∠需0D0要要－D要0需0需3∠·0DD要要1c00＋2＋×2＋要2A要oA＋(要＋＋＋226＋1要要A小1＋1＋sB10B1121的1小B的B的∠1小CB1°小B0的2的时C小B小B2C)2C时＝0C时2C＝2时＝时00D时C2时C0时)＝时003－时202时0间．3－．－B2－602×0间间3－－0．－．－间03－2间－C．0．°2t2B2°0＋12＝°2×22tt,2BB°2＋＝D＝2＝××tBtB＋B＝(×331D＝D×·9BD00C09(D333110··9(＝3310BCB003030＝1°·9·0B0000－B＝＝300·0CC01°c＝，×C2＝°－Co(33··61c小1－0c3s·××03·21co(o(1c×6∠°小小×0o(时ss6o()023小2s＝小∠0s∠D2°0(0时)时23∠海°)．0时∠B6＝0×)时DD)0＝)3C3D里．．°B)D12B3×6×)．,3B＝6．×0CCB)×0，12°C12C9C,°＝12＝012,＝B＝0B＝9C9，20C90＝09000＝0，0，230，20(，海0 3里

2.如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点． 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度．
02 合作探究
思
1.解斜三角形中的有关名词、术语： （1） 仰角和俯角
目标视线
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 铅
视线的夹角, 目标视线在水平视线上方时叫仰角, 目标 垂
视线在水平视线下方时叫俯角.线Leabharlann 仰角 水平视线俯角
（2）方位角 以观测点为坐标原点，从基准线到目标方向线所
成的角．如北偏西60°,即以正北方向为始边，旋转至
目标视线 北 目标方向线
目标方向所成的角度为60°. 东北方向即北偏东45°
60°
（3）视角 从眼球发出到两物体端的两条光线交叉而成的角
西
东
3南0°
01
引
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。 解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测 量。
光学经纬仪
水准仪
在具体测量中，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰到 的测量方案。
02 阅读课本P49~50，回答下列问题
思
1.你能设计一个测量方案，测出地球和月球之间的大致距离吗？
βα
03
评
解斜三角形应用题的一般步骤是(数学建模思想):
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中
3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有序地解这些三角形，求得数学模型的解。
4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
03 合作探究
评
练习1（P51）.如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡

有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?

B A
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
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9
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a,并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ. 在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
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例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
正余弦定理
应用举例
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1
复习巩固
1.正弦定理和余弦定理的基本公式是 什么？
a = b = c =2R sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2 abcosC a2=b2+c2-2 b cco sA
b2=a2+c2-2 acco sB
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2
复习巩固
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪 些类型的三角形？
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12
形成结论
在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
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解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型
B
AC
asin( )
asin( )
A
sin180o( ) sin( )
BC
asin
asin
sin180o() sin()
D
C