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t
3
t
2
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 1 0 0
1 P0 0 P1 0 P2 0 P3
***
二、B样条曲线
１.从 Bezier 曲线到Ｂ样条曲线 (1) Bezier 曲线在应用中的不足：
P1
P2 P1
P2
P0 P1
P3 P3
P0
P3
P0
P2
１.Bezier曲线的数学表达式 Bezier曲线是由多项式混合函数推导 出来的，通常 n+1 个顶点定义一个 n 次多项式。其数学表达式为：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
(0 ≤ t ≤ 1)
式中：Ｐi：为各顶点的位置向量 Ｂi,n(t)：为伯恩斯坦基函数
t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 i2: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=0。
（均出现 0 的非 0 次幂）
t=0
P (0) P (t 0) n( P 1P 0)
P(1/2) P'(1/2) P0 Pm P2 P1
二次 Bezier 曲 线是一条抛物线
(2) 四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 定义一条三次 Bezier 曲线：
P(t ) (1 t ) P0 3t (1 t ) P1 3t (1 t ) P2 t P3
3 2 2 3
2! B0, 2 (t ) t 0 (1 t ) 20 (1 t ) 2 0!2! 2! 1 2 1 B1, 2 (t ) t (1 t ) 2t (1 t ) 1 !1 ! 2! B2, 2 (t ) t 2 (1 t ) 2 2 t 2 2!0!
伯恩斯坦基函数的表达式为：
n! Bi , n (t ) t i (1 t ) n i i!(n i )!
假如规定：０＝１，０！＝１，则 t=0: i=0 ,Bi,n(t)=1 i0 ,Bi,n(t)=0 P(0)=P0
n! 0 n P(0) 0 (1 0) P0 P0 1 n!
k 0 2
1 2 1 B0 1 B t 1 2 2 0 1 2 1 0 1 B2
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的 Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
因为在外形设计中(比如汽车、船舶)， 初始给出的数据点往往并不精确；并 且有的地方在外观上考虑是主要的， 因为不是功能的要求，所以为了美观 而宁可放弃个别数据点。因此不须最 终生成的曲线都通过这些数据点。 另一方面，考虑到在进行外形设计时 应易于实时局部修改，反映直观，以 便于设计者交互操作。第一类曲线在 这方面就不能适应。
（而在外形设计中，局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要： 易于进行局部修改； 更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
B: P1,P2,P3 P1
i=1 P1,2(t)
P3
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
i=0 P0,2(t)
P2
P4
P0 B: P0,P1,P2
二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P (t ) t 1 1 1
2 1
然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t) 和 P’(t)，可得： P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
i 0 j 0 n m
式中：(0 ≤ u,v ≤ 1) ; Bi,n(u) 为 n 次 Bernstein 基函数；连接点列 bi,j 中相 邻两点组成特征网格。
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
一、Bezier曲线 Bezier曲线的形状是通过一组多边折 线（特征多边形）的各顶点唯一地定 义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点 在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导 数、阶次和形状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了 曲线在两端点处的切线方向。
B0 1 B 1 0 B2
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1 P(1/2) P(0) P'(1/2) P(1)
M
B0
是什么曲线？ 与Bezier曲线有 何差别？
B2
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
t=1: i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0 P(1)=Pn
n! n 0 P(1) 1 (1 1) Pn Pn n!1
所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即 Bezier曲线只通过多边折线的起点 和终点。
下面我们通过对基函数求导，来分析 两端切矢的情况。
在以上表达式中： F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) C n1 (t n k j ) n! j 0
式中： 0 ≤ t ≤1 k = 0, 1, 2, …, n
连接全部曲线段所组成的整条曲线称 为 n 次Ｂ样条曲线。依次用线段连接 点 Pi+k (k=0,1,…,n)所组成的多边折 线称为Ｂ样条曲线在第i段的Ｂ特征多 边形。
3.1.2 B样条曲线和曲面
在我们工程中应用的拟合曲线，一般 地说可以分为两种类型：一种是最终 生成的曲线通过所有的给定型值点， 比如抛物样条曲线和三次参数样条曲 线等，这样的曲线适用于插值放样； 另一种曲线是，它的最终结果并不一 定通过给定的型值点，而只是比较好 地接近这些点，这类曲线（或曲面） 比较适合于外形设计。
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线， 曲线的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整个Ｂ样条曲线在某些部 位满足一些特殊的技术要求。如： 可以在曲线中构造一段直线； 使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
三、B样条曲面
缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改； 控制性差 当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
Pi ,n (t )
P
k 0
n
ik
Fk ,n (t )
在上式中，0 ≤ t ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn Pn1 )
'
这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
