参数样条曲线和曲面

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solidworks 不同面之间样条曲线

一、概述在使用SolidWorks进行建模时，常常需要在不同面之间创建样条曲线，以满足不同形状的要求。

样条曲线具有光滑的特点，能够很好地连接不同的面，使得设计更加完美。

本文将介绍在SolidWorks中创建不同面之间的样条曲线的方法及注意事项。

二、SolidWorks中创建样条曲线的基本步骤1. 打开SolidWorks软件，并新建一个零件文件。

2. 在特征栏中选择“曲线”命令，并点击“样条曲线”。

3. 选择起始面和终止面，确定要连接的两个面的位置。

4. 在样条曲线的编辑框中，通过添加控制点，调整曲线的形状，使其满足设计要求。

5. 确定样条曲线后，点击“完成”按钮，完成样条曲线的创建。

6. 在设计中，可以根据需要对样条曲线进行修饰和调整，以满足实际需求。

三、创建样条曲线的注意事项1. 样条曲线的起始面和终止面需要提前确定，以便更好地连接不同的面。

2. 在编辑样条曲线时，可以通过添加控制点和调整控制点的位置，来改变曲线的形状。

3. 在设计时，应该注意保持样条曲线的光滑性，避免出现突变或不连续的情况。

4. 样条曲线的编辑需要一定的经验和技巧，可以多尝试和练习，以提高技术水平。

5. 在实际使用中，需要根据具体情况对样条曲线进行调整和优化，以得到最佳效果。

四、样条曲线在实际设计中的应用举例1. 在汽车设计中，可以使用样条曲线来连接车身的不同部位，使其外观更加流畅美观。

2. 在航空航天领域，样条曲线常常用于飞机、火箭等飞行器的外形设计，以减小飞行阻力，提高飞行性能。

3. 在家电产品设计中，样条曲线可以用于电视、冰箱等产品的外观设计，使其更具时尚感和美感。

五、结语样条曲线作为SolidWorks建模中的重要工具，具有连接不同面的优点，可以应用于各种行业的产品设计中。

通过本文的介绍，相信读者对于在SolidWorks中创建不同面之间的样条曲线有了更深入的理解。

在日后的设计工作中，希望读者可以灵活运用样条曲线工具，为产品的外观设计提供更多可能性，创造出更加精美的作品。

样条曲线的使用方法完整版

样条曲线的使用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】创建高级曲线曲线作为构建三维模型的基础，在三维建模过程中有着不可替代的作用，尤其是在创建高级曲面时，使用基本曲线构造远远达不到设计要求，不能构建出高质量、高难度的三维模型，此时就要利用UG NX中提供的高级曲线来作为建模基础，具体包括样条曲线、双曲线、抛物线、螺旋线等。

样条曲线是指通过多项式曲线和所设定的点来拟台曲线，其形状由这些点来控制。

样条曲线采用的是近似的创建方法，很好地满足了设计的需求，是一种用途广泛的曲线。

它不仅能够创建自由曲线和曲面，而且还能精确表达圆锥曲面在内的各种几何体的统表达式。

在UG NX中，样条曲线包括般样条曲线和艺术样条曲线两种类型。

1．创建一般样条曲线一般样条曲线是建立自由形状曲面（或片体）的基础。

它拟合逼真、彤状控制方便，能够满足很人一部分产品设计的要求。

一般样条曲线主要用来创建高级曲面，广泛应用于汽车、航空以及船舶等制造业。

在“曲线”工具栏中单击“样条”按钮～，打开“样条”对话框，如图5-30所示。

在该对话框中提供了以下4种生成一般样条曲线的方式。

■根据极点该选项是利用极点建立样条曲线，即用选定点建立的控制多边形来控制样条的形状，建立的样条只通过两个端点，不通过中问的控制点。

选择“根据极点”选项，在打开的对话框中选择生成曲线的类型为“多段”，并在“曲线阶次”文本框中输入曲线的阶次，然后根据“点”对话框在绘图区指定点使其生成样条曲线，最后单击“确定”按钮，生成的样条曲线如图5-31所示。

