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三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
Opencv 三次样条曲线（CubicSpline ）插值本系列⽂章由 @YhL_Leo 出品，转载请注明出处。
⽂章链接：1.样条曲线简介样条曲线()本质是分段多项式实函数，在实数范围内有：，在区间上包含个⼦区间，且有：对应每⼀段区间的存在多项式： ，且满⾜于：其中，多项式中最⾼次项的幂，视为样条的阶数或次数（Order of spline ），根据⼦区间的区间长度是否⼀致分为均匀（Uniform ）样条和⾮均匀（Non-uniform ）样条。
满⾜了公式的多项式有很多，为了保证曲线在区间内具有据够的平滑度，⼀条次样条，同时应具备处处连续且可微的性质：其中 。
2.三次样条曲线2.1曲线条件按照上述的定义，给定节点：三次样条曲线满⾜三个条件：1. 在每段分段区间上，都是⼀个三次多项式；2. 满⾜;3. 的⼀阶导函数和⼆阶导函数在区间上都是连续的，从⽽曲线具有光滑性。
则三次样条的⽅程可以写为：其中，分别代表个未知系数。
曲线的连续性表⽰为：其中。
曲线微分连续性：其中。
曲线的导函数表达式：令区间长度，则有：S:[a,b]→R [a,b]k [,]t i−1t i a =<<⋯<<=bt 0t 1t k−1t k (1)i :[,]→R P it i−1t i S(t)=(t) , ≤t <,P 1t 0t 1S(t)=(t) , ≤t <,P 2t 1t 2⋮S(t)=(t) , ≤t ≤.P k t k−1t k (2)(t)P i [,]t i−1t i (2)S n ()=();P (j)i t i P (j)i+1t i (3)i =1,…,k −1;j =0,…,n −1t :z :a =t 0z 0<t 1z 1<⋯⋯<t k−1z k−1<t k z k=b(4)[,],i =0,1,…,k −1t i t i+1S(t)=(t)S i S()=,i =1,…,k −1t i z i S(t)(t)S ′(t)S ′′[a,b](t)=+(t −)+(t −+(t −,S i a i b i t i c i t i )2d i t i )3(5),,,a i b i c i d i n ()=,S i t i z i (6)()=,S i t i+1z i+1(7)i =0,1,…,k −1()=(),S ′i t i+1S ′i+1t i+1(8)()=(),S ′′i t i+1S ′′i+1t i+1(9)i =0,1,…,k −2=+2(t −)+3(t −,S ′i b i c i t i d i t i )2(10)(x)=2+6(t −),S ′′i c i d i t i (11)=−h it i+1t i(6)1. 由公式，可得：；2. 由公式，可得：；3. 由公式，可得：;； ；4. 由公式，可得：； ； ；设，则：A.；B.将代⼊；C.将代⼊2.2端点条件在上述分析中，曲线段的两个端点和是不适⽤的，有⼀些常⽤的端点限制条件，这⾥只讲解⾃然边界。
三次样条曲线的生成算法本文由天空乐园河南自考网整理分享摘要三次样条函数曲线具有的最高多项式插值精度是三次多项式函数，对其进行推广构造的三次参数样条曲线应至少具有同样的插值精度。
本文讨论了构造三次参数样条曲线中节点选取问题，相邻两节点之间的跨度规范化为1，提出了构造2GC 三次参数样条曲线的新方法。
文中首先讨论了2GC 三次参数样条曲线需满足的连续性方程，然后讨论了平面有序五点确定一组三次多项式函数曲线和平面有序六点唯一确定一条三次多项式函数曲线。
在此基础上，提出了为给定数据点选取节点值的新方法。
新方法构造的2GC 三次参数样条曲线具有三次多项式函数的插值精度。
最后以具体数据点对新方法和已有的四种节点选取方法构造的插值曲线的精度做了比较。
关键词：三次样条曲线；曲线拟合；计算机图形学自1946年美国数学家I. J. Schoenberg 提出样条函数[1]以来，样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、工程设计和计算机辅助设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。
在样条函数的应用中，三次样条函数由于具有极小模性质、最佳逼近性质和很强的收敛性[2,3,4]等而成为最主要的方法应用于构造插值曲线和曲面。
用样条函数方法构造三次插值曲线，曲线的连续性基本可满足实际应用的要求。
当曲线的端点条件确定之后，曲线的精度和形状是由曲线需满足的连续性方程唯一决定的。
在小挠度的情况下，插值曲线的精度和形状都是非常理想的。
对大挠度曲线和任意平面数据点，则需推广三次样条函数方法构造三次参数样条曲线，此时需知道每个数据点处的参数值（节点值）。
在实际应用中，这些参数值一般是无法预先给定的，所以构造三次参数样条曲线的第一步是对给定数据点参数化，即为每个数据点指定节点值。
如果指定的节点值是精确的，给定适当的端点条件，可使构造的插值曲线的代数精度达到三次参数多项式。
构造三次参数样条曲线，当曲线的端点条件确定之后，能够决定曲线插值精度的量只有节点。