■通过点该选项是通过设置样条曲线的备定义点，生成一条通过各点的样条曲线，它与根据极点生成曲线的最大区别在于生成的样条曲线通过各个控制点。

利用通过点创建曲线和根据极点创建曲线的操作方法类似，其中需要选择样条控制点的成链方式，创建方法如图5-32所示。

■拟合该选项是利用曲线拟合的力式确定样条曲线的各中间点，只精确地通过曲线的端点，对于其他点则在给定的误差范围内尽量逼近。

计算机图形学第五章曲线与曲面

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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
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推导略
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第五章：曲线与曲面

参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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第五章：曲线与曲面

位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其

4.参数样条曲线

k 1
si [0,1]
s0 0 i s Pk Pk 1 / s i k 1
1.1 大挠度问题
• 所谓大挠度，即曲线斜率存在大于1的情况。
三次样条的力学模型注定了它不能解决大挠度问题
1 y 3 2 2 ρ( x ) (1 y ) M(x) y 1, y EJ
(2) (2) (1) (1) r '(0) r ''(0) r '(1) r ''(1) 3 3 (2) (1) r '(0) r '(1)
Ferguson曲线段的合成
ri-1

ri

ri+1

rn
r0

( 1 ) ( 1 ) (1) (1) 6r (0) 6r (1) 2r (0) 4r (1) ( 2 ) ( 2 ) (2) (2) 6r (0) 6r (1) 4r (0) 2r (1) 记 ri ti，有
C Pt
Ferguson曲线段的合成
• 切向连续
( 2) r (0 ) α2 ( 1) r (1) α1
(1) r (1) α1T ( 2) r (0 ) α2T
Ferguson曲线段的合成
• 曲率连续
(1) ( 2) r (1) r (0 ) ( 2) (1) r (1) r (0 ) r (1)(1) r ( 2 )(0 )
参数样条曲线
主要内容
1 累加弦长参数化方法 2 Ferguson曲线 3曲线曲面应用示例
问题的提出

计算机图形学曲线和曲面

曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如：二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3

B样条曲线与曲面

四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。

1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。

Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。

如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。

在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。

其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。

2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。

若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。

端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。

样条曲线及其应用(一)

- 三维建模中的应用在三维建模中，样条曲线被广泛应用于创建平滑的曲线和曲面。

它们可以用来设计汽车、飞机、船舶等各种产品的外观，以及建筑物的曲线结构。

通过样条曲线可以轻松地创建复杂的曲线形状，使得设计师可以更加方便地进行设计和建模工作。

同时，样条曲线在动画制作中也扮演着重要的角色，通过对曲线进行调整和控制，可以创建出更加流畅自然的动画效果。

- 计算机辅助设计中的应用在计算机辅助设计中，样条曲线被广泛用于绘制平滑曲线和曲面。

通过对样条曲线的控制点进行调整，可以灵活地改变曲线的形状，从而实现各种设计要求。

此外，样条曲线还可以用来进行字体设计、图形设计等工作，通过对曲线进行调整，可以创建出各种有趣的效果和形状。

- 数学建模中的应用在数学建模中，样条曲线被用来逼近和模拟复杂的曲线形状。

通过对样条曲线的参数进行调整，可以逼近各种复杂的曲线，例如圆弧、椭圆等。

此外，样条曲线还可以用来进行数据拟合和曲线拟合，通过对数据点进行拟合，可以得到符合实际情况的曲线模型，从而进行更加精准的数据分析和预测工作。

- 工程设计中的应用在工程设计中，样条曲线被用来设计和分析各种曲线结构，例如桥梁、隧道等。

通过对曲线进行建模和分析，可以更加准确地预测结构的受力情况和变形情况，从而进行更加精准的设计和分析工作。

同时，样条曲线还可以用来进行路径规划和轨迹规划，在自动化设备和机器人控制中发挥着重要的作用。

总结：样条曲线作为一种重要的数学工具，在各个领域都发挥着重要的作用。

通过对样条曲线的应用，可以实现更加精准的设计和分析工作，从而推动各个领域的发展和进步。

同时，样条曲线的进一步研究和应用也将为各种工程和科学问题的解决提供更加有效的方法和手段。

Solidworks的曲面和曲线设计技巧与实践

Solidworks的曲面和曲线设计技巧与实践Solidworks是一款广泛应用于三维建模和CAD设计的软件。

在Solidworks中，曲面和曲线设计是常见的需求，它们在产品设计和工程制图中起到至关重要的作用。

本文将介绍Solidworks中的曲面和曲线设计技巧，并提供实际应用的实践建议。

1. 曲面设计技巧曲面设计是指通过将多个曲线连接起来创建复杂的几何曲面。

以下是几个Solidworks中常用的曲面设计技巧：1.1 曲面填充（Surface Fill）曲面填充是一种创建光滑曲面的常用方法，它基于已有曲线或曲面边界来创建新的曲面。

在选择边界和方向后，Solidworks将根据生成的轮廓自动创建曲面。

根据曲线的形状和方向设置选项，您可以实现不同的填充效果。

1.2 曲面偏移（Surface Offset）曲面偏移可以将现有曲面整体或局部地向内或向外移动，以创建更复杂的形状或增加构件的壁厚。

通过选择曲面、方向和偏移距离，您可以轻松地创建所需的曲面形状。

1.3 曲面修剪（Surface Trim）曲面修剪用于修剪或删减曲面，以适应设计要求。

您可以选择要修剪的曲面和修剪的边界，并通过定义修剪方式来修剪曲面。

使用曲面修剪不仅可以简化模型，还可以确保曲面的光滑过渡。

1.4 曲面拟合（Surface Loft）曲面拟合用于将多个曲面以平滑的方式连接起来，形成一个连续的曲面。

在选择曲面和路线后，Solidworks会自动计算出拟合曲面。

通过调整拟合选项，您可以控制曲面的平滑程度和细节。

2. 曲线设计技巧曲线设计是指通过连接不同的点或绘制曲线来创建复杂的几何形状。

以下是几个Solidworks中常用的曲线设计技巧：2.1 二维草图（2D Sketch）使用二维草图可以创建各种形状的曲线。

在Solidworks中，您可以通过使用直线、圆弧、样条曲线等工具来绘制曲线。

此外，您还可以使用约束和尺寸工具来确保绘制的曲线满足设计要求。

solidworks样条曲线曲率

solidworks样条曲线曲率（原创版）目录1.SolidWorks 软件介绍2.样条曲线的定义和作用3.样条曲线的绘制方法3.1 在标准工具栏中点击样条曲线按钮3.2 拖动鼠标绘制样条曲线3.3 修改样条曲线的曲率3.4 添加几何关系4.样条曲线在曲面上的绘制方法5.样条曲线的应用案例6.总结正文SolidWorks 是一款强大的三维建模软件，广泛应用于工程领域，如机械设计、建筑设计等。

样条曲线是 SolidWorks 中一种常见的曲线类型，它可以通过几个点来确定曲线的位置和形状，具有很好的曲率过渡特性。

样条曲线在工程设计中有着广泛的应用，如用于构建复杂的轮廓、模拟自由曲面等。

样条曲线的绘制方法有以下几种：1.在 SolidWorks 的标准工具栏中点击样条曲线按钮，即可开始绘制样条曲线。

2.拖动鼠标绘制样条曲线。

在绘图界面中，点击鼠标左键并拖动鼠标，第一次拖动时将绘制一条直线，接着依次确定第二个点和第三个点，这样就得到了一个样条曲线。

3.修改样条曲线的曲率。

绘制完成后，点击曲线上的节点，会弹出修改曲率的对话框，可以调整曲线的曲率。

4.添加几何关系。

为了使样条曲线更符合实际需求，可以添加几何关系，如使样条曲线的两端点与曲面的两条边线分别重合。

在 SolidWorks 中，样条曲线还可以在曲面上进行绘制。

具体操作方法如下：1.打开 SolidWorks 软件，新建一个零件模型，绘制一个曲面。

2.单击工具栏中的“草图绘制实体”按钮，选择“曲面上的样条曲线”命令。

3.在曲面上选择一系列型值点，调整样条曲线的尺寸参数。

4.添加几何关系，使样条曲线的两端点与曲面的两条边线分别重合。

5.退出草图，完成曲面上样条曲线的创建，保存模型。

样条曲线在工程设计中有很多应用案例，如用于构建复杂的轮廓、模拟自由曲面等。

通过灵活运用样条曲线，可以提高设计的准确性和美观性。

总之，SolidWorks 中的样条曲线是一种非常实用的曲线类型，通过几个点即可确定曲线的位置和形状，具有很好的曲率过渡特性。

带参数的一类均匀B-L样条曲线曲面及应用

多项式样条；出了带２给个参数的ＢＬ样条；－根据需要调整这２个参数中的任何一个或同时调整２，个实现对
曲线形状的控制，获得所需要的形状；该方法构造的曲线具有对称性，可以精确表示直线段、次多项式曲线，三
并推广到曲面的情形。关键词：三角多项式；形状参数；均匀ＢＬ样条曲线曲面－
献Ｅ２研究了低次的即一２３４的情况，１３，，也给出了带参数的以纯三角为基的样条，本文构造的三角多项式样条，给出了带２个参数的Ｌ样条。这种三角样条具有Ｂ样条的优点，形状可调，计算简单，具有局部逼近特征，也可以直接自然地推
ＺＨＵａ－ｉＺＨＯＵｉ－ｎＴＡＯｕｔａＸｉｏｌ，ｎＪｎｍｉｇ，Ｙｏ —ｉｎ
（．ｐ．ｏａｈｍａｉｓ１ＤｅｔｆＭｔｅｔｃ，ＨｅｅｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｆｉＵｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｈｅｅ００ｆｉ２３０９，Ｃｈｎｉａ；２ｅｔ．ｏｐｄＰｈｉｓＡｎｈｉｅｓｔｆ．ＤｐｆＡｐＵｅｙｓｃ，ｉｎＵｎｖｒｉｙｏＴｅｈｏｏｙａｄＳｉｎｅ，Ｗｕｕ２１０ｃｎｌｇｎｃｅｃｈ４００，Ｃｈｎ）ｉａ
旋面、旋转面等。但是螺旋样条不能表示高次的多项式样条［。张力样条是文献Ｅｉ２］ｌ为消除三次插值样条有时会出现多余拐点而引入的［。Ｂ样３］
ｍｉｌｃｒｅ．ＴｈｓＬｓｌｅｃｒｅｒｅｅａｉｅｏｔｅｃｓｓｏＬｓｌｅｓｒａｅ．ａｕｖｓｅｅＢ－ｐｉｕｖｓａｅｇｎｒｌｄｔｈａｅｆＢ－ｐｉｕｆｃｓｎｚｎＫｅｒｓｔｉｏｏｅｒｃｐｅａｄｓｒａｅｙｗｏｄ：ｒｇｎｍｔｉｏｙｏａ；ｓａｅｐｒｍｔｒ６ｉｒｌｐｉｕｖｎｕｆｃｋｎ

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yi′ ( x) = mi −1 ( xi − x)(2 xi −1 + xi − 3x) ( x − xi −1 )(2 xi + xi −1 − 3 x) 6( yi − yi −1 ) − mi + ( xi − x)( x − xi −1 ) 2 2 3 hi hi hi
yi′′( x) = −2mi −1
代入样条函数二阶导数表达式，整理得： ⎡ hi+1 yi − yi −1 hi hi+1
hi + hi+1 hi
hi +1 ⎧ ⎪λi = h + h i i +1 ⎪ ⎪μ i = 1 − λi 令⎨ ⎡ ⎤ ⎪Ci = 3⎢λi yi − yi −1 + μ i yi +1 − yi ⎥ ⎪ hi hi +1 ⎦ ⎣ ⎪i = 1,2,L, n − 1 ⎩
⎧ yi ( xi −1 ) = ai + bi xi −1 + ci xi2−1 + d i xi3−1 = yi −1 ⎪ yi ( xi ) = ai + bi xi + ci xi2 + d i xi3 = yi ⎪ ⎨ yi′( xi −1 ) = bi + 2ci xi −1 + 3d i xi2−1 = mi −1 ⎪ ⎪ yi′( xi ) = bi + 2ci xi + 3d i xi2 = mi ⎩
i = 1,2,L, n
令hi = xi − xi −1，解方程组得： ⎧ (mi xi −1 + mi −1 xi ) xi xi −1 yi xi2−1 (3xi − xi −1 ) + yi −1 xi2 ( xi − 3xi −1 ) + ⎪ai = − 2 hi hi3 ⎪ ⎪b = mi −1 xi ( xi + 2 xi −1 ) + mi xi −1 (2 xi + xi −1 ) − 6( yi − yi −1 ) xi xi −1 ⎪ i ⎪ hi2 hi3 ⎨ ⎪ci = − mi ( xi + 2 xi −1 ) + mi −1 (2 xi + xi −1 ) + 3( yi − yi −1 )( xi + xi −1 ) ⎪ hi2 hi3 ⎪ m +m 2( yi − yi −1 ) d i = i 2 i −1 − ⎪ ⎪ hi hi3 ⎩
2. 参数样条曲线和曲面
2.1 插值和逼近
给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n（测量所得，或由设计员给出），要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。某些情况下，测量所得的点本身就很粗糙，要求严格通过这些就没有什么意义。更合理的提法是构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定数据点，称之为对这些数据点的逼近，所造的曲线称为逼近曲线。差值和逼近统称为拟合。
0 ⎤ y 0 ⎥ ⎡ i −1 ⎤ 1 ⎥ ⎢ yi ⎥ ⎥ − ⎥⎢ hi ⎥ ⎢mi −1 ⎥ 1 ⎥⎢ m ⎥ i ⎦ 2 ⎥⎣ hi ⎦
若令hi=1，t=x-xi-1,0≤t≤1,则得到均匀参数插值三次样条。 1963年美国波音均匀参数插值三次样条公司的Ferguson用于飞机设计的参数三次方程即是均匀参数插值三次样条曲线:
参数表示例子：
直线
P(t ) = P1 + ( P2 − P1 )t , t ∈ [0,1]
圆
⎡1 − t 2t ⎤ P(t ) = ⎢ , 2 2 ⎥ ⎣1 + t 1 + t ⎦
2
t ∈ [0,1]
参数表示的优点：
1）以满足几何不变性的要求。 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 3）对曲线、曲面进行变换，可直接对其参数方程进行几何变换。 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
yi ( x) = ai + bi x + ci x 2 + d i x 3 ,
i = 1,2,L, n
该段曲线的首端通过(xi－1,yi－1)，斜率为mi－1，末端通过(xi,yi)，斜率为mi，样条连续条件可表达为：
⎧ y i ( x i −1 ) = y i − 1 ⎪ y (x ) = y ⎪ i i i ⎨ ⎪ y i′ ( x i −1 ) = m i −1 ⎪ y i′ ( x i ) = m i ⎩
S ( k ) ( x i− ) = S ( k ) ( x i+ )
i=2,3, •••,n-1, k=0,1,2
S(x)=ai+bix+cix2+di x3 i=1,2,…,n S(xi-1)=yi-1 S(xi)=yi S’(xi-1)=ti-1 S’(xi)=ti
则称S(x)为插值三次样条函数；
得到 λi mi −1 + 2mi + μ i mi +1 = Ci i = 1,2, L , n − 1
三次样条函数的m连续性方程
计入首末点的切矢，共有n+1个未知量mi(i=0,1,2,…,n)，但只有n-1个方程，需要补充两个方程才能求解。指定整条曲线的首末点的端点条件，即可以用追赶法求解三对角方程组得到各型值点出的切矢。
ti - 1 (xi-1,yi-1) (xi,yi) ti
插值三次样条函数有两种常用的表达方式，一种是用型值点处的一阶导数表示的m关系式；一种是用型值点处二阶导数表示的M关系式。最常用的是m关关系式关系式系式。
用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数―m关系式给定一组型值点(xi,yi)(i=1,2, ••• ,n)，mi为(xi,yi)处的斜率。第i段样条函数可表示为：
p (t ) = 1
[
t
t2
t3
]
⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢− 3 ⎢ ⎣ 2
0 0 3 −2
0 1 −2 1
0 ⎤ ⎡ p (0) ⎤ 0 ⎥ ⎢ p (1) ⎥ 其中P(t)表示位置矢 ⎥⎢ ⎥ − 1⎥ ⎢ p ′( 0 ) ⎥ 量，P′(t)表示切矢 ⎥⎢ ⎥ 1 ⎦ ⎣ p ′(1) ⎦
由上述样条函数公式可以看出，构造插值三次样条时除已经给定的型值点外，还必须得到型值点处的切矢。为了计算型值点处的切矢 mi(i=0,ห้องสมุดไป่ตู้,2,…,n)，可以利用前、后二曲线段在型值点处的二阶导数连续的条件：
2.5 数据点的参数化
过三点P0 、P1 和P2 构造参数表示的插值多项式可以有无数条，这是因为对应地参数t, 在[0, 1] 区间中有无数种取法。即P0 、P1 和P2 可对应不同的参数值，比如， 1 1 t = 0, t = , t = 1, 或 t = 0 , t = , t = 1, 2 3 其中每个参数值称为节点(knot)。对于一条插值曲线，型值点 P0 , P1 ,L, Pn 与其参数域 t ∈ [t 0 , t n ] 内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点的参数化。
物理样条的性质
（1）样条在压铁两侧斜率相同，相当于函数一阶连续；（2）样条在压铁两侧曲率相同，相当于函数二阶连续；
三次样条函数的数学描述在区间[a,b]上给定一个分割：a=x1<x2<•••<xn=b,则称在区间 [a,b]上满足下列条件的函数S(x)为三次样条函数：
（1）给定一组型值点（xi,yi)(i=1,2, ••• ,n）, S(x)满足S( xi )＝ yi，（2）在每个子区间[xi-1,xi]（i=1,2, ••• ,n）上为三次多项式; （3）在整个区间[a,b]上具有直到二阶连续的导数，即在内节点xi处，
曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。 1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程； 1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布； 1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面； 1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法； 1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的 Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)； 1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP， NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。
yi(x)=ai+bix+cix2+dix3 yi+1(x)=ai+1+bi+1x+ci+1x2+di+1x3 mi-1 (xi-1,yi-1) mn (xi,yi) m0 mi (xi+1,yi+1) (x0,y0) 型值点和斜率 mi+1 (xn,yn)
i = 1,2,L, n
将yi(x)代入，得：
1 d 2 y / dx 2 由材料力学可知， = R ( x ) 1 + ( dy / dx ) 2
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M ( x) = EI
R(x) — 梁的曲率半径 M(x) —作用在梁上的弯矩 E — 材料的弹性模量I — 梁横截面的惯性矩